Exercices corrigés : élasticité et optimisation économique (201-103)

$\frac{dq}{dp}=-3$ et, en $p=10$, $q=90$. Donc $E=-3\times\frac{10}{90}=-\frac{1}{3}\approx-0{,}33$ : $|E|<1$, la demande est inélastique. Piège : répondre $-3$, la pente, au lieu de l'élasticité.

$E=\frac{-6p}{480-6p}=\frac{-p}{80-p}$. On résout $\frac{p}{80-p}=1$ : $p=80-p$, donc $p=40$. Une demande affine a une élasticité unitaire au MILIEU de son segment de prix, ici entre $0$ et $80$.

$q=600p^{-1}$, donc $\frac{dq}{dp}=-\frac{600}{p^{2}}$, et $E=-\frac{600}{p^{2}}\cdot\frac{p}{600/p}=-1$, quel que soit $p$. En $p=12$ : $E=-1$, élasticité unitaire. La dépense $pq=600$ ne dépend pas du prix, et c'est exactement ce que dit $E=-1$.

$q=1\,800p^{-2}$, donc $\frac{dq}{dp}=-3\,600p^{-3}$, et $E=-3\,600p^{-3}\cdot\frac{p}{1\,800p^{-2}}=-2$, quel que soit $p$. En $p=6$ : $q=50$, $\frac{dq}{dp}=-\frac{3\,600}{216}\approx-16{,}67$ et $E=-16{,}67\times\frac{6}{50}=-2$ : la demande est élastique. Règle : pour $q=kp^{-n}$, l'élasticité vaut $-n$ partout.

$\frac{dq}{dp}=-4p$. En $p=8$ : $q=300-128=172$ et $\frac{dq}{dp}=-32$, donc $E=-32\times\frac{8}{172}=-\frac{256}{172}\approx-1{,}49$. Piège : écrire $q=300-2\times 8^{2}$ en élevant $2\times 8$ au carré, ce qui donne $q=44$.

$\frac{dq}{dp}=\frac{-1}{2\sqrt{100-p}}$, donc $E=\frac{-1}{2\sqrt{100-p}}\cdot\frac{p}{\sqrt{100-p}}=\frac{-p}{2(100-p)}$. En $p=64$ : $E=-\frac{64}{72}=-\frac{8}{9}\approx-0{,}89$, demande inélastique. Piège : oublier le signe moins, dérivée de $100-p$, qui donnerait une demande croissante.

La demande est donnée à l'envers : $\frac{dp}{dq}=-0{,}25$, donc $\frac{dq}{dp}=\frac{1}{-0{,}25}=-4$. En $q=120$ : $p=80-30=50$, et $E=-4\times\frac{50}{120}=-\frac{5}{3}\approx-1{,}67$. Piège : prendre $-0{,}25$ comme $\frac{dq}{dp}$, ce qui donne $E\approx-0{,}10$.

$\frac{dq}{dR}=-0{,}0005$ et, en $R=20\,000$, $q=40-10=30$. Donc $E_{R}=-0{,}0005\times\frac{20\,000}{30}=-\frac{10}{30}\approx-0{,}33$. Une élasticité-revenu NÉGATIVE signale un bien inférieur : on en achète moins quand le revenu monte.

$\frac{dq_{A}}{dp_{B}}=-2$ et, en $p_{B}=30$, $q_{A}=240$. Donc $E_{c}=-2\times\frac{30}{240}=-0{,}25$. Une élasticité croisée NÉGATIVE signale des biens complémentaires : quand $B$ devient plus cher, on achète moins de $B$ et donc moins de $A$.

En $p=10$, $q=300$ ; en $p=12$, $q=256$. Donc $\Delta q=-44$, $\overline{q}=278$, $\Delta p=2$, $\overline{p}=11$, et $E_{arc}=\frac{-44/278}{2/11}=-\frac{44\times 11}{278\times 2}=-\frac{484}{556}\approx-0{,}87$. Piège : diviser par les valeurs de DÉPART, $300$ et $10$, ce qui donne $-0{,}73$ ; l'arc se rapporte aux MOYENNES pour donner le même nombre dans les deux sens.

$\dfrac{dq}{dp}=-2$, donc $E=-2\times \dfrac{p}{200-2p}=\dfrac{-2p}{200-2p}=\dfrac{-p}{100-p}$. La simplification par 2 est commode et vaut pour tout $p<100$.

$E(40)=\dfrac{-40}{60}\approx -0{,}667$; $E(50)=\dfrac{-50}{50}=-1$; $E(60)=\dfrac{-60}{40}=-1{,}5$. La demande est donc INÉLASTIQUE à 40 dollars, à élasticité UNITAIRE à 50 dollars, et ÉLASTIQUE à 60 dollars.

Elle est négative parce que la demande est décroissante : une hausse de prix fait baisser la quantité, donc $\dfrac{dq}{dp}<0$. Beaucoup d'auteurs en prennent la valeur absolue pour éviter les confusions, et il faut alors le dire explicitement. Elle n'a pas d'unité parce que c'est un rapport de deux VARIATIONS RELATIVES : les unités de $q$ se simplifient entre elles, celles de $p$ aussi. C'est ce qui permet de comparer l'élasticité de la demande d'essence à celle de la demande de billets de cinéma, ce qu'une pente ne permettrait jamais.

Non, l'élasticité VARIE tout au long d'une demande pourtant linéaire : elle vaut 0 en $p=0$, $-1$ à mi-parcours et tend vers l'infini quand $p$ approche 100. La raison est dans la formule : la pente est constante, mais le facteur $\dfrac{p}{q}$ ne l'est pas, et il explose quand $q$ devient petit. Cette distinction entre pente et élasticité est le point le plus mal compris du chapitre : une droite n'a pas une élasticité, elle en a une par point.

En $p=40$, $q=120$; en $p=44$, $q=200-88=112$. Donc $\Delta q=-8$, $\Delta p=4$, $\overline{q}=\dfrac{120+112}{2}=116$ et $\overline{p}=\dfrac{40+44}{2}=42$. Alors $E_{arc}=\dfrac{-8/116}{4/42}=\dfrac{-0{,}068966}{0{,}095238}\approx -0{,}724$. C'est proche de $E(40)=-0{,}667$ sans être identique : l'élasticité-arc mesure une variation FINIE et se rapporte au milieu de l'intervalle, la dérivée mesure une variation instantanée en un point. Les deux se rapprochent quand l'intervalle rétrécit, et l'arc est ce qu'on utilise quand on ne dispose que de deux observations.

$R(p)=pq=p\left(200-2p\right)=200p-2p^{2}$. Alors $R'(p)=200-4p$, qui s'annule en $p=50$. Comme $R''(p)=-4<0$, c'est un maximum, et $R(50)=10\,000-5\,000=5\,000$ dollars.

En $p=50$ : $q=200-100=100$ et $E=\dfrac{-50}{100-50}=-1$. L'élasticité vaut donc exactement $-1$ au sommet du revenu, ce qui est le résultat central du chapitre.

$R=pq$ où $q$ dépend de $p$. Par la règle du produit : $\dfrac{dR}{dp}=q+p\dfrac{dq}{dp}$. On met $q$ en facteur : $\dfrac{dR}{dp}=q\left(1+\dfrac{p}{q}\dfrac{dq}{dp}\right)=q\left(1+E\right)$, puisque $E=\dfrac{dq}{dp}\dfrac{p}{q}$ par définition. La démonstration tient en deux lignes et ne suppose rien sur la forme de la demande.

Comme $q>0$, le signe de $\dfrac{dR}{dp}$ est celui de $1+E$. Si la demande est INÉLASTIQUE, $-1<E<0$, alors $1+E>0$ : monter le prix AUGMENTE le revenu, parce que la quantité perdue est proportionnellement plus faible que la hausse de prix. Si elle est ÉLASTIQUE, $E<-1$, alors $1+E<0$ : monter le prix FAIT BAISSER le revenu. Et si $E=-1$, le revenu est stationnaire, c'est le maximum. Cette règle explique pourquoi on augmente le prix du tabac et non celui des billets d'avion.

Oui, il faut l'augmenter. En $p=40$, $E\approx -0{,}667$, la demande est inélastique, donc $1+E>0$ et le revenu croît avec le prix. En chiffres : $R(40)=40\times 120=4\,800$ dollars et $R(50)=50\times 100=5\,000$ dollars, soit 200 dollars de plus. Il faut noter que la quantité vendue BAISSE, de 120 à 100 unités : on vend moins et on encaisse plus. Attention toutefois : maximiser le revenu n'est pas maximiser le profit, puisque le coût n'apparaît nulle part ici.

L'élasticité-revenu est $E_{R}=\dfrac{dq}{dR}\times \dfrac{R}{q}$ : la variation relative de la quantité demandée pour une variation relative du revenu du consommateur. Ici $\dfrac{dq}{dR}=0{,}001$ et, en $R=40\,000$, $q=50+40=90$. Donc $E_{R}=0{,}001\times \dfrac{40\,000}{90}=\dfrac{40}{90}\approx 0{,}444$.

Si $E_{R}<0$, le bien est INFÉRIEUR : on en achète moins quand le revenu monte, cas des pâtes bon marché ou du transport en commun dans certains contextes. Si $0<E_{R}<1$, le bien est NORMAL et de première nécessité : la consommation monte, mais moins vite que le revenu, ce qui est le cas ici avec 0,444. Si $E_{R}>1$, le bien est de LUXE : sa consommation croît plus vite que le revenu, cas des voyages ou des restaurants. La loi d'Engel, qui dit que la part du budget consacrée à l'alimentation décroît avec le revenu, n'est rien d'autre qu'une élasticité-revenu inférieure à 1.

L'élasticité croisée est $E_{c}=\dfrac{dq_{A}}{dp_{B}}\times \dfrac{p_{B}}{q_{A}}$ : elle mesure la sensibilité de la demande d'un bien au prix d'un AUTRE bien. Ici $\dfrac{dq_{A}}{dp_{B}}=0{,}8$ et, en $p_{B}=50$, $q_{A}=120+40=160$. Donc $E_{c}=0{,}8\times \dfrac{50}{160}=\dfrac{40}{160}=0{,}25$.

Un signe POSITIF, comme ici, signale des biens SUBSTITUTS : quand le prix de $B$ monte, on se rabat sur $A$, dont la demande augmente; c'est le cas du beurre et de la margarine, ou du train et de l'avion. Un signe NÉGATIF signale des biens COMPLÉMENTAIRES : quand le prix de $B$ monte, on en achète moins et l'on achète aussi moins de $A$, cas des imprimantes et des cartouches. Une valeur proche de zéro signale des biens sans rapport. La valeur de 0,25 obtenue ici indique une substituabilité réelle mais faible.

Parce que l'élasticité mesure une capacité d'AJUSTEMENT, et que celle-ci demande du temps. À court terme, une hausse du prix de l'essence ne change presque rien : il faut se rendre au travail, le véhicule est déjà acheté, le trajet est le même. À long terme, on change de véhicule, on déménage, on modifie ses habitudes de transport, et la baisse de consommation devient bien plus forte. La règle générale vaut pour presque tous les biens : l'élasticité est plus grande en valeur absolue à long terme qu'à court terme. C'est pourquoi une taxe sur l'essence rapporte beaucoup la première année et de moins en moins ensuite.

Notons $x$ le côté parallèle au mur et $y$ les deux côtés perpendiculaires. La clôture couvre trois côtés : $x+2y=240$. L'aire à maximiser vaut $A=xy$.

De la contrainte, $x=240-2y$, donc $A(y)=\left(240-2y\right)y=240y-2y^{2}$, pour $0<y<120$. Alors $A'(y)=240-4y$, qui s'annule en $y=60$. Comme $A''(y)=-4<0$, c'est bien un maximum.

$y=60$ mètres et $x=240-120=120$ mètres. Aire : $A=120\times 60=7\,200$ mètres carrés. On remarque que le côté parallèle au mur vaut exactement la moitié de la clôture, ce qui est un résultat général de ce type de problème : avec un côté gratuit, la moitié de la longueur disponible va au côté opposé au mur.

Sans mur, il faut clôturer quatre côtés : $2x+2y=240$, donc $x+y=120$ et $A=x\left(120-x\right)=120x-x^{2}$, maximale en $x=60$, avec $y=60$ et $A=3\,600$ mètres carrés. Le mur fait donc DOUBLER l'aire disponible pour la même longueur de clôture, et la forme optimale passe d'un carré à un rectangle deux fois plus long que large. C'est un bon exemple de ce que change une contrainte : l'optimum se déplace, et pas seulement sa valeur.

Première étape, IDENTIFIER la quantité à optimiser et les variables dont elle dépend. Deuxième étape, ÉCRIRE la contrainte qui relie ces variables. Troisième étape, SUBSTITUER pour ramener l'objectif à une seule variable, en précisant son domaine. Quatrième étape, DÉRIVER, annuler, vérifier par la dérivée seconde ou par le signe de la dérivée, et vérifier aussi les BORNES du domaine, où l'optimum peut se trouver quand la dérivée ne s'annule pas à l'intérieur.

Par la règle de dérivation en chaîne, $\dfrac{dC}{dt}=C'(q)\times \dfrac{dq}{dt}$. Ici $C'(50)=50+20=70$ dollars par unité et $\dfrac{dq}{dt}=3$ unités par semaine, donc $\dfrac{dC}{dt}=70\times 3=210$ dollars par semaine. Il faut soigner les unités : dollars par unité multipliés par unités par semaine donnent bien des dollars par semaine.

$C'(20)=40$, donc $\dfrac{dC}{dt}=40\times 3=120$ dollars par semaine. Le coût croît donc presque deux fois plus vite à 50 unités qu'à 20 unités, alors que le rythme de production est identique. La raison est que le coût marginal lui-même augmente avec $q$ : c'est la traduction dynamique des rendements décroissants.

$P(q)=R(q)-C(q)=80q-q^{2}-800$, donc $P'(q)=80-2q$ et $P'(50)=80-100=-20$ dollars par unité. Alors $\dfrac{dP}{dt}=-20\times 3=-60$ dollars par semaine : le profit DIMINUE de 60 dollars par semaine, bien que la production augmente. L'entreprise a dépassé son optimum de production.

Le profit cesse d'augmenter quand $P'(q)=0$, donc en $q=40$. Avant, $\dfrac{dP}{dt}>0$; après, elle est négative. Continuer à produire davantage à partir de 40 unités fait donc perdre de l'argent chaque semaine, ce qui est exactement le résultat de l'exercice sur le profit maximal, vu cette fois du point de vue du temps.

$\overline{C}'(q)=0{,}5-\dfrac{800}{q^{2}}$, donc $\overline{C}'(50)=0{,}5-\dfrac{800}{2\,500}=0{,}5-0{,}32=0{,}18$ dollar par unité. Alors $\dfrac{d\overline{C}}{dt}=0{,}18\times 3=0{,}54$ dollar par semaine : le coût moyen augmente d'environ 54 cents par unité et par semaine. Le signe positif était prévisible puisque 50 dépasse la quantité de coût moyen minimal, qui vaut 40 : au-delà, le coût moyen remonte.

$R=pq$, donc $R'(q)=p+q\dfrac{dp}{dq}=p\left(1+\dfrac{q}{p}\dfrac{dp}{dq}\right)=p\left(1+\dfrac{1}{E}\right)$, puisque $\dfrac{1}{E}=\dfrac{dp}{dq}\dfrac{q}{p}$. La formule relie donc directement le revenu marginal, le prix et l'élasticité.

Si la demande est INÉLASTIQUE, $-1<E<0$, alors $\dfrac{1}{E}<-1$ et $1+\dfrac{1}{E}<0$ : le revenu marginal est NÉGATIF. Vendre une unité de plus fait donc baisser le revenu total.

À l'optimum de profit, $R'(q)=C'(q)$. Or le coût marginal est POSITIF, puisque produire une unité de plus coûte toujours quelque chose. Le revenu marginal doit donc être positif à l'optimum, ce qui exige $1+\dfrac{1}{E}>0$, donc $\left|E\right|>1$ : la demande est élastique. Autrement dit, en zone inélastique, l'entreprise pourrait à la fois augmenter son revenu et réduire son coût en produisant moins : elle n'est certainement pas à l'optimum.

L'optimum était en $q=40$, avec $p=80$ dollars. Élasticité : $E=\dfrac{-p}{100-p}=\dfrac{-80}{20}=-4$. La valeur absolue vaut 4, largement supérieure à 1 : la demande est bien élastique à l'optimum, conformément au résultat général. On peut vérifier la formule de la question a) : $p\left(1+\dfrac{1}{E}\right)=80\left(1-0{,}25\right)=60$, ce qui redonne exactement le revenu marginal calculé plus tôt.

Qu'il décrit une occasion manquée plutôt qu'une position de force. Si la demande est réellement inélastique au prix actuel, augmenter le prix ferait MONTER le revenu tout en réduisant la quantité produite, donc le coût : le profit augmenterait des deux côtés à la fois. Une entreprise qui se trouve en zone inélastique a donc simplement fixé son prix trop bas. La position de force existe bien, mais elle se traduit par une élasticité faible EN VALEUR ABSOLUE face aux concurrents, pas par un choix de prix en zone inélastique. La réponse pratique est : montez votre prix jusqu'à ce que $\left|E\right|$ dépasse 1, puis jusqu'à ce que $R'=C'$.