Exercices corrigés : élasticité et optimisation économique (201-103)

a) $\dfrac{dq}{dp}=-2$, donc $E=-2\times \dfrac{p}{200-2p}=\dfrac{-2p}{200-2p}=\dfrac{-p}{100-p}$. La simplification par 2 est commode et vaut pour tout $p<100$.

b) $E(40)=\dfrac{-40}{60}\approx -0{,}667$; $E(50)=\dfrac{-50}{50}=-1$; $E(60)=\dfrac{-60}{40}=-1{,}5$. La demande est donc INÉLASTIQUE à 40 dollars, à élasticité UNITAIRE à 50 dollars, et ÉLASTIQUE à 60 dollars.

c) Elle est négative parce que la demande est décroissante : une hausse de prix fait baisser la quantité, donc $\dfrac{dq}{dp}<0$. Beaucoup d'auteurs en prennent la valeur absolue pour éviter les confusions, et il faut alors le dire explicitement. Elle n'a pas d'unité parce que c'est un rapport de deux VARIATIONS RELATIVES : les unités de $q$ se simplifient entre elles, celles de $p$ aussi. C'est ce qui permet de comparer l'élasticité de la demande d'essence à celle de la demande de billets de cinéma, ce qu'une pente ne permettrait jamais.

d) Non, l'élasticité VARIE tout au long d'une demande pourtant linéaire : elle vaut 0 en $p=0$, $-1$ à mi-parcours et tend vers l'infini quand $p$ approche 100. La raison est dans la formule : la pente est constante, mais le facteur $\dfrac{p}{q}$ ne l'est pas, et il explose quand $q$ devient petit. Cette distinction entre pente et élasticité est le point le plus mal compris du chapitre : une droite n'a pas une élasticité, elle en a une par point.

e) En $p=40$, $q=120$; en $p=44$, $q=200-88=112$. Donc $\Delta q=-8$, $\Delta p=4$, $\overline{q}=\dfrac{120+112}{2}=116$ et $\overline{p}=\dfrac{40+44}{2}=42$. Alors $E_{arc}=\dfrac{-8/116}{4/42}=\dfrac{-0{,}068966}{0{,}095238}\approx -0{,}724$. C'est proche de $E(40)=-0{,}667$ sans être identique : l'élasticité-arc mesure une variation FINIE et se rapporte au milieu de l'intervalle, la dérivée mesure une variation instantanée en un point. Les deux se rapprochent quand l'intervalle rétrécit, et l'arc est ce qu'on utilise quand on ne dispose que de deux observations.

a) $R(p)=pq=p\left(200-2p\right)=200p-2p^{2}$. Alors $R'(p)=200-4p$, qui s'annule en $p=50$. Comme $R''(p)=-4<0$, c'est un maximum, et $R(50)=10\,000-5\,000=5\,000$ dollars.

b) En $p=50$ : $q=200-100=100$ et $E=\dfrac{-50}{100-50}=-1$. L'élasticité vaut donc exactement $-1$ au sommet du revenu, ce qui est le résultat central du chapitre.

c) $R=pq$ où $q$ dépend de $p$. Par la règle du produit : $\dfrac{dR}{dp}=q+p\dfrac{dq}{dp}$. On met $q$ en facteur : $\dfrac{dR}{dp}=q\left(1+\dfrac{p}{q}\dfrac{dq}{dp}\right)=q\left(1+E\right)$, puisque $E=\dfrac{dq}{dp}\dfrac{p}{q}$ par définition. La démonstration tient en deux lignes et ne suppose rien sur la forme de la demande.

d) Comme $q>0$, le signe de $\dfrac{dR}{dp}$ est celui de $1+E$. Si la demande est INÉLASTIQUE, $-1<E<0$, alors $1+E>0$ : monter le prix AUGMENTE le revenu, parce que la quantité perdue est proportionnellement plus faible que la hausse de prix. Si elle est ÉLASTIQUE, $E<-1$, alors $1+E<0$ : monter le prix FAIT BAISSER le revenu. Et si $E=-1$, le revenu est stationnaire, c'est le maximum. Cette règle explique pourquoi on augmente le prix du tabac et non celui des billets d'avion.

e) Oui, il faut l'augmenter. En $p=40$, $E\approx -0{,}667$, la demande est inélastique, donc $1+E>0$ et le revenu croît avec le prix. En chiffres : $R(40)=40\times 120=4\,800$ dollars et $R(50)=50\times 100=5\,000$ dollars, soit 200 dollars de plus. Il faut noter que la quantité vendue BAISSE, de 120 à 100 unités : on vend moins et on encaisse plus. Attention toutefois : maximiser le revenu n'est pas maximiser le profit, puisque le coût n'apparaît nulle part ici.

a) L'élasticité-revenu est $E_{R}=\dfrac{dq}{dR}\times \dfrac{R}{q}$ : la variation relative de la quantité demandée pour une variation relative du revenu du consommateur. Ici $\dfrac{dq}{dR}=0{,}001$ et, en $R=40\,000$, $q=50+40=90$. Donc $E_{R}=0{,}001\times \dfrac{40\,000}{90}=\dfrac{40}{90}\approx 0{,}444$.

b) Si $E_{R}<0$, le bien est INFÉRIEUR : on en achète moins quand le revenu monte, cas des pâtes bon marché ou du transport en commun dans certains contextes. Si $0<E_{R}<1$, le bien est NORMAL et de première nécessité : la consommation monte, mais moins vite que le revenu, ce qui est le cas ici avec 0,444. Si $E_{R}>1$, le bien est de LUXE : sa consommation croît plus vite que le revenu, cas des voyages ou des restaurants. La loi d'Engel, qui dit que la part du budget consacrée à l'alimentation décroît avec le revenu, n'est rien d'autre qu'une élasticité-revenu inférieure à 1.

c) L'élasticité croisée est $E_{c}=\dfrac{dq_{A}}{dp_{B}}\times \dfrac{p_{B}}{q_{A}}$ : elle mesure la sensibilité de la demande d'un bien au prix d'un AUTRE bien. Ici $\dfrac{dq_{A}}{dp_{B}}=0{,}8$ et, en $p_{B}=50$, $q_{A}=120+40=160$. Donc $E_{c}=0{,}8\times \dfrac{50}{160}=\dfrac{40}{160}=0{,}25$.

d) Un signe POSITIF, comme ici, signale des biens SUBSTITUTS : quand le prix de $B$ monte, on se rabat sur $A$, dont la demande augmente; c'est le cas du beurre et de la margarine, ou du train et de l'avion. Un signe NÉGATIF signale des biens COMPLÉMENTAIRES : quand le prix de $B$ monte, on en achète moins et l'on achète aussi moins de $A$, cas des imprimantes et des cartouches. Une valeur proche de zéro signale des biens sans rapport. La valeur de 0,25 obtenue ici indique une substituabilité réelle mais faible.

e) Parce que l'élasticité mesure une capacité d'AJUSTEMENT, et que celle-ci demande du temps. À court terme, une hausse du prix de l'essence ne change presque rien : il faut se rendre au travail, le véhicule est déjà acheté, le trajet est le même. À long terme, on change de véhicule, on déménage, on modifie ses habitudes de transport, et la baisse de consommation devient bien plus forte. La règle générale vaut pour presque tous les biens : l'élasticité est plus grande en valeur absolue à long terme qu'à court terme. C'est pourquoi une taxe sur l'essence rapporte beaucoup la première année et de moins en moins ensuite.

a) Notons $x$ le côté parallèle au mur et $y$ les deux côtés perpendiculaires. La clôture couvre trois côtés : $x+2y=240$. L'aire à maximiser vaut $A=xy$.

b) De la contrainte, $x=240-2y$, donc $A(y)=\left(240-2y\right)y=240y-2y^{2}$, pour $0<y<120$. Alors $A'(y)=240-4y$, qui s'annule en $y=60$. Comme $A''(y)=-4<0$, c'est bien un maximum.

c) $y=60$ mètres et $x=240-120=120$ mètres. Aire : $A=120\times 60=7\,200$ mètres carrés. On remarque que le côté parallèle au mur vaut exactement la moitié de la clôture, ce qui est un résultat général de ce type de problème : avec un côté gratuit, la moitié de la longueur disponible va au côté opposé au mur.

d) Sans mur, il faut clôturer quatre côtés : $2x+2y=240$, donc $x+y=120$ et $A=x\left(120-x\right)=120x-x^{2}$, maximale en $x=60$, avec $y=60$ et $A=3\,600$ mètres carrés. Le mur fait donc DOUBLER l'aire disponible pour la même longueur de clôture, et la forme optimale passe d'un carré à un rectangle deux fois plus long que large. C'est un bon exemple de ce que change une contrainte : l'optimum se déplace, et pas seulement sa valeur.

e) Première étape, IDENTIFIER la quantité à optimiser et les variables dont elle dépend. Deuxième étape, ÉCRIRE la contrainte qui relie ces variables. Troisième étape, SUBSTITUER pour ramener l'objectif à une seule variable, en précisant son domaine. Quatrième étape, DÉRIVER, annuler, vérifier par la dérivée seconde ou par le signe de la dérivée, et vérifier aussi les BORNES du domaine, où l'optimum peut se trouver quand la dérivée ne s'annule pas à l'intérieur.

a) Par la règle de dérivation en chaîne, $\dfrac{dC}{dt}=C'(q)\times \dfrac{dq}{dt}$. Ici $C'(50)=50+20=70$ dollars par unité et $\dfrac{dq}{dt}=3$ unités par semaine, donc $\dfrac{dC}{dt}=70\times 3=210$ dollars par semaine. Il faut soigner les unités : dollars par unité multipliés par unités par semaine donnent bien des dollars par semaine.

b) $C'(20)=40$, donc $\dfrac{dC}{dt}=40\times 3=120$ dollars par semaine. Le coût croît donc presque deux fois plus vite à 50 unités qu'à 20 unités, alors que le rythme de production est identique. La raison est que le coût marginal lui-même augmente avec $q$ : c'est la traduction dynamique des rendements décroissants.

c) $P(q)=R(q)-C(q)=80q-q^{2}-800$, donc $P'(q)=80-2q$ et $P'(50)=80-100=-20$ dollars par unité. Alors $\dfrac{dP}{dt}=-20\times 3=-60$ dollars par semaine : le profit DIMINUE de 60 dollars par semaine, bien que la production augmente. L'entreprise a dépassé son optimum de production.

d) Le profit cesse d'augmenter quand $P'(q)=0$, donc en $q=40$. Avant, $\dfrac{dP}{dt}>0$; après, elle est négative. Continuer à produire davantage à partir de 40 unités fait donc perdre de l'argent chaque semaine, ce qui est exactement le résultat de l'exercice sur le profit maximal, vu cette fois du point de vue du temps.

e) $\overline{C}'(q)=0{,}5-\dfrac{800}{q^{2}}$, donc $\overline{C}'(50)=0{,}5-\dfrac{800}{2\,500}=0{,}5-0{,}32=0{,}18$ dollar par unité. Alors $\dfrac{d\overline{C}}{dt}=0{,}18\times 3=0{,}54$ dollar par semaine : le coût moyen augmente d'environ 54 cents par unité et par semaine. Le signe positif était prévisible puisque 50 dépasse la quantité de coût moyen minimal, qui vaut 40 : au-delà, le coût moyen remonte.

a) $R=pq$, donc $R'(q)=p+q\dfrac{dp}{dq}=p\left(1+\dfrac{q}{p}\dfrac{dp}{dq}\right)=p\left(1+\dfrac{1}{E}\right)$, puisque $\dfrac{1}{E}=\dfrac{dp}{dq}\dfrac{q}{p}$. La formule relie donc directement le revenu marginal, le prix et l'élasticité.

b) Si la demande est INÉLASTIQUE, $-1<E<0$, alors $\dfrac{1}{E}<-1$ et $1+\dfrac{1}{E}<0$ : le revenu marginal est NÉGATIF. Vendre une unité de plus fait donc baisser le revenu total.

c) À l'optimum de profit, $R'(q)=C'(q)$. Or le coût marginal est POSITIF, puisque produire une unité de plus coûte toujours quelque chose. Le revenu marginal doit donc être positif à l'optimum, ce qui exige $1+\dfrac{1}{E}>0$, donc $\left|E\right|>1$ : la demande est élastique. Autrement dit, en zone inélastique, l'entreprise pourrait à la fois augmenter son revenu et réduire son coût en produisant moins : elle n'est certainement pas à l'optimum.

d) L'optimum était en $q=40$, avec $p=80$ dollars. Élasticité : $E=\dfrac{-p}{100-p}=\dfrac{-80}{20}=-4$. La valeur absolue vaut 4, largement supérieure à 1 : la demande est bien élastique à l'optimum, conformément au résultat général. On peut vérifier la formule de la question a) : $p\left(1+\dfrac{1}{E}\right)=80\left(1-0{,}25\right)=60$, ce qui redonne exactement le revenu marginal calculé plus tôt.

e) Qu'il décrit une occasion manquée plutôt qu'une position de force. Si la demande est réellement inélastique au prix actuel, augmenter le prix ferait MONTER le revenu tout en réduisant la quantité produite, donc le coût : le profit augmenterait des deux côtés à la fois. Une entreprise qui se trouve en zone inélastique a donc simplement fixé son prix trop bas. La position de force existe bien, mais elle se traduit par une élasticité faible EN VALEUR ABSOLUE face aux concurrents, pas par un choix de prix en zone inélastique. La réponse pratique est : montez votre prix jusqu'à ce que $\left|E\right|$ dépasse 1, puis jusqu'à ce que $R'=C'$.

a) Revenu en fonction du prix : $R=p\left(900-30p\right)=900p-30p^{2}$. Coût : $C=2\left(900-30p\right)+400=1\,800-60p+400=2\,200-60p$. Profit : $P(p)=900p-30p^{2}-2\,200+60p=960p-30p^{2}-2\,200$. Alors $P'(p)=960-60p$, nul en $p=16$ dollars. Quantité : $q=900-480=420$ repas. Profit : $P(16)=15\,360-7\,680-2\,200=5\,480$ dollars par jour.

b) Avec la taxe, le coût unitaire devient $2+t$, donc $C=\left(2+t\right)\left(900-30p\right)+400$ et $P(p)=900p-30p^{2}-\left(2+t\right)\left(900-30p\right)-400$. En dérivant : $P'(p)=900-60p+30\left(2+t\right)=960+30t-60p$, nul quand $p=\dfrac{960+30t}{60}=16+0{,}5t$.

c) La moitié : chaque dollar de taxe fait monter le prix de 50 cents. Le reste est absorbé par la cafétéria sous forme de marge réduite. Ce partage n'a rien d'universel : il découle des pentes respectives de la demande et du coût marginal, et il vaut ici exactement un demi parce que le coût marginal est constant et la demande linéaire. La règle générale est que la part supportée par le consommateur est d'autant plus grande que sa demande est INÉLASTIQUE, ce qui explique le choix des produits taxés.

d) Quantité vendue au nouvel optimum : $q=900-30\left(16+0{,}5t\right)=900-480-15t=420-15t$. Recettes : $T(t)=t\left(420-15t\right)=420t-15t^{2}$. Alors $T'(t)=420-30t$, nul en $t=14$ dollars, avec $T''=-30<0$, donc un maximum. Recettes maximales : $T(14)=5\,880-2\,940=2\,940$ dollars par jour, pour une quantité tombée à $420-210=210$ repas.

e) Avec $t=20$ : le prix optimal devient $16+10=26$ dollars, la quantité $420-300=120$ repas, et les recettes $20\times 120=2\,400$ dollars, soit MOINS qu'avec une taxe de 14 dollars. Le gouvernement encaisse donc 540 dollars de moins en taxant 6 dollars de plus par repas : c'est la partie décroissante de la courbe des recettes, l'idée que popularise la courbe de Laffer. Et du côté de la cafétéria, le profit tombe à $P=960\times 26-30\times 676-2\,200-20\times 120$, soit une situation où il faut vérifier si l'activité reste viable. Le calcul montre qu'une taxe trop élevée réduit à la fois le profit, la quantité servie et les recettes publiques.

1) FAUX. L'élasticité vaut $E=\dfrac{dq}{dp}\dfrac{p}{q}$ : la pente est constante, mais le facteur $\dfrac{p}{q}$ varie tout au long de la droite. Elle passe de 0 en $p=0$ à $-1$ en $p=50$ et tend vers l'infini quand $p$ approche 100. Énoncé correct : une demande linéaire a une élasticité DIFFÉRENTE en chaque point, et il faut toujours préciser à quel prix on la calcule.

2) FAUX, l'élasticité n'a pas d'unité et ne se lit pas en unités par dollar. Elle dit qu'une hausse de 1 POUR CENT du prix fait baisser la quantité de 1,5 POUR CENT. Énoncé correct : à ce prix, une hausse de 1 % du prix réduit la quantité demandée d'environ 1,5 %; la baisse en unités se lit sur la pente, pas sur l'élasticité.

3) FAUX, et la conclusion est exactement inversée. En zone inélastique, $1+E>0$, donc le revenu AUGMENTE avec le prix : baisser le prix ferait vendre plus et encaisser moins, tout en coûtant davantage à produire. Énoncé correct : si la demande est inélastique, il faut AUGMENTER le prix; une entreprise qui maximise son profit ne se trouve d'ailleurs jamais en zone inélastique.

4) FAUX en général. Avec une demande linéaire et un coût marginal constant, le prix optimal passe de 16 à $16+0{,}5t$ : la moitié seulement de la taxe est répercutée. Énoncé correct : la part de la taxe supportée par le consommateur dépend des pentes de la demande et du coût marginal, et elle est d'autant plus grande que la demande est inélastique.

5) FAUX. Par la règle de dérivation en chaîne, $\dfrac{dP}{dt}=P'(q)\dfrac{dq}{dt}$, et $P'(q)=80-2q$ change de signe en $q=40$. À $q=50$, $\dfrac{dP}{dt}=-20\times 3=-60$ dollars par semaine : le profit BAISSE. Énoncé correct : le profit croît tant que la production reste sous la quantité optimale, et décroît au-delà, quelle que soit la vitesse de production.

a) $\dfrac{dq}{dp}=-30$ et, en $p=16$, $q=420$. Donc $E=-30\times \dfrac{16}{420}=\dfrac{-480}{420}\approx -1{,}143$. La demande est ÉLASTIQUE, de peu : une hausse de 1 % du prix fait perdre environ 1,14 % de la clientèle. Conformément au résultat général, l'optimum de profit se situe bien en zone élastique.

b) À 14 dollars : $q=900-420=480$ repas, soit 60 de plus. Revenu : $14\times 480=6\,720$ dollars. Coût : $2\times 480+400=1\,360$ dollars. Profit : $6\,720-1\,360=5\,360$ dollars, contre $16\times 420-\left(2\times 420+400\right)=6\,720-1\,240=5\,480$ dollars actuellement. La cafétéria sert donc 60 repas de plus et gagne 120 dollars de moins par jour.

c) À 18 dollars : $q=900-540=360$ repas. Revenu : $18\times 360=6\,480$ dollars. Coût : $720+400=1\,120$ dollars. Profit : $6\,480-1\,120=5\,360$ dollars, exactement le même qu'au scénario 1. Ce n'est pas un hasard : le profit est une parabole de sommet $p=16$, donc symétrique, et 14 et 18 sont à égale distance du sommet.

d) Servir le plus de repas possible tout en restant rentable revient à baisser le prix jusqu'au seuil où le profit s'annule : $960p-30p^{2}-2\,200=0$, soit $30p^{2}-960p+2\,200=0$, ou $3p^{2}-96p+220=0$. Discriminant : $9\,216-2\,640=6\,576$, racine $\approx 81{,}09$. Racines : $p=\dfrac{96\pm 81{,}09}{6}$, soit $2{,}48$ et $29{,}52$ dollars. Le prix minimal rentable est donc d'environ 2,49 dollars, où $q=900-74{,}6\approx 825$ repas. C'est un scénario théorique : à ce prix, le profit est nul et la moindre erreur de prévision met la cafétéria en déficit.

e) « Le prix actuel de 16 dollars est celui qui maximise le profit, à 5 480 dollars par jour, et il place la cafétéria juste en zone élastique, $E=-1{,}14$. Le baisser à 14 dollars servirait 60 repas de plus et coûterait 120 dollars par jour; le monter à 18 dollars coûterait le même montant en servant 60 repas de moins. Si l'objectif du comité est le profit, il faut ne rien changer. Si son objectif est la fréquentation, il faut savoir que chaque repas supplémentaire coûte environ 2 dollars de profit, et arbitrer explicitement entre les deux : à 14 dollars, 60 repas de plus pour 120 dollars, soit 2 dollars par repas subventionné. Cet arbitrage relève d'une décision politique, pas d'un calcul. » Ce que le calcul apporte au comité n'est pas la décision, c'est son PRIX.

a) Le raisonnement est inversé. Plus la demande est INÉLASTIQUE, plus le consommateur continue d'acheter malgré la hausse, donc plus le producteur peut lui répercuter la taxe : la part supportée par le CONSOMMATEUR augmente avec l'inélasticité de la demande. C'est même la raison pour laquelle les gouvernements taxent le tabac et l'alcool plutôt que les biens de luxe. Ici, avec une demande linéaire et un coût marginal constant, le prix passe de 16 à $16+0{,}5t$ : exactement la MOITIÉ est répercutée sur le client.

b) La note suppose que la quantité vendue reste de 420 unités. Or la taxe fait monter le prix, donc baisser la quantité : $q=900-30\left(16+0{,}5t\right)=420-15t$. Avec $t=20$, la quantité tombe à $420-300=120$ unités, soit moins du tiers. Calculer des recettes sur la quantité d'AVANT la taxe est l'erreur classique des projections budgétaires, et elle surestime toujours.

c) Prix : $16+10=26$ dollars. Quantité : $420-300=120$ unités. Recettes : $20\times 120=2\,400$ dollars par jour, contre 8 400 annoncés : la note surestime d'un facteur 3,5, soit 6 000 dollars par jour. Il faut ajouter que le profit du producteur s'effondre lui aussi, et que la question de la viabilité de l'activité se pose.

d) Recettes : $T(t)=t\left(420-15t\right)=420t-15t^{2}$, donc $T'(t)=420-30t$, nul en $t=14$ dollars. Recettes maximales : $T(14)=5\,880-2\,940=2\,940$ dollars par jour, pour 210 unités vendues. En taxant 20 dollars au lieu de 14, l'État encaisse 2 400 au lieu de 2 940 dollars : il perd 540 dollars par jour, environ 197 000 dollars par an, tout en réduisant davantage la quantité servie. Taxer plus rapporte moins, et c'est le calcul différentiel qui le dit.

e) « Une taxe de $t$ dollars par unité ferait passer le prix de vente de 16 à $16+0{,}5t$ dollars : la moitié de la taxe serait répercutée sur le consommateur, la moitié absorbée par le producteur. La quantité vendue tomberait à $420-15t$ unités. Les recettes fiscales, $T(t)=420t-15t^{2}$, sont maximales pour $t=14$ dollars et valent alors 2 940 dollars par jour, pour 210 unités vendues. Une taxe de 20 dollars ne rapporterait que 2 400 dollars par jour, tout en réduisant la quantité à 120 unités : elle serait donc à la fois moins rentable pour l'État et plus coûteuse socialement. Nous recommandons un taux compris entre 10 et 14 dollars, et signalons qu'aucune de ces estimations ne tient si l'élasticité réelle diffère de celle du modèle linéaire retenu. » La note corrigée nomme le partage de la taxe, tient compte de la baisse de quantité, donne l'optimum, et déclare l'hypothèse sur laquelle tout repose.