Calcul différentiel 201-103 • Sciences humaines au cégep à Montréal

Fiche de révision : l'optimisation appliquée (201-103)

L'optimisation est la question la plus rentable du cours : elle vaut beaucoup de points et elle se joue presque entièrement sur les deux premières lignes, celles où l'on pose la fonction objectif et le domaine. Une dérivation parfaite sur une mauvaise fonction ne rapporte rien.

Cette fiche donne les cinq étapes, les quatre formes types du programme de Sciences humaines avec la signature qui permet de vérifier son résultat sans recalculer, les huit erreurs qui reviennent chaque session, et la rédaction complète d'un problème de points de service.

Le fil du chapitre

À l'optimum d'une somme de deux coûts opposés, AUCUN des deux n'est minimal : c'est ce que la copie refuse d'admettre, et c'est pourquoi elle dérive les termes séparément au lieu de dériver la somme.

Ce chapitre fait partie de Calcul différentiel 201-103 en sciences humaines : tous les chapitres

Avant ce chapitre

Cette fiche suppose ces notions acquises. Si une méthode ci-dessous reste opaque, c'est presque toujours l'une d'elles qui manque, pas la fiche.

L'étude complète de fonction Fiche

Remonter plus loin : la chaîne complète (6 chapitres) ↓

Le chemin de remédiation, du plus ancien au plus proche. Un élève qui reprend ce chapitre de zéro le reprend dans cet ordre.

1Les fonctions exponentiellesSecondaire 5 SN5
2Les fonctions logarithmiquesSecondaire 5 SN5
3Les limites et la continuité
4La dérivée et les règles de dérivation
5Exponentielle et logarithme
6L'étude complète de fonction

L'essentiel

Les cinq étapes

• NOMMER les variables, avec leurs unités.
• Écrire la CONTRAINTE, la relation qui lie les variables entre elles.
• Écrire la FONCTION OBJECTIF, celle que l'énoncé demande de maximiser ou de minimiser.
• SUBSTITUER la contrainte dans l'objectif pour n'avoir plus qu'une seule variable, et poser le DOMAINE.
• Dériver, annuler, trancher la nature, puis comparer aux BORNES du domaine.

La contrainte ne sert qu'à éliminer une variable. Le domaine, lui, vient du contexte et c'est souvent lui qui décide de la réponse finale.

Deux coûts opposés : l'idée centrale

• Presque tous les problèmes du cours opposent deux coûts : plus on fait l'un, moins on paie l'autre.
• Minimiser une SOMME de deux coûts opposés ne revient JAMAIS à minimiser chacun d'eux.
• À l'optimum, aucun des deux termes n'est à son minimum : c'est leur somme qui l'est.
• Pour $C(x)=ax+\dfrac{b}{x}$ , l'optimum est en $x=\sqrt{\dfrac{b}{a}}$ , et les DEUX termes y sont égaux.
• Une courbe de coût total est PLATE autour de son minimum : la bonne recommandation est une plage, pas un chiffre au dixième.

Au trait pointillé, le terme croissant monte encore et le terme décroissant baisse encore : seule leur somme, la courbe du haut, y atteint son minimum.

L'égalité des deux termes à l'optimum est le contrôle de copie le plus rentable du chapitre : il se fait de tête et il attrape presque toutes les erreurs de dérivation.

Ce que le domaine décide

• Si aucun point critique n'appartient au domaine admissible, l'optimum est à une BORNE, et le signe de la dérivée dit laquelle.
• Optimum ENTIER : on évalue aux deux entiers voisins et l'on compare les valeurs. Le point de bascule est la moyenne GÉOMÉTRIQUE $\sqrt{n(n+1)}$ , pas le milieu.
• COÛT D'UNE CONTRAINTE : la différence entre l'optimum libre et l'optimum contraint. C'est le chiffre qu'on apporte à une négociation.
• Maximiser le RENDEMENT, résultat par dollar, et maximiser l'EFFET NET, résultat moins dépense, donnent deux réponses différentes.
• Le budget rare commande le rendement, le besoin commande l'effet net. L'énoncé dit toujours lequel des deux il veut.

Toute conclusion se relit sur le modèle : un optimum impeccable sur une hypothèse non vérifiée reste un optimum sur une hypothèse non vérifiée.

Les règles de calcul en tableau

Chaque ligne se lit de gauche à droite : les hypothèses, puis le résultat. Une case rouge n'est pas une réponse, c'est le constat que la forme ne décide rien et l'ordre de transformer l'écriture. Chaque cas est suivi d'un exemple chiffré.

Les quatre formes types et leur signature

La dernière colonne donne la SIGNATURE, c'est-à-dire la relation qui doit être vraie à l'optimum. Elle sert à vérifier son résultat sans refaire le calcul. Les deux cases rouges sont des raccourcis qui n'existent pas.

Forme	Optimum	Signature à l'optimum
$ax+\dfrac{b}{x}$	$x=\sqrt{\dfrac{b}{a}}$	les DEUX termes sont égaux
Exemple : $2x+\dfrac{50}{x}$ : optimum en $x=5$ , où chaque terme vaut $10$ et le total $20$ .
$ax+\dfrac{b}{\sqrt{x}}$	$x=\left(\dfrac{b}{2a}\right)^{2/3}$	le terme en racine vaut le DOUBLE
Exemple : $x+\dfrac{16}{\sqrt{x}}$ : optimum en $x=4$ , où les termes valent $4$ et $8$ .
$a\sqrt{x}-bx$	$x=\left(\dfrac{a}{2b}\right)^{2}$	le coût vaut la MOITIÉ du gain brut
Exemple : $20\sqrt{x}-2x$ : optimum en $x=25$ , gain brut $100$ , coût $50$ , net $50$ .
$\dfrac{kn}{an^{2}+bn+c}$	$n=\sqrt{\dfrac{c}{a}}$	le terme linéaire ne joue AUCUN rôle
Exemple : Avec $a=2$ , $b=7$ , $c=50$ : $n=5$ , et changer $b$ ne déplace pas l'optimum.
minimiser chaque terme séparément	le raccourci	n'existe pas règle inexistante
Exemple : $2x$ est minimal quand $x$ tend vers $0$ et $\dfrac{50}{x}$ quand $x$ tend vers l'infini : ni l'un ni l'autre n'est minimal en $x=5$ . Ce qu'il faut faire : On dérive la SOMME, jamais les termes un par un.
arrondir l'optimum au plus proche	le milieu arithmétique	n'existe pas règle inexistante
Exemple : Entre $4$ et $5$ , le point de bascule est $\sqrt{20}\approx 4{,}472$ et non $4{,}5$ : un optimum en $4{,}48$ se règle à $5$ . Ce qu'il faut faire : Évaluer la fonction aux DEUX entiers voisins et comparer les valeurs obtenues.

Les quatre signatures ne s'apprennent pas par cœur comme des formules : elles se retrouvent en une ligne en annulant la dérivée, et elles servent ensuite de contrôle instantané.

Les pièges qui coûtent des points

Les erreurs ci-dessous sont celles que je corrige le plus souvent en séance. Chacune coûte des points sur une copie, même quand le raisonnement est juste.

1. Minimiser chacun des deux coûts au lieu de leur somme

toute la question, et une recommandation qui va dans le mauvais sens

Ce qu'il ne faut pas écrire

« Le coût de fonctionnement est minimal pour peu de points de service, donc il en faut le moins possible. »

Ce qu'il faut écrire

« On minimise la SOMME $C(n)=3n+\dfrac{50}{n}$ . Sa dérivée $3-\dfrac{50}{n^{2}}$ s'annule en $n=\sqrt{\dfrac{50}{3}}\approx 4{,}08$ , où aucun des deux termes n'est à son minimum. »

Pourquoi : C'est l'idée centrale du chapitre. Deux coûts opposés s'échangent : gagner sur l'un coûte sur l'autre, et l'optimum est un point d'équilibre, pas un extrême.

2. Oublier que l'optimum peut tomber hors du domaine admissible

3 points, et une réponse hors des limites du problème

Ce qu'il ne faut pas écrire

« La dérivée s'annule en $x=9$ , donc l'optimum est $9$ . »

Ce qu'il faut écrire

« Le domaine admissible est $[1\,;6]$ , et $9$ n'y est pas. Comme la dérivée reste négative sur tout l'intervalle, l'optimum est à la BORNE $x=6$ . »

Le sommet de la parabole est bien visible, mais il est à droite du trait pointillé : sur la partie admissible, la courbe ne fait que descendre, donc le minimum est au bord.

Pourquoi : Le domaine vient du contexte, pas de l'algèbre. Un nombre de places, un budget, une durée ont des bornes que l'énoncé fixe et que la dérivée ignore.

3. Arrondir l'optimum entier au plus proche

2 points, et une recommandation fausse une fois sur trois

Ce qu'il ne faut pas écrire

« L'optimum est $4{,}48$ , donc on retient $4$ . »

Ce qu'il faut écrire

« On compare les deux entiers voisins : $C(4)=24{,}5$ et $C(5)=25$ . Le point de bascule est la moyenne GÉOMÉTRIQUE $\sqrt{20}\approx 4{,}472$ , donc $4{,}48$ se règle à $5$ . »

Pourquoi : La courbe n'est pas symétrique autour de son minimum : elle monte plus vite d'un côté que de l'autre. Le milieu arithmétique n'a donc aucune raison d'être le point de bascule.

4. Confondre le rendement et l'effet net

3 points sur la question de recommandation, qui est la dernière et la plus lourde

Ce qu'il ne faut pas écrire

« Le programme qui produit le plus de résultats est celui qu'il faut financer. »

Ce qu'il faut écrire

« Maximiser le RENDEMENT $\dfrac{R}{C}$ et maximiser l'EFFET NET $R-C$ donnent deux réponses différentes. Un budget rare commande le premier, un besoin à couvrir commande le second. »

Pourquoi : Les deux critères sont légitimes et ne coïncident presque jamais. Choisir sans dire lequel on optimise, c'est répondre à une question que l'énoncé n'a pas posée.

5. Dériver avant d'avoir éliminé la seconde variable

toute la question, puisque la dérivée obtenue n'est pas celle de l'objectif

Ce qu'il ne faut pas écrire

« $C=3n+\dfrac{k}{n}$ avec $k$ qui dépend aussi de $n$ , je dérive. »

Ce qu'il faut écrire

« J'utilise d'abord la CONTRAINTE pour exprimer $k$ en fonction de $n$ , je substitue, et seulement alors je dérive une fonction d'une seule variable. »

Pourquoi : La dérivation à une variable suppose que tout le reste est constant. Tant qu'une seconde variable dépend encore de la première, cette hypothèse est fausse.

6. Donner un optimum au dixième sur une courbe plate

1 point d'interprétation, et une recommandation qui se décrédibilise

Ce qu'il ne faut pas écrire

« Il faut ouvrir exactement $4{,}08$ points de service. »

Ce qu'il faut écrire

« Entre $4$ et $5$ points, le coût total varie de moins de $2$ pour cent. La recommandation est donc quatre ou cinq points, et le choix se fera sur d'autres critères. »

La bande sous le trait pointillé est large : entre

3{,}6

6{,}9

, le coût total reste à moins de cinq pour cent de son minimum.

Pourquoi : Près d'un minimum, la dérivée est nulle, donc la fonction varie au second ordre : un écart de position produit un écart de valeur beaucoup plus petit. La précision affichée doit refléter cela.

7. Ne pas vérifier la nature de l'extremum

1 point, systématiquement retiré

Ce qu'il ne faut pas écrire

« La dérivée s'annule en $n=4{,}08$ , donc le coût y est minimal. »

Ce qu'il faut écrire

« $C''(n)=\dfrac{100}{n^{3}}>0$ pour $n>0$ , donc le point critique est bien un MINIMUM. »

Pourquoi : Une dérivée nulle donne un candidat. Sur un problème de coût, le maximum et le minimum sont tous deux plausibles a priori, et le barème paie la ligne qui tranche.

8. Confondre la contrainte et le domaine

1 point, et une étape de la méthode qui saute

Ce qu'il ne faut pas écrire

« La contrainte est $n\ge 1$ . »

Ce qu'il faut écrire

« La CONTRAINTE est la relation qui lie les variables et qui sert à en éliminer une. $n\ge 1$ est le DOMAINE, qui vient du contexte et sert à filtrer les candidats. »

Pourquoi : Les deux ont des rôles opposés dans la méthode : l'une entre dans la fonction, l'autre décide quels résultats sont acceptables. Les confondre fait perdre l'une des deux.

9. Livrer l'optimum sans relire l'hypothèse du modèle

1 à 2 points de recommandation en Sciences humaines

Ce qu'il ne faut pas écrire

« L'optimum est $4$ points de service, la question est réglée. »

Ce qu'il faut écrire

« L'optimum est $4$ points de service SI le coût de déplacement varie bien en $\dfrac{1}{n}$ , ce que le modèle suppose. Sur un territoire allongé, cette hypothèse ne tient pas. »

Pourquoi : Un calcul impeccable sur une hypothèse non vérifiée reste un calcul sur une hypothèse non vérifiée. Nommer l'hypothèse fait partie de la réponse attendue.

Quelle méthode choisir

Quelle fonction objectif, selon ce que demande l'énoncé

La fonction objectif est ce que l'énoncé demande d'optimiser, et le vocabulaire la désigne sans ambiguïté. C'est l'étape qui décide de toute la question.

Si « coût total », « dépense totale », « le moins cher » → somme des coûts, à MINIMISER

Exemple : $C(n)=3n+\dfrac{50}{n}$
Si « profit », « bénéfice net », « gain net » → recette moins coût, à MAXIMISER

Exemple : $20\sqrt{x}-2x$
Si « rendement », « par dollar investi », « le plus efficace » → un RAPPORT résultat sur coût, à maximiser

Exemple : $\dfrac{kn}{2n^{2}+7n+50}$
Si « à partir de quand cela cesse d'être rentable » → ce n'est pas une optimisation : on résout $R(x)=C(x)$

Exemple : $20\sqrt{x}=2x$ donne $x=100$

le seuil de rentabilité et l'optimum sont deux points différents, et l'énoncé les demande souvent tous les deux
Si « combien faut-il au minimum pour atteindre » → une inéquation à résoudre, pas une dérivée à annuler

Exemple : trouver $n$ tel que $C(n)\le 26$

Deux critères légitimes peuvent coexister dans le même énoncé, le rendement et l'effet net. Quand c'est le cas, il faut traiter les deux et dire lequel répond à la question posée.

Où se trouve l'optimum

Une fois la dérivée annulée, trois cas seulement, et le domaine les départage.

Si un point critique est dans le domaine et le test le confirme → c'est l'optimum, à comparer tout de même aux bornes

Exemple : $n=4{,}08$ dans $[1\,;+\infty[$
Si aucun point critique n'est dans le domaine → l'optimum est à une BORNE, et le signe de la dérivée dit laquelle

Exemple : dérivée négative partout : borne de droite
Si la variable doit être entière → évaluer aux deux entiers voisins et comparer les valeurs

Exemple : $C(4)=24{,}5$ contre $C(5)=25$ , donc $4$
Si le domaine est OUVERT → vérifier que l'extremum existe : il peut n'y en avoir aucun

Exemple : une fonction qui décroît vers une borne exclue
Si une réglementation impose une valeur minimale ou maximale → calculer l'optimum contraint ET le coût de la contrainte

Exemple : $C(6)-C(4)=1{,}83$ millier de dollars

Comparer aux bornes coûte deux évaluations de la fonction et vaut souvent deux points. C'est le meilleur rapport effort sur points de tout le chapitre.

La rédaction attendue

Le correcteur coche des étapes. Les voici dans l'ordre, avec la phrase de conclusion qu'il attend mot pour mot.

Rédiger une optimisation en cinq étapes

Quand l'utiliser : Dès que l'énoncé demande le maximum, le minimum, la valeur la plus avantageuse, ou le meilleur choix.

1 Nommer les variables avec leurs unités, et dire laquelle sera la variable finale.
2 Écrire la contrainte, puis la fonction objectif, chacune sur sa ligne et sans nombres.
3 Substituer pour n'avoir plus qu'une variable, et POSER LE DOMAINE en justifiant ses bornes par le contexte.
4 Dériver, annuler, résoudre, et écarter les racines hors du domaine.
5 Trancher la nature par $f''$ ou par le signe de $f'$ , comparer aux bornes, puis répondre en unités.

Phrase de conclusion

« Soit $n$ le nombre de points de service, entier et au moins égal à $1$ . Le coût total est $C(n)=3n+\dfrac{50}{n}$ , en milliers de dollars. Alors $C'(n)=3-\dfrac{50}{n^{2}}$ s'annule pour $n=\sqrt{\dfrac{50}{3}}\approx 4{,}08$ , et $C''(n)=\dfrac{100}{n^{3}}>0$ confirme un minimum. »

Le piège : Poser le domaine après avoir dérivé, ou pas du tout. Sans domaine, on ne sait pas quelles racines garder ni s'il faut comparer à des bornes, et la question suivante devient impossible.

Barème : 1 point pour les variables, 2 points pour l'objectif et la contrainte, 1 point pour le domaine, 2 points pour la dérivation, 1 point pour la nature, 1 point pour la réponse en unités.

Rédiger le coût d'une contrainte

Quand l'utiliser : Dès qu'une règle, une norme ou une décision politique impose une valeur différente de l'optimum, et que l'énoncé demande ce que cela coûte.

1 Calculer d'abord l'optimum LIBRE et la valeur de l'objectif qui lui correspond.
2 Appliquer la contrainte et déterminer l'optimum CONTRAINT, souvent à la borne imposée.
3 Calculer la valeur de l'objectif en ce point.
4 Faire la DIFFÉRENCE des deux valeurs, avec ses unités : c'est le coût de la contrainte.
5 L'exprimer aussi en pourcentage, et conclure par une phrase utilisable dans une discussion.

Phrase de conclusion

« Sans contrainte, le coût minimal est $C(4)=24{,}5$ milliers de dollars. Avec l'obligation d'ouvrir au moins six points, il devient $C(6)\approx 26{,}33$ milliers. La contrainte coûte donc environ $1{,}83$ millier de dollars par année, soit $7{,}5$ pour cent de plus. »

Le piège : Comparer l'optimum contraint à zéro plutôt qu'à l'optimum libre. Le coût d'une contrainte est toujours un ÉCART entre deux scénarios, jamais une valeur absolue.

Barème : 1 point pour l'optimum libre, 1 point pour l'optimum contraint, 1 point pour la différence, 1 point pour l'interprétation.

Vérifier avant de rendre

Cinq minutes de vérification récupèrent plus de points qu'un exercice de plus commencé à la hâte.

La signature de la forme

Vérifier la relation attendue à l'optimum : deux termes égaux pour $ax+\dfrac{b}{x}$ , un rapport de deux pour la forme en racine, la moitié du gain brut pour le profit en racine.

En $n=4{,}08$ : $3n=12{,}25$ et $\dfrac{50}{n}=12{,}25$ . Deux valeurs différentes signaleraient une erreur de dérivation.
Les deux entiers voisins

Quand la variable est entière, évaluer la fonction aux deux entiers qui encadrent l'optimum continu et comparer. Ne jamais arrondir sans calculer.

$C(4)=24{,}5$ et $C(5)=25$ : l'entier gagnant est $4$ , alors que l'optimum continu $4{,}08$ pourrait suggérer l'inverse sur un autre exemple.
Les bornes du domaine

Évaluer l'objectif aux deux bornes, même quand un point critique semble gagner. C'est deux calculs, et cela ferme la question des extremums absolus.

Si l'objectif vaut moins à une borne qu'au point critique, c'est la borne qui l'emporte, et le point critique n'était qu'un maximum local.
Le sens de la réponse dans le contexte

Relire la valeur trouvée en se demandant si elle est réalisable : un nombre de places négatif, une durée de trois secondes, une taille d'échantillon de cent mille personnes signalent une erreur.

Un optimum de $0{,}3$ point de service dit que la variable n'a pas été posée dans la bonne unité, ou que la contrainte a été mal substituée.
La platitude autour du minimum

Calculer l'objectif à une unité de part et d'autre de l'optimum. Si les trois valeurs sont très proches, le dire dans la conclusion et recommander une plage.

$24{,}5$ , $24{,}49$ et $25$ pour $n=4$ , $4{,}08$ et $5$ : moins de deux pour cent d'écart, donc une recommandation au dixième n'aurait aucun sens.

L'exercice type décortiqué

Combien de points de service ouvrir : optimum continu, optimum entier, coût d'une norme

Un organisme public dessert un territoire avec $n$ points de service. Le fonctionnement coûte $3n$ milliers de dollars par année, et les déplacements des usagers coûtent $\dfrac{50}{n}$ milliers de dollars par année.

Déterminer le nombre de points qui minimise le coût total, en tenant compte du fait que $n$ est entier, puis calculer ce que coûterait une norme imposant au moins six points.

Étape 1

Variable : $n$ , le nombre de points de service, entier et au moins égal à $1$ . Objectif : $C(n)=3n+\dfrac{50}{n}$ , en milliers de dollars par année.

Pourquoi

Poser le domaine dès la première ligne, entier et minoré, évite d'avoir à y revenir au moment de trancher, quand il sera trop tard.

Étape 2

Les deux coûts sont OPPOSÉS : ouvrir plus de points augmente le premier terme et diminue le second. Il y a donc un équilibre à chercher.

Pourquoi

Nommer l'opposition avant de calculer est ce qui empêche de conclure qu'il faut le moins ou le plus de points possible.

Étape 3

$C'(n)=3-\dfrac{50}{n^{2}}$ . On annule : $n^{2}=\dfrac{50}{3}$ , donc $n=\sqrt{\dfrac{50}{3}}\approx 4{,}08$ .

Pourquoi

On garde la racine positive seulement : le domaine impose $n\ge 1$ , ce qui écarte la racine négative sans avoir à la discuter.

Étape 4

Nature : $C''(n)=\dfrac{100}{n^{3}}>0$ pour tout $n>0$ , donc le point critique est un MINIMUM.

Pourquoi

La dérivée seconde est positive sur tout le domaine, ce qui donne en prime la convexité de $C$ : il n'y a donc qu'un seul minimum, et aucune borne ne peut faire mieux.

Étape 5

Signature : en $n=4{,}08$ , on a $3n\approx 12{,}25$ et $\dfrac{50}{n}\approx 12{,}25$ . Les deux termes sont bien égaux, et $C\approx 24{,}49$ .

Pourquoi

Le contrôle prend cinq secondes et attrape toute erreur de dérivation. Deux termes inégaux auraient signalé une faute avant même de poursuivre.

Étape 6

Optimum ENTIER : $C(4)=12+12{,}5=24{,}5$ et $C(5)=15+10=25$ . Donc $n=4$ .

Pourquoi

On compare les valeurs, on n'arrondit pas. Le point de bascule est $\sqrt{4\times 5}=\sqrt{20}\approx 4{,}472$ , et $4{,}08$ lui est inférieur, ce qui confirme $4$ .

Étape 7

Platitude : entre $n=4$ et $n=5$ , le coût passe de $24{,}5$ à $25$ , soit moins de $2{,}1$ pour cent d'écart.

Pourquoi

Près d'un minimum la dérivée est nulle, donc la fonction varie au second ordre. La recommandation honnête est une plage, pas un chiffre au dixième.

Étape 8

Coût de la norme : avec $n\ge 6$ , la fonction est croissante au-delà de $4{,}08$ , donc l'optimum contraint est à la borne $n=6$ . $C(6)=18+\dfrac{50}{6}\approx 26{,}33$ .

Pourquoi

Quand la contrainte pousse hors du point critique, l'optimum se réfugie toujours à la borne la plus proche de lui. Le signe de $C'$ le confirme sans nouveau calcul.

Étape 9

Différence : $26{,}33-24{,}5\approx 1{,}83$ millier de dollars par année, soit environ $7{,}5$ pour cent de plus.

Pourquoi

C'est le chiffre qu'on apporte à une négociation. Il se compare toujours à l'optimum libre, jamais à zéro.

Conclusion rédigée

« Le coût total est minimal pour $n=\sqrt{\dfrac{50}{3}}\approx 4{,}08$ points de service, donc pour $4$ points en nombre entier, avec un coût de $24{,}5$ milliers de dollars par année. Comme le coût varie de moins de $2{,}1$ pour cent entre quatre et cinq points, la recommandation raisonnable est quatre ou cinq. Une norme imposant six points porterait le coût à environ $26{,}33$ milliers, soit $1{,}83$ millier de plus par année, environ $7{,}5$ pour cent. »

L'erreur classique sur cet exercice : Conclure qu'il faut ouvrir le moins de points possible parce que le fonctionnement coûte cher. En $n=1$ , le coût total vaut $3+50=53$ milliers, plus du double de l'optimum : minimiser un seul des deux termes est exactement ce qu'il ne faut pas faire.

À savoir par cœur

• Cinq étapes : variables, contrainte, objectif, substitution avec DOMAINE, dérivation et comparaison aux bornes.
• La contrainte élimine une variable ; le DOMAINE vient du contexte et décide de la réponse.
• Minimiser une somme de deux coûts opposés n'est jamais minimiser chacun d'eux.
• Pour $ax+\dfrac{b}{x}$ : optimum en $x=\sqrt{\dfrac{b}{a}}$ , et les deux termes y sont ÉGAUX.
• Optimum entier : comparer les DEUX entiers voisins. La bascule est $\sqrt{n(n+1)}$ , pas le milieu.
• Si aucun point critique n'est dans le domaine, l'optimum est à une BORNE.
• Coût d'une contrainte : optimum contraint MOINS optimum libre, jamais moins zéro.
• Une courbe de coût est plate autour de son minimum : on recommande une plage.

Questions fréquentes

Comment poser un problème d'optimisation ?

En cinq étapes. On nomme les variables avec leurs unités, on écrit la contrainte qui les relie, on écrit la fonction à optimiser, on substitue la contrainte pour n'avoir plus qu'une variable, et on pose le domaine. Seulement ensuite on dérive. La plupart des points se jouent sur les deux premières étapes, pas sur le calcul.

Pourquoi ne peut-on pas minimiser chaque coût séparément ?

Parce que les deux coûts s'opposent : gagner sur l'un fait perdre sur l'autre. Le coût de fonctionnement est minimal avec très peu d'installations, le coût de déplacement avec beaucoup. À l'optimum de la somme, aucun des deux n'est à son minimum. C'est précisément pour cela qu'on dérive la somme et jamais les termes un par un.

Quelle différence entre la contrainte et le domaine ?

La contrainte est la relation qui lie les variables entre elles, et elle sert à en éliminer une pour obtenir une fonction d'une seule variable. Le domaine vient du contexte du problème et dit quelles valeurs sont acceptables. La contrainte entre dans la fonction ; le domaine filtre les résultats. Les deux étapes sont distinctes.

Comment traiter un optimum qui doit être un nombre entier ?

On calcule d'abord l'optimum continu, puis on évalue la fonction aux deux entiers qui l'encadrent et on compare les valeurs obtenues. On n'arrondit jamais au plus proche, parce que la courbe n'est pas symétrique autour de son minimum. Le vrai point de bascule est la moyenne géométrique des deux entiers, pas leur milieu.

Que faire quand la dérivée s'annule hors du domaine ?

L'optimum est alors à une borne du domaine, et le signe de la dérivée dit laquelle. Si la dérivée reste négative sur tout l'intervalle admissible, la fonction ne fait que décroître et le minimum est à la borne de droite. Le point critique, lui, est simplement écarté parce qu'il ne correspond à aucune situation possible.

Comment calculer le coût d'une contrainte réglementaire ?

On calcule l'optimum libre et la valeur de l'objectif qui lui correspond, puis l'optimum sous contrainte, qui se trouve presque toujours à la borne imposée. La différence entre les deux valeurs est le coût de la contrainte. On l'exprime en unités et en pourcentage, car c'est le chiffre qui sert dans une discussion de politique publique.

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Exercices corrigés : L'optimisation appliquée

Une méthode se prouve sur une copie, pas sur une fiche. La série du même chapitre reprend chacun de ces pièges dans un exercice, avec le corrigé rédigé étape par étape.

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