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Calcul différentiel 201-103 • Sciences humaines au cégep à Montréal

Fiche de révision : l'étude complète de fonction (201-103)

L'étude de fonction est la question longue de l'examen final : elle vaut souvent quinze points à elle seule et elle se joue sur l'ordre des étapes plus que sur les calculs. Une dérivée juste posée dans le désordre perd la moitié des points, parce que chaque étape sert à la suivante.

Cette fiche donne cet ordre, le tableau des quatre allures possibles avec un calcul sous chacune, les huit erreurs qui reviennent chaque session, et la rédaction complète d'une courbe de recette fiscale, l'exercice type du programme de Sciences humaines.

Le fil du chapitre

f′f' dit le SENS, f′′f'' dit la COURBURE, et les deux lectures sont indépendantes : une courbe qui descend peut très bien être convexe, et le tableau de variation ne dit rien tant qu'on n'a pas rempli les deux lignes.

Ce chapitre fait partie de Calcul différentiel 201-103 en sciences humaines : tous les chapitres

Avant ce chapitre

Cette fiche suppose ces notions acquises. Si une méthode ci-dessous reste opaque, c'est presque toujours l'une d'elles qui manque, pas la fiche.

Remonter plus loin : la chaîne complète (8 chapitres) ↓

Le chemin de remédiation, du plus ancien au plus proche. Un élève qui reprend ce chapitre de zéro le reprend dans cet ordre.

  1. 1Calculs exponentiels et logarithmiquesSecondaire 5 SN5
  2. 2Les fonctions exponentiellesSecondaire 5 SN5
  3. 3Les fonctions logarithmiquesSecondaire 5 SN5
  4. 4Les fonctions définies par partiesSecondaire 5 SN5
  5. 5Les fonctions et leur domaine
  6. 6Les limites et la continuité
  7. 7La dérivée et les règles de dérivation
  8. 8Exponentielle et logarithme

L'essentiel

L'ordre d'une étude, sept étapes

  • • Le DOMAINE, d'abord, avec la contrainte du contexte quand il y en a une.
  • • Les LIMITES aux bords du domaine et à l'infini.
  • • Les ASYMPTOTES qui en découlent, verticales, horizontales ou obliques.
  • • f′f', son annulation et son SIGNE : c'est le sens de variation.
  • • f′′f'', son annulation et son SIGNE : c'est la concavité et les inflexions.
  • • Le TABLEAU, qui rassemble les deux lignes de signes et les valeurs remarquables.
  • • Le TRACÉ, en dernier, déduit du tableau et jamais d'un tableau de valeurs.

Dix points calculés à la machine ne montrent ni asymptote, ni inflexion, ni extremum exact. Le tracé se déduit de l'étude, sinon l'étude ne servait à rien.

Deux lectures indépendantes

  • • f′>0f'>0 : la fonction MONTE. f′<0f'<0 : elle DESCEND. C'est tout ce que f′f' dit.
  • • f′′>0f''>0 : la courbe est concave vers le HAUT, au-dessus de ses tangentes. f′′<0f''<0 : concave vers le bas.
  • • Le sens de variation ne se lit JAMAIS sur f′′f'', et la courbure ne se lit jamais sur f′f'.
  • • Les quatre combinaisons existent toutes : monter en accélérant, monter en ralentissant, descendre en ralentissant, descendre en accélérant.
  • • En contexte, « la hausse ralentit » est une phrase sur f′′f'', « la grandeur baisse » une phrase sur f′f'.
f' > 0f' > 0f' < 0f' < 0f'' > 0f'' < 0f'' > 0f'' < 0
Les deux premières montent et les deux dernières descendent, mais leurs courbures alternent : le sens et la courbure se combinent librement, et il faut donc les lire séparément.

La moitié des commentaires faux en Sciences humaines viennent d'avoir mélangé ces deux lectures, en particulier sur les courbes qui montent en s'aplatissant.

Les trois asymptotes

  • • VERTICALE en aa si lim⁡x→af=±∞\lim_{x\to a}f=\pm\infty. Elle marque un bord du domaine.
  • • HORIZONTALE y=Ly=L si lim⁡x→±∞f=L\lim_{x\to\pm\infty}f=L. Elle décrit le long terme.
  • • OBLIQUE y=mx+py=mx+p si f(x)−(mx+p)→0f(x)-(mx+p)\to 0. Elle apparaît quand le degré du haut dépasse celui du bas d'exactement un.
  • • Une courbe a au plus UNE asymptote horizontale ou oblique de chaque côté, jamais les deux du même côté.
  • • Un coût moyen en Fd+ad+b\dfrac{F}{d}+ad+b a une asymptote verticale en 00, une asymptote oblique y=ad+by=ad+b, et un minimum là où les deux termes variables s'équilibrent.

Annoncer une asymptote horizontale ET une asymptote oblique du même côté est une contradiction : la courbe ne peut pas tendre vers deux choses à la fois.

Extremums locaux et extremums absolus

  • • f′(a)=0f'(a)=0 fait de aa un CANDIDAT, pas un extremum. La cubique x3x^{3} le rappelle en 00.
  • • Test de la dérivée première : un extremum local a lieu là où f′f' CHANGE de signe.
  • • Test de la dérivée seconde : f′′(a)<0f''(a)<0 donne un maximum, f′′(a)>0f''(a)>0 un minimum. Si f′′(a)=0f''(a)=0, le test est MUET.
  • • Extremums ABSOLUS sur un intervalle fermé borné : trois sortes de candidats, les points critiques, les points non dérivables, et les BORNES.
  • • On compare alors les VALEURS de la fonction en ces candidats, sans tableau de signes. Sur un intervalle ouvert, un extremum absolu peut ne pas exister.

Un maximum local n'est absolu que si aucune borne ne le dépasse. Oublier d'évaluer la fonction aux deux bornes est l'erreur la plus fréquente de cette question.

Les règles de calcul en tableau

Chaque ligne se lit de gauche à droite : les hypothèses, puis le résultat. Une case rouge n'est pas une réponse, c'est le constat que la forme ne décide rien et l'ordre de transformer l'écriture. Chaque cas est suivi d'un exemple chiffré.

Les quatre allures, et les deux cas où le test se tait

Les deux premières colonnes sont les deux lignes du tableau de variation. La dernière dit ce que la courbe fait. Les deux cases rouges ne sont pas des conclusions : ce sont des ordres de continuer.

SignesCe qu'on écritCe que fait la courbe
f′>0f'>0 et f′′>0f''>0 croissante, convexe monte en accélérant

Exemple : f(x)=0,25x2f(x)=0{,}25x^{2} en x=2x=2 : f′=1>0f'=1>0 et f′′=0,5>0f''=0{,}5>0.

f′>0f'>0 et f′′<0f''<0 croissante, concave monte en ralentissant

Exemple : f(x)=6xf(x)=6\sqrt{x} en x=4x=4 : f′=1,5>0f'=1{,}5>0 et f′′=−0,1875<0f''=-0{,}1875<0.

f′<0f'<0 et f′′>0f''>0 décroissante, convexe descend en ralentissant

Exemple : f(x)=4xf(x)=\dfrac{4}{x} en x=2x=2 : f′=−1<0f'=-1<0 et f′′=1>0f''=1>0.

f′<0f'<0 et f′′<0f''<0 décroissante, concave descend en accélérant

Exemple : f(x)=−0,25x2f(x)=-0{,}25x^{2} en x=2x=2 : f′=−1<0f'=-1<0 et f′′=−0,5<0f''=-0{,}5<0.

f′(a)=0f'(a)=0 et f′′(a)=0f''(a)=0 le test de la dérivée seconde muet test muet

Exemple : x3x^{3} et x4x^{4} ont toutes deux f′(0)=0f'(0)=0 et f′′(0)=0f''(0)=0, et pourtant l'une a une inflexion et l'autre un minimum.

Ce qu'il faut faire : Revenir au test de la dérivée PREMIÈRE : regarder le signe de f′f' juste avant et juste après.

f′′(a)=0f''(a)=0 donne une inflexion l'annulation seule n'existe pas règle inexistante

Exemple : Pour x4x^{4}, f′′(x)=12x2f''(x)=12x^{2} s'annule en 00 et reste positive des deux côtés : aucune inflexion.

Ce qu'il faut faire : Exiger que f′′f'' CHANGE de signe, et pas seulement qu'elle s'annule.

Les quatre premières lignes se récitent en trente secondes et suffisent à rédiger n'importe quel commentaire de courbe. Les deux dernières sont les questions de raisonnement de l'examen.

Les pièges qui coûtent des points

Les erreurs ci-dessous sont celles que je corrige le plus souvent en séance. Chacune coûte des points sur une copie, même quand le raisonnement est juste.

1. Lire le sens de variation sur la dérivée seconde

2 points, et toute la ligne de variation du tableau

Ce qu'il ne faut pas écrire

« f′′<0f''<0, donc la fonction décroît sur cet intervalle. »

Ce qu'il faut écrire

« f′′<0f''<0 dit que la courbe est concave vers le bas. Comme f′>0f'>0 ici, la fonction CROÎT, en ralentissant. »

Pourquoi : Les deux lignes du tableau sont indépendantes. Une courbe qui monte en s'aplatissant a précisément f′>0f'>0 et f′′<0f''<0, et c'est la situation la plus fréquente en Sciences humaines.

2. Conclure à un extremum dès que la dérivée s'annule

2 points, et un tableau de variation faux

Ce qu'il ne faut pas écrire

« f′(0)=0f'(0)=0, donc ff a un extremum en 00. »

Ce qu'il faut écrire

« f′(0)=0f'(0)=0 fait de 00 un CANDIDAT. Pour f(x)=x3f(x)=x^{3}, f′(x)=3x2f'(x)=3x^{2} reste positive des deux côtés : il n'y a pas d'extremum, mais une inflexion à tangente horizontale. »

pas un extremumun vrai minimumsigne inchangésigne inversé
Les deux tangentes pointillées sont horizontales, donc f′f' s'annule dans les deux cas : à gauche la courbe continue de monter, à droite elle repart vers le haut après être descendue.

Pourquoi : Un extremum exige un CHANGEMENT de signe de f′f', pas une annulation. La cubique est le contre-exemple officiel, et il tombe à chaque session.

3. Déclarer une inflexion dès que f′′f'' s'annule

1,5 point, et une inflexion inventée sur le tracé

Ce qu'il ne faut pas écrire

« f′′(0)=0f''(0)=0, donc 00 est un point d'inflexion. »

Ce qu'il faut écrire

« Pour f(x)=x4f(x)=x^{4}, f′′(x)=12x2f''(x)=12x^{2} s'annule en 00 mais reste POSITIVE des deux côtés : la concavité ne change pas, il n'y a pas d'inflexion. »

Pourquoi : C'est exactement la même logique qu'au piège précédent, un cran plus haut : l'annulation ne suffit pas, il faut le changement de signe.

4. Forcer une conclusion quand le test de la dérivée seconde est muet

2 points, et une conclusion qui a une chance sur deux d'être fausse

Ce qu'il ne faut pas écrire

« f′′(a)=0f''(a)=0, donc il n'y a ni maximum ni minimum en aa. »

Ce qu'il faut écrire

« f′′(a)=0f''(a)=0 : le test de la dérivée seconde ne conclut pas. Je reviens au test de la dérivée PREMIÈRE et j'étudie le signe de f′f' de part et d'autre de aa. »

Pourquoi : Muet ne veut pas dire négatif. x4x^{4} a bien un minimum en 00 alors que f′′(0)=0f''(0)=0 : le test ne dit rien, il ne dit pas non.

5. Oublier les bornes dans une recherche d'extremums absolus

2 points sur 5 dans cette question, et parfois la mauvaise réponse

Ce qu'il ne faut pas écrire

« Le seul point critique est t=33,3t=33{,}3, donc le maximum absolu y est atteint. »

Ce qu'il faut écrire

« Les candidats sont les points critiques ET les bornes : t=0t=0, t=33,3t=33{,}3 et t=100t=100. On compare R(0)=0R(0)=0, R(33,3)≈1481,5R(33{,}3)\approx 1481{,}5 et R(100)=0R(100)=0. »

Pourquoi : Sur un intervalle fermé borné, un extremum absolu peut très bien se trouver à une borne, là où la dérivée ne s'annule pas du tout.

6. Confondre maximum local et maximum absolu

1 point, et la question suivante devient fausse

Ce qu'il ne faut pas écrire

« f′′(a)<0f''(a)<0, donc aa est le maximum de la fonction. »

Ce qu'il faut écrire

« f′′(a)<0f''(a)<0 donne un maximum LOCAL. Il n'est absolu que si aucune borne du domaine ne donne une valeur plus grande, ce qu'il faut vérifier. »

Pourquoi : Le test de la dérivée seconde est une information de voisinage. Il ne regarde qu'un point et son entourage immédiat, jamais l'intervalle entier.

7. Annoncer deux asymptotes du même côté

1,5 point, et une contradiction visible sur le tracé

Ce qu'il ne faut pas écrire

« La courbe a pour asymptotes y=2y=2 et y=0,5x+3y=0{,}5x+3 en +∞+\infty. »

Ce qu'il faut écrire

« Une courbe tend vers une seule chose en +∞+\infty : soit une horizontale, soit une oblique. Ici le degré du haut dépasse de un celui du bas, donc c'est l'oblique. »

Pourquoi : Une limite est unique. Annoncer deux comportements à l'infini revient à dire que la fonction tend vers deux valeurs différentes en même temps.

8. Tracer à partir d'un tableau de valeurs

3 points sur la question de tracé, où le barème paie les éléments, pas la jolie courbe

Ce qu'il ne faut pas écrire

« J'ai calculé dix points à la calculatrice et je les ai reliés. »

Ce qu'il faut écrire

« Le tracé se déduit du tableau de variation : asymptotes en pointillé, extremums marqués, concavité respectée, puis la courbe est tirée entre ces contraintes. »

la courbe rejoint son asymptote obliqueobliqueminimum
Les deux traits se rapprochent sans jamais se toucher : l'écart entre la courbe et la droite est 40d\dfrac{40}{d}, qui tend vers 00 sans s'annuler.

Pourquoi : Dix points ne montrent ni asymptote, ni inflexion, ni extremum exact. Ils peuvent même sauter par-dessus une asymptote verticale sans que rien ne le signale.

9. Garder un point critique qui n'est pas dans le domaine

2 points, et un tableau de variation construit sur des points inexistants

Ce qu'il ne faut pas écrire

« f′f' s'annule en t=−4t=-4 et en t=12t=12, donc il y a deux extremums. »

Ce qu'il faut écrire

« Le domaine est [0 ;10][0\,;10] : ni −4-4 ni 1212 n'y appartiennent, donc aucun des deux n'est un candidat. Les seuls candidats sont les bornes. »

Pourquoi : Résoudre f′(x)=0f'(x)=0 donne les racines de la dérivée, pas les points critiques de la fonction étudiée. Il faut ensuite les filtrer par le domaine, contexte compris.

Quelle méthode choisir

Comment trancher un point critique

On a résolu f′(a)=0f'(a)=0. Reste à dire ce qui se passe en aa, et il y a quatre cas, tranchés dans cet ordre.

  • Si aa n'appartient pas au domaine → l'écarter immédiatement, ce n'est pas un candidat

    Exemple : t=−4t=-4 pour un taux qui vit sur [0 ;100][0\,;100]

  • Si f′′(a)<0f''(a)<0 → maximum LOCAL, à confirmer comme absolu en comparant aux bornes

    Exemple : R′′(33,3)=−2<0R''(33{,}3)=-2<0

  • Si f′′(a)>0f''(a)>0 → minimum LOCAL, même vérification

    Exemple : f′′(2)=1>0f''(2)=1>0 pour 4x\dfrac{4}{x}

  • Si f′′(a)=0f''(a)=0 → le test est muet : revenir au signe de f′f' de part et d'autre

    Exemple : x3x^{3} et x4x^{4} ont le même diagnostic et des conclusions opposées

    c'est la seule branche où il faut vraiment travailler, et c'est celle qui tombe

  • Si f′f' change de signe en aa → extremum local, du type indiqué par le sens du changement

    Exemple : de ++ à −- : maximum

  • Si f′f' garde le même signe autour de aa → aucun extremum, mais une inflexion à tangente horizontale

    Exemple : x3x^{3} en 00

Si l'énoncé demande un extremum ABSOLU, aucune de ces branches ne suffit à conclure seule : il faut encore évaluer la fonction aux bornes et comparer les valeurs.

Quelle asymptote chercher, selon la forme

On regarde la forme de l'expression, puis les degrés. Trois questions, trois réponses, et aucune n'exige de calcul long.

  • Si un dénominateur s'annule sans que le numérateur s'annule → asymptote VERTICALE, et le signe de chaque côté décide des deux infinis

    Exemple : 40d\dfrac{40}{d} en d=0d=0

  • Si degré du haut plus petit ou égal à celui du bas → asymptote HORIZONTALE, 00 ou le rapport des dominants

    Exemple : 6x3+x2x3−5\dfrac{6x^{3}+x}{2x^{3}-5} tend vers 33

  • Si degré du haut exactement UN de plus que celui du bas → asymptote OBLIQUE, obtenue par division

    Exemple : 40d+0,5d+2\dfrac{40}{d}+0{,}5d+2 a pour oblique y=0,5d+2y=0{,}5d+2

  • Si degré du haut supérieur de deux ou plus → aucune asymptote de ce côté, la courbe part vers l'infini sans direction limite

    Exemple : x3x=x2\dfrac{x^{3}}{x}=x^{2}

  • Si une exponentielle décroissante ou un modèle logistique → asymptote horizontale, et pour la logistique il y en a DEUX, une de chaque côté

    Exemple : y=0y=0 et y=My=M

Une même courbe peut avoir une asymptote horizontale d'un côté et une oblique de l'autre. Ce qu'elle ne peut pas avoir, ce sont deux asymptotes du même côté.

La rédaction attendue

Le correcteur coche des étapes. Les voici dans l'ordre, avec la phrase de conclusion qu'il attend mot pour mot.

Rédiger une étude complète

Quand l'utiliser : Sur la question longue de l'examen final, et chaque fois que l'énoncé demande d'étudier puis de tracer.

  1. 1 Donner le domaine, en croisant les interdits algébriques avec la contrainte de contexte.
  2. 2 Calculer les limites aux bords et à l'infini, puis NOMMER les asymptotes qui en découlent.
  3. 3 Calculer f′f', résoudre f′(x)=0f'(x)=0, FILTRER les racines par le domaine, puis étudier le signe.
  4. 4 Calculer f′′f'', résoudre f′′(x)=0f''(x)=0, étudier le signe et repérer les changements.
  5. 5 Dresser le tableau avec les deux lignes de signes et les valeurs remarquables.
  6. 6 Tracer à partir du tableau, en plaçant d'abord les asymptotes et les points remarquables.
  7. 7 Conclure par une phrase d'interprétation dans le contexte de l'énoncé.

Phrase de conclusion

« Sur [0 ;100][0\,;100], R′(t)=100−4t+0,03t2R'(t)=100-4t+0{,}03t^{2} s'annule en t=1003t=\dfrac{100}{3} et en t=100t=100. Comme R′′(1003)=−2<0R''\left(\dfrac{100}{3}\right)=-2<0, la recette est maximale pour un taux d'environ 33,333{,}3 pour cent, où elle vaut environ 1481,51481{,}5. »

Le piège : Commencer par la dérivée. Sans domaine ni limites, on ne sait pas quelles racines garder ni comment fermer le tableau, et les points perdus ne se rattrapent plus.

Barème : 1 point pour le domaine, 2 pour les limites et asymptotes, 3 pour f′f' et son signe, 2 pour f′′f'', 2 pour le tableau, 3 pour le tracé, 2 pour l'interprétation.

Rédiger une recherche d'extremums absolus

Quand l'utiliser : Dès que l'énoncé dit « sur l'intervalle », « au maximum », « la valeur la plus grande », avec un intervalle fermé et borné.

  1. 1 Vérifier que la fonction est CONTINUE sur l'intervalle fermé, et le dire : c'est ce qui garantit l'existence des extremums.
  2. 2 Lister les trois sortes de candidats : points critiques, points où ff n'est pas dérivable, et les DEUX bornes.
  3. 3 Écarter les points critiques hors de l'intervalle.
  4. 4 Évaluer la fonction en chaque candidat retenu, dans un petit tableau de valeurs.
  5. 5 Comparer les valeurs et conclure : la plus grande est le maximum absolu, la plus petite le minimum absolu.

Phrase de conclusion

« RR est un polynôme, donc continue sur [0 ;100][0\,;100]. Les candidats sont 00, 1003\dfrac{100}{3} et 100100, avec R(0)=0R(0)=0, R(1003)≈1481,5R\left(\dfrac{100}{3}\right)\approx 1481{,}5 et R(100)=0R(100)=0. Le maximum absolu vaut donc environ 1481,51481{,}5, atteint pour un taux de 33,333{,}3 pour cent, et le minimum absolu vaut 00, atteint aux deux bornes. »

Le piège : Dresser un tableau de signes au lieu de comparer des VALEURS. Pour un extremum absolu, c'est la liste des valeurs qui décide, et elle est beaucoup plus rapide.

Barème : 1 point pour la continuité, 1 point pour la liste complète des candidats, 2 points pour les valeurs, 1 point pour la conclusion.

Vérifier avant de rendre

Cinq minutes de vérification récupèrent plus de points qu'un exercice de plus commencé à la hâte.

L'exercice type décortiqué

La courbe de la recette fiscale : étude complète sur un intervalle fermé

La recette fiscale annuelle d'un territoire, en millions de dollars, est modélisée par R(t)=100t−2t2+0,01t3R(t)=100t-2t^{2}+0{,}01t^{3}, où tt est le taux d'imposition en pourcentage.

Étudier RR sur [0 ;100][0\,;100] : points critiques, nature, concavité, inflexion, extremums absolus, puis interpréter.

Étape 1

Domaine : RR est un polynôme, donc défini sur R\mathbb{R}. Le CONTEXTE impose 0≤t≤1000\le t\le 100, puisque tt est un taux en pourcentage.

Pourquoi

Le domaine mathématique et le domaine de contexte sont deux choses différentes, et c'est le second qui sert ici. Sans lui, on garderait des racines négatives.

Étape 2

Valeurs aux bornes : R(0)=0R(0)=0 et R(100)=10 000−20 000+10 000=0R(100)=10\,000-20\,000+10\,000=0.

Pourquoi

Les deux extrêmes donnent zéro, et cela a un sens : sans impôt il n'y a pas de recette, et à 100100 pour cent l'assiette disparaît. Le modèle est donc plausible.

Étape 3

R′(t)=100−4t+0,03t2R'(t)=100-4t+0{,}03t^{2}. On résout 0,03t2−4t+100=00{,}03t^{2}-4t+100=0 : le discriminant vaut 16−12=416-12=4, donc t=4±20,06t=\dfrac{4\pm 2}{0{,}06}, soit t=1003≈33,3t=\dfrac{100}{3}\approx 33{,}3 ou t=100t=100.

Pourquoi

Les deux racines sont dans l'intervalle, donc aucune n'est écartée. Vérifier leur appartenance au domaine est l'étape que la copie saute.

Étape 4

Signe de R′R' : le coefficient de t2t^{2} est positif, donc R′>0R'>0 sur [0 ;1003[\left[0\,;\dfrac{100}{3}\right[ et R′<0R'<0 sur ]1003 ;100[\left]\dfrac{100}{3}\,;100\right[. La recette croît puis décroît.

Pourquoi

Le signe se lit sur la parabole R′R', sans tester de valeurs : entre ses racines elle est négative, à l'extérieur positive.

Étape 5

R′′(t)=−4+0,06tR''(t)=-4+0{,}06t, donc R′′(1003)=−4+2=−2<0R''\left(\dfrac{100}{3}\right)=-4+2=-2<0 : le point critique t=1003t=\dfrac{100}{3} est un MAXIMUM local.

Pourquoi

Le test de la dérivée seconde est ici plus rapide que celui de la dérivée première, puisque R′′R'' est affine et se calcule de tête.

Étape 6

R′′R'' s'annule en t=2003≈66,7t=\dfrac{200}{3}\approx 66{,}7 et change de signe, de négative à positive : c'est un point d'INFLEXION.

Pourquoi

Le changement de signe est ce qui fait l'inflexion. R′′R'' étant affine et de pente non nulle, le changement est garanti dès qu'elle s'annule.

Étape 7

Extremums absolus sur [0 ;100][0\,;100] : candidats 00, 1003\dfrac{100}{3} et 100100. Valeurs : 00, environ 1481,51481{,}5 et 00.

Pourquoi

Les bornes sont des candidats à part entière. Ici elles ne gagnent pas, mais il fallait les évaluer pour pouvoir l'affirmer.

Étape 8

Interprétation : au-delà de 33,333{,}3 pour cent, augmenter le taux fait BAISSER la recette. À partir de 66,766{,}7 pour cent, la chute cesse de s'accélérer et commence à ralentir.

Pourquoi

Les deux phrases viennent de deux lignes différentes du tableau, l'une de R′R' et l'autre de R′′R''. Les fournir toutes les deux est ce que le barème d'interprétation paie.

Conclusion rédigée

« Sur [0 ;100][0\,;100], la recette croît jusqu'à t=1003≈33,3t=\dfrac{100}{3}\approx 33{,}3 pour cent, où elle atteint son maximum absolu d'environ 1481,51481{,}5 millions de dollars, puis décroît jusqu'à s'annuler en t=100t=100. Le point d'inflexion à t≈66,7t\approx 66{,}7 pour cent marque le moment où la baisse cesse de s'accélérer. Le minimum absolu, 00, est atteint aux deux bornes. »

L'erreur classique sur cet exercice : Conclure que la recette est maximale en t=100t=100 parce que c'est le plus grand taux. Le raisonnement confond la variable et la fonction : c'est RR qu'on maximise, pas tt.

À savoir par cœur

  • • Ordre d'une étude : domaine, limites, asymptotes, f′f' et son signe, f′′f'' et son signe, tableau, tracé.
  • • f′f' dit le SENS, f′′f'' dit la COURBURE. Les deux lectures sont indépendantes.
  • • f′(a)=0f'(a)=0 fait un CANDIDAT. L'extremum demande un CHANGEMENT de signe de f′f'.
  • • f′′(a)=0f''(a)=0 ne fait pas une inflexion : il faut que f′′f'' CHANGE de signe.
  • • Test de la dérivée seconde : f′′(a)<0f''(a)<0 maximum, f′′(a)>0f''(a)>0 minimum, f′′(a)=0f''(a)=0 MUET.
  • • Extremums absolus sur un fermé borné : points critiques, points non dérivables, et les BORNES.
  • • Une courbe a au plus UNE asymptote horizontale ou oblique de chaque côté.
  • • Le tracé se déduit du tableau, jamais d'un tableau de valeurs.

Questions fréquentes

Dans quel ordre faire une étude de fonction ?

Domaine, limites aux bords et à l'infini, asymptotes, dérivée première avec son signe, dérivée seconde avec son signe, tableau de variation, et tracé en dernier. Chaque étape sert à la suivante : sans le domaine on ne sait pas quelles racines garder, et sans les limites on ne sait pas comment fermer le tableau.

Une dérivée nulle signifie-t-elle toujours un extremum ?

Non. Une dérivée nulle fait seulement de ce point un candidat. Pour qu'il y ait un extremum, la dérivée doit changer de signe de part et d'autre. La fonction cube en est le contre-exemple classique : sa dérivée s'annule à l'origine mais reste positive des deux côtés, et la courbe continue de monter.

Que faire quand la dérivée seconde est nulle au point critique ?

Le test de la dérivée seconde ne conclut pas, et il ne faut surtout pas en déduire qu'il n'y a pas d'extremum. On revient au test de la dérivée première : on regarde le signe de la dérivée juste avant et juste après le point. La fonction puissance quatre a bien un minimum alors que sa dérivée seconde s'annule.

Comment reconnaître un point d'inflexion ?

La dérivée seconde doit s'annuler et changer de signe. L'annulation seule ne suffit pas : pour la fonction puissance quatre, la dérivée seconde s'annule à l'origine mais reste positive des deux côtés, donc la concavité ne change pas et il n'y a pas d'inflexion. C'est le changement qui compte, pas l'annulation.

Où chercher les extremums absolus sur un intervalle fermé ?

En trois endroits seulement : les points où la dérivée s'annule, les points où la fonction n'est pas dérivable, et les deux bornes de l'intervalle. On évalue la fonction en chacun de ces candidats et on compare les valeurs. Les bornes sont l'oubli le plus fréquent, et elles gagnent plus souvent qu'on ne croit.

Quand une courbe a-t-elle une asymptote oblique ?

Quand le degré du numérateur dépasse d'exactement un celui du dénominateur. On obtient alors l'équation de l'asymptote par division, et l'écart entre la courbe et la droite tend vers zéro sans jamais s'annuler. Une courbe ne peut pas avoir à la fois une asymptote horizontale et une asymptote oblique du même côté.

Passer à la pratique

Exercices corrigés : L'étude complète de fonction

Une méthode se prouve sur une copie, pas sur une fiche. La série du même chapitre reprend chacun de ces pièges dans un exercice, avec le corrigé rédigé étape par étape.

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L'optimisation appliquée

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