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Calcul différentiel 201-103 • Sciences humaines au cégep à Montréal

Fiche de révision : la différentielle et l'approximation (201-103)

C'est le chapitre le plus concret du cours : il répond à la question que tout le monde se pose devant un chiffre publié, à savoir jusqu'où on peut le prendre au sérieux. Un taux de chômage qui bouge de 0,20{,}2 point avec une marge de 0,50{,}5 point ne bouge pas, et le dire vaut des points.

Cette fiche donne la différentielle et la linéarisation, l'erreur qu'elles commettent et son signe, les règles de propagation des incertitudes, et les huit erreurs que les copies de 201-103 répètent chaque session.

Le fil du chapitre

La différentielle avance le long de la TANGENTE, la réalité avance le long de la COURBE : tout le chapitre consiste à savoir de combien les deux s'écartent, et à partir de quel pas cet écart cesse d'être négligeable.

Ce chapitre fait partie de Calcul différentiel 201-103 en sciences humaines : tous les chapitres

Avant ce chapitre

Cette fiche suppose ces notions acquises. Si une méthode ci-dessous reste opaque, c'est presque toujours l'une d'elles qui manque, pas la fiche.

Remonter plus loin : la chaîne complète (7 chapitres) ↓

Le chemin de remédiation, du plus ancien au plus proche. Un élève qui reprend ce chapitre de zéro le reprend dans cet ordre.

  1. 1Calculs algébriquesSecondaire 5 SN5
  2. 2Les fonctions définies par partiesSecondaire 5 SN5
  3. 3La fonction rationnelle, dite homographiqueSecondaire 5 SN5
  4. 4Les opérations sur les fonctionsSecondaire 5 SN5
  5. 5Les fonctions et leur domaine
  6. 6Les limites et la continuité
  7. 7La dérivée et les règles de dérivation

L'essentiel

Deux façons d'avancer : la tangente et la courbe

  • • dy=f′(a) dxdy=f'(a)\,dx est la variation le long de la TANGENTE. C'est une prévision.
  • • Δy=f(a+dx)−f(a)\Delta y=f(a+dx)-f(a) est la variation réelle, le long de la COURBE. C'est la vérité.
  • • LINÉARISATION : L(x)=f(a)+f′(a)(x−a)L(x)=f(a)+f'(a)(x-a). C'est l'équation de la tangente, et rien d'autre.
  • • L'erreur commise vaut environ 12 ∣f′′(a)∣ (Δx)2\dfrac{1}{2}\,|f''(a)|\,(\Delta x)^{2} : elle croît comme le CARRÉ du pas, donc doubler le pas quadruple l'erreur.
  • • Une linéarisation ne voit ni maximum, ni plafond, ni retournement : la courbure est exactement ce qu'elle ignore.
l'écart entre les deux grandit avec le pasla courbela tangentedx
Les deux points ronds de droite sont à la même abscisse : le plus haut est f(a+dx)f(a+dx) sur la courbe, le plus bas est la prévision f(a)+dyf(a)+dy sur la tangente.

Sur un petit pas, dydy et Δy\Delta y sont presque égaux et l'approximation est excellente. Le mot « petit » n'a de sens que rapporté à la courbure, jamais dans l'absolu.

Le signe de f′′f'' dit d'avance de quel côté on se trompe

  • • f′′>0f''>0, courbe convexe : la tangente passe SOUS la courbe, donc dydy SOUS-ESTIME la variation réelle.
  • • f′′<0f''<0, courbe concave : la tangente passe AU-DESSUS, donc dydy SURESTIME.
  • • Ce n'est pas une remarque théorique : elle permet d'annoncer le sens de l'erreur sans calculer la valeur exacte.
  • • En contexte, une fonction de coût convexe fait toujours sous-estimer le coût supplémentaire, et un rendement décroissant fait toujours surestimer le gain.

Le sens de l'erreur se dit en une phrase et vaut souvent un point entier : « comme f′′<0f''<0, cette estimation est un majorant de la hausse réelle ».

Comment les erreurs se propagent

  • • Produit : dRR=dpp+dqq\dfrac{dR}{R}=\dfrac{dp}{p}+\dfrac{dq}{q}. Les erreurs relatives s'AJOUTENT.
  • • Puissance : une puissance MULTIPLIE l'erreur relative par son exposant. Une erreur de 11 pour cent sur rr en fait 33 sur r3r^{3}.
  • • Quotient : les VARIATIONS se soustraient, mais les INCERTITUDES s'additionnent en valeur absolue. Le pire cas ne se compense jamais.
  • • Marge sur un taux UA\dfrac{U}{A} : ∣du∣≤∣dU∣A+U ∣dA∣A2|du|\le\dfrac{|dU|}{A}+\dfrac{U\,|dA|}{A^{2}}.
  • • On ne commente JAMAIS une variation inférieure à la marge d'incertitude, et tout taux publié va avec sa marge.

L'effort de mesure va à la variable dont l'exposant multiplié par la précision relative est le plus grand, jamais à celle dont la valeur est la plus grande.

Les règles de calcul en tableau

Chaque ligne se lit de gauche à droite : les hypothèses, puis le résultat. Une case rouge n'est pas une réponse, c'est le constat que la forme ne décide rien et l'ordre de transformer l'écriture. Chaque cas est suivi d'un exemple chiffré.

Quelle formule, selon la forme de l'indicateur

La dernière colonne dit ce que deviennent les erreurs. La case rouge est la compensation que tout le monde espère et qui n'a jamais lieu.

IndicateurCe qu'on écritCe que deviennent les erreurs
R=pqR=pq dpp+dqq\dfrac{dp}{p}+\dfrac{dq}{q} elles s'AJOUTENT

Exemple : 22 pour cent sur le prix et 33 pour cent sur la quantité donnent 55 pour cent sur le chiffre d'affaires.

W=SIW=\dfrac{S}{I}, variations S′S−I′I\dfrac{S'}{S}-\dfrac{I'}{I} elles se SOUSTRAIENT

Exemple : Un salaire qui monte de 22 pour cent avec une inflation de 33 pour cent donne −1-1 pour cent de salaire réel.

W=SIW=\dfrac{S}{I}, incertitudes ∣dSS∣+∣dII∣\left|\dfrac{dS}{S}\right|+\left|\dfrac{dI}{I}\right| elles s'AJOUTENT

Exemple : Des marges de 0,30{,}3 et 0,40{,}4 pour cent donnent une marge de 0,70{,}7 pour cent sur le salaire réel.

A=r3A=r^{3} 3 drr3\,\dfrac{dr}{r} l'exposant MULTIPLIE

Exemple : Une erreur de 11 pour cent sur rr en fait 33 pour cent sur AA.

erreur de linéarisation 12∣f′′(a)∣(Δx)2\dfrac{1}{2}|f''(a)|(\Delta x)^{2} elle croît comme le CARRÉ

Exemple : Avec ∣f′′∣=0,4|f''|=0{,}4 : un pas de 0,50{,}5 donne 0,050{,}05, un pas de 11 donne 0,200{,}20.

incertitudes d'un quotient, soustraites la compensation n'existe pas règle inexistante

Exemple : Avec 0,30{,}3 et 0,40{,}4 pour cent, la vraie marge est 0,70{,}7 pour cent, pas 0,10{,}1 pour cent.

Ce qu'il faut faire : Additionner les valeurs absolues : une incertitude n'a pas de signe connu, donc rien ne garantit qu'elle s'annule.

Les lignes 2 et 3 portent sur le MÊME indicateur et donnent des règles opposées. C'est la distinction la plus payante du chapitre : une variation a un signe, une incertitude n'en a pas.

Les pièges qui coûtent des points

Les erreurs ci-dessous sont celles que je corrige le plus souvent en séance. Chacune coûte des points sur une copie, même quand le raisonnement est juste.

1. Confondre la différentielle et l'accroissement réel

1,5 point, et une prévision fausse dans le mauvais sens

Ce qu'il ne faut pas écrire

« dy=f′(a) dxdy=f'(a)\,dx, donc la fonction augmente exactement de 2,72{,}7. »

Ce qu'il faut écrire

« dy=2,7dy=2{,}7 est la variation le long de la TANGENTE. La variation réelle est Δy=f(6)−f(3)=4,05\Delta y=f(6)-f(3)=4{,}05 : l'approximation sous-estime de 1,351{,}35. »

Pourquoi : La différentielle est une prévision linéaire, pas un résultat. Les deux coïncident presque sur un petit pas et divergent vite sur un grand.

2. Ne pas dire de quel côté l'approximation se trompe

1 point, systématiquement demandé en question de raisonnement

Ce qu'il ne faut pas écrire

« L'approximation linéaire donne 51 48051\,480 dollars, à peu près la bonne valeur. »

Ce qu'il faut écrire

« Comme f′′<0f''<0 sur cet intervalle, la tangente passe au-dessus de la courbe : 51 48051\,480 dollars est une SURESTIMATION de la valeur réelle. »

tangente sous la courbetangente au-dessuson sous-estimeon surestime
À gauche la courbe est convexe et la droite reste en dessous ; à droite elle est concave et la droite passe au-dessus. Le signe de f′′f'' suffit donc à annoncer le sens de l'erreur.

Pourquoi : Le signe de la dérivée seconde donne le sens de l'erreur gratuitement, sans aucun calcul supplémentaire. Ne pas l'exploiter, c'est laisser un point.

3. Prolonger une linéarisation trop loin

2 points d'interprétation, et une réponse absurde en pourcentage

Ce qu'il ne faut pas écrire

« Le modèle croît de 22 points par année, donc dans dix ans le taux d'adoption atteindra 125125 pour cent. »

Ce qu'il faut écrire

« La linéarisation est locale. Le modèle a un plafond à 100100 pour cent, que la tangente ignore complètement : au-delà de deux ou trois ans, la prévision n'a plus de sens. »

la tangente ignore le plafondplafond
Les deux traits partent du même point et se séparent très vite : la courbe s'aplatit sous la ligne pointillée, la droite la traverse sans rien remarquer.

Pourquoi : Une droite n'a ni plafond ni retournement. La courbure est exactement l'information que la linéarisation jette, donc tout ce que la courbure décide lui échappe.

4. Soustraire les incertitudes d'un quotient

2 points, et une conclusion présentée comme certaine alors qu'elle ne l'est pas

Ce qu'il ne faut pas écrire

« Le salaire est connu à 0,30{,}3 pour cent près et l'indice à 0,40{,}4 pour cent près, donc le salaire réel l'est à 0,10{,}1 pour cent près. »

Ce qu'il faut écrire

« Les incertitudes s'ADDITIONNENT en valeur absolue : la marge sur le salaire réel est 0,3+0,4=0,70{,}3+0{,}4=0{,}7 pour cent. »

Pourquoi : Une variation a un signe connu, une incertitude n'en a pas. Rien ne garantit que les deux erreurs aillent dans le même sens, donc on retient le pire cas.

5. Oublier que l'exposant multiplie l'erreur relative

1,5 point, et une marge annoncée deux fois trop petite

Ce qu'il ne faut pas écrire

« Le rayon de la zone urbanisée est connu à 22 pour cent près, donc sa superficie aussi. »

Ce qu'il faut écrire

« La superficie varie comme le CARRÉ du rayon, donc son erreur relative est 2×2=42\times 2=4 pour cent. »

Pourquoi : En dérivant ln⁡A=2ln⁡r\ln A=2\ln r, on obtient dAA=2 drr\dfrac{dA}{A}=2\,\dfrac{dr}{r}. L'exposant sort en facteur, et il sort aussi pour un exposant fractionnaire ou négatif.

6. Commenter une variation plus petite que la marge

2 points d'interprétation, et c'est la question de commentaire attendue

Ce qu'il ne faut pas écrire

« Le taux de chômage est passé de 5,45{,}4 à 5,25{,}2 pour cent : le marché du travail s'améliore. »

Ce qu'il faut écrire

« La baisse de 0,20{,}2 point est inférieure à la marge de 0,50{,}5 point : cette variation n'est pas significative, et on ne peut rien en conclure. »

Pourquoi : C'est le point de méthode propre aux Sciences humaines. Un chiffre sans sa marge n'est pas un résultat, et une variation sous la marge n'est pas une variation.

7. Investir l'effort de mesure sur la plus grosse valeur

2 points, et un plan de collecte de données inefficace

Ce qu'il ne faut pas écrire

« La population est le plus gros nombre du calcul, donc c'est elle qu'il faut mesurer le plus précisément. »

Ce qu'il faut écrire

« On compare les produits exposant fois précision relative : c'est la variable dont ce produit est le plus grand qui mérite l'effort, quelle que soit sa taille. »

Pourquoi : Dans l'erreur relative totale, seule compte la contribution de chaque variable, c'est-à-dire son exposant multiplié par sa propre précision relative. La valeur brute n'y apparaît nulle part.

8. Confondre hausse nominale et hausse réelle

2 points, et une conclusion de signe inversé

Ce qu'il ne faut pas écrire

« Le salaire a augmenté de 22 pour cent, donc le pouvoir d'achat aussi. »

Ce qu'il faut écrire

« Avec une inflation de 33 pour cent, le salaire RÉEL varie de 2−3=−12-3=-1 pour cent : le pouvoir d'achat baisse malgré la hausse nominale. »

Pourquoi : Le salaire réel est un quotient, W=100 SIW=\dfrac{100\,S}{I}, donc son taux relatif est la DIFFÉRENCE des deux. Une hausse sous l'inflation est une baisse.

9. Traiter la linéarisation comme une nouvelle formule à retenir

aucun point directement, mais une formule de plus à retenir et à confondre

Ce qu'il ne faut pas écrire

« Il faut apprendre la formule de la linéarisation en plus de celle de la tangente. »

Ce qu'il faut écrire

« L(x)=f(a)+f′(a)(x−a)L(x)=f(a)+f'(a)(x-a) EST l'équation de la tangente. Un seul objet, deux noms selon l'usage qu'on en fait. »

Pourquoi : La confusion coûte du temps en examen et pousse à chercher une formule là où il suffit d'écrire la tangente, qui a déjà été vue au chapitre de la dérivée.

Quelle méthode choisir

Quelle formule écrire, selon ce que demande l'énoncé

Quatre questions seulement dans ce chapitre, et chacune a sa formule. Le verbe de l'énoncé les distingue sans ambiguïté.

  • Si « estimer », « approximer », « sans calculatrice » → linéarisation L(x)=f(a)+f′(a)(x−a)L(x)=f(a)+f'(a)(x-a), avec aa voisin et commode

    Exemple : estimer 101\sqrt{101} à partir de a=100a=100

  • Si « de combien varie », « quel effet aurait une hausse de » → différentielle dy=f′(a) dxdy=f'(a)\,dx

    Exemple : dy=0,9×3=2,7dy=0{,}9\times 3=2{,}7

  • Si « quelle erreur commet-on », « l'approximation est-elle bonne » → 12∣f′′(a)∣(Δx)2\dfrac{1}{2}|f''(a)|(\Delta x)^{2}, puis comparer à l'ordre de grandeur du résultat

    Exemple : 0,5×0,4×12=0,200{,}5\times 0{,}4\times 1^{2}=0{,}20

  • Si « avec quelle marge », « peut-on conclure que » → propagation des incertitudes, en VALEURS ABSOLUES additionnées

    Exemple : 0,3+0,4=0,70{,}3+0{,}4=0{,}7 pour cent

  • Si « quelle précision faut-il exiger sur » → problème inverse : répartir la cible entre les variables, chacune pondérée par son exposant

    Exemple : pour 11 pour cent sur r3r^{3}, il faut 0,330{,}33 pour cent sur rr

    c'est la question la plus difficile du chapitre, et elle tombe souvent en dernier

Les deux premières branches donnent le même calcul et se distinguent par la présentation : l'une répond par une valeur, l'autre par une variation. Lire le verbe évite de répondre à côté.

Cette approximation est-elle acceptable

Trois contrôles, à faire dans cet ordre, avant de livrer une valeur approchée.

  • Si le pas est petit devant l'échelle du phénomène → l'approximation est bonne, et l'erreur est d'ordre (Δx)2(\Delta x)^{2}

    Exemple : prévoir un an à partir d'un modèle ajusté sur dix

  • Si le pas est grand, ou la courbure forte → l'erreur devient visible : la chiffrer avant de conclure

    Exemple : doubler le pas quadruple l'erreur

  • Si la fonction a un plafond, un maximum ou un retournement dans l'intervalle → la linéarisation est INUTILISABLE, quelle que soit la taille du pas

    Exemple : une logistique prolongée au-delà de son inflexion

  • Si la variation prévue est plus petite que la marge d'incertitude → ne rien conclure, et le DIRE explicitement

    Exemple : 0,20{,}2 point de baisse pour une marge de 0,50{,}5

  • Si l'énoncé demande un encadrement plutôt qu'une valeur → donner la valeur ET le sens de l'erreur, tiré du signe de f′′f''

    Exemple : « surestimation, car f′′<0f''<0 »

Une approximation livrée sans son domaine de validité perd la moitié de ses points en Sciences humaines, même quand le nombre est juste.

La rédaction attendue

Le correcteur coche des étapes. Les voici dans l'ordre, avec la phrase de conclusion qu'il attend mot pour mot.

Rédiger une approximation linéaire

Quand l'utiliser : Dès que l'énoncé demande d'estimer une valeur voisine, de prévoir un effet, ou de calculer sans machine.

  1. 1 Choisir le point aa : voisin de la valeur cherchée, et commode à calculer.
  2. 2 Calculer f(a)f(a) et f′(a)f'(a), en le disant.
  3. 3 Écrire la linéarisation L(x)=f(a)+f′(a)(x−a)L(x)=f(a)+f'(a)(x-a), en nommant qu'il s'agit de la tangente.
  4. 4 Remplacer et donner la valeur approchée avec ses unités.
  5. 5 Donner le SENS de l'erreur à partir du signe de f′′(a)f''(a), et une idée de sa taille.

Phrase de conclusion

« Prenons a=3a=3. Alors f(3)=2,35f(3)=2{,}35 et f′(3)=0,9f'(3)=0{,}9, donc L(x)=2,35+0,9(x−3)L(x)=2{,}35+0{,}9(x-3) et L(6)=5,05L(6)=5{,}05. Comme f′′>0f''>0, la tangente passe sous la courbe : 5,055{,}05 SOUS-ESTIME la valeur réelle, qui vaut 6,406{,}40. »

Le piège : Donner la valeur approchée sans dire dans quel sens elle se trompe. Le signe de f′′f'' est déjà connu et la phrase tient en dix mots.

Barème : 1 point pour le choix de aa, 1 point pour f(a)f(a) et f′(a)f'(a), 1 point pour la linéarisation, 1 point pour le sens de l'erreur.

Rédiger une marge sur un indicateur

Quand l'utiliser : Dès que l'énoncé fournit des précisions de mesure, ou demande si une variation observée est significative.

  1. 1 Écrire l'indicateur sous forme de produit ou de quotient, et dire lequel.
  2. 2 Écrire la relation des erreurs RELATIVES, en valeurs absolues additionnées, quelle que soit l'opération.
  3. 3 Remplacer les précisions données et obtenir la marge relative.
  4. 4 Convertir en marge absolue si l'énoncé le demande, en multipliant par la valeur de l'indicateur.
  5. 5 Comparer la variation observée à la marge, et conclure explicitement sur la significativité.

Phrase de conclusion

« Le salaire réel est le quotient W=100 SIW=\dfrac{100\,S}{I}. Ses incertitudes s'additionnent : ∣dWW∣≤0,3+0,4=0,7\left|\dfrac{dW}{W}\right|\le 0{,}3+0{,}4=0{,}7 pour cent. La baisse calculée de 11 pour cent dépasse cette marge : elle est significative. »

Le piège : Soustraire les incertitudes parce que l'indicateur est un quotient. Les VARIATIONS se soustraient, les INCERTITUDES s'additionnent, et c'est exactement ce que la question teste.

Barème : 1 point pour la forme de l'indicateur, 1 point pour la règle d'addition, 1 point pour la marge, 1 point pour la conclusion de significativité.

Vérifier avant de rendre

Cinq minutes de vérification récupèrent plus de points qu'un exercice de plus commencé à la hâte.

L'exercice type décortiqué

Salaire nominal, indice des prix et pouvoir d'achat

Un salaire annuel est de 52 00052\,000 dollars et augmente de 2,02{,}0 pour cent. Pendant la même période, l'indice des prix passe de 100100 à 103103.

Le salaire réel est W=100 SIW=\dfrac{100\,S}{I}. Calculer sa variation relative par approximation puis exactement, et dire si la conclusion résiste à des marges de 0,30{,}3 pour cent sur le salaire et de 0,40{,}4 pour cent sur l'indice.

Étape 1

Le salaire réel est un QUOTIENT : W=100 SIW=\dfrac{100\,S}{I}, avec SS le salaire nominal et II l'indice des prix.

Pourquoi

Nommer la forme de l'indicateur décide de tout le reste : pour un quotient, les variations se soustraient et les incertitudes s'additionnent.

Étape 2

Variations : dWW=dSS−dII=2,0−3,0=−1,0\dfrac{dW}{W}=\dfrac{dS}{S}-\dfrac{dI}{I}=2{,}0-3{,}0=-1{,}0 pour cent.

Pourquoi

La règle des taux relatifs donne la réponse en une ligne, sans jamais calculer la valeur de WW. C'est la voie attendue en Sciences humaines.

Étape 3

Valeur exacte : SS devient 52 000×1,02=53 04052\,000\times 1{,}02=53\,040 dollars, et WW passe de 52 00052\,000 à 100×53 040103≈51 495\dfrac{100\times 53\,040}{103}\approx 51\,495 dollars.

Pourquoi

Le calcul exact sert de contrôle. Il n'est pas toujours demandé, mais il est toujours possible quand les deux valeurs sont fournies.

Étape 4

Variation exacte : 51 495−52 00052 000≈−0,97\dfrac{51\,495-52\,000}{52\,000}\approx -0{,}97 pour cent, contre −1,00-1{,}00 pour cent par approximation.

Pourquoi

L'écart de 0,030{,}03 point est l'erreur de linéarisation. Elle est petite parce que les variations le sont : c'est exactement la condition de validité de la méthode.

Étape 5

Sens de l'erreur : l'approximation annonce une baisse un peu plus forte que la réalité, donc elle SURESTIME la perte de pouvoir d'achat.

Pourquoi

Dire le sens de l'écart, et pas seulement sa taille, est ce qui distingue une réponse complète d'un nombre posé sur la copie.

Étape 6

Marges : ce sont des INCERTITUDES, donc elles s'additionnent en valeur absolue. ∣dWW∣≤0,3+0,4=0,7\left|\dfrac{dW}{W}\right|\le 0{,}3+0{,}4=0{,}7 pour cent.

Pourquoi

C'est l'étape où la copie se trompe : le quotient a soustrait les variations deux lignes plus haut, et il additionne maintenant les incertitudes. Les deux règles cohabitent.

Étape 7

Comparaison : la baisse de 1,01{,}0 pour cent dépasse la marge de 0,70{,}7 pour cent.

Pourquoi

Sans cette comparaison, la conclusion n'a aucune valeur. Avec elle, elle devient une affirmation défendable.

Étape 8

Conclusion en mots : le pouvoir d'achat a bel et bien baissé, d'environ 11 pour cent, et cette baisse est significative compte tenu des marges.

Pourquoi

La phrase finale doit contenir le sens, l'ordre de grandeur et la significativité. Les trois valent des points séparément.

Conclusion rédigée

« dWW=2,0−3,0=−1,0\dfrac{dW}{W}=2{,}0-3{,}0=-1{,}0 pour cent, et le calcul exact donne −0,97-0{,}97 pour cent. Comme la marge combinée vaut 0,3+0,4=0,70{,}3+0{,}4=0{,}7 pour cent, inférieure à la baisse observée, on peut conclure : malgré une hausse nominale de 22 pour cent, le pouvoir d'achat a diminué d'environ 11 pour cent. »

L'erreur classique sur cet exercice : Soustraire les marges parce que l'indicateur est un quotient. On obtiendrait 0,10{,}1 pour cent, une précision sept fois trop optimiste, et la conclusion serait présentée comme bien plus solide qu'elle ne l'est.

À savoir par cœur

  • • dy=f′(a) dxdy=f'(a)\,dx suit la TANGENTE ; Δy=f(a+dx)−f(a)\Delta y=f(a+dx)-f(a) suit la COURBE.
  • • L(x)=f(a)+f′(a)(x−a)L(x)=f(a)+f'(a)(x-a) EST l'équation de la tangente, ce n'est pas une formule de plus.
  • • L'erreur de linéarisation vaut environ 12∣f′′(a)∣(Δx)2\dfrac{1}{2}|f''(a)|(\Delta x)^{2} : elle croît comme le CARRÉ du pas.
  • • f′′>0f''>0 fait SOUS-estimer, f′′<0f''<0 fait SURestimer. Le signe suffit, sans calcul.
  • • Erreurs relatives d'un produit : elles s'AJOUTENT. Une puissance les MULTIPLIE par son exposant.
  • • Pour un quotient, les VARIATIONS se soustraient mais les INCERTITUDES s'additionnent.
  • • On ne commente jamais une variation plus petite que la marge d'incertitude.
  • • L'effort de mesure va au plus grand produit exposant fois précision relative, jamais à la plus grosse valeur.

Questions fréquentes

Quelle différence entre la différentielle et l'accroissement réel ?

La différentielle est la variation le long de la tangente, c'est-à-dire une prévision faite en supposant que la pente reste constante. L'accroissement réel est la variation le long de la courbe, c'est-à-dire ce qui se passe vraiment. Les deux sont presque égaux sur un petit pas et s'écartent d'autant plus vite que le pas grandit et que la courbe est incurvée.

Comment savoir si une approximation linéaire surestime ou sous-estime ?

On regarde le signe de la dérivée seconde. Si elle est positive, la courbe est convexe, la tangente passe en dessous, et l'approximation sous-estime. Si elle est négative, la courbe est concave, la tangente passe au-dessus, et l'approximation surestime. Ce contrôle ne demande aucun calcul supplémentaire et vaut souvent un point.

Pourquoi les incertitudes s'additionnent-elles même pour un quotient ?

Parce qu'une incertitude n'a pas de signe connu. Une variation, elle, en a un, et c'est pour cela qu'elle se soustrait dans un quotient. Avec des incertitudes, rien ne garantit que les deux erreurs aillent dans des sens opposés, donc on retient le pire cas et on additionne les valeurs absolues.

Comment une hausse de salaire peut-elle être une baisse ?

Quand elle est inférieure à l'inflation. Le salaire réel est le salaire nominal divisé par l'indice des prix, donc son taux de variation est la différence des deux taux. Un salaire qui progresse de deux pour cent pendant que les prix progressent de trois pour cent correspond à une perte de pouvoir d'achat d'environ un pour cent.

À partir de quand une variation est-elle significative ?

Quand elle dépasse la marge d'incertitude de l'indicateur. Si un taux de chômage baisse de deux dixièmes de point alors que la marge est d'un demi-point, la baisse n'est pas significative et la seule conclusion honnête est qu'on ne peut rien conclure. Tout chiffre publié devrait être accompagné de sa marge.

Sur quelle variable faut-il investir l'effort de mesure ?

Sur celle dont l'exposant multiplié par la précision relative est le plus grand, pas sur celle dont la valeur est la plus grande. Une variable élevée au cube triple son erreur relative dans le résultat, donc la mesurer deux fois mieux rapporte trois fois plus qu'améliorer une variable qui n'intervient qu'à la puissance un.

Passer à la pratique

Exercices corrigés : La différentielle et l'approximation

Une méthode se prouve sur une copie, pas sur une fiche. La série du même chapitre reprend chacun de ces pièges dans un exercice, avec le corrigé rédigé étape par étape.

  • 10 exercices corrigés
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