Exercices corrigés : l'optimisation appliquée (201-103)

La contrainte est $x+y=500$, où $y$ est la part du traitement ; la fonction objectif est le nombre de cas évités, $E=40\sqrt{x}+30\sqrt{y}$, à MAXIMISER. Les cinq étapes : nommer les variables, écrire la contrainte, écrire l'objectif, substituer pour n'avoir qu'une variable, puis dériver et comparer avec les bornes. La contrainte sert uniquement à éliminer une variable, et c'est son seul rôle.

En substituant $y=500-x$, on obtient $E(x)=40\sqrt{x}+30\sqrt{500-x}$. Les deux racines exigent $x\ge 0$ et $500-x\ge 0$, donc le domaine est $[0\,;500]$. C'est un intervalle FERMÉ et BORNÉ, donc le maximum existe et se trouve parmi les points critiques et les deux bornes.

$E'(x)=\dfrac{40}{2\sqrt{x}}-\dfrac{30}{2\sqrt{500-x}}=\dfrac{20}{\sqrt{x}}-\dfrac{15}{\sqrt{500-x}}$, le signe moins venant de la dérivée de $500-x$. On annule : $\dfrac{20}{\sqrt{x}}=\dfrac{15}{\sqrt{500-x}}$, donc $20\sqrt{500-x}=15\sqrt{x}$. En élevant au carré : $400\,(500-x)=225x$, soit $200\,000=625x$ et $x=320$. La part du traitement vaut alors $180$.

$E(320)=40\sqrt{320}+30\sqrt{180}$. Comme $\sqrt{320}=8\sqrt{5}$ et $\sqrt{180}=6\sqrt{5}$, on obtient $E(320)=320\sqrt{5}+180\sqrt{5}=500\sqrt{5}\approx 1\,118{,}0$ cas évités. La forme exacte $500\sqrt{5}$ vaut d'être écrite : elle montre que le maximum ne dépend que du budget total et des deux coefficients, et elle évite toute erreur d'arrondi.

$E(0)=30\sqrt{500}\approx 670{,}8$ cas évités, et $E(500)=40\sqrt{500}\approx 894{,}4$. Les deux bornes sont nettement inférieures à $1\,118$, donc le point critique est bien le maximum ABSOLU. Lecture de gestion : tout mettre en prévention, ce que le coefficient 40 pourrait suggérer, ferait perdre plus de deux cents cas évités par rapport au partage 320 contre 180. C'est la conséquence des rendements décroissants de chaque racine carrée, et c'est l'argument quantitatif contre les politiques à une seule jambe.

Le domaine mathématique est $]0\,;+\infty[$, et le domaine réel est celui des entiers strictement positifs, point sur lequel l'exercice 6 reviendra. Le terme $4\,200g$ est le coût de STRUCTURE : loyers, personnel, équipement, il croît avec le nombre de points. Le terme $\dfrac{205\,800}{g}$ est le coût d'ACCÈS : plus il y a de points, moins les usagers se déplacent loin, donc il décroît.

$C(g)=4\,200g+205\,800\,g^{-1}$, donc $C'(g)=4\,200-\dfrac{205\,800}{g^{2}}$. On annule : $g^{2}=\dfrac{205\,800}{4\,200}=49$, donc $g=7$, la racine négative étant hors domaine.

$C''(g)=\dfrac{2\times 205\,800}{g^{3}}=\dfrac{411\,600}{g^{3}}$, strictement positive sur le domaine. La courbe est donc convexe partout, et le point critique est un minimum ABSOLU, pas seulement local.

$C(7)=4\,200\times 7+\dfrac{205\,800}{7}=29\,400+29\,400=58\,800$ dollars par mois. Les deux termes sont ÉGAUX au minimum, ce qui est une propriété générale de la forme $ag+\dfrac{b}{g}$ : en annulant $a-\dfrac{b}{g^{2}}$ on obtient $ag=\dfrac{b}{g}$. C'est un contrôle de copie gratuit, et un résultat que les gestionnaires connaissent sous la forme « à l'optimum, le coût de structure égale le coût d'accès ».

$C(4)=16\,800+51\,450=68\,250$ dollars et $C(12)=50\,400+17\,150=67\,550$ dollars. S'écarter de trois points dans un sens ou de cinq dans l'autre coûte moins de 10 000 dollars par mois, soit environ 16 % : la courbe est PLATE autour de son minimum, comme toutes les courbes de ce type. La conséquence pratique est la même qu'au chapitre précédent : la bonne recommandation est une plage, ici de 5 à 10 points de service, et un débat sur le septième point contre le huitième ne porte sur presque rien.

Le terme $12\,000$ est le coût FIXE : conception du questionnaire, plan d'échantillonnage, analyse, il est payé quel que soit $n$. Le terme $9n$ est le coût de COLLECTE, neuf dollars par répondant. Le terme $\dfrac{486\,000}{\sqrt{n}}$ chiffre le coût de l'IMPRÉCISION : il décroît en $\sqrt{n}$ parce que la marge d'erreur d'un sondage décroît elle-même en $\dfrac{1}{\sqrt{n}}$, et c'est cette racine qui donne au problème toute sa forme.

On réécrit $C(n)=12\,000+9n+486\,000\,n^{-1/2}$, donc $C'(n)=9-\dfrac{486\,000}{2}\,n^{-3/2}=9-\dfrac{243\,000}{n^{3/2}}$, en dollars par répondant.

$9=\dfrac{243\,000}{n^{3/2}}$ donne $n^{3/2}=\dfrac{243\,000}{9}=27\,000$, donc $n=27\,000^{2/3}$. Comme $27\,000=30^{3}$, on a $n^{3/2}=30^{3}$ et $n=30^{2}=900$ répondants. Passer par les puissances de 30 évite toute calculatrice, et c'est le genre de vérification qu'un correcteur remarque.

$C(900)=12\,000+9\times 900+\dfrac{486\,000}{30}=12\,000+8\,100+16\,200=36\,300$ dollars. Le coût de l'imprécision, $16\,200$ dollars, reste le poste le plus lourd, et il vaut exactement DEUX FOIS le coût de collecte : c'est la signature de l'exposant $\dfrac{1}{2}$, comme les deux termes égaux de l'exercice 2 étaient celle de l'exposant 1.

$C''(n)=\dfrac{3}{2}\times\dfrac{243\,000}{n^{5/2}}>0$ sur le domaine, donc la courbe est convexe et $n=900$ est bien un minimum absolu. Comparaisons : $C(400)=12\,000+3\,600+\dfrac{486\,000}{20}=12\,000+3\,600+24\,300=39\,900$ dollars, et $C(1\,600)=12\,000+14\,400+\dfrac{486\,000}{40}=12\,000+14\,400+12\,150=38\,550$ dollars. Diviser l'échantillon par plus de deux ou le multiplier par près de deux coûte donc entre deux et dix pour cent de plus : la plage raisonnable va d'environ 600 à 1 400 répondants, et c'est elle qu'un devis doit proposer, avec la fourchette de coût qui va avec.

$N(d)=1\,600\,d^{1/2}-200d$, donc $N'(d)=800\,d^{-1/2}-200=\dfrac{800}{\sqrt{d}}-200$ dollars par jour.

$\dfrac{800}{\sqrt{d}}=200$ donne $\sqrt{d}=4$, donc $d=16$ jours. Le point critique est unique sur le domaine $]0\,;+\infty[$.

$N(16)=1\,600\times 4-200\times 16=6\,400-3\,200=3\,200$ dollars par employé. Le gain brut vaut $6\,400$ dollars et le coût $3\,200$ : à l'optimum, le coût représente exactement la MOITIÉ du gain brut, ce qui est encore une signature de l'exposant $\dfrac{1}{2}$.

$1\,600\sqrt{d}\ge 200d$ équivaut à $8\sqrt{d}\ge d$, c'est-à-dire, en divisant par $\sqrt{d}>0$, à $8\ge\sqrt{d}$, donc $d\le 64$. La formation reste rentable sur $]0\,;64]$ jours, et au-delà elle coûte plus qu'elle ne rapporte. C'est aussi ce que montre la figure, qui redescend jusqu'à zéro en $d=64$.

Doubler la durée ne double pas l'effet, parce que le gain suit une RACINE : passer de 16 à 32 jours multiplie le gain brut par $\sqrt{2}\approx 1{,}41$ et non par 2, alors que le coût, lui, double exactement. Le calcul donne $N(32)=1\,600\sqrt{32}-6\,400\approx 9\,051-6\,400=2\,651$ dollars, soit 549 dollars de MOINS qu'avec seize jours. La proposition fait donc perdre de l'argent tout en immobilisant deux fois plus de temps de travail. La règle générale, valable pour toute activité à rendements décroissants : on augmente l'effort tant que le gain MARGINAL dépasse le coût marginal, ici tant que $\dfrac{800}{\sqrt{d}}>200$, et pas une heure de plus.

$P'(n)=-0{,}04n+24$, en milliers de dollars par bénéficiaire. On annule : $0{,}04n=24$, donc $n=600$ bénéficiaires. Comme $P''=-0{,}04<0$, il s'agit bien d'un maximum.

$P(600)=-0{,}02\times 360\,000+24\times 600-1\,500=-7\,200+14\,400-1\,500=5\,700$ milliers de dollars, soit 5,7 millions.

Oui, il change tout, parce que $600$ n'appartient pas à $[0\,;450]$. Sur cet intervalle, $P'(n)=-0{,}04n+24$ reste POSITIVE, puisque $-0{,}04\times 450+24=6>0$ : la fonction y est strictement croissante. Le maximum admissible est donc atteint à la BORNE DROITE, $n=450$, et non en un point critique. C'est le cas de figure que l'exercice 7 du chapitre précédent annonçait : quand aucun point critique n'est dans l'intervalle, l'extremum est forcément à une borne.

$P(450)=-0{,}02\times 202\,500+24\times 450-1\,500=-4\,050+10\,800-1\,500=5\,250$ milliers de dollars. Le meilleur choix admissible est donc de servir exactement 450 bénéficiaires, le plafond, pour un bénéfice de 5,25 millions. Toute proposition de servir moins réduit le bénéfice, et toute proposition de servir plus est irrecevable.

Le COÛT DE LA CONTRAINTE est la différence entre l'optimum libre et l'optimum contraint : $5\,700-5\,250=450$ milliers de dollars, soit 450 000 dollars de bénéfice social perdu chaque année à cause du plafond. Ce nombre est le plus utile de tout l'exercice, parce qu'il est ce qu'on apporte à la table d'une négociation : il chiffre ce que vaudrait un relèvement du plafond, et il permet de le comparer au coût de ce relèvement pour le bailleur. Un optimum sous contrainte ne se contente donc jamais de donner la solution admissible ; il donne aussi le prix de la contrainte.

$C'(s)=260-\dfrac{9\,000}{s^{2}}$. On annule : $s^{2}=\dfrac{9\,000}{260}\approx 34{,}615$, donc $s\approx 5{,}884$ séances. Un programme ne se donne évidemment pas en 5,884 séances.

$C(5)=1\,300+\dfrac{9\,000}{5}=1\,300+1\,800=3\,100$ dollars. $C(6)=1\,560+\dfrac{9\,000}{6}=1\,560+1\,500=3\,060$ dollars.

Il faut retenir $s=6$ séances, pour $3\,060$ dollars, soit 40 dollars de moins qu'avec cinq séances. On remarque que le coût au point critique, $C(5{,}884)\approx 3\,059{,}9$ dollars, est à peine inférieur au coût entier : la courbe étant plate autour de son minimum, l'arrondi coûte moins d'un dollar.

$D'(s)=1\,000-\dfrac{30\,200}{s^{2}}$ s'annule pour $s^{2}=30{,}2$, donc $s\approx 5{,}495$ séances. $D(5)=5\,000+\dfrac{30\,200}{5}=5\,000+6\,040=11\,040$ dollars, et $D(6)=6\,000+\dfrac{30\,200}{6}\approx 6\,000+5\,033{,}33=11\,033{,}33$ dollars.

Le second cas est le contre-exemple qu'il faut connaître. Le point critique vaut $5{,}495$, donc il s'ARRONDIT à 5 ; pourtant c'est 6 qui donne le coût le plus bas, de près de 7 dollars. La raison est que le point de bascule entre deux entiers n'est pas leur milieu arithmétique $5{,}5$, mais leur moyenne géométrique $\sqrt{5\times 6}=\sqrt{30}\approx 5{,}477$, et $5{,}495$ est déjà au-delà. La RÈGLE est donc : on ne conclut jamais par un arrondi, on ÉVALUE la fonction aux deux entiers voisins et l'on compare les deux valeurs. C'est deux calculs de plus et c'est la seule méthode sûre, y compris quand la différence est de sept dollars sur onze mille.

$\rho(n)=\dfrac{180n}{0{,}5n^{2}+40n+1\,250}$. Par la règle du quotient, le numérateur de $\rho'$ vaut $180\,(0{,}5n^{2}+40n+1\,250)-180n\,(n+40)$, soit $180\,\bigl(0{,}5n^{2}+40n+1\,250-n^{2}-40n\bigr)=180\,\bigl(1\,250-0{,}5n^{2}\bigr)$. Donc $\rho'(n)=\dfrac{180\,(1\,250-0{,}5n^{2})}{\bigl(0{,}5n^{2}+40n+1\,250\bigr)^{2}}$. Les termes en $40n$ se détruisent, ce qui est le signe que le calcul est juste.

Le dénominateur est un carré, donc le signe de $\rho'$ est celui de $1\,250-0{,}5n^{2}$ : positif pour $n<50$, négatif au-delà. On résout $0{,}5n^{2}=1\,250$, soit $n^{2}=2\,500$ et $n=50$ personnes. Le rendement croît puis décroît : c'est bien un maximum. On remarque que $n=\sqrt{\dfrac{c}{a}}$, où $c$ est le coût fixe et $a$ le coefficient quadratique : le terme linéaire $40n$ ne joue aucun rôle, parce qu'il est proportionnel à $n$ comme le bénéfice.

$C(50)=0{,}5\times 2\,500+2\,000+1\,250=1\,250+2\,000+1\,250=4\,500$ et $R(50)=9\,000$, donc $\rho(50)=2{,}00$ : chaque dollar dépensé produit deux dollars de bénéfice. En $n=30$ : $C=450+1\,200+1\,250=2\,900$ et $R=5\,400$, donc $\rho\approx 1{,}862$. En $n=80$ : $C=3\,200+3\,200+1\,250=7\,650$ et $R=14\,400$, donc $\rho\approx 1{,}882$. Le rendement est donc assez plat entre 30 et 80 personnes.

L'effet net vaut $N(n)=180n-0{,}5n^{2}-40n-1\,250=-0{,}5n^{2}+140n-1\,250$. On annule $N'(n)=-n+140$, donc $n=140$ personnes, et $N''=-1<0$ confirme le maximum. $C(140)=9\,800+5\,600+1\,250=16\,650$ et $R(140)=25\,200$, donc $N(140)=8\,550$ milliers de dollars. À comparer à $N(50)=9\,000-4\,500=4\,500$ milliers : l'effet net est presque DOUBLE en servant 140 personnes plutôt que 50.

Tout dépend de ce qui est rare. Si le BUDGET est la contrainte, parce qu'il est fixé et que tout dollar non dépensé ici servira ailleurs, il faut maximiser le rendement et servir 50 personnes : chaque dollar y travaille le plus fort. Si c'est le BESOIN qui est la contrainte, le budget étant extensible ou l'argent n'ayant pas de meilleur emploi, il faut maximiser l'effet net et servir 140 personnes, même si le rendement y tombe à $\dfrac{25\,200}{16\,650}\approx 1{,}51$. La mathématique ne tranche pas entre les deux critères, elle les chiffre ; le choix est politique, et la faute professionnelle consiste à présenter l'un des deux nombres sans dire lequel a été optimisé.

FAUX. Le point critique n'est qu'un candidat : il faut encore vérifier qu'il appartient au DOMAINE ADMISSIBLE, et le comparer aux valeurs aux BORNES. L'exercice 5 en donne le cas type : l'optimum libre vaut 600 bénéficiaires, le plafond en autorise 450, et la réponse est 450. Énoncé correct : l'optimum se trouve parmi les points critiques situés dans le domaine, les points non dérivables et les bornes.

FAUX, et c'est l'erreur de raisonnement la plus coûteuse du chapitre. Les deux termes d'un coût total s'opposent presque toujours : minimiser le coût de structure de l'exercice 2 conduirait à un seul point de service, ce qui ferait exploser le coût d'accès. Énoncé correct : on minimise la SOMME, ce qui conduit à un point où aucun des deux termes n'est minimal, et où, pour la forme $ag+\dfrac{b}{g}$, les deux sont même égaux.

FAUX. Le point de bascule entre deux entiers $n$ et $n+1$ est leur moyenne GÉOMÉTRIQUE $\sqrt{n(n+1)}$, et non leur milieu. Pour 5 et 6, $\sqrt{30}\approx 5{,}477$, donc $5{,}495$ est déjà au-delà et c'est 6 qui gagne, comme l'exercice 6 le vérifie. Énoncé correct : on évalue la fonction aux deux entiers voisins et l'on compare les valeurs obtenues.

FAUX. L'exercice 7 le chiffre : le rendement est maximal à 50 personnes et l'effet net à 140. Les deux critères répondent à deux questions différentes, et leur écart n'a rien d'anecdotique, puisque l'effet net double entre les deux réponses. Énoncé correct : on maximise le rendement quand le budget est la ressource rare, et l'effet net quand c'est le besoin.

FAUX. Une contrainte qui mord change la valeur de l'optimum, et cette perte se CHIFFRE : c'est la différence entre l'optimum libre et l'optimum contraint, soit $450$ milliers de dollars par année dans l'exercice 5. Énoncé correct : le coût d'une contrainte est la perte d'objectif qu'elle impose, et c'est le nombre à apporter dans une négociation. Si la contrainte ne mord pas, c'est-à-dire si l'optimum libre la respecte déjà, alors son coût est nul et elle ne change effectivement rien.

$P(p)=9{,}2p-\bigl(0{,}04p^{2}+3{,}0p+180\bigr)=-0{,}04p^{2}+6{,}2p-180$ milliers de dollars. Le coefficient $6{,}2$ est la MARGE NETTE par place avant les effets de taille, c'est-à-dire la subvention moins le coût variable proportionnel.

$P'(p)=-0{,}08p+6{,}2$, nulle pour $p=\dfrac{6{,}2}{0{,}08}=77{,}5$ places. Comme $P''=-0{,}08<0$, la courbe est concave vers le bas et il s'agit bien d'un maximum. $P(77{,}5)=-0{,}04\times 6\,006{,}25+480{,}5-180=-240{,}25+480{,}5-180=60{,}25$ milliers de dollars.

$P(77)=-0{,}04\times 5\,929+477{,}4-180=-237{,}16+477{,}4-180=60{,}24$ et $P(78)=-0{,}04\times 6\,084+483{,}6-180=-243{,}36+483{,}6-180=60{,}24$ milliers. Les deux valeurs sont ÉGALES, au dollar près, ce qui n'a rien d'étonnant : $77$ et $78$ sont symétriques par rapport à $77{,}5$, et une parabole prend la même valeur en deux points symétriques par rapport à son sommet. Le service peut donc choisir 77 ou 78 places indifféremment, et trancher sur un autre critère, par exemple la taille des groupes.

Le résultat devient $P(p)=9{,}8p-0{,}04p^{2}-3{,}0p-180=-0{,}04p^{2}+6{,}8p-180$. On annule $-0{,}08p+6{,}8$, donc $p=\dfrac{6{,}8}{0{,}08}=85$ places. Le résultat vaut $P(85)=-0{,}04\times 7\,225+578-180=-289+578-180=109$ milliers de dollars, soit près du double du précédent.

La subvention passe de $9{,}2$ à $9{,}8$, une hausse de $\dfrac{0{,}6}{9{,}2}\approx 6{,}5$ %. L'optimum passe de $77{,}5$ à 85 places, une hausse de $\dfrac{7{,}5}{77{,}5}\approx 9{,}7$ %. Le déplacement de l'optimum est donc PLUS QUE PROPORTIONNEL à la hausse de la subvention. La raison se lit dans la formule $p^{*}=\dfrac{s-3{,}0}{0{,}08}$ : ce n'est pas la subvention $s$ qui commande, c'est la MARGE $s-3{,}0$, qui est passée de $6{,}2$ à $6{,}8$, soit $9{,}7$ % elle aussi. Toute politique de subvention a cet effet de levier, et il est d'autant plus fort que le coût variable est proche de la subvention : à $3{,}0$ de coût variable, six pour cent de subvention en plus achètent dix pour cent de places en plus.

Le budget total est le nombre de personnes multiplié par les heures reçues, multiplié par le tarif horaire : $45\,n\,h=270\,000$. En divisant par 45 : $n\,h=6\,000$ heures d'accompagnement au total, donc $n=\dfrac{6\,000}{h}$.

$E(h)=n\,f(h)=\dfrac{6\,000}{h}\times\dfrac{h^{2}}{h^{2}+100}=\dfrac{6\,000h}{h^{2}+100}$ réussites. La simplification d'un $h$ est ce qui rend le problème traitable, et elle mérite d'être faite avant toute dérivation : dériver la forme non simplifiée demanderait deux fois la règle du quotient.

Par la règle du quotient : $E'(h)=\dfrac{6\,000\,(h^{2}+100)-6\,000h\times 2h}{(h^{2}+100)^{2}}=\dfrac{6\,000\,(100-h^{2})}{(h^{2}+100)^{2}}$. Le dénominateur est un carré, donc le signe est celui de $100-h^{2}$ : positif pour $h<10$, négatif au-delà. La durée optimale est $h=10$ heures par personne, et c'est un maximum.

À l'optimum, $n=\dfrac{6\,000}{10}=600$ personnes touchées, $f(10)=\dfrac{100}{200}=0{,}50$, soit 50 % de réussite individuelle, et $E(10)=\dfrac{60\,000}{200}=300$ réussites au total. Ni la couverture maximale, qui donnerait des milliers de personnes sans effet, ni la profondeur maximale, qui donnerait quelques dizaines de réussites presque certaines, ne battent ce partage.

$E(4)=\dfrac{24\,000}{116}\approx 206{,}9$ et $E(25)=\dfrac{150\,000}{725}\approx 206{,}9$ réussites : les deux valeurs sont ÉGALES. Ce n'est pas un hasard, car $E(h)=E\!\left(\dfrac{100}{h}\right)$ pour tout $h$, et $4\times 25=100$. Le modèle est donc symétrique entre couverture et profondeur autour de $h=10$ : diluer l'accompagnement à quatre heures pour toucher 1 500 personnes produit exactement autant que le concentrer à vingt-cinq heures sur 240 personnes, et les deux font perdre un tiers des réussites par rapport à l'optimum. Cette symétrie est un résultat du MODÈLE, pas du monde : elle vient de la forme de $f$, dont le paramètre 100 fixe à lui seul le point d'équilibre. Une évaluation sérieuse commencerait donc par estimer ce paramètre sur des données, puisque c'est lui, et lui seul, qui décide de l'arbitrage.