Calcul différentiel 201-103 • Sciences humaines au cégep à Montréal

Fiche de révision : l'analyse marginale

Q: Quelle différence entre coût marginal et coût moyen ?

Le coût marginal est la dérivée du coût total : il donne approximativement ce que coûterait l'unité suivante. Le coût moyen est le coût total divisé par la quantité : il donne ce que coûte en moyenne chaque unité déjà produite. Les deux coïncident en un seul point, celui où le coût moyen est minimal.

Q: Pourquoi le revenu marginal a-t-il une pente double de la demande ?

Parce que le revenu est le prix multiplié par la quantité. Avec une demande de la forme a moins b fois q, le revenu vaut aq moins bq au carré, dont la dérivée est a moins deux bq. Économiquement, vendre une unité de plus oblige à baisser le prix sur toutes les unités déjà vendues, ce qui coûte deux fois plus vite.

Q: Comment trouver la quantité qui maximise le profit ?

On égale le revenu marginal au coût marginal, ce qui revient à annuler la dérivée du profit, puis on vérifie que la dérivée seconde est négative. La quantité obtenue est toujours inférieure à celle qui maximise le revenu, dès que produire une unité de plus coûte quelque chose.

Q: Un coût fixe change-t-il la quantité optimale ?

Non. Une constante disparaît quand on dérive, donc la condition d'optimum ne la voit pas. Le coût fixe abaisse le profit maximal du même montant et rapproche les deux seuils de rentabilité, mais la quantité à produire reste exactement la même. Il affecte la survie de l'entreprise, pas sa décision de production.

Q: Que signifie le point d'inflexion d'une fonction de production ?

C'est l'endroit où la dérivée seconde s'annule en changeant de signe, c'est-à-dire où la courbe cesse d'accélérer et commence à ralentir. La production totale y monte encore, mais la production marginale y atteint son maximum : c'est l'entrée dans les rendements décroissants.

Cette fiche traite le chapitre qui distingue le calcul différentiel du profil « avec mathématiques » de celui des sciences de la nature : l'analyse marginale. Les dérivées y sont les mêmes, le vocabulaire non, et c'est ce vocabulaire qui coûte les points. Elle donne les huit endroits où une dérivée juste répond à la mauvaise question.

Elle s'adresse aux étudiants de Sciences humaines du cégep qui suivent le cours 201-103, calcul différentiel. La série d'exercices corrigés du même chapitre reprend chaque geste, du coût moyen minimal jusqu'à la lecture d'un énoncé économique.

Le fil du chapitre

En économie, MARGINAL veut dire DÉRIVÉE et MOYEN veut dire QUOTIENT. Presque toutes les fautes du chapitre viennent d'employer l'un à la place de l'autre, ou d'optimiser la mauvaise quantité.

Ce chapitre fait partie de Calcul différentiel 201-103 en sciences humaines : tous les chapitres

Avant ce chapitre

Cette fiche suppose ces notions acquises. Si une méthode ci-dessous reste opaque, c'est presque toujours l'une d'elles qui manque, pas la fiche.

La dérivée et les règles de dérivation Fiche

Remonter plus loin : la chaîne complète (7 chapitres) ↓

Le chemin de remédiation, du plus ancien au plus proche. Un élève qui reprend ce chapitre de zéro le reprend dans cet ordre.

1Calculs algébriquesSecondaire 5 SN5
2Les fonctions définies par partiesSecondaire 5 SN5
3La fonction rationnelle, dite homographiqueSecondaire 5 SN5
4Les opérations sur les fonctionsSecondaire 5 SN5
5Les fonctions et leur domaine
6Les limites et la continuité
7La dérivée et les règles de dérivation

L'essentiel

Marginal, moyen : deux mots, deux opérations

• MARGINAL veut dire DÉRIVÉE : $C'(q)$ est le coût marginal, $R'(q)$ le revenu marginal, $Q'(L)$ la production marginale.
• MOYEN veut dire QUOTIENT : $\overline{C}(q)=\dfrac{C(q)}{q}$ . Ne jamais employer l'un à la place de l'autre.
• $C'(q)$ APPROCHE $C(q+1)-C(q)$ sans lui être égal; pour $C(q)=aq^{2}+bq+c$ , l'écart vaut exactement $a$ , quelle que soit la quantité.
• Le coût moyen MINIMAL s'obtient en annulant $\overline{C}'(q)=\dfrac{C'(q)q-C(q)}{q^{2}}$ , ce qui donne la condition $C'(q)=\overline{C}(q)$ .

Sur une copie, écrire « coût marginal, c'est-à-dire $C'(q)$ » dès la première ligne rapporte le point de vocabulaire et évite toute ambiguïté ensuite.

Demande, revenu et profit

• Demande linéaire $p=a-bq$ : revenu $R(q)=aq-bq^{2}$ et revenu marginal $R'(q)=a-2bq$ , de pente DOUBLE de celle de la demande.
• Le revenu marginal est donc INFÉRIEUR au prix : vendre une unité de plus oblige à baisser le prix sur TOUTES les unités.
• PROFIT MAXIMAL : $P'=R'-C'=0$ , donc $R'(q)=C'(q)$ , avec $P''<0$ pour confirmer qu'il s'agit d'un maximum.
• La quantité de profit maximal est TOUJOURS inférieure à celle de revenu maximal dès que le coût marginal est positif.

Les SEUILS DE RENTABILITÉ sont les racines de $P(q)=0$ : entre elles, et seulement entre elles, l'entreprise gagne de l'argent.

Production, main-d'œuvre et rendements

• $Q(L)$ donne la production en fonction de la main-d'œuvre; $Q'(L)$ est la production marginale, ce qu'apporte le travailleur suivant.
• Le POINT D'INFLEXION de $Q$ , où $Q''(L)=0$ avec changement de signe, marque l'entrée dans les rendements décroissants.
• C'est là que la production MARGINALE est maximale, et non la production totale.
• Maximiser la production n'est pas maximiser le profit : on embauche tant que $pQ'(L)>w$ , où $w$ est le salaire.

Un COÛT FIXE ne change aucune dérivée : il abaisse le profit sans déplacer la quantité optimale, et il rétrécit l'intervalle de rentabilité.

Les pièges qui coûtent des points

Les erreurs ci-dessous sont celles que je corrige le plus souvent en séance. Chacune coûte des points sur une copie, même quand le raisonnement est juste.

1. Confondre le coût marginal et le coût moyen

2 points, et toute la suite de la question

Ce qu'il ne faut pas écrire

« $C(q)=q^{2}+20q+300$ : le coût marginal pour $q=10$ vaut $\dfrac{C(10)}{10}=\dfrac{600}{10}=60$ . »

Ce qu'il faut écrire

« Le coût MOYEN vaut $60$ ; le coût MARGINAL est $C'(10)=2(10)+20=40$ . Le premier est un quotient, le second une dérivée. »

Pourquoi : Les deux nombres répondent à deux questions différentes : combien coûte en moyenne chaque unité produite, et combien coûterait l'unité SUIVANTE.

2. Prendre le revenu marginal pour le prix

2 points, et une quantité optimale fausse

Ce qu'il ne faut pas écrire

« Le prix est $p=100-2q$ , donc le revenu marginal aussi. »

Ce qu'il faut écrire

« $R(q)=pq=100q-2q^{2}$ , donc $R'(q)=100-4q$ : la pente est DOUBLE et le revenu marginal s'annule à $q=25$ alors que le prix s'annule à $q=50$ . »

Les deux droites partent du même point sur l'axe des prix, mais celle du revenu marginal atteint zéro à

q=25

, moitié moins loin que la demande.

Pourquoi : Vendre une unité de plus rapporte le prix de cette unité MOINS la baisse de prix consentie sur toutes les précédentes. Le revenu marginal est donc toujours sous la courbe de demande.

3. Maximiser le revenu au lieu du profit

toute la question, la quantité étant presque doublée

Ce qu'il ne faut pas écrire

« $R'(q)=0$ donne $q=25$ : c'est la quantité qui maximise le profit. »

Ce qu'il faut écrire

« $R'(q)=0$ donne le revenu maximal. Le profit est maximal quand $R'(q)=C'(q)$ , ici $100-4q=2q+20$ , soit $q=\dfrac{40}{3}\approx 13{,}3$ . »

Pourquoi : Produire au-delà de $q^{*}$ rapporte encore du revenu, mais chaque unité supplémentaire coûte plus qu'elle ne rapporte. La quantité de profit maximal est toujours la plus petite des deux.

4. Croire qu'un coût fixe déplace la quantité optimale

1,5 point, et une conclusion économique fausse

Ce qu'il ne faut pas écrire

« Le loyer augmente de $100$ dollars : il faut produire davantage pour l'absorber. »

Ce qu'il faut écrire

« Un coût fixe ne change AUCUNE dérivée : $q^{*}$ reste $13{,}3$ . Le profit maximal passe de $233$ à $133$ dollars, et l'intervalle de rentabilité rétrécit de $[4{,}5\ ;22{,}2]$ à $[6{,}7\ ;20]$ . »

Les deux paraboles ont exactement le même sommet en abscisse; seule la hauteur change, et avec elle les deux points où le profit s'annule.

Pourquoi : La condition d'optimum ne fait intervenir que des marges, c'est-à-dire des dérivées. Une constante disparaît en dérivant : elle déplace la courbe vers le bas, jamais vers la gauche ou la droite.

5. Oublier la dérivée seconde

1 point de rigueur, retiré systématiquement

Ce qu'il ne faut pas écrire

« $P'(q)=0$ en $q=13{,}3$ : c'est donc le maximum du profit. »

Ce qu'il faut écrire

« $P''(q)=-6<0$ pour tout $q$ : la fonction est concave, donc ce point critique est bien un MAXIMUM. »

Pourquoi : Un point critique peut être un minimum, ce qui arrive vraiment sur les fonctions de coût moyen. Une ligne suffit à l'écarter, et elle est au barème de toutes les questions d'optimisation.

6. Confondre production maximale et profit maximal

toute la question de décision

Ce qu'il ne faut pas écrire

« La production est maximale pour $L=12$ : c'est le nombre d'employés à embaucher. »

Ce qu'il faut écrire

« On embauche tant que la valeur du produit marginal dépasse le salaire, c'est-à-dire tant que $pQ'(L)>w$ . Le dernier employé rentable arrive bien avant le maximum de production. »

Pourquoi : Le maximum de $Q$ est le point où le travailleur suivant n'apporte plus rien; bien avant, il apporte déjà moins que ce qu'il coûte.

7. Croire que la dérivée donne exactement le coût de l'unité suivante

0,5 point, et davantage si la question porte sur l'approximation

Ce qu'il ne faut pas écrire

« $C'(10)=40$ : la onzième unité coûtera exactement $40$ dollars. »

Ce qu'il faut écrire

« $C(11)-C(10)=41$ : la dérivée APPROCHE ce coût. Pour un coût quadratique $aq^{2}+bq+c$ , l'écart vaut exactement $a$ , ici $1$ dollar. »

Pourquoi : La dérivée est une limite : elle donne le taux instantané, pas la variation sur une unité entière. L'écart est petit et parfaitement calculable.

8. Prendre le point d'inflexion pour un maximum

2 points, et la question sur les rendements décroissants

Ce qu'il ne faut pas écrire

« $Q''(L)=0$ en $L=6$ : la production y est maximale. »

Ce qu'il faut écrire

« En $L=6$ , c'est la production MARGINALE $Q'(L)$ qui est maximale : au-delà, chaque employé supplémentaire apporte encore, mais de moins en moins. »

La courbe monte encore après le point marqué : ce qui change là, c'est la COURBURE, et donc la pente commence à diminuer.

Pourquoi : $Q''=0$ annule la dérivée de $Q'$ , donc c'est $Q'$ qui atteint un extremum, pas $Q$ . La courbe change de courbure et continue de monter.

Quelle méthode choisir

Que demande l'énoncé économique ?

On repère le MOT de l'énoncé, puis on écrit l'équation correspondante avant tout calcul.

Si « marginal », quel que soit ce qui suit → DÉRIVER la fonction correspondante

Exemple : coût marginal, c'est $C'(q)$
Si « moyen » ou « par unité » → DIVISER la fonction par la quantité

Exemple : coût moyen, c'est $\dfrac{C(q)}{q}$
Si « maximiser le profit » → poser $R'(q)=C'(q)$ , ou annuler $P'$ , puis vérifier $P''<0$

Exemple : $100-4q=2q+20$
Si « coût moyen minimal » → annuler $\overline{C}'(q)$ , ce qui revient à $C'(q)=\overline{C}(q)$

Exemple : $q=\sqrt{300}\approx 17{,}3$
Si « seuil de rentabilité » ou « à partir de quelle quantité » → résoudre $P(q)=0$ , et donner les DEUX racines

Exemple : $q=4{,}5$ et $q=22{,}2$

Si le mot « marginal » et le mot « moyen » figurent tous deux dans l'énoncé, la question porte presque toujours sur leur point de rencontre, qui est le minimum du coût moyen.

Ce point critique est-il un maximum ?

Une fois $f'(q)=0$ résolu, on choisit le test le plus rapide selon la forme de $f$ .

Si $f$ est un polynôme du second degré → le signe du coefficient dominant suffit : négatif, c'est un maximum

Exemple : $P(q)=-3q^{2}+80q-300$ , donc maximum
Si $f''$ se calcule facilement → test de la dérivée SECONDE : $f''(q^{*})<0$ pour un maximum

Exemple : $P''=-6<0$
Si $f''$ est lourde à écrire → tableau de SIGNES de $f'$ autour du point critique

Exemple : un coût moyen avec un terme en $\dfrac{1}{q}$
Si le domaine est un intervalle FERMÉ → comparer aussi les valeurs aux BORNES, l'extremum pouvant y être atteint

Exemple : une capacité de production limitée à 20 unités

En économie, le domaine est presque toujours $q>0$ : une racine négative se rejette en une ligne, et cette ligne est au barème.

La rédaction attendue

Le correcteur coche des étapes. Les voici dans l'ordre, avec la phrase de conclusion qu'il attend mot pour mot.

Rédiger une optimisation économique

Quand l'utiliser : Dès que l'énoncé demande la quantité qui maximise le profit ou minimise un coût.

1 Écrire les fonctions de l'énoncé et le DOMAINE, en général $q>0$ .
2 Construire la fonction à optimiser, profit ou coût moyen, et le dire.
3 Dériver, annuler, résoudre, puis REJETER les racines hors domaine.
4 Vérifier la nature de l'extremum par la dérivée seconde ou un tableau de signes.
5 Répondre à la question posée en UNITÉS de l'énoncé, quantité, prix et profit.

Phrase de conclusion

« Le profit $P(q)=-3q^{2}+80q-300$ est maximal pour $q^{*}=\dfrac{40}{3}\approx 13{,}3$ unités, puisque $P'(q^{*})=0$ et $P''(q)=-6<0$ . Le prix correspondant est $p=100-2q^{*}\approx 73{,}3$ dollars et le profit maximal $233{,}33$ dollars. »

Le piège : Donner la quantité et s'arrêter là : l'énoncé demande presque toujours aussi le PRIX et le PROFIT, qui valent chacun leur point.

Barème : 1 point pour la fonction posée, 2 points pour la dérivation et la résolution, 1 point pour la dérivée seconde, 2 points pour les réponses en unités.

Montrer que le coût moyen est minimal quand il égale le coût marginal

Quand l'utiliser : Quand l'énoncé demande la quantité de coût moyen minimal, ou de démontrer cette propriété.

1 Écrire $\overline{C}(q)=\dfrac{C(q)}{q}$ sur le domaine $q>0$ .
2 Dériver par la règle du quotient : $\overline{C}'(q)=\dfrac{C'(q)q-C(q)}{q^{2}}$ .
3 Annuler le NUMÉRATEUR, le dénominateur ne s'annulant pas sur le domaine, ce qui donne $C'(q)=\dfrac{C(q)}{q}$ .
4 Résoudre, rejeter la racine négative, et vérifier par un tableau de signes qu'il s'agit d'un minimum.

Phrase de conclusion

« Le coût moyen est minimal pour $q=\sqrt{300}\approx 17{,}3$ unités, et il y vaut $\overline{C}\approx 54{,}64$ dollars, exactement la valeur du coût marginal en ce point. »

Le piège : Annuler la fraction entière au lieu de son numérateur : l'équation $\dfrac{A}{q^{2}}=0$ se résout en annulant $A$ , et $q=0$ est hors domaine.

Barème : 1 point pour la dérivée du quotient, 1 point pour l'annulation du numérateur, 1 point pour la résolution, 1 point pour la nature de l'extremum.

Vérifier avant de rendre

Cinq minutes de vérification récupèrent plus de points qu'un exercice de plus commencé à la hâte.

La quantité de profit maximal est sous celle de revenu maximal

Comparer $q^{*}$ à la racine de $R'(q)=0$ : dès que le coût marginal est positif, $q^{*}$ est la plus petite.

$13{,}3$ contre $25$ : l'ordre est le bon. L'inverse signale une équation mal posée.
Le prix optimal se situe dans la moitié haute de la demande

Substituer $q^{*}$ dans $p=a-bq$ : le prix obtenu doit dépasser la moitié du prix maximal.

$p=100-2(13{,}3)\approx 73{,}3$ , bien au-dessus de $50$ .
Le coût marginal égale le coût moyen à son minimum

Au point de coût moyen minimal, calculer les deux et vérifier qu'ils coïncident. C'est le contrôle le plus rapide du chapitre.

$\overline{C}(17{,}32)=54{,}64$ et $C'(17{,}32)=54{,}64$ : la racine est bonne.
Le profit est positif entre les deux seuils

Tester une quantité située entre les deux racines de $P(q)=0$ : le profit doit y être positif, et négatif au-delà.

$P(13{,}3)=233>0$ entre $4{,}5$ et $22{,}2$ , $P(25)=-175<0$ au-delà.

L'exercice type décortiqué

Une entreprise de bout en bout, du coût marginal aux seuils

La demande est $p=100-2q$ et le coût total $C(q)=q^{2}+20q+300$ , où $q$ est en unités et les montants en dollars.

On demande la quantité qui maximise le profit, le prix et le profit correspondants, la quantité de coût moyen minimal, et les seuils de rentabilité.

Étape 1

$R(q)=pq=100q-2q^{2}$ , donc $R'(q)=100-4q$ ; et $C'(q)=2q+20$ .

Pourquoi

Le revenu marginal a une pente double de celle de la demande : l'écrire tout de suite évite de confondre $p$ et $R'$ dans la suite de la question.

Étape 2

$P(q)=R-C=-3q^{2}+80q-300$ , donc $P'(q)=-6q+80=0$ en $q^{*}=\dfrac{40}{3}\approx 13{,}33$ . $P''(q)=-6<0$ : maximum.

Pourquoi

La même quantité s'obtient par $R'(q)=C'(q)$ , soit $100-4q=2q+20$ : les deux chemins doivent donner le même nombre, ce qui vérifie le calcul.

Étape 3

$p=100-2(13{,}33)\approx 73{,}33$ dollars et $P(13{,}33)\approx 233{,}33$ dollars.

Pourquoi

La question demande trois nombres, pas un. La quantité seule ne vaut que le tiers des points.

Étape 4

$\overline{C}(q)=q+20+\dfrac{300}{q}$ , donc $\overline{C}'(q)=1-\dfrac{300}{q^{2}}=0$ en $q=\sqrt{300}\approx 17{,}32$ .

Pourquoi

Contrôle immédiat : $C'(17{,}32)=54{,}64$ et $\overline{C}(17{,}32)=54{,}64$ , l'égalité annoncée par le cours est vérifiée.

Étape 5

Seuils : $-3q^{2}+80q-300=0$ donne $q=\dfrac{80\pm\sqrt{2800}}{6}$ , soit $q\approx 4{,}51$ et $q\approx 22{,}15$ .

Pourquoi

Entre ces deux quantités, et seulement entre elles, l'entreprise est rentable. Une seule racine donnée coûte la moitié de la question.

Étape 6

Avec un coût fixe porté à $400$ : $q^{*}$ reste $13{,}33$ , le profit maximal tombe à $133{,}33$ , et les seuils se resserrent à $6{,}67$ et $20$ .

Pourquoi

Ce dernier calcul isole ce que fait vraiment un coût fixe : il n'a aucune influence sur la décision de production, seulement sur la survie de l'entreprise.

Conclusion rédigée

« Le profit est maximal pour $q^{*}\approx 13{,}33$ unités vendues à $73{,}33$ dollars, pour un profit de $233{,}33$ dollars. Le coût moyen, lui, est minimal pour $q\approx 17{,}32$ unités, et l'entreprise est rentable entre $4{,}51$ et $22{,}15$ unités. »

L'erreur classique sur cet exercice : Annuler $R'(q)$ et répondre $q=25$ : c'est la quantité de revenu maximal, où le profit ne vaut plus que $-175$ dollars.

À savoir par cœur

• MARGINAL veut dire DÉRIVÉE, MOYEN veut dire QUOTIENT. Aucun des deux mots ne s'emploie à la place de l'autre.
• Demande $p=a-bq$ : $R'(q)=a-2bq$ , de pente DOUBLE, et le revenu marginal est toujours sous le prix.
• PROFIT MAXIMAL : $R'(q)=C'(q)$ avec $P''<0$ . La quantité obtenue est toujours SOUS celle du revenu maximal.
• COÛT MOYEN MINIMAL : $C'(q)=\overline{C}(q)$ , et c'est aussi le contrôle du résultat.
• Un COÛT FIXE ne déplace pas $q^{*}$ : il abaisse le profit et rétrécit l'intervalle de rentabilité.
• SEUILS DE RENTABILITÉ : les DEUX racines de $P(q)=0$ . Entre elles, l'entreprise gagne de l'argent.
• $Q''(L)=0$ marque le maximum de la production MARGINALE, pas de la production totale.

Questions fréquentes

Quelle différence entre coût marginal et coût moyen ?

Le coût marginal est la dérivée du coût total : il donne approximativement ce que coûterait l'unité suivante. Le coût moyen est le coût total divisé par la quantité : il donne ce que coûte en moyenne chaque unité déjà produite. Les deux coïncident en un seul point, celui où le coût moyen est minimal.

Pourquoi le revenu marginal a-t-il une pente double de la demande ?

Parce que le revenu est le prix multiplié par la quantité. Avec une demande de la forme a moins b fois q, le revenu vaut aq moins bq au carré, dont la dérivée est a moins deux bq. Économiquement, vendre une unité de plus oblige à baisser le prix sur toutes les unités déjà vendues, ce qui coûte deux fois plus vite.

Comment trouver la quantité qui maximise le profit ?

On égale le revenu marginal au coût marginal, ce qui revient à annuler la dérivée du profit, puis on vérifie que la dérivée seconde est négative. La quantité obtenue est toujours inférieure à celle qui maximise le revenu, dès que produire une unité de plus coûte quelque chose.

Un coût fixe change-t-il la quantité optimale ?

Non. Une constante disparaît quand on dérive, donc la condition d'optimum ne la voit pas. Le coût fixe abaisse le profit maximal du même montant et rapproche les deux seuils de rentabilité, mais la quantité à produire reste exactement la même. Il affecte la survie de l'entreprise, pas sa décision de production.

Que signifie le point d'inflexion d'une fonction de production ?

C'est l'endroit où la dérivée seconde s'annule en changeant de signe, c'est-à-dire où la courbe cesse d'accélérer et commence à ralentir. La production totale y monte encore, mais la production marginale y atteint son maximum : c'est l'entrée dans les rendements décroissants.

Passer à la pratique

Exercices corrigés : L'analyse marginale

Une méthode se prouve sur une copie, pas sur une fiche. La série du même chapitre reprend chacun de ces pièges dans un exercice, avec le corrigé rédigé étape par étape.

10 exercices corrigés
100 points
150 minutes

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Élasticité et optimisation économique

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