Calcul différentiel 201-103 • Sciences humaines au cégep à Montréal

Fiche de révision : élasticité et optimisation économique

Cette fiche traite le second chapitre propre au calcul différentiel du profil « avec mathématiques » : l'élasticité, et les optimisations qui en découlent. Une élasticité est une dérivée déguisée, mais la déguiser change tout ce qu'on a le droit d'en dire, et c'est là que les copies perdent leurs points.

Elle s'adresse aux étudiants de Sciences humaines du cégep qui suivent le cours 201-103, calcul différentiel. La série d'exercices corrigés du même chapitre reprend chaque geste, de la zone élastique jusqu'aux recettes d'une taxe.

Le fil du chapitre

L'élasticité est un rapport de variations RELATIVES : sans unité, négative pour une demande décroissante, et différente en chaque point d'une même droite. C'est sa VALEUR ABSOLUE qui décide si monter le prix rapporte ou coûte.

Ce chapitre fait partie de Calcul différentiel 201-103 en sciences humaines : tous les chapitres

Avant ce chapitre

Cette fiche suppose ces notions acquises. Si une méthode ci-dessous reste opaque, c'est presque toujours l'une d'elles qui manque, pas la fiche.

Remonter plus loin : la chaîne complète (9 chapitres) ↓

Le chemin de remédiation, du plus ancien au plus proche. Un élève qui reprend ce chapitre de zéro le reprend dans cet ordre.

1Les fonctions logarithmiquesSecondaire 5 SN5
2Les fonctions définies par partiesSecondaire 5 SN5
3Les fonctions et leur domaine
4Les limites et la continuité
5La dérivée et les règles de dérivation
6Exponentielle et logarithme
7L'étude complète de fonction
8L'optimisation appliquée
9L'analyse marginale

L'essentiel

Ce qu'est une élasticité, et ce qu'elle n'est pas

• $E=\dfrac{dq}{dp}\times \dfrac{p}{q}$ : un rapport de variations RELATIVES, donc sans unité, et négatif pour une demande décroissante.
• Sur une demande LINÉAIRE, la pente $\dfrac{dq}{dp}$ est constante et l'élasticité, elle, varie en chaque point : $-1$ au milieu, infinie près du prix maximal, nulle près du prix nul.
• $\left|E\right|<1$ : demande INÉLASTIQUE. $\left|E\right|=1$ : unitaire. $\left|E\right|>1$ : ÉLASTIQUE.
• Élasticité-ARC entre deux points : $\dfrac{\Delta q/\overline{q}}{\Delta p/\overline{p}}$ , avec les MOYENNES au dénominateur, pour que le résultat ne dépende pas du sens du parcours.

Les trois points sont sur la même droite, donc de même pente : c'est le rapport

\dfrac{p}{q}

qui change, et il fait passer l'élasticité de très grande à presque nulle.

L'élasticité est une dérivée logarithmique : elle répond à « combien de POUR CENT », jamais à « combien d'unités ».

Ce que l'élasticité décide

• $\dfrac{dR}{dp}=q\left(1+E\right)$ : en zone INÉLASTIQUE, monter le prix AUGMENTE le revenu; en zone ÉLASTIQUE, il le fait baisser.
• Le revenu total est donc maximal exactement là où $E=-1$ .
• $R'(q)=p\left(1+\dfrac{1}{E}\right)$ : le revenu marginal est NÉGATIF en zone inélastique, donc l'optimum de profit est TOUJOURS en zone élastique.
• L'élasticité est plus grande en valeur absolue à LONG terme qu'à court terme, parce que l'ajustement demande du temps.

La colonne du revenu monte, culmine à

1250

puis redescend, et c'est exactement sur cette ligne que l'élasticité vaut

-1

Ces deux formules dispensent de tout raisonnement au cas par cas : on lit la zone, on en déduit le sens de la variation.

Les autres élasticités, et les deux techniques du chapitre

• Élasticité-REVENU : négative pour un bien inférieur, entre $0$ et $1$ pour un bien de première nécessité, supérieure à $1$ pour un bien de luxe.
• Élasticité CROISÉE : POSITIVE pour des substituts, NÉGATIVE pour des compléments, nulle pour des biens sans rapport.
• OPTIMISATION SOUS CONTRAINTE, en quatre gestes : identifier l'objectif, écrire la contrainte, substituer pour n'avoir qu'une variable AVEC SON DOMAINE, dériver et vérifier, bornes comprises.
• TAUX LIÉS : $\dfrac{dC}{dt}=C'(q)\times \dfrac{dq}{dt}$ . Le profit peut décroître alors que la production augmente, dès que $q$ dépasse l'optimum.

Taxe unitaire $t$ sur une demande linéaire à coût marginal constant : le prix optimal monte de $0{,}5t$ seulement, et les recettes $T(t)$ finissent par décroître.

Les pièges qui coûtent des points

Les erreurs ci-dessous sont celles que je corrige le plus souvent en séance. Chacune coûte des points sur une copie, même quand le raisonnement est juste.

1. Confondre la pente et l'élasticité

2 points, et toutes les conclusions sur les zones

Ce qu'il ne faut pas écrire

« La demande est $q=400-5p$ : l'élasticité vaut $-5$ partout. »

Ce qu'il faut écrire

« $-5$ est la PENTE $\dfrac{dq}{dp}$ . L'élasticité vaut $-5\times\dfrac{p}{q}$ : $-0{,}33$ à $p=20$ et $-1{,}11$ à $p=42$ . »

Pourquoi : La pente compare des variations ABSOLUES, l'élasticité des variations RELATIVES. Le facteur $\dfrac{p}{q}$ change tout le long de la droite, du très grand au presque nul.

2. Perdre le signe de l'élasticité

0,5 point par occurrence, et davantage sur une élasticité croisée

Ce qu'il ne faut pas écrire

« L'élasticité vaut $2$ : la demande est élastique. »

Ce qu'il faut écrire

« L'élasticité-prix d'une demande décroissante est NÉGATIVE : $E=-2$ . C'est sa VALEUR ABSOLUE, $2$ , qui dépasse $1$ et rend la demande élastique. »

Pourquoi : Sur l'élasticité-prix, le signe est toujours le même et l'oubli reste bénin. Sur les élasticités-revenu et croisée, c'est le SIGNE qui porte toute l'information.

3. Croire qu'une hausse de prix augmente toujours le revenu

toute la question de décision

Ce qu'il ne faut pas écrire

« On augmente le prix de $50$ à $60$ dollars : le revenu augmentera. »

Ce qu'il faut écrire

« À $p=50$ , $E=-1$ : c'est le sommet. Au-delà, on entre en zone ÉLASTIQUE et le revenu BAISSE, de $1250$ à $1200$ dollars. »

Pourquoi : $\dfrac{dR}{dp}=q(1+E)$ change de signe exactement en $E=-1$ . Au-delà, la quantité perdue coûte plus que le prix gagné ne rapporte.

4. Chercher l'optimum de profit en zone inélastique

1,5 point, et un résultat économiquement absurde

Ce qu'il ne faut pas écrire

« Le prix optimal se situe à $p=30$ , là où la demande est inélastique : on vend beaucoup. »

Ce qu'il faut écrire

« En zone inélastique, $R'(q)=p\left(1+\dfrac{1}{E}\right)$ est NÉGATIF : chaque unité vendue en plus réduit le revenu. L'optimum de profit est TOUJOURS en zone élastique. »

Pourquoi : Si le revenu marginal est négatif et le coût marginal positif, réduire la production augmente le profit de deux côtés à la fois : on ne peut donc pas y être à l'optimum.

5. Calculer l'élasticité-arc sur le point de départ

1 point, et deux réponses différentes pour le même arc

Ce qu'il ne faut pas écrire

« De $p=40$ à $p=50$ , $q$ passe de $30$ à $25$ : $E=\dfrac{-5/30}{10/40}=-0{,}67$ . »

Ce qu'il faut écrire

« L'élasticité-arc utilise les MOYENNES : $E=\dfrac{-5/27{,}5}{10/45}=-0{,}82$ . Ainsi le résultat ne dépend pas du sens du parcours. »

Pourquoi : Avec le point de départ au dénominateur, aller de $40$ à $50$ et revenir de $50$ à $40$ donnent deux élasticités différentes, ce qu'aucune grandeur descriptive ne devrait faire.

6. Se tromper de signe sur l'élasticité croisée

1 point, et l'interprétation économique de la question

Ce qu'il ne faut pas écrire

« L'élasticité croisée du thé par rapport au prix du café vaut $-0{,}4$ : ce sont des substituts. »

Ce qu'il faut écrire

« Une élasticité croisée NÉGATIVE désigne des COMPLÉMENTS. Pour des substituts, la hausse du prix du café augmenterait la demande de thé, donc l'élasticité croisée serait POSITIVE. »

Pourquoi : Le signe est ici toute l'information : la valeur absolue ne dit que l'intensité du lien, jamais sa nature.

7. Optimiser sous contrainte sans écrire le domaine

1 point de rigueur, systématiquement retiré

Ce qu'il ne faut pas écrire

« Après substitution, $A(x)=x(30-x)$ est maximale en $x=15$ . »

Ce qu'il faut écrire

« La contrainte impose $0<x<30$ , et $x=15$ y appartient : je peux conclure. Sans ce domaine, une racine négative serait passée pour une solution. »

Pourquoi : Substituer transforme un problème géométrique ou économique en une simple fonction, et fait disparaître les contraintes de positivité. Les réécrire est le seul moyen de les garder.

8. Croire que les recettes d'une taxe croissent avec le taux

1,5 point, et la conclusion de la question fiscale

Ce qu'il ne faut pas écrire

« On double la taxe unitaire : les recettes doubleront. »

Ce qu'il faut écrire

« Le prix optimal monte de $0{,}5t$ et la quantité baisse : les recettes $T(t)=t\,q(t)$ passent de $370$ à $720$ dollars, soit $1{,}95$ fois, et elles finissent par DÉCROÎTRE au-delà de $38$ dollars de taxe. »

La courbe monte, culmine à

38

dollars de taxe puis redescend jusqu'à zéro : au-delà du sommet, augmenter le taux fait baisser les recettes.

Pourquoi : La taxe agit deux fois : elle prélève davantage par unité et elle réduit le nombre d'unités. Le produit des deux est une parabole, donc il a un maximum.

Quelle méthode choisir

Dans quelle zone est-on, et que faire du prix ?

On calcule $E$ au prix considéré, puis on lit sa VALEUR ABSOLUE.

Si $\left|E\right|<1$ , demande INÉLASTIQUE → monter le prix AUGMENTE le revenu; l'optimum de profit n'est pas ici

Exemple : $E=-0{,}33$ à $p=20$ sur $q=400-5p$
Si $\left|E\right|=1$ , élasticité unitaire → le REVENU est maximal exactement en ce point

Exemple : $p=40$ sur $q=400-5p$
Si $\left|E\right|>1$ , demande ÉLASTIQUE → monter le prix fait BAISSER le revenu, et c'est là que se trouve l'optimum de profit

Exemple : $p=42$ , où $E=-1{,}11$
Si on ne dispose que de DEUX observations, sans fonction → élasticité-ARC, avec les moyennes au dénominateur

Exemple : de $p=40$ à $p=50$ , $E\approx -0{,}82$

Contrôle de cohérence permanent : le prix de profit maximal est toujours SUPÉRIEUR au prix de revenu maximal dès que produire coûte quelque chose.

Quelle élasticité l'énoncé demande-t-il ?

On regarde ce qui varie et ce qui réagit, puis on lit le signe attendu.

Si le PRIX du bien varie et sa propre demande réagit → élasticité-PRIX, négative pour une demande normale

Exemple : $E=-1{,}11$
Si le REVENU des consommateurs varie → élasticité-REVENU : négative pour un bien inférieur, supérieure à $1$ pour un bien de luxe

Exemple : les billets d'avion, $E=1{,}8$
Si le prix d'un AUTRE bien varie → élasticité CROISÉE : positive pour des substituts, négative pour des compléments

Exemple : essence et voitures, $E<0$
Si une quantité varie DANS LE TEMPS → ce n'est plus une élasticité mais des TAUX LIÉS : $\dfrac{dq}{dt}=\dfrac{dq}{dp}\times\dfrac{dp}{dt}$

Exemple : un prix qui monte de $0{,}50$ dollar par mois

Si l'énoncé ne dit pas ce qui varie, c'est presque toujours l'élasticité-prix : c'est la seule qu'on désigne sans épithète.

La rédaction attendue

Le correcteur coche des étapes. Les voici dans l'ordre, avec la phrase de conclusion qu'il attend mot pour mot.

Calculer et interpréter une élasticité

Quand l'utiliser : Dès que l'énoncé demande l'élasticité en un prix donné, ou la zone dans laquelle on se trouve.

1 Écrire la fonction de demande et calculer $\dfrac{dq}{dp}$ .
2 Calculer $q$ au prix demandé, puis $E=\dfrac{dq}{dp}\times\dfrac{p}{q}$ , avec deux décimales et son SIGNE.
3 Nommer la zone à partir de $\left|E\right|$ .
4 Traduire en langue courante : « une hausse de $1$ % du prix fait varier la quantité de $\left|E\right|$ % ».
5 Conclure sur l'effet d'une hausse de prix sur le REVENU.

Phrase de conclusion

« À $p=42$ dollars, $E=-1{,}11$ : la demande est ÉLASTIQUE. Une hausse de $1$ % du prix réduit la quantité demandée de $1{,}11$ %, donc une hausse de prix ferait BAISSER le revenu. »

Le piège : Donner l'élasticité sans dire ce qu'elle implique : la moitié des points est dans la phrase d'interprétation.

Barème : 1 point pour la dérivée, 1 point pour le calcul avec son signe, 1 point pour la zone, 1 point pour l'interprétation en pourcentages.

Rédiger une optimisation sous contrainte

Quand l'utiliser : Quand l'énoncé donne un objectif et une relation entre deux variables.

1 Nommer les variables et écrire la fonction OBJECTIF.
2 Écrire la CONTRAINTE, puis en tirer une variable en fonction de l'autre.
3 Substituer, et écrire le DOMAINE que la contrainte impose à la variable restante.
4 Dériver, annuler, rejeter les racines hors domaine, et vérifier la nature de l'extremum.
5 Comparer aussi les valeurs aux BORNES quand le domaine est fermé, puis répondre dans les unités de l'énoncé.

Phrase de conclusion

« Sur le domaine $0<x<30$ imposé par la contrainte, la fonction objectif est maximale en $x=15$ , où la dérivée seconde est négative; les dimensions cherchées sont donc $15$ et $15$ mètres. »

Le piège : Substituer sans réécrire le domaine : une racine négative devient alors une réponse acceptable, ce qu'aucun problème concret n'admet.

Barème : 1 point pour l'objectif, 1 point pour la contrainte, 1 point pour le domaine, 2 points pour la résolution, 1 point pour les bornes.

Vérifier avant de rendre

Cinq minutes de vérification récupèrent plus de points qu'un exercice de plus commencé à la hâte.

Le signe de l'élasticité-prix

Sur une demande décroissante, $E$ est NÉGATIF. Un résultat positif vient presque toujours d'une dérivée dont le signe a été perdu.

$E=+1{,}11$ sur $q=400-5p$ : la pente $-5$ a été écrite $+5$ .
L'optimum de profit est en zone élastique

Calculer $E$ au prix optimal trouvé : sa valeur absolue doit dépasser $1$ . Sinon, l'équation d'optimum est mal posée.

$E(42)=-1{,}11$ : la valeur absolue dépasse $1$ , le résultat est cohérent.
Le prix de profit maximal dépasse le prix de revenu maximal

Comparer les deux : produire coûtant quelque chose, l'optimum de profit se situe toujours à un prix plus élevé et une quantité plus faible.

$42$ dollars contre $40$ : l'ordre est le bon.
Une élasticité-arc ne dépend pas du sens

Refaire le calcul dans l'autre sens : avec les moyennes au dénominateur, on doit retrouver exactement le même nombre.

$-0{,}82$ dans les deux sens, alors que la méthode du point de départ donnerait $-0{,}67$ puis $-1{,}00$ .

L'exercice type décortiqué

La décision de prix d'une cafétéria, jusqu'à la taxe

La demande quotidienne de repas est $q=400-5p$ , où $p$ est le prix en dollars. Le coût variable est de $4$ dollars par repas.

On demande l'élasticité à $p=20$ , le prix qui maximise le revenu, celui qui maximise le profit, et l'effet d'une taxe unitaire de $2$ dollars.

Étape 1

$\dfrac{dq}{dp}=-5$ ; à $p=20$ , $q=300$ , donc $E=-5\times\dfrac{20}{300}\approx -0{,}33$ : demande INÉLASTIQUE.

Pourquoi

La pente vaut $-5$ partout, l'élasticité non : c'est le rapport $\dfrac{p}{q}$ qui la fait varier, et il vaut ici $\dfrac{1}{15}$ .

Étape 2

$R(p)=p(400-5p)=400p-5p^{2}$ , donc $R'(p)=400-10p=0$ en $p=40$ . Alors $q=200$ et $E=-5\times\dfrac{40}{200}=-1$ .

Pourquoi

Le sommet du revenu tombe exactement sur l'élasticité unitaire : c'est la vérification la plus rapide du chapitre, et elle vaut son point.

Étape 3

$P(p)=(p-4)(400-5p)=-5p^{2}+420p-1600$ , donc $P'(p)=-10p+420=0$ en $p=42$ , avec $P''=-10<0$ . Alors $q=190$ et $P=7220$ dollars.

Pourquoi

Le prix de profit maximal dépasse celui de revenu maximal, comme toujours dès que produire coûte quelque chose. L'écart, ici $2$ dollars, vaut la moitié du coût variable.

Étape 4

$E(42)=-5\times\dfrac{42}{190}\approx -1{,}11$ : la valeur absolue dépasse $1$ , l'optimum est bien en zone ÉLASTIQUE.

Pourquoi

Ce contrôle n'est pas décoratif : un optimum qui tomberait en zone inélastique signalerait une erreur de signe ou d'équation.

Étape 5

Avec une taxe de $2$ dollars : $P(p)=(p-6)(400-5p)$ , donc $P'(p)=-10p+430=0$ en $p=43$ . Le prix monte de $1$ dollar, soit $0{,}5t$ , et $q$ tombe à $185$ .

Pourquoi

Le commerçant ne reporte que la moitié de la taxe sur le client : l'autre moitié sort de sa marge. C'est le résultat que l'énoncé cherche presque toujours.

Étape 6

Recettes fiscales : $T(2)=2\times 185=370$ dollars, et $T(4)=4\times 180=720$ dollars, soit $1{,}95$ fois et non $2$ . $T(t)=t(190-2{,}5t)$ est maximale à $t=38$ dollars.

Pourquoi

La taxe rapporte davantage par unité et réduit le nombre d'unités : le produit des deux est une parabole, donc elle finit par redescendre.

Conclusion rédigée

« À $20$ dollars, la demande est inélastique et une hausse de prix augmenterait le revenu. Le revenu est maximal à $40$ dollars et le PROFIT à $42$ dollars, pour $190$ repas et $7\,220$ dollars par jour. Une taxe unitaire de $2$ dollars porte le prix optimal à $43$ dollars, soit la moitié de la taxe reportée sur le client. »

L'erreur classique sur cet exercice : Répondre $40$ dollars à la question du profit : c'est le prix de revenu maximal, où le profit ne vaut que $7\,200$ dollars.

À savoir par cœur

• $E=\dfrac{dq}{dp}\times\dfrac{p}{q}$ : sans unité, négatif, et VARIABLE le long d'une droite dont la pente, elle, est constante.
• $\left|E\right|<1$ inélastique, $=1$ unitaire, $>1$ élastique. Le REVENU est maximal en $E=-1$ .
• $\dfrac{dR}{dp}=q(1+E)$ : monter le prix rapporte en zone inélastique, coûte en zone élastique.
• L'optimum de PROFIT est toujours en zone ÉLASTIQUE, parce que le revenu marginal y est positif.
• Élasticité-ARC : les MOYENNES au dénominateur, pour que le résultat ne dépende pas du sens du parcours.
• Croisée POSITIVE pour des substituts, NÉGATIVE pour des compléments. Élasticité-revenu supérieure à $1$ pour un bien de luxe.
• Taxe unitaire $t$ : le prix optimal monte de $0{,}5t$ , et les recettes $T(t)$ finissent par décroître.

Questions fréquentes

Quelle différence entre la pente et l'élasticité d'une demande ?

La pente compare des variations absolues, en unités par dollar, et reste constante sur une droite. L'élasticité compare des variations relatives, en pourcentage par pourcentage, et vaut la pente multipliée par le prix divisé par la quantité. Elle change donc en chaque point de la même droite, de très grande près du prix maximal à presque nulle près de zéro.

Quand une hausse de prix augmente-t-elle le revenu ?

Quand la demande est inélastique, c'est-à-dire quand la valeur absolue de l'élasticité est inférieure à un. La quantité perdue est alors proportionnellement plus faible que le prix gagné. Dès que la valeur absolue dépasse un, l'effet s'inverse, et le revenu est maximal exactement au point où l'élasticité vaut moins un.

Pourquoi l'optimum de profit est-il toujours en zone élastique ?

Parce que le revenu marginal est négatif en zone inélastique : vendre une unité de plus y fait baisser le revenu total. Si en plus produire coûte quelque chose, réduire la quantité augmenterait le profit des deux côtés. On ne peut donc pas être à l'optimum tant qu'on est en zone inélastique.

Comment calculer une élasticité-arc entre deux points ?

On divise la variation relative de la quantité par la variation relative du prix, en mettant au dénominateur les moyennes des deux quantités et des deux prix plutôt que les valeurs de départ. On obtient ainsi le même nombre que l'on aille du premier point au second ou l'inverse, ce que la méthode du point de départ ne garantit pas.

Qui paie une taxe unitaire sur un produit ?

Les deux parties. Avec une demande linéaire et un coût marginal constant, le prix optimal augmente exactement de la moitié de la taxe : le client en paie la moitié et le vendeur l'autre, prise sur sa marge. Les recettes fiscales augmentent d'abord, puis diminuent, parce que la quantité vendue recule à mesure que le taux monte.

Passer à la pratique

Exercices corrigés : Élasticité et optimisation économique

Une méthode se prouve sur une copie, pas sur une fiche. La série du même chapitre reprend chacun de ces pièges dans un exercice, avec le corrigé rédigé étape par étape.

10 exercices corrigés
100 points
150 minutes

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