Math SN5, secondaire 5 • Complément québécois à Montréal

Fiche de révision : la fonction racine carrée (math SN5)

Q: Comment trouver le domaine d'une fonction racine carrée ?

On écrit que l'expression sous le radical est positive ou nulle, puis on résout l'inéquation. Le sens du domaine dépend du signe du paramètre qui multiplie la variable sous la racine : positif, le domaine part du sommet vers la droite; négatif, il part vers la gauche. Le paramètre devant la racine n'a aucun effet sur le domaine.

Q: Qu'est-ce qu'une racine étrangère et comment l'éliminer ?

C'est une solution qui apparaît après avoir élevé les deux membres au carré, mais qui ne vérifie pas l'équation de départ. Elle naît parce que l'élévation au carré rend vraies aussi les égalités entre opposés. On l'élimine en remplaçant chaque solution trouvée dans l'équation originale et en rejetant celles qui ne la vérifient pas.

Q: Pourquoi faut-il isoler la racine avant d'élever au carré ?

Parce que le carré ne traverse pas une somme. Si la racine est accompagnée d'un autre terme, le carré du membre fait apparaître un double produit qui contient encore une racine, et rien n'est simplifié. En isolant d'abord la racine, l'élévation au carré la fait disparaître complètement en une seule étape.

Q: Quelle est la différence entre les paramètres a et b d'une racine carrée ?

Le paramètre b se trouve sous le radical, donc il agit sur les abscisses et décide du domaine, c'est-à-dire du côté vers lequel part la courbe. Le paramètre a multiplie la racine, donc il agit sur les ordonnées et décide de l'image, c'est-à-dire si la courbe monte ou descend depuis le sommet.

Q: Quelle est la réciproque d'une fonction racine carrée ?

C'est une fonction du second degré, mais restreinte à une moitié de la parabole. On l'obtient en échangeant x et y dans la règle, puis en isolant y par élévation au carré. La restriction est obligatoire : le domaine de la réciproque est exactement l'image de la fonction de départ, et sans elle la réponse n'est pas une fonction réciproque.

Cette fiche ne refait pas le cours sur la fonction racine carrée : vous l'avez déjà dans vos notes. Elle traite ce que le cours ne dit jamais et qui décide pourtant de la note : l'erreur exacte qui coûte deux points sur une copie, les deux paramètres qui commandent deux axes différents, et la rédaction que le correcteur de math SN5 attend mot pour mot.

Elle est écrite pour les élèves de secondaire 5 du programme québécois à Montréal, et pour les élèves du Lycée Marie de France et du Collège Stanislas qui suivent le complément québécois. Une fois la fiche lue, la série d'exercices corrigés du même chapitre met chaque réflexe à l'épreuve.

Le fil du chapitre

La fonction racine carrée est une DEMI-courbe : elle part d'un point, le sommet, et ne va que d'un seul côté. Deux paramètres décident donc de deux choses différentes qu'on confond sans cesse : $b$ commande le sens du DOMAINE, vers la droite ou vers la gauche, et $a$ commande le sens de l'IMAGE, vers le haut ou vers le bas. Le second obstacle du chapitre est l'élévation au carré, qui n'est pas une opération réversible : elle fabrique des racines étrangères, et la vérification finale n'est pas une politesse, c'est un point du barème.

Ce chapitre fait partie de Mathématique SN5 : Sciences naturelles, secondaire 5

Avant ce chapitre

Cette fiche suppose ces notions acquises. Si une méthode ci-dessous reste opaque, c'est presque toujours l'une d'elles qui manque, pas la fiche.

Calculs algébriques Fiche

Remonter plus loin : la chaîne complète (4 chapitres) ↓

Le chemin de remédiation, du plus ancien au plus proche. Un élève qui reprend ce chapitre de zéro le reprend dans cet ordre.

1Expressions algébriques et mise en évidenceSecondaire 3
2La manipulation d'expressions algébriquesSecondaire 4 SN4
3La factorisation et les expressions rationnellesSecondaire 4 SN4
4Calculs algébriques

L'essentiel

Deux paramètres, deux axes

• $f(x)=a\sqrt{b(x-h)}+k$ , avec un sommet au point $(h;k)$ , qui est le seul point où la courbe s'arrête.
• $b$ commande le DOMAINE : $[h;+\infty[$ si $b>0$ , et $]-\infty;h]$ si $b<0$ . La courbe part vers la droite ou vers la gauche.
• $a$ commande l'IMAGE : $[k;+\infty[$ si $a>0$ , et $]-\infty;k]$ si $a<0$ . La courbe monte ou descend.
• Les deux paramètres sont indépendants : quatre combinaisons de signes donnent les quatre orientations possibles.
• $\sqrt{u}\ge 0$ toujours, donc $a\sqrt{u}$ garde le signe de $a$ : c'est ce qui fait que $k$ est un extremum.

Un quart de plan est occupé par la courbe, et lequel se lit sur les DEUX signes. Dessiner une flèche horizontale pour $b$ et une flèche verticale pour $a$ suffit à orienter la courbe sans réfléchir.

Domaine, image et variation

• Le domaine se trouve en résolvant $b(x-h)\ge 0$ : c'est une inéquation, pas une lecture.
• L'image se lit sur le signe de $a$ et sur $k$ , sans calcul : $k$ est le minimum si $a>0$ , le maximum si $a<0$ .
• La fonction est croissante si $a$ et $b$ sont de MÊME signe, décroissante s'ils sont de signes contraires.
• Une racine carrée est monotone sur tout son domaine : elle n'a ni maximum ni minimum autre que $k$ , et jamais deux zéros.
• Le zéro vérifie $a\sqrt{b(x-h)}=-k$ : il n'existe que si $-k$ est du même signe que $a$ , et il est alors unique.

Le nombre de zéros se décide comme pour l'exponentielle : $a$ et $k$ de signes contraires donnent un zéro, de même signe aucun, et $k=0$ donne le sommet lui-même comme zéro.

Résoudre une équation avec radical

• 1. Poser le domaine du radical : le radicande doit être positif ou nul.
• 2. ISOLER la racine d'un côté, seule, sans coefficient ni constante à côté.
• 3. Vérifier le signe de l'autre membre : négatif, il n'y a aucune solution, et on s'arrête.
• 4. Élever les DEUX membres au carré, en entier, avec des parenthèses.
• 5. Résoudre, puis VÉRIFIER chaque solution dans l'équation de départ.
• $\left(\sqrt{u}\right)^{2}=u$ seulement si $u\ge 0$ , et $\sqrt{u^{2}}=|u|$ dans tous les cas.

L'étape 5 n'est pas facultative : élever au carré transforme $u=v$ en $u^{2}=v^{2}$ , qui est aussi vraie pour $u=-v$ . Les solutions supplémentaires ainsi créées s'appellent racines étrangères et valent un point de barème.

La réciproque et le lien avec la parabole

• La réciproque de $y=\sqrt{x}$ est $y=x^{2}$ RESTREINTE à $x\ge 0$ : c'est une demi-parabole, pas la parabole entière.
• Pour trouver une réciproque : échanger $x$ et $y$ , puis isoler $y$ en élevant au carré.
• Le domaine de la réciproque est l'IMAGE de la fonction de départ, et son image est le domaine de départ.
• Une courbe racine carrée est une demi-parabole couchée : sa réciproque est donc toujours du second degré, restreinte.
• La restriction s'écrit obligatoirement : sans elle, la réponse n'est plus une fonction réciproque mais une parabole complète.

L'oubli de la restriction sur la réciproque est l'erreur la plus fréquente de la dernière question de ce chapitre : la réponse $y=x^{2}$ sans condition décrit une courbe deux fois trop grande.

Les pièges qui coûtent des points

Les erreurs ci-dessous sont celles que je corrige le plus souvent en séance. Chacune coûte des points sur une copie, même quand le raisonnement est juste.

1. Déduire le domaine du signe de $a$ au lieu de celui de $b$

2 points, et la courbe est tracée du mauvais côté du sommet

Ce qu'il ne faut pas écrire

« $f(x)=-3\sqrt{x-2}+1$ : comme $a=-3<0$ , le domaine est $]-\infty;2]$ . »

Ce qu'il faut écrire

« Le domaine dépend de $b$ , pas de $a$ . Ici $b=+1>0$ , donc le domaine est $[2;+\infty[$ ; c'est l'IMAGE, $]-\infty;1]$ , qui dépend du signe négatif de $a$ . »

Le domaine part du sommet vers la DROITE parce que

b>0

; c'est le signe de

a

, négatif ici, qui envoie l'image vers le bas. Les deux paramètres ne commandent pas le même axe.

Pourquoi : Le paramètre $b$ agit sous le radical, donc sur les $x$ , donc sur le domaine; le paramètre $a$ multiplie la racine, donc agit sur les $y$ , donc sur l'image. Deux paramètres, deux axes, deux questions qui ne se déduisent jamais l'une de l'autre.

2. Garder une racine étrangère

1 point sur 3, et la réponse contient une valeur qui rend l'équation fausse

Ce qu'il ne faut pas écrire

« $\sqrt{x+6}=x$ donne $x+6=x^{2}$ , donc $x^{2}-x-6=0$ , donc $x=3$ ou $x=-2$ : deux solutions. »

Ce qu'il faut écrire

« Pour $x=3$ : $\sqrt{9}=3$ , l'égalité tient. Pour $x=-2$ : $\sqrt{4}=2$ mais le membre de droite vaut $-2$ ; la solution est étrangère et se rejette. Donc $S=\{3\}$ . »

Les deux membres ne se rencontrent qu'en

x=3

. En

x=-2

, la racine vaut

2

et le membre de droite

-2

: la valeur sortie du carré est étrangère à l'équation de départ.

Pourquoi : Élever au carré n'est pas une équivalence : $u^{2}=v^{2}$ est aussi vraie quand $u=-v$ . L'opération crée donc des solutions qui n'existaient pas, et seule la substitution dans l'équation ORIGINALE les élimine.

3. Élever au carré sans isoler la racine

toute la question, et un résultat plus de deux fois trop grand

Ce qu'il ne faut pas écrire

« $\sqrt{x+1}+2=5$ donne $x+1+4=25$ , donc $x=20$ . »

Ce qu'il faut écrire

« On isole d'abord : $\sqrt{x+1}=3$ , puis on élève au carré : $x+1=9$ , donc $x=8$ . »

Pourquoi : $(\sqrt{u}+2)^{2}$ vaut $u+4\sqrt{u}+4$ , pas $u+4$ : le carré ne traverse pas une somme, et il laisse même une racine dans l'expression. Isoler la racine AVANT d'élever est donc la seule façon de la faire disparaître en une étape.

4. Lire le sommet avec le signe écrit sous le radical

1 point, et un tracé décalé de huit unités

Ce qu'il ne faut pas écrire

« $f(x)=2\sqrt{x+4}-1$ : le sommet est $(4;-1)$ . »

Ce qu'il faut écrire

« $\sqrt{x+4}=\sqrt{x-(-4)}$ , donc $h=-4$ et le sommet est $(-4;-1)$ ; le domaine est $[-4;+\infty[$ . »

Pourquoi : La forme de référence est $\sqrt{b(x-h)}$ : le signe écrit dans la parenthèse est celui de $-h$ . Même convention que pour la parabole, la valeur absolue et l'exponentielle, et même erreur récurrente; $k$ , lui, se lit tel quel.

5. Sortir $b$ du radical sans prendre la racine

2 points, et une fonction trois fois trop grande

Ce qu'il ne faut pas écrire

« $\sqrt{9(x-2)}=9\sqrt{x-2}$ . »

Ce qu'il faut écrire

« $\sqrt{9(x-2)}=\sqrt{9}\cdot\sqrt{x-2}=3\sqrt{x-2}$ : ce qui sort du radical est la RACINE du facteur. »

Pourquoi : La racine se distribue sur un produit, mais elle agit sur chaque facteur : $\sqrt{ab}=\sqrt{a}\sqrt{b}$ . Le contrôle numérique est immédiat, en $x=3$ : à gauche $\sqrt{9}=3$ , et l'écriture fautive donnerait $9$ .

6. Résoudre une inéquation avec radical sans poser les deux conditions

2 points sur 3 : la moitié de l'intervalle sort du domaine

Ce qu'il ne faut pas écrire

« $\sqrt{x-1}<3$ donne $x-1<9$ , donc $x<10$ , et $S=\,]-\infty;10[$ . »

Ce qu'il faut écrire

« Le domaine impose $x-1\ge 0$ , donc $x\ge 1$ . Avec $x-1<9$ , on obtient $S=[1;10[$ . »

Pourquoi : Élever une inéquation au carré ne conserve pas l'information d'existence : l'inéquation obtenue est vraie pour des valeurs où la racine n'est même pas définie. La solution est toujours l'INTERSECTION du domaine et de la condition trouvée.

7. Croire qu'une racine carrée n'a pas de zéro parce qu'elle est positive

toute la question, laissée sans réponse

Ce qu'il ne faut pas écrire

« $f(x)=2\sqrt{x-1}-6$ : une racine est toujours positive, donc la fonction n'a pas de zéro. »

Ce qu'il faut écrire

« La RACINE est positive, mais la FONCTION contient un $-6$ : $2\sqrt{x-1}=6$ donne $\sqrt{x-1}=3$ , donc $x=10$ . »

La racine est bien positive, mais la fonction contient un

-6

: la courbe part de

-6

et traverse l'axe en

x=10

. Le zéro existe, il se calcule.

Pourquoi : La positivité concerne le radical seul, pas la fonction entière, qui est translatée par $k$ . Le critère correct est le même que pour l'exponentielle : le zéro existe quand $a$ et $k$ sont de signes CONTRAIRES.

8. Donner la réciproque sans sa restriction

1 point, et la courbe tracée est deux fois trop grande

Ce qu'il ne faut pas écrire

« La réciproque de $f(x)=\sqrt{x-3}$ est $g(x)=x^{2}+3$ . »

Ce qu'il faut écrire

« C'est $g(x)=x^{2}+3$ pour $x\ge 0$ seulement : le domaine de la réciproque est l'image de $f$ , qui vaut $[0;+\infty[$ . »

Pourquoi : Le domaine de la réciproque est exactement l'image de la fonction de départ, et une racine carrée n'atteint jamais de valeur inférieure à son $k$ . Sans restriction, la parabole complète n'est pas la réciproque, et elle n'est même pas la réciproque d'une fonction.

Quelle méthode choisir

Domaine et image, selon les deux signes

Écrivez la fonction sous la forme $a\sqrt{b(x-h)}+k$ , puis lisez les deux signes séparément. Chacun répond à une question, et une seule.

Si $b>0$ → domaine $[h;+\infty[$ : la courbe part du sommet vers la DROITE

Exemple : $\sqrt{x-2}$ : domaine $[2;+\infty[$
Si $b<0$ → domaine $]-\infty;h]$ : la courbe part du sommet vers la GAUCHE

Exemple : $\sqrt{-2(x-5)}=\sqrt{10-2x}$ : domaine $]-\infty;5]$

Mettre $b$ en évidence avant de lire : $\sqrt{10-2x}$ s'écrit $\sqrt{-2(x-5)}$ , ce qui donne $h=5$ sans hésitation.
Si $a>0$ → image $[k;+\infty[$ : la courbe monte, et $k$ est le MINIMUM

Exemple : $3\sqrt{x}+1$ : image $[1;+\infty[$
Si $a<0$ → image $]-\infty;k]$ : la courbe descend, et $k$ est le MAXIMUM

Exemple : $-3\sqrt{x-2}+1$ : image $]-\infty;1]$
Si $a$ et $b$ sont de même signe → la fonction est CROISSANTE sur tout son domaine

Exemple : $-2\sqrt{-(x-4)}$ : $a<0$ et $b<0$ , donc croissante sur $]-\infty;4]$

Le cas des deux signes négatifs surprend toujours : la courbe part vers la gauche en descendant, donc en la lisant de gauche à droite, elle monte.

Aucune lecture n'est fiable tant que $b$ n'a pas été mis en évidence sous le radical. $\sqrt{6-3x}$ n'a pas un sommet en $6$ : il faut écrire $\sqrt{-3(x-2)}$ , ce qui donne $h=2$ et $b=-3$ .

Résoudre, selon ce que contient l'équation

Isolez la racine, puis regardez l'autre membre. Ce qu'il contient décide de la méthode et du nombre de vérifications à faire.

Si l'autre membre est un nombre POSITIF → élever au carré, résoudre, et vérifier seulement l'appartenance au domaine

Exemple : $\sqrt{x-1}=3$ donne $x-1=9$ , donc $x=10$ , qui appartient bien à $[1;+\infty[$

Aucune racine étrangère n'est possible ici, puisque les deux membres sont positifs.
Si l'autre membre est un nombre NÉGATIF → aucune solution : une racine carrée est positive ou nulle. On l'écrit et on s'arrête

Exemple : $2\sqrt{x-1}+7=3$ donne $\sqrt{x-1}=-2$ , donc $S=\varnothing$
Si l'autre membre CONTIENT l'inconnue → élever au carré, résoudre le trinôme, puis vérifier CHAQUE solution dans l'équation de départ

Exemple : $\sqrt{x+6}=x$ donne $x=3$ ou $x=-2$ , dont seule $3$ survit

On peut aussi poser d'avance la condition « membre de droite positif », ce qui écarte la racine étrangère avant de calculer.
Si il y a DEUX racines carrées → isoler une racine, élever au carré, isoler la racine restante, élever de nouveau au carré

Exemple : $\sqrt{x+5}=1+\sqrt{x}$ demande deux élévations successives

Après la première élévation, le double produit laisse toujours une racine : c'est normal, on recommence.
Si c'est une INÉQUATION → poser le domaine, élever au carré, puis intersecter les deux conditions

Exemple : $\sqrt{x-1}<3$ donne $x\ge 1$ et $x<10$ , donc $S=[1;10[$

Dans toutes les branches où l'on élève au carré, la vérification finale fait partie de la résolution. Elle est explicitement notée au barème, et elle prend moins de temps que la ligne d'algèbre qui la précède.

La rédaction attendue

Le correcteur coche des étapes. Les voici dans l'ordre, avec la phrase de conclusion qu'il attend mot pour mot.

Résoudre une équation avec radical

Quand l'utiliser : L'inconnue apparaît sous une racine carrée, dans une équation ou dans un problème de modélisation.

1 Poser la condition d'existence : « le radicande doit être positif ou nul, donc $x\ge 1$ ».
2 Isoler la racine seule d'un côté, en déplaçant coefficients et constantes.
3 Regarder le signe de l'autre membre : s'il est négatif, conclure immédiatement à l'absence de solution.
4 Élever les DEUX membres au carré, en mettant chaque membre entier entre parenthèses.
5 Résoudre l'équation obtenue, qui est en général du premier ou du second degré.
6 VÉRIFIER chaque solution en la remplaçant dans l'équation de départ, et rejeter les racines étrangères en écrivant pourquoi.
7 Conclure par une phrase donnant l'ensemble solution.

Phrase de conclusion

« L'équation $\sqrt{x+6}=x$ exige $x+6\ge 0$ , donc $x\ge -6$ . En élevant au carré, $x+6=x^{2}$ , soit $x^{2}-x-6=0$ , dont les solutions sont $3$ et $-2$ . Or pour $x=-2$ , le membre de gauche vaut $2$ et celui de droite $-2$ : cette solution est étrangère et se rejette. Donc $S=\{3\}$ . »

Le piège : Élever au carré les deux membres terme à terme au lieu de les élever entiers. $(1+\sqrt{x})^{2}$ vaut $1+2\sqrt{x}+x$ , et non $1+x$ : le double produit ne disparaît pas, et il laisse une racine qu'il faudra traiter à son tour.

Barème : 1 point la condition d'existence, 1 point l'isolement de la racine et l'élévation au carré, 1 point la résolution, 1 point la vérification avec rejet motivé.

Décrire complètement une fonction racine carrée

Quand l'utiliser : L'énoncé demande le domaine, l'image, le sommet, le sens de variation, le zéro, l'ordonnée à l'origine, et souvent un tracé.

1 Mettre $b$ en évidence sous le radical pour lire $h$ sans ambiguïté : « $\sqrt{10-2x}=\sqrt{-2(x-5)}$ ».
2 Donner le sommet $(h;k)$ , en précisant que c'est l'unique point où la courbe commence.
3 Donner le domaine à partir du signe de $b$ , en résolvant l'inéquation du radicande.
4 Donner l'image à partir du signe de $a$ et de $k$ , en la justifiant.
5 Donner le sens de variation à partir de la comparaison des signes de $a$ et de $b$ .
6 Chercher le zéro en isolant la racine, puis en vérifiant que le membre obtenu est positif.
7 Calculer l'ordonnée à l'origine si $0$ appartient au domaine, ou justifier qu'elle n'existe pas.

Phrase de conclusion

« La fonction $f(x)=-3\sqrt{x-2}+1$ a pour sommet $(2;1)$ . Comme $b=1>0$ , son domaine est $[2;+\infty[$ ; comme $a=-3<0$ , son image est $]-\infty;1]$ et $1$ est son maximum. Les signes de $a$ et de $b$ étant contraires, elle est décroissante. Son zéro vérifie $3\sqrt{x-2}=1$ , donc $x=2+\frac{1}{9}$ . Enfin $0$ n'appartient pas au domaine, il n'y a donc pas d'ordonnée à l'origine. »

Le piège : Annoncer l'ordonnée à l'origine sans vérifier que $0$ est dans le domaine. Dès que le sommet est à droite de l'axe des ordonnées, la courbe ne coupe jamais cet axe, et le dire en une ligne rapporte le point.

Barème : 1 point le sommet lu avec le bon signe, 1 point le domaine justifié par $b$ , 1 point l'image justifiée par $a$ , 1 point le zéro et l'ordonnée à l'origine.

Vérifier avant de rendre

Cinq minutes de vérification récupèrent plus de points qu'un exercice de plus commencé à la hâte.

Réinjecter chaque solution dans l'équation de départ

Remplacer la valeur trouvée dans l'ÉNONCÉ, pas dans l'équation obtenue après élévation au carré, et calculer les deux membres. Ils doivent donner le même nombre, et le radicande doit être positif ou nul.

Pour $\sqrt{x+6}=x$ et $x=-2$ : le membre de gauche vaut $\sqrt{4}=2$ , positif, et celui de droite vaut $-2$ . Le seul signe suffit à rejeter la solution, sans même comparer les valeurs.
Le sommet contre la table de valeurs

Calculer $f(h)$ : le résultat doit être exactement $k$ . Puis calculer une valeur juste au-delà du sommet et une valeur juste avant. L'une doit exister, l'autre non, ce qui confirme le sens du domaine.

Pour $f(x)=-3\sqrt{x-2}+1$ : $f(2)=1$ , le sommet est confirmé; $f(3)=-2$ existe, tandis que $f(1)$ donne une erreur à la calculatrice. Le domaine part bien vers la droite.
Deux images pour trancher la variation

Plutôt que de comparer les signes de $a$ et de $b$ , calculez deux images en deux points du domaine. Si la seconde est plus grande, la fonction croît. C'est plus rapide et sans risque, surtout dans le cas des deux signes négatifs.

Pour $f(x)=-2\sqrt{-(x-4)}$ : $f(0)=-4$ et $f(3)=-2$ . La seconde valeur est plus grande, donc la fonction croît sur son domaine, ce que le raisonnement sur les signes confirme.
Le contrôle de la réciproque par composition

Composer la fonction et sa réciproque supposée dans les deux sens : le résultat doit être $x$ dans les deux cas, sur les domaines correspondants. C'est la définition même d'une réciproque, et le calcul prend une ligne.

Avec $f(x)=\sqrt{x-3}$ et $g(x)=x^{2}+3$ : $g(f(7))=g(2)=7$ et $f(g(2))=f(7)=2$ . Les deux compositions redonnent bien la valeur de départ, à condition de restreindre $g$ à $x\ge 0$ .

L'exercice type décortiqué

La vidange d'un réservoir : domaine, zéro et équation avec radical

Un réservoir se vide. La hauteur d'eau, en mètres, après $t$ minutes est donnée par $h(t)=-2\sqrt{t}+8$ .

a) Quelle est la hauteur initiale ? b) Au bout de combien de minutes le réservoir est-il vide ? c) À quel instant la hauteur vaut-elle $3$ mètres ? d) Pendant combien de temps la hauteur reste-t-elle supérieure à $4$ mètres ?

Étape 1

Le sommet est $(0;8)$ , avec $a=-2<0$ et $b=1>0$ : le domaine mathématique est $[0;+\infty[$ et l'image est $]-\infty;8]$ . La hauteur initiale est $h(0)=8$ mètres.

Pourquoi

Lire les deux paramètres avant tout calcul oriente toute la suite : $a<0$ garantit que la hauteur diminue, ce qui est cohérent avec une vidange, et $8$ est le MAXIMUM de la fonction, donc bien la hauteur de départ.

Étape 2

Le réservoir est vide quand $h(t)=0$ : $-2\sqrt{t}+8=0$ donne $\sqrt{t}=4$ , donc $t=16$ minutes.

Pourquoi

On isole la racine AVANT d'élever au carré, ce qui évite le double produit. Et le membre de droite obtenu, $4$ , est positif : aucune racine étrangère n'est possible, mais il faut avoir regardé ce signe pour le savoir.

Étape 3

$h(t)=3$ donne $-2\sqrt{t}=-5$ , donc $\sqrt{t}=2{,}5$ et $t=6{,}25$ minutes.

Pourquoi

Diviser par $-2$ redresse le signe et laisse un membre de droite positif, condition nécessaire pour élever au carré. Le résultat non entier est normal : la vidange n'est pas linéaire, et c'est justement ce que la racine carrée modélise.

Étape 4

$h(t)>4$ donne $-2\sqrt{t}>-4$ , donc en divisant par $-2$ le sens s'INVERSE : $\sqrt{t}<2$ , soit $t<4$ . Avec la condition $t\ge 0$ , on obtient $t\in[0;4[$ .

Pourquoi

Le renversement du sens en divisant par un négatif est le point technique de la question, et il se combine ici avec la condition d'existence. Le contrôle de bon sens confirme : la hauteur DIMINUE, donc elle est grande au début, ce qui donne un intervalle collé à zéro.

Étape 5

Le contexte borne aussi le domaine à droite : au-delà de $16$ minutes, le réservoir est vide et la formule n'a plus de sens physique. Le domaine du problème est donc $[0;16]$ , et non $[0;+\infty[$ .

Pourquoi

Une fonction peut être définie mathématiquement là où le modèle ne l'est plus : $h(25)=-2$ mètres n'a aucun sens. Restreindre le domaine au contexte est le point de modélisation que le correcteur cherche, et il ne demande aucun calcul.

Étape 6

Vérification : $h(0)=8$ , $h(16)=-2(4)+8=0$ , $h(6{,}25)=-2(2{,}5)+8=3$ , et $h(4)=-2(2)+8=4$ , la borne annoncée. Enfin $h(3)\approx 4{,}54>4$ et $h(5)\approx 3{,}53<4$ , ce qui encadre bien la borne $4$ .

Pourquoi

Chaque réponse est retestée dans la formule d'origine, ce qui valide en même temps les élévations au carré et le sens de l'inéquation renversée. Les deux valeurs de part et d'autre de $t=4$ confirment que l'intervalle est bien à gauche, et non à droite.

Conclusion rédigée

« La hauteur initiale est $h(0)=8$ mètres. Le réservoir est vide lorsque $-2\sqrt{t}+8=0$ , soit $\sqrt{t}=4$ et $t=16$ minutes. La hauteur vaut $3$ mètres à l'instant $t=6{,}25$ minutes. Enfin $h(t)>4$ équivaut à $\sqrt{t}<2$ , le sens s'inversant lors de la division par $-2$ , donc la hauteur reste supérieure à $4$ mètres pendant les $4$ premières minutes, soit sur $[0;4[$ . Le domaine du problème est $[0;16]$ , au-delà duquel le modèle n'a plus de sens. »

L'erreur classique sur cet exercice : Oublier d'inverser le sens à la question d) et annoncer $t>4$ : la réponse dit alors que la hauteur augmente avec le temps, ce qu'un simple calcul de $h(0)=8$ et $h(9)=2$ contredit. Le second travers est d'élever au carré sans isoler, en écrivant $4t+64=16$ à partir de $-2\sqrt{t}+8=4$ : le double produit a été perdu, et le résultat n'a plus aucun rapport avec l'énoncé.

À savoir par cœur

• $f(x)=a\sqrt{b(x-h)}+k$ : le sommet $(h;k)$ est le seul point où la courbe commence.
• $b$ commande le DOMAINE : vers la droite si $b>0$ , vers la gauche si $b<0$ .
• $a$ commande l'IMAGE : vers le haut si $a>0$ , vers le bas si $a<0$ . Deux paramètres, deux axes.
• Croissante si $a$ et $b$ sont de MÊME signe, décroissante sinon.
• $\sqrt{ab}=\sqrt{a}\sqrt{b}$ : ce qui sort du radical est la RACINE du facteur, pas le facteur.
• Ordre de résolution : condition d'existence, isoler la racine, regarder le signe de l'autre membre, élever au carré.
• Élever au carré n'est pas réversible : toute solution se VÉRIFIE dans l'équation de départ.
• Inéquation : la solution est l'INTERSECTION du domaine et de la condition trouvée.
• La réciproque d'une racine carrée est une parabole RESTREINTE : la restriction s'écrit toujours.

Questions fréquentes

Comment trouver le domaine d'une fonction racine carrée ?

On écrit que l'expression sous le radical est positive ou nulle, puis on résout l'inéquation. Le sens du domaine dépend du signe du paramètre qui multiplie la variable sous la racine : positif, le domaine part du sommet vers la droite; négatif, il part vers la gauche. Le paramètre devant la racine n'a aucun effet sur le domaine.

Qu'est-ce qu'une racine étrangère et comment l'éliminer ?

C'est une solution qui apparaît après avoir élevé les deux membres au carré, mais qui ne vérifie pas l'équation de départ. Elle naît parce que l'élévation au carré rend vraies aussi les égalités entre opposés. On l'élimine en remplaçant chaque solution trouvée dans l'équation originale et en rejetant celles qui ne la vérifient pas.

Pourquoi faut-il isoler la racine avant d'élever au carré ?

Parce que le carré ne traverse pas une somme. Si la racine est accompagnée d'un autre terme, le carré du membre fait apparaître un double produit qui contient encore une racine, et rien n'est simplifié. En isolant d'abord la racine, l'élévation au carré la fait disparaître complètement en une seule étape.

Quelle est la différence entre les paramètres a et b d'une racine carrée ?

Le paramètre b se trouve sous le radical, donc il agit sur les abscisses et décide du domaine, c'est-à-dire du côté vers lequel part la courbe. Le paramètre a multiplie la racine, donc il agit sur les ordonnées et décide de l'image, c'est-à-dire si la courbe monte ou descend depuis le sommet.

Quelle est la réciproque d'une fonction racine carrée ?

C'est une fonction du second degré, mais restreinte à une moitié de la parabole. On l'obtient en échangeant x et y dans la règle, puis en isolant y par élévation au carré. La restriction est obligatoire : le domaine de la réciproque est exactement l'image de la fonction de départ, et sans elle la réponse n'est pas une fonction réciproque.

Passer à la pratique

Exercices corrigés : La fonction racine carrée

Une méthode se prouve sur une copie, pas sur une fiche. La série du même chapitre reprend chacun de ces pièges dans un exercice, avec le corrigé rédigé étape par étape.

15 exercices corrigés
150 points
225 minutes

Faire les exercices

Fiche précédente La fonction partie entière Fiche suivante La fonction rationnelle, dite homographique

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Les chapitres qui le réclament en amont, plus tard dans l'année ou dans les années suivantes.

Les paramètres des fonctions

Voir aussi

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Fiche de révision : la fonction racine carrée (math SN5)

L'essentiel

Deux paramètres, deux axes

Domaine, image et variation

Résoudre une équation avec radical

La réciproque et le lien avec la parabole

Les pièges qui coûtent des points

1. Déduire le domaine du signe de aaa au lieu de celui de bbb

2. Garder une racine étrangère

3. Élever au carré sans isoler la racine

4. Lire le sommet avec le signe écrit sous le radical

5. Sortir bbb du radical sans prendre la racine

6. Résoudre une inéquation avec radical sans poser les deux conditions

7. Croire qu'une racine carrée n'a pas de zéro parce qu'elle est positive

8. Donner la réciproque sans sa restriction

Quelle méthode choisir

Domaine et image, selon les deux signes

Résoudre, selon ce que contient l'équation

La rédaction attendue

Résoudre une équation avec radical

Décrire complètement une fonction racine carrée

Vérifier avant de rendre

L'exercice type décortiqué

La vidange d'un réservoir : domaine, zéro et équation avec radical

À savoir par cœur

Questions fréquentes

Comment trouver le domaine d'une fonction racine carrée ?

Qu'est-ce qu'une racine étrangère et comment l'éliminer ?

Pourquoi faut-il isoler la racine avant d'élever au carré ?

Quelle est la différence entre les paramètres a et b d'une racine carrée ?

Quelle est la réciproque d'une fonction racine carrée ?

Exercices corrigés : La fonction racine carrée

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Voir aussi

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1. Déduire le domaine du signe de $a$ au lieu de celui de $b$

5. Sortir $b$ du radical sans prendre la racine