Exercices corrigés : nuage de points, corrélation et droite de régression (math SN4)

a) La variable indépendante est le nombre d'heures de révision : c'est celle que l'élève contrôle et qu'on porte en abscisse. La variable dépendante est la note, portée en ordonnée, car c'est elle qu'on cherche à expliquer par l'autre. Le critère de décision est toujours le même : on se demande laquelle des deux pourrait raisonnablement influencer l'autre. Ici, réviser peut faire monter une note, alors qu'obtenir une note ne fait pas réviser rétroactivement.

b) La corrélation est POSITIVE : lorsque le nombre d'heures augmente, la note augmente aussi. On le vérifie sur les données brutes sans même tracer le nuage, puisque la suite des notes, $42$, $48$, $51$, $58$, $60$, $67$, $71$, $74$, $80$, $85$, est strictement croissante. Sur le graphique, cela se traduit par un nuage qui monte de la gauche vers la droite.

c) L'intensité est FORTE. Les points sont alignés de façon très régulière, avec des écarts faibles par rapport à une droite imaginaire : entre deux élèves consécutifs, la note gagne à chaque fois entre $2$ et $7$ points, sans jamais reculer, ce qui est une progression très régulière. On estimerait $r$ autour de $0{,}99$. Le nuage est donc très proche d'une droite, ce qui justifie l'emploi d'une droite de régression dans les exercices suivants. Un nuage en forme de banane ou de nuage rond, lui, ne l'aurait pas justifié.

d) Le point serait $(5;45)$. Or les élèves qui ont révisé $5$ heures obtiennent normalement autour de $67$, et une note de $45$ correspond plutôt à une révision de moins d'une heure. Ce point se situerait donc TRÈS EN DESSOUS du nuage, nettement à l'écart des autres : c'est une donnée ABERRANTE. Devant une telle valeur, la démarche correcte n'est pas de la supprimer d'office, mais de chercher d'abord si elle vient d'une erreur de saisie ou d'une circonstance particulière, une maladie par exemple. L'exercice 7 montre l'ampleur des dégâts qu'un seul point de ce type peut causer à un modèle.

a) On applique la formule : $1-\dfrac{l}{L}=1-\dfrac{3}{15}=1-0{,}2=0{,}8$. Le nuage monte de la gauche vers la droite, donc le signe est positif. On estime $r\approx 0{,}8$. Attention à ne pas inverser le quotient : c'est la largeur sur la longueur, et non l'inverse, sans quoi on obtiendrait $1-5=-4$, une valeur impossible puisque $r$ reste toujours entre $-1$ et $1$.

b) Une valeur de $0{,}8$ correspond à une corrélation FORTE et POSITIVE. Concrètement, cela signifie que le nombre représenté en abscisse explique une grande partie de la variation observée en ordonnée, et qu'une droite de régression fournira des prévisions raisonnablement fiables.

c) Ici $1-\dfrac{8}{10}=1-0{,}8=0{,}2$, et le nuage est décroissant, donc $r\approx -0{,}2$. C'est une corrélation FAIBLE et NÉGATIVE. Un rectangle presque carré signale un nuage rond, donc l'absence de direction privilégiée : tracer une droite de régression sur de telles données n'aurait guère de sens, et toute prévision qu'on en tirerait serait peu crédible.

d) Si la corrélation est PARFAITE, tous les points sont exactement alignés : le rectangle s'aplatit complètement, sa largeur $l$ devient nulle, et la formule donne $1-\dfrac{0}{L}=1$. On obtient donc $r=1$ pour une droite croissante et $r=-1$ pour une droite décroissante. Si la corrélation est NULLE, le nuage n'a aucune direction privilégiée, il est aussi large que long, donc $l=L$ et la formule donne $1-\dfrac{L}{L}=0$, soit $r=0$. Le coefficient est ainsi toujours compris entre $-1$ et $1$, et ces deux cas limites en donnent une lecture géométrique immédiate : plus le rectangle est fin, plus $|r|$ est proche de $1$.

a) Les données sont déjà ordonnées selon $x$. Le premier groupe rassemble les cinq premières valeurs, $x=0,1,2,3,4$, dont les notes sont $42$, $48$, $51$, $58$ et $60$. Sa moyenne en $x$ vaut $\dfrac{0+1+2+3+4}{5}=\dfrac{10}{5}=2$ et sa moyenne en $y$ vaut $\dfrac{42+48+51+58+60}{5}=\dfrac{259}{5}=51{,}8$. Donc $P_1=(2;51{,}8)$. Le second groupe rassemble $x=5,6,7,8,9$, de notes $67$, $71$, $74$, $80$ et $85$. Ses moyennes valent $\dfrac{35}{5}=7$ et $\dfrac{377}{5}=75{,}4$. Donc $P_2=(7;75{,}4)$.

b) La pente se calcule comme pour n'importe quelle droite passant par deux points : $a=\dfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1}=\dfrac{75{,}4-51{,}8}{7-2}=\dfrac{23{,}6}{5}=4{,}72$. Interprétation immédiate, et c'est elle qui rapporte les points en examen : chaque heure de révision supplémentaire est associée à une hausse d'environ $4{,}7$ points à l'examen.

c) On part de la forme point-pente avec $P_1$ : $y-51{,}8=4{,}72(x-2)$, donc $y=4{,}72x-9{,}44+51{,}8$, soit $y=4{,}72x+42{,}36$. L'ordonnée à l'origine, $42{,}36$, s'interprète comme la note que le modèle prévoit pour un élève n'ayant pas révisé du tout. C'est ici une valeur plausible, puisque $x=0$ fait bien partie des données observées, ce qui n'est pas toujours le cas.

d) Contrôle avec $P_1$ : $4{,}72(2)+42{,}36=9{,}44+42{,}36=51{,}8$ ✓. Contrôle avec $P_2$ : $4{,}72(7)+42{,}36=33{,}04+42{,}36=75{,}4$ ✓. La droite passe exactement par les deux points moyens, ce qui est la définition même de la méthode de Mayer. Faire cette double vérification est essentiel : elle attrape aussi bien une erreur de pente qu'une erreur d'ordonnée à l'origine, alors qu'un seul contrôle laisserait passer une droite de pente fausse ajustée sur un point.

a) $y=4{,}72(4{,}5)+42{,}36=21{,}24+42{,}36=63{,}6$. La note estimée est d'environ $63{,}6$. Comme $4{,}5$ se situe à l'intérieur de l'intervalle observé $[0;9]$, il s'agit d'une INTERPOLATION. C'est le cas fiable : le modèle a été construit sur des données qui encadrent cette valeur, on peut raisonnablement s'y fier.

b) $y=4{,}72(15)+42{,}36=70{,}8+42{,}36=113{,}16$. Le modèle prévoit une note de $113$ sur $100$, ce qui est IMPOSSIBLE. Comme $15$ dépasse largement l'intervalle observé, il s'agit d'une EXTRAPOLATION, et elle est ici manifestement invalide. Le modèle linéaire suppose que chaque heure rapporte toujours $4{,}72$ points, alors qu'en réalité les gains ralentissent : à partir d'un certain point, l'élève maîtrise déjà la matière et réviser davantage n'ajoute plus rien. C'est ce qu'on appelle un rendement décroissant, et aucune droite ne peut le représenter.

c) On résout $4{,}72x+42{,}36>100$, soit $4{,}72x>57{,}64$, donc $x>\dfrac{57{,}64}{4{,}72}\approx 12{,}21$. Au-delà d'environ $12{,}2$ heures de révision, le modèle prévoit une note supérieure à $100$. Cette valeur est très utile : elle donne la BORNE au-delà de laquelle le modèle produit à coup sûr des absurdités, et donc une limite claire à ne jamais dépasser lorsqu'on s'en sert pour prédire.

d) Le calcul de l'élève est arithmétiquement juste, $4{,}72(25)+42{,}36=118+42{,}36=160{,}36$, mais sa conclusion ne l'est pas. Trois objections à formuler. Premièrement, une note ne peut pas dépasser $100$ : le résultat est hors du domaine de la variable dépendante. Deuxièmement, $25$ heures est presque le triple de la plus grande valeur observée, donc l'extrapolation est extrême et rien ne garantit que la relation reste linéaire si loin. Troisièmement, et c'est l'objection de fond, un modèle statistique décrit ce qu'on a OBSERVÉ, il ne promet rien au-delà. La bonne formulation serait : « sur l'intervalle de $0$ à $9$ heures, chaque heure supplémentaire est associée à environ $4{,}7$ points de plus », et rien de plus.

a) La pente vaut $-2{,}5$. Elle est NÉGATIVE, ce qui traduit une corrélation négative : plus les absences augmentent, plus la note diminue. Concrètement, chaque absence supplémentaire est associée à une baisse d'environ $2{,}5$ points de la note finale. La formulation compte : on dit « est associée à », et non « fait perdre », parce qu'une droite de régression ne démontre aucune causalité, ce que l'exercice 6 développe.

b) L'ordonnée à l'origine vaut $95$. C'est la valeur prévue par le modèle quand $x=0$, c'est-à-dire la note attendue pour un élève n'ayant AUCUNE absence : environ $95$ sur $100$. Cette lecture est ici légitime, car $x=0$ figure parmi les données observées, le nuage contenant bien un point d'abscisse $0$. Lorsque $x=0$ est hors de l'intervalle observé, l'ordonnée à l'origine n'est qu'un artefact de calcul et ne s'interprète pas.

c) On remplace : $y=-2{,}5(8)+95=-20+95=75$. Le modèle prévoit une note d'environ $75$. Le point observé correspondant est $(8;74)$, très proche de la prévision, ce qui confirme visuellement la qualité de l'ajustement.

d) On résout l'inéquation $-2{,}5x+95<60$, soit $-2{,}5x<-35$. En divisant par $-2{,}5$, un nombre NÉGATIF, le sens de l'inégalité s'inverse : $x>14$. Comme un nombre d'absences est un entier, la réponse concrète est $15$ absences ou plus. Vérification aux bornes : pour $x=14$, $y=-35+95=60$, exactement à la limite et donc pas strictement inférieur ; pour $x=15$, $y=-37{,}5+95=57{,}5$, bien en dessous de $60$ ✓.

a) Non, on ne peut pas conclure que manger de la crème glacée provoque des noyades. La variable confondante est la TEMPÉRATURE, ou plus généralement la saison. Quand il fait chaud, les gens achètent davantage de crème glacée ET vont davantage se baigner, ce qui augmente mécaniquement le nombre d'accidents. Les deux variables observées montent ensemble parce qu'elles dépendent toutes deux d'une troisième, sans avoir la moindre influence l'une sur l'autre.

b) Non, envoyer plus de pompiers n'aggrave évidemment pas l'incendie. La variable confondante est la TAILLE DU SINISTRE. Un grand incendie cause beaucoup de dégâts et mobilise beaucoup de pompiers ; un feu de poubelle fait peu de dégâts et mobilise une seule équipe. C'est la gravité initiale qui détermine les deux quantités. On remarquera que cet exemple a la même structure que le a), mais qu'il est plus troublant, parce que la corrélation y semble suggérer une causalité inversée.

c) Non. La variable confondante est l'ÂGE. Un enfant de $12$ ans a de plus grands pieds qu'un enfant de $5$ ans, et il lit aussi beaucoup mieux, parce qu'il a plusieurs années de scolarité supplémentaires. Les deux variables croissent avec l'âge, d'où une corrélation forte, alors que la taille du pied n'a strictement aucun effet sur la lecture. Détail révélateur : si l'on étudiait uniquement des enfants de $8$ ans, la corrélation disparaîtrait presque entièrement, ce qui est le test classique pour démasquer une variable confondante.

d) Ici, contrairement aux trois autres, une relation causale est PLAUSIBLE : un sommeil suffisant améliore réellement la concentration et la mémoire, et il existe des expériences contrôlées qui l'établissent. Mais la corrélation seule ne suffit toujours pas à le prouver, et deux réserves subsistent. D'une part, il peut y avoir causalité inverse ou circulaire : un élève qui maîtrise bien sa matière est moins anxieux, donc dort mieux. D'autre part, une variable confondante reste possible, par exemple l'organisation générale du travail, qui fait à la fois mieux dormir et mieux réviser. La conclusion de méthode à retenir vaut pour les quatre cas : seule une expérience contrôlée, où l'on fait varier une variable en maintenant les autres constantes, peut établir une causalité. Une corrélation, si forte soit-elle, ne fait que la suggérer.

a) Premier groupe, $x=1,2,3,4$ avec $y=3,5,4,7$ : moyennes $\dfrac{1+2+3+4}{4}=2{,}5$ et $\dfrac{3+5+4+7}{4}=\dfrac{19}{4}=4{,}75$, donc $P_1=(2{,}5;4{,}75)$. Second groupe, $x=5,6,7,8$ avec $y=8,10,9,12$ : moyennes $\dfrac{26}{4}=6{,}5$ et $\dfrac{39}{4}=9{,}75$, donc $P_2=(6{,}5;9{,}75)$. La pente vaut $\dfrac{9{,}75-4{,}75}{6{,}5-2{,}5}=\dfrac{5}{4}=1{,}25$. L'équation est $y-4{,}75=1{,}25(x-2{,}5)$, soit $y=1{,}25x+1{,}625$.

b) Le premier groupe est inchangé, donc $P_1=(2{,}5;4{,}75)$. Seul le second bouge : les valeurs deviennent $8$, $10$, $9$ et $30$, de moyenne $\dfrac{57}{4}=14{,}25$, donc $P_2'=(6{,}5;14{,}25)$. La nouvelle pente vaut $\dfrac{14{,}25-4{,}75}{4}=\dfrac{9{,}5}{4}=2{,}375$, et l'équation devient $y=2{,}375x-1{,}1875$, puisque $4{,}75-2{,}375(2{,}5)=4{,}75-5{,}9375=-1{,}1875$.

c) La pente est passée de $1{,}25$ à $2{,}375$, soit une augmentation de $1{,}125$. En pourcentage : $\dfrac{1{,}125}{1{,}25}=0{,}9$, c'est-à-dire $90$ %. La pente a donc presque DOUBLÉ à cause d'une seule valeur sur huit. L'ordonnée à l'origine, elle, a basculé du positif au négatif, passant de $1{,}625$ à $-1{,}1875$. Le modèle est méconnaissable.

d) Le premier modèle prévoit $1{,}25(3)+1{,}625=3{,}75+1{,}625=5{,}375$. Le second prévoit $2{,}375(3)-1{,}1875=7{,}125-1{,}1875=5{,}9375$. L'écart est de $0{,}5625$, soit environ $10$ % : modeste au centre du nuage, parce que les deux droites y passent près l'une de l'autre. Mais l'écart se creuse dès qu'on s'éloigne : en $x=8$, les prévisions valent $11{,}625$ et $17{,}8125$, soit $53$ % de différence. Leçon de méthode : il faut TOUJOURS tracer le nuage de points AVANT de calculer quoi que ce soit. Un simple coup d'œil aurait révélé que le point $(8;30)$ ne ressemble à aucun autre, alors qu'aucune formule ne le signale, la méthode de Mayer avalant sans broncher une valeur absurde. C'est aussi pourquoi une valeur aberrante se vérifie à la source avant d'être ni supprimée ni conservée aveuglément.

a) Premier groupe, $x=1,2,3,4$ avec $y=1,4,9,16$ : moyennes $2{,}5$ et $\dfrac{30}{4}=7{,}5$, donc $P_1=(2{,}5;7{,}5)$. Second groupe, $x=5,6,7,8$ avec $y=25,36,49,64$ : moyennes $6{,}5$ et $\dfrac{174}{4}=43{,}5$, donc $P_2=(6{,}5;43{,}5)$. Pente : $\dfrac{43{,}5-7{,}5}{4}=\dfrac{36}{4}=9$. Équation : $y-7{,}5=9(x-2{,}5)$, soit $y=9x-22{,}5+7{,}5=9x-15$ ✓.

b) On calcule la prévision puis le résidu pour chaque point. En $x=1$ : prévu $-6$, observé $1$, résidu $+7$. En $x=2$ : prévu $3$, observé $4$, résidu $+1$. En $x=3$ : prévu $12$, observé $9$, résidu $-3$. En $x=4$ : prévu $21$, observé $16$, résidu $-5$. En $x=5$ : prévu $30$, observé $25$, résidu $-5$. En $x=6$ : prévu $39$, observé $36$, résidu $-3$. En $x=7$ : prévu $48$, observé $49$, résidu $+1$. En $x=8$ : prévu $57$, observé $64$, résidu $+7$.

c) La suite des résidus est $+7$, $+1$, $-3$, $-5$, $-5$, $-3$, $+1$, $+7$. Elle n'est pas du tout aléatoire : elle est positive aux deux extrémités, négative au milieu, et parfaitement symétrique. C'est la signature d'une COURBURE que la droite ne peut pas suivre. Un bon ajustement linéaire produirait des résidus dispersés sans ordre apparent, alternant le signe au hasard ; ici ils dessinent un U net. Remarquez aussi l'absurdité que la droite produit en $x=1$ : elle prévoit $-6$ alors que toutes les données observées sont positives.

d) Un modèle QUADRATIQUE conviendrait, et il est même exact. Les données brutes le disent d'elles-mêmes : $1$, $4$, $9$, $16$, $25$, $36$, $49$, $64$ sont précisément $1^2$, $2^2$, $3^2$, et ainsi de suite. La relation est donc $y=x^2$, sans le moindre écart. Autre indice décisif, accessible sans reconnaître les carrés : les DIFFÉRENCES successives valent $3$, $5$, $7$, $9$, $11$, $13$, $15$, elles ne sont pas constantes, ce qui exclut une droite. En revanche, les différences de ces différences valent toutes $2$, et une différence seconde constante caractérise exactement une fonction du second degré. C'est un test qu'on peut mener en trente secondes sur n'importe quel tableau de données, et il faut le faire avant de sortir une droite de régression.

a) La corrélation est NÉGATIVE : quand la température monte, la consommation baisse, ce qui est cohérent avec un bâtiment chauffé en hiver. Son intensité est TRÈS FORTE : les baisses successives valent $8$, $9$, $7$, $9$ et $7$ kWh pour des hausses régulières de $5$ °C, donc environ $8$ kWh à chaque palier. Une telle régularité place $|r|$ au-dessus de $0{,}99$, et le nuage est pratiquement une droite.

b) Premier groupe, températures $0$, $5$ et $10$ avec consommations $82$, $74$ et $65$ : moyennes $\dfrac{15}{3}=5$ et $\dfrac{221}{3}\approx 73{,}67$, donc $P_1\approx(5;73{,}67)$. Second groupe, températures $15$, $20$ et $25$ avec consommations $58$, $49$ et $42$ : moyennes $\dfrac{60}{3}=20$ et $\dfrac{149}{3}\approx 49{,}67$, donc $P_2\approx(20;49{,}67)$. Pente : $\dfrac{49{,}67-73{,}67}{20-5}=\dfrac{-24}{15}=-1{,}6$. Équation : $y-73{,}67=-1{,}6(x-5)$, soit $y=-1{,}6x+8+73{,}67$, c'est-à-dire $y\approx -1{,}6x+81{,}67$. Contrôle avec $P_2$ : $-1{,}6(20)+81{,}67=-32+81{,}67=49{,}67$ ✓.

c) La pente $-1{,}6$ signifie que chaque degré Celsius supplémentaire est associé à une baisse d'environ $1{,}6$ kWh de consommation quotidienne. C'est parfaitement interprétable : il fait moins froid, donc le chauffage tourne moins. Pour $12$ °C : $y=-1{,}6(12)+81{,}67=-19{,}2+81{,}67=62{,}47$ kWh. Comme $12$ se situe dans l'intervalle observé $[0;25]$, c'est une interpolation, et l'estimation d'environ $62{,}5$ kWh est fiable.

d) Pour $60$ °C : $y=-1{,}6(60)+81{,}67=-96+81{,}67=-14{,}33$ kWh. Deux raisons distinctes de rejeter cette prévision. La première est MATHÉMATIQUE et immédiate : une consommation d'électricité négative n'a aucun sens, la valeur sort du domaine possible de la variable. Le modèle traverse d'ailleurs zéro à $x=\dfrac{81{,}67}{1{,}6}\approx 51{,}0$ °C, borne au-delà de laquelle il ne produit plus que des absurdités. La seconde raison est PHYSIQUE et plus profonde : à $60$ °C, non seulement le chauffage serait éteint, mais la climatisation fonctionnerait à plein régime, et la consommation REPARTIRAIT À LA HAUSSE. La vraie relation n'est donc pas décroissante partout, elle est en forme de U, minimale autour de la température de confort. Les données recueillies ne couvrent qu'une seule branche de cette courbe, la branche hivernale, et aucune droite ajustée sur ce seul morceau ne peut décrire ce qui se passe de l'autre côté. C'est l'illustration la plus nette du principe du chapitre : un modèle ne vaut que sur le domaine où il a été construit.

a) $y=4{,}72(6{,}5)+42{,}36=30{,}68+42{,}36=73{,}04$. L'estimation est d'environ $73$. Comme $6{,}5$ appartient à l'intervalle observé $[0;9]$, il s'agit d'une interpolation et l'estimation est FIABLE. On l'annoncerait avec une marge, autour de $73$ plus ou moins quelques points, plutôt que comme un chiffre exact : un modèle statistique donne une tendance, pas une prédiction individuelle.

b) On résout $4{,}72x+42{,}36=90$, soit $4{,}72x=47{,}64$, donc $x=\dfrac{47{,}64}{4{,}72}\approx 10{,}09$ heures. La réponse est utilisable avec PRUDENCE, et il faut le dire explicitement : $10{,}09$ dépasse la plus grande valeur observée, $9$ heures, il s'agit donc d'une extrapolation. Elle reste modérée, à peine plus d'une heure au-delà des données, ce qui la rend nettement plus défendable que les $15$ ou $25$ heures de l'exercice 4. La formulation honnête serait : « environ $10$ heures, en supposant que la tendance observée se prolonge un peu au-delà de $9$ heures ».

c) La phrase du directeur commet deux fautes. D'abord, elle affirme une CAUSALITÉ, « fait gagner », alors que l'étude n'établit qu'une association : les élèves qui ont révisé davantage ont obtenu de meilleures notes, mais ils sont peut-être aussi ceux qui étaient déjà les plus motivés ou les mieux organisés, ce qui serait une variable confondante classique. Ensuite, elle présente le résultat comme UNIVERSEL, alors qu'il ne vaut que pour ces dix élèves, sur cet examen, et dans l'intervalle de $0$ à $9$ heures. Une formulation correcte : « dans notre relevé, chaque heure de révision supplémentaire s'accompagnait en moyenne d'environ $4{,}7$ points de plus ».

d) Conclusion en trois phrases. Premièrement, on observe une corrélation linéaire positive très forte entre le nombre d'heures de révision et la note obtenue, pour ces dix élèves. Deuxièmement, la droite de Mayer $y=4{,}72x+42{,}36$ modélise bien cette relation sur l'intervalle observé de $0$ à $9$ heures, où chaque heure supplémentaire correspond en moyenne à environ $4{,}7$ points de plus. Troisièmement, ce modèle ne doit pas être extrapolé au-delà de $9$ heures, puisqu'il prévoit des notes supérieures à $100$ dès $12{,}2$ heures, et il n'établit aucune relation de cause à effet, seule une expérience contrôlée pourrait le faire. C'est exactement le type de rédaction attendu en question à développement : un constat, un modèle chiffré et interprété, et ses limites.