Exercices corrigés : les statistiques descriptives (201-337)

a) Couleur des yeux : qualitative NOMINALE, les catégories n'ont aucun ordre. Niveau de satisfaction de 1 à 5 : qualitative ORDINALE, les catégories sont ordonnées mais les écarts ne sont pas mesurables, rien ne dit que passer de 1 à 2 équivaut à passer de 4 à 5. Nombre de frères et sœurs : quantitative DISCRÈTE, on compte, les valeurs intermédiaires n'existent pas. Temps de trajet : quantitative CONTINUE, toute valeur d'un intervalle est possible, seule la précision de l'instrument limite. Code postal : qualitative NOMINALE, malgré ses chiffres : calculer la moyenne des codes postaux n'aurait aucun sens, et c'est là le test décisif.

b) Population : les 4200 étudiants du cégep. Unité statistique : un étudiant. Variable : le temps de trajet domicile-cégep, en minutes. Échantillon : les 300 étudiants interrogés. Un PARAMÈTRE est une caractéristique de la POPULATION, ici le temps moyen $\mu$ des 4200, une valeur unique, fixe et inconnue. Une STATISTIQUE est la même caractéristique calculée sur l'ÉCHANTILLON, ici $\overline{x}$, qui change d'un échantillon à l'autre. On cherche le paramètre, on ne dispose que de la statistique : tout le reste du cours consiste à mesurer l'écart entre les deux.

c) Tirage aléatoire SIMPLE : on numérote les 4200 étudiants, puis on tire 300 numéros au hasard, chacun ayant la même probabilité et chaque groupe de 300 étant également possible. SYSTÉMATIQUE : le pas vaut $k=\frac{4200}{300}=14$; on tire au hasard un premier étudiant parmi les 14 premiers, puis on prend un étudiant sur 14 dans la liste. STRATIFIÉ proportionnel : la strate des sciences représente 60 % de la population, elle doit en représenter autant dans l'échantillon, soit $(0{,}60)(300)=180$ étudiants en sciences et 120 hors sciences.

d) Sondage en ligne ouvert à qui le veut : biais d'AUTO-SÉLECTION, ce sont les plus motivés, donc typiquement ceux qui ont un long trajet ou une revendication, qui répondent. Questionnaire à la sortie de la bibliothèque un mardi à 16 h : biais de COUVERTURE, la base de sondage n'est pas la population; on n'y trouve ni les étudiants du soir, ni ceux qui rentrent tôt parce qu'ils habitent loin, précisément ceux qui intéressent l'étude. Envoi par courriel avec 300 réponses sur 4200 : biais de NON-RÉPONSE, avec un taux de 7 % il n'y a aucune raison de croire que les répondants ressemblent aux 3900 silencieux. Dans les trois cas, augmenter la taille ne corrige rien : le défaut n'est pas dans le nombre, il est dans la façon de choisir.

e) Parce que la taille ne compense JAMAIS un biais de sélection. Le magazine avait tiré ses adresses dans les annuaires téléphoniques et les registres d'immatriculation automobile : en pleine Grande Dépression, posséder un téléphone ou une voiture était le privilège d'une minorité aisée, plutôt hostile à Roosevelt. Chaque nouvelle réponse venait donc grossir un échantillon systématiquement décalé, sans jamais corriger le décalage. L'institut, lui, avait construit un échantillon représentatif de la structure sociale du pays. La leçon est fondamentale : la taille de l'échantillon ne fait diminuer que l'erreur ALÉATOIRE, celle qui vient du hasard du tirage. L'erreur SYSTÉMATIQUE, elle, ne dépend que de la méthode, et un million de réponses mal recrutées restent un million de réponses fausses. C'est aussi pourquoi un sondage sérieux publie sa méthode avant ses résultats.

a) La somme vaut $32+35+38+38+41+45+52+219=500$, donc la moyenne est $\overline{x}=\dfrac{500}{8}=62{,}5$ milliers de dollars. Pour la médiane, la série est déjà classée et $n=8$ est pair : on prend la moyenne des deux valeurs centrales, la quatrième et la cinquième, soit $\dfrac{38+41}{2}=39{,}5$. Le mode est 38, seule valeur apparaissant deux fois.

b) SEPT employés sur huit gagnent moins que la moyenne de 62,5. Seul le propriétaire est au-dessus. Une moyenne dont 87,5 % des données sont en dessous ne décrit évidemment pas un individu typique : elle est TIRÉE vers le haut par une valeur extrême, parce que le calcul de la moyenne accorde à 219 le même poids qu'à 32 alors qu'il en est très éloigné.

c) Sans le 219, la somme des sept salaires restants vaut 281, donc la moyenne devient $\dfrac{281}{7}=40{,}1$ et la médiane, quatrième valeur d'une série de sept, devient 38. La moyenne a chuté de 62,5 à 40,1, soit une variation de 22,4 ; la médiane est passée de 39,5 à 38, soit 1,5. La MOYENNE a donc bougé quinze fois plus : elle est sensible aux valeurs extrêmes, la médiane est ROBUSTE.

d) La direction citera la MOYENNE, 62 500 dollars, qui donne l'image la plus flatteuse. Le syndicat citera la MÉDIANE, 39 500 dollars, plus proche de la réalité vécue. C'est la médiane qui décrit le mieux un employé ordinaire, puisque par construction la moitié gagne moins et la moitié gagne plus. Aucune des deux n'est fausse : elles répondent à des questions différentes, et c'est précisément pourquoi les organismes statistiques publient le revenu MÉDIAN et non le revenu moyen.

e) La moyenne, 62,5, est nettement SUPÉRIEURE à la médiane, 39,5. Cela signifie que la distribution est ÉTALÉE VERS LA DROITE, avec une queue de valeurs élevées et peu nombreuses qui tirent la moyenne. C'est la forme caractéristique de toutes les distributions de revenus, de patrimoines et de tailles d'entreprises. Le cas symétrique, moyenne inférieure à la médiane, correspondrait à un étalement vers la gauche ; l'égalité des deux signale une distribution symétrique.

a) $\overline{x}=\dfrac{12+15+18+20+25}{5}=\dfrac{90}{5}=18$. Les écarts $x_{i}-\overline{x}$ valent $-6$, $-3$, $0$, $+2$, $+7$, et leurs carrés 36, 9, 0, 4, 49. La somme des carrés vaut 98.

b) Parce que la somme des écarts BRUTS est toujours NULLE : ici $-6-3+0+2+7=0$, et ce n'est pas un hasard, c'est une propriété de la moyenne. Les écarts positifs compensent exactement les négatifs, donc leur somme ne mesure aucune dispersion. Élever au carré rend tous les termes positifs, ce qui empêche la compensation, et pénalise davantage les grands écarts que les petits. On pourrait aussi prendre les valeurs absolues, ce qui donne l'écart moyen absolu, mais le carré se manipule bien mieux algébriquement, ce qui explique son adoption universelle.

c) Comme ÉCHANTILLON : $s^{2}=\dfrac{98}{5-1}=24{,}5$ et $s=\sqrt{24{,}5}=4{,}95$. Comme POPULATION : $\sigma^{2}=\dfrac{98}{5}=19{,}6$ et $\sigma=\sqrt{19{,}6}=4{,}43$. La version échantillon est donc toujours la plus GRANDE des deux.

d) Parce que la moyenne $\overline{x}$ utilisée dans le calcul a elle-même été ESTIMÉE à partir de ces mêmes données. Les cinq écarts ne sont donc pas indépendants : leur somme étant forcément nulle, connaître quatre d'entre eux détermine le cinquième. Il n'y a en réalité que $n-1=4$ écarts libres, ce qu'on appelle les degrés de liberté. Diviser par 5 sous-estimerait systématiquement la dispersion de la population dont l'échantillon est tiré ; diviser par 4 corrige ce biais. Quand on dispose de TOUTE la population, la moyenne $\mu$ n'est pas estimée mais connue, et la correction n'a plus lieu d'être.

e) $CV=\dfrac{s}{\overline{x}}\times 100=\dfrac{4{,}95}{18}\times 100=27{,}5$ %. Il sert à comparer la dispersion de séries qui n'ont ni la même unité ni le même ordre de grandeur. Un écart-type de 5 est énorme sur des notes sur 20 et négligeable sur des salaires en dollars : rapporté à la moyenne, le coefficient de variation devient un pourcentage sans unité, directement comparable. On l'utilise couramment pour comparer la régularité de deux procédés de fabrication ou la volatilité de deux placements.

a) $z_{Anne}=\dfrac{78-70}{8}=\dfrac{8}{8}=1{,}00$ et $z_{Beno\hat{i}t}=\dfrac{85-80}{10}=\dfrac{5}{10}=0{,}50$.

b) ANNE, avec une cote z de 1,00 contre 0,50. Le résultat surprend au premier abord puisque sa note brute, 78, est INFÉRIEURE aux 85 de Benoît. Mais Anne se situe un écart-type complet au-dessus de son groupe, alors que Benoît n'est qu'à un demi-écart-type du sien. Rapportée à la difficulté de l'épreuve et à la dispersion du groupe, la performance d'Anne est donc meilleure. C'est exactement le raisonnement qui fonde la cote R utilisée pour l'admission universitaire au Québec.

c) Une cote z NÉGATIVE signifie que la valeur est INFÉRIEURE à la moyenne du groupe ; sa valeur absolue indique de combien d'écarts-types. Une cote z NULLE signifie que la valeur est exactement égale à la moyenne. La cote z n'a pas d'unité : c'est un rapport de deux grandeurs de même unité, ce qui est précisément ce qui rend la comparaison possible entre distributions différentes.

d) Anne, à $z=1{,}00$, se situe exactement à la limite de l'intervalle contenant les 68 % centraux : environ 16 % des étudiants de son groupe font mieux qu'elle. Benoît, à $z=0{,}50$, est bien à l'intérieur de cet intervalle central ; environ 31 % de son groupe fait mieux. Ni l'un ni l'autre n'atteint $z=2$, seuil au-delà duquel on entre dans les 2,5 % supérieurs et où l'on parle de performance exceptionnelle.

e) De $z=\dfrac{x-\overline{x}}{s}$ on tire $x=\overline{x}+z\,s=55\,000+1{,}5\times 6000=55\,000+9000=64\,000$ dollars. La cote z se lit donc dans les deux sens : elle transforme une valeur en position relative, et une position relative en valeur. Noter au passage que l'annonce est habilement formulée : elle décrit un salaire de 64 000 dollars, meilleur que celui d'environ 93 % du secteur, ce qui est bon mais moins spectaculaire que le vocabulaire statistique ne le laisse croire.

a) La série compte $n=10$ valeurs, déjà classées. La médiane est la moyenne des cinquième et sixième : $Q_{2}=\dfrac{22+25}{2}=23{,}5$. La moitié inférieure est 12, 15, 18, 20, 22, dont la valeur centrale est $Q_{1}=18$. La moitié supérieure est 25, 28, 30, 32, 60, dont la valeur centrale est $Q_{3}=30$.

b) $EI=Q_{3}-Q_{1}=30-18=12$. Le résumé en cinq nombres est : minimum 12, $Q_{1}=18$, médiane 23,5, $Q_{3}=30$, maximum 60.

c) Les bornes sont $Q_{1}-1{,}5\,EI=18-18=0$ et $Q_{3}+1{,}5\,EI=30+18=48$. Toute valeur hors de $\left[0\ ;\ 48\right]$ est aberrante. La valeur 60 dépasse 48 : c'est la SEULE valeur aberrante de la série. Toutes les autres sont dans l'intervalle.

d) La boîte s'étend de 18 à 30, coupée par un trait à 23,5. La moustache gauche descend au minimum non aberrant, 12 ; la moustache droite monte jusqu'à 32, dernière valeur non aberrante, et le 60 est marqué à part par un point isolé. La médiane 23,5 n'est pas au centre de la boîte, elle est légèrement décalée vers la gauche puisque $23{,}5-18=5{,}5$ contre $30-23{,}5=6{,}5$ : la moitié supérieure est un peu plus étalée. Combiné à la valeur aberrante haute, cela indique une distribution étalée vers la DROITE.

e) Parce que l'étendue ne repose que sur les DEUX valeurs extrêmes, donc précisément sur celles qui sont susceptibles d'être aberrantes. Ici l'étendue vaut $60-12=48$, un nombre entièrement dicté par une donnée suspecte, alors que l'écart interquartile vaut 12 et décrit les 50 % centraux de la série, sans être affecté par ce qui se passe aux extrémités. L'écart interquartile est donc ROBUSTE, au même titre que la médiane, et c'est pourquoi les deux vont naturellement ensemble : on associe moyenne et écart-type d'un côté, médiane et écart interquartile de l'autre.

a) Note finale : $(0{,}15)(72)+(0{,}25)(65)+(0{,}20)(88)+(0{,}40)(79)=10{,}80+16{,}25+17{,}60+31{,}60=76{,}25$. Moyenne simple : $\frac{72+65+88+79}{4}=\frac{304}{4}=76{,}00$. Elles diffèrent parce que la moyenne pondérée accorde à chaque note une importance proportionnelle à son poids : ici, le 79 de l'évaluation la plus lourde pèse plus que le 88 de l'évaluation à 20 %. Les deux coïncideraient si et seulement si toutes les pondérations étaient ÉGALES, c'est-à-dire de 25 % chacune : la moyenne simple n'est qu'un cas particulier de la moyenne pondérée.

b) Les trois premières évaluations rapportent $(0{,}15)(72)+(0{,}25)(65)+(0{,}20)(88)=44{,}65$ points sur les 60 % déjà joués. Il lui faut 80 au total, donc $80-44{,}65=35{,}35$ points doivent venir d'une évaluation qui vaut 40 % : sa note doit être $\frac{35{,}35}{0{,}40}\approx 88{,}4$. C'est exigeant mais atteignable, et le calcul montre bien à quoi sert la pondération : une évaluation à 40 % laisse encore la partie entièrement ouverte.

c) La vraie moyenne se calcule sur les 42 étudiants réunis : $\frac{(30)(68)+(12)(80)}{42}=\frac{2040+960}{42}=\frac{3000}{42}\approx 71{,}4$. L'enseignant a fait $\frac{68+80}{2}=74$, c'est-à-dire la moyenne des deux moyennes, ce qui revient à traiter les deux groupes comme s'ils avaient le même effectif. Or le groupe faible est deux fois et demie plus nombreux : il doit peser d'autant plus. L'écart, 2,6 points, n'est pas anodin quand il s'agit de comparer des cohortes.

d) La moyenne des moyennes n'est correcte que si tous les sous-groupes ont le MÊME effectif. En général, il faut pondérer chaque moyenne par l'effectif de son groupe : $\overline{x}=\frac{\sum n_{i}\overline{x_{i}}}{\sum n_{i}}$. La raison est que la moyenne d'ensemble est la somme de TOUTES les valeurs divisée par leur nombre, et que la somme des valeurs d'un groupe vaut $n_{i}\overline{x_{i}}$ : l'effectif est déjà là, il ne peut pas disparaître. C'est l'une des erreurs les plus répandues dans les rapports, parce qu'elle est invisible : le calcul faux a l'air parfaitement raisonnable.

e) $\frac{(4)(80)+(2)(65)+(3)(90)}{4+2+3}=\frac{320+130+270}{9}=\frac{720}{9}=80{,}0$. On pondère par les unités parce qu'elles mesurent la charge de travail : un cours de 4 unités représente deux fois plus d'apprentissage qu'un cours de 2 unités, et il serait absurde qu'un cours mineur puisse peser autant qu'un cours majeur dans le bilan d'une session. Le principe est général : une moyenne pondérée traduit toujours un jugement sur l'IMPORTANCE relative des éléments, et ce jugement est une décision, pas un calcul. Changer les pondérations change la note sans qu'aucun résultat n'ait changé.

a) Le centre de chaque classe est la moyenne de ses deux bornes : 5, 15, 25, 35 et 45 minutes. L'effectif total vaut $6+14+18+9+3=50$, ce qui correspond bien à l'énoncé.

b) $\overline{x}=\dfrac{\sum n_{i}c_{i}}{n}$ où $c_{i}$ est le centre de classe. Le numérateur vaut $6\times 5+14\times 15+18\times 25+9\times 35+3\times 45=30+210+450+315+135=1140$. Donc $\overline{x}=\dfrac{1140}{50}=22{,}8$ minutes.

c) On calcule $\sum n_{i}\left(c_{i}-\overline{x}\right)^{2}$. Les écarts valent $-17{,}8$, $-7{,}8$, $2{,}2$, $12{,}2$ et $22{,}2$, dont les carrés sont $316{,}84$, $60{,}84$, $4{,}84$, $148{,}84$ et $492{,}84$. Pondérés par les effectifs : $1901{,}04+851{,}76+87{,}12+1339{,}56+1478{,}52=5658$. Alors $\sigma^{2}=\dfrac{5658}{50}=113{,}16$ et $\sigma=\sqrt{113{,}16}=10{,}6$ minutes.

d) La classe MODALE est celle du plus grand effectif : $\left[20\ ;\ 30\right[$ avec 18 étudiants. Pour la classe médiane, on cherche où se situe la 25e et la 26e observation. Les effectifs cumulés valent 6, puis 20, puis 38 : la 25e et la 26e tombent donc dans la troisième classe. La classe MÉDIANE est également $\left[20\ ;\ 30\right[$. Leur coïncidence, jointe à une moyenne de 22,8 proche du centre de cette classe, suggère une distribution assez symétrique, avec un léger étalement vers la droite dû aux trajets longs.

e) Parce qu'on a remplacé chacune des 50 valeurs réelles par le CENTRE de sa classe, ce qui revient à supposer que les données se répartissent uniformément à l'intérieur de chaque classe, ou du moins symétriquement autour du centre. Si, par exemple, les 18 étudiants de la classe $\left[20\ ;\ 30\right[$ étaient en fait tous vers 21 minutes, la vraie moyenne serait plus basse que 22,8. Le résultat serait EXACT si, dans chaque classe, la moyenne réelle des données coïncidait avec le centre de la classe. En pratique les écarts se compensent largement d'une classe à l'autre, et l'approximation est excellente dès que les classes sont assez étroites et les effectifs suffisants.

a) Effectifs cumulés croissants : 6 à 10 min, $6+14=20$ à 20 min, $20+18=38$ à 30 min, $38+9=47$ à 40 min, $47+3=50$ à 50 min. En pourcentages : 12 %, 40 %, 76 %, 94 %, 100 %. La dernière valeur doit valoir exactement l'effectif total, c'est la vérification à faire systématiquement.

b) Parce que l'effectif cumulé répond à la question « combien d'étudiants mettent MOINS DE tant de minutes ». Or on ne sait avec certitude que 20 étudiants sont sous les 20 minutes qu'une fois la classe $[10\ ;\ 20[$ entièrement comptée, c'est-à-dire à sa borne supérieure. Placer le cumul au centre de la classe reviendrait à affirmer que la moitié de la classe est atteinte au milieu, ce qui est justement ce qu'on ignore. L'ogive est donc une courbe croissante qui part de zéro à la borne inférieure de la première classe et atteint l'effectif total à la borne supérieure de la dernière.

c) La médiane correspond au 25e étudiant, soit 50 % de 50. Le cumul vaut 20 à 20 minutes et 38 à 30 minutes : la médiane tombe donc dans la classe $[20\ ;\ 30[$. Il faut y progresser de $25-20=5$ étudiants sur les 18 que compte la classe, soit une fraction $\frac{5}{18}$ de son amplitude de 10 minutes : $M_{e}=20+\frac{5}{18}(10)\approx 22{,}8$ minutes. Sur un histogramme, on ne pourrait que nommer la classe médiane, $[20\ ;\ 30[$, sans aller plus loin : c'est tout l'avantage de l'ogive, qui donne une valeur et non un intervalle.

d) Neuvième décile : 90 % de 50 font 45 étudiants. Le cumul vaut 38 à 30 minutes et 47 à 40 minutes, donc $D_{9}$ est dans $[30\ ;\ 40[$ : $D_{9}=30+\frac{45-38}{9}(10)\approx 37{,}8$ minutes. Premier décile : 10 % de 50 font 5 étudiants, dans la première classe : $D_{1}=0+\frac{5}{6}(10)\approx 8{,}3$ minutes. Concrètement, un étudiant sur dix arrive en moins de 8 minutes, et un sur dix met plus de 38 minutes. Pour un service de transport, c'est ce dernier chiffre qui compte : dimensionner sur la moyenne laisserait 10 % des usagers dans une situation nettement pire que ce que l'on croit avoir prévu.

e) À 35 minutes, on est au milieu de la classe $[30\ ;\ 40[$ : le cumul vaut $38+\frac{5}{10}(9)=42{,}5$ étudiants, donc $50-42{,}5=7{,}5$ étudiants mettent plus de 35 minutes, soit 15 %. L'hypothèse faite en interpolant est que les données sont réparties UNIFORMÉMENT à l'intérieur de chaque classe, ce qui permet de traiter l'ogive comme une suite de segments de droite. Elle est raisonnable quand les classes sont étroites et les effectifs importants, mais elle devient fausse dès que la répartition interne est très déséquilibrée : si, dans la classe $[30\ ;\ 40[$, tous les étudiants étaient en réalité à 31 minutes, la réponse exacte serait 18 % et non 15 %. Le remède est le même que toujours : des classes plus fines, tant que les effectifs le permettent.

a) Moyenne : $\overline{F}=1{,}8(18{,}0)+32=32{,}4+32=64{,}4$ °F. Écart-type : $s_{F}=1{,}8(4{,}0)=7{,}2$ °F. Le 32 n'intervient pas parce qu'ajouter une constante DÉPLACE toute la série en bloc, sans rapprocher ni éloigner les valeurs les unes des autres : l'écart entre deux relevés quelconques reste identique, donc la dispersion aussi. Seule la multiplication par 1,8 dilate les écarts, et elle les dilate tous dans le même rapport.

b) Pour $y=ax+b$ : $\overline{y}=a\overline{x}+b$, la variance devient $s_{y}^{2}=a^{2}s_{x}^{2}$ et l'écart-type $s_{y}=|a|\,s_{x}$. La valeur absolue compte : multiplier par $-2$ retourne la série mais double sa dispersion, et un écart-type ne peut jamais être négatif. Notez aussi que la médiane et les quartiles suivent la même règle que la moyenne, et que l'étendue et l'écart interquartile suivent celle de l'écart-type.

c) En Celsius : $CV=\frac{4{,}0}{18{,}0}\times 100\approx 22{,}2$ %. En Fahrenheit : $CV=\frac{7{,}2}{64{,}4}\times 100\approx 11{,}2$ %. Le coefficient de variation a été DIVISÉ PAR DEUX alors qu'aucune donnée n'a changé, seulement l'unité. La conclusion est nette : le coefficient de variation n'a de sens que pour une variable mesurée sur une échelle de RAPPORT, c'est-à-dire dotée d'un zéro absolu, comme une masse, une durée ou un revenu. Les températures Celsius et Fahrenheit ont des zéros purement conventionnels, si bien que le rapport $\frac{s}{\overline{x}}$ n'y signifie rien. En kelvins, la question redeviendrait légitime.

d) En Celsius : $z=\frac{22-18{,}0}{4{,}0}=1{,}00$. En Fahrenheit : $z=\frac{71{,}6-64{,}4}{7{,}2}=\frac{7{,}2}{7{,}2}=1{,}00$. Identique. Démonstration : si $y=ax+b$ avec $a>0$, alors $z_{y}=\frac{y-\overline{y}}{s_{y}}=\frac{(ax+b)-(a\overline{x}+b)}{a s_{x}}=\frac{a(x-\overline{x})}{a s_{x}}=\frac{x-\overline{x}}{s_{x}}=z_{x}$. Le $b$ disparaît par soustraction, le $a$ par simplification. C'est exactement pourquoi la cote z permet de comparer des mesures faites dans des unités différentes : elle est le seul indicateur du chapitre à ne dépendre ni de l'origine ni de l'échelle.

e) Ajouter 5 points, c'est $y=x+5$ : la moyenne monte de 5, l'écart-type ne bouge pas, et le classement est rigoureusement inchangé puisque tout le monde gagne autant. Multiplier par 1,1, c'est $y=1{,}1x$ : la moyenne et l'écart-type sont tous deux multipliés par 1,1, et le classement reste lui aussi inchangé, puisque la fonction est croissante. Aucune transformation linéaire de pente positive ne peut modifier un ordre, ce qui explique qu'aucune ne modifie non plus les cotes z. Enfin, appliquer $y=\frac{x-\overline{x}}{s}$, c'est prendre $a=\frac{1}{s}$ et $b=-\frac{\overline{x}}{s}$ : la nouvelle série a pour moyenne $\frac{\overline{x}-\overline{x}}{s}=0$ et pour écart-type $\frac{s}{s}=1$. On l'appelle la série CENTRÉE RÉDUITE, et c'est elle qui rend comparables deux évaluations de barèmes différents. Toute la logique de la cote z, et des cotes standardisées utilisées à l'admission universitaire, tient dans ces deux lignes.

a) Il manque la comparaison avec la MÉDIANE. L'écart entre 71 000 et 48 000 est considérable : la moyenne dépasse la médiane de près de 50 %, ce qui révèle une distribution fortement étalée vers la droite. Concrètement, une minorité de ménages très aisés tire la moyenne vers le haut, alors que le ménage typique gagne 48 000 dollars. Qualifier le quartier d'aisé sur la base de la seule moyenne, c'est décrire une minorité en la présentant comme la norme.

b) $CV=\dfrac{55\,000}{71\,000}\times 100=77{,}5$ %. Un coefficient de variation aussi élevé signale une hétérogénéité extrême : la dispersion est du même ordre de grandeur que le niveau moyen lui-même. Ce quartier n'a pas de revenu « typique » au sens usuel ; il juxtapose des situations très différentes. Une seule mesure de tendance centrale, quelle qu'elle soit, y sera nécessairement trompeuse.

c) OUI, c'est exact, et c'est même la définition de la médiane : la moitié des ménages gagnent plus de 48 000 dollars et l'autre moitié moins. L'affirmation est irréprochable sur le fond. Elle reste néanmoins orientée par ce qu'elle omet : on pourrait tout aussi véridiquement écrire que la moitié des ménages gagnent MOINS de 48 000 dollars. Choisir de présenter la moitié haute plutôt que la moitié basse est un choix rhétorique, non statistique.

d) Les deux quartiers ont le même ménage typique, mais le premier est très INÉGALITAIRE alors que le second est HOMOGÈNE : dans le second, la quasi-totalité des ménages se situe entre environ 24 000 et 72 000 dollars, tandis que dans le premier les revenus s'étalent sur une plage plusieurs fois plus large. Deux quartiers de même médiane peuvent donc offrir des réalités sociales entièrement différentes, ce qu'aucune mesure de tendance centrale ne peut révéler seule.

e) Premièrement la MÉDIANE, 48 000 dollars, comme mesure du ménage typique, parce qu'elle résiste aux valeurs extrêmes qui sont manifestement présentes ici. Deuxièmement l'ÉCART INTERQUARTILE, ou à défaut les quartiles eux-mêmes, parce qu'il décrit l'étalement des 50 % centraux sans être faussé par la queue de distribution, contrairement à l'écart-type de 55 000 qui est lui-même gonflé par les hauts revenus. Troisièmement la part des ménages sous un SEUIL de référence, par exemple le seuil de faible revenu, parce qu'un indicateur de position répond à la question sociale réelle là où aucun résumé numérique ne le fait. On pourrait ajouter un histogramme, qui reste la façon la plus honnête de présenter une distribution : il ne résume rien et ne cache donc rien.