Exercices corrigés : les statistiques descriptives (201-337)

a) La somme vaut $32+35+38+38+41+45+52+219=500$, donc la moyenne est $\overline{x}=\dfrac{500}{8}=62{,}5$ milliers de dollars. Pour la médiane, la série est déjà classée et $n=8$ est pair : on prend la moyenne des deux valeurs centrales, la quatrième et la cinquième, soit $\dfrac{38+41}{2}=39{,}5$. Le mode est 38, seule valeur apparaissant deux fois.

b) SEPT employés sur huit gagnent moins que la moyenne de 62,5. Seul le propriétaire est au-dessus. Une moyenne dont 87,5 % des données sont en dessous ne décrit évidemment pas un individu typique : elle est TIRÉE vers le haut par une valeur extrême, parce que le calcul de la moyenne accorde à 219 le même poids qu'à 32 alors qu'il en est très éloigné.

c) Sans le 219, la somme des sept salaires restants vaut 281, donc la moyenne devient $\dfrac{281}{7}=40{,}1$ et la médiane, quatrième valeur d'une série de sept, devient 38. La moyenne a chuté de 62,5 à 40,1, soit une variation de 22,4 ; la médiane est passée de 39,5 à 38, soit 1,5. La MOYENNE a donc bougé quinze fois plus : elle est sensible aux valeurs extrêmes, la médiane est ROBUSTE.

d) La direction citera la MOYENNE, 62 500 dollars, qui donne l'image la plus flatteuse. Le syndicat citera la MÉDIANE, 39 500 dollars, plus proche de la réalité vécue. C'est la médiane qui décrit le mieux un employé ordinaire, puisque par construction la moitié gagne moins et la moitié gagne plus. Aucune des deux n'est fausse : elles répondent à des questions différentes, et c'est précisément pourquoi les organismes statistiques publient le revenu MÉDIAN et non le revenu moyen.

e) La moyenne, 62,5, est nettement SUPÉRIEURE à la médiane, 39,5. Cela signifie que la distribution est ÉTALÉE VERS LA DROITE, avec une queue de valeurs élevées et peu nombreuses qui tirent la moyenne. C'est la forme caractéristique de toutes les distributions de revenus, de patrimoines et de tailles d'entreprises. Le cas symétrique, moyenne inférieure à la médiane, correspondrait à un étalement vers la gauche ; l'égalité des deux signale une distribution symétrique.

a) $\overline{x}=\dfrac{12+15+18+20+25}{5}=\dfrac{90}{5}=18$. Les écarts $x_{i}-\overline{x}$ valent $-6$, $-3$, $0$, $+2$, $+7$, et leurs carrés 36, 9, 0, 4, 49. La somme des carrés vaut 98.

b) Parce que la somme des écarts BRUTS est toujours NULLE : ici $-6-3+0+2+7=0$, et ce n'est pas un hasard, c'est une propriété de la moyenne. Les écarts positifs compensent exactement les négatifs, donc leur somme ne mesure aucune dispersion. Élever au carré rend tous les termes positifs, ce qui empêche la compensation, et pénalise davantage les grands écarts que les petits. On pourrait aussi prendre les valeurs absolues, ce qui donne l'écart moyen absolu, mais le carré se manipule bien mieux algébriquement, ce qui explique son adoption universelle.

c) Comme ÉCHANTILLON : $s^{2}=\dfrac{98}{5-1}=24{,}5$ et $s=\sqrt{24{,}5}=4{,}95$. Comme POPULATION : $\sigma^{2}=\dfrac{98}{5}=19{,}6$ et $\sigma=\sqrt{19{,}6}=4{,}43$. La version échantillon est donc toujours la plus GRANDE des deux.

d) Parce que la moyenne $\overline{x}$ utilisée dans le calcul a elle-même été ESTIMÉE à partir de ces mêmes données. Les cinq écarts ne sont donc pas indépendants : leur somme étant forcément nulle, connaître quatre d'entre eux détermine le cinquième. Il n'y a en réalité que $n-1=4$ écarts libres, ce qu'on appelle les degrés de liberté. Diviser par 5 sous-estimerait systématiquement la dispersion de la population dont l'échantillon est tiré ; diviser par 4 corrige ce biais. Quand on dispose de TOUTE la population, la moyenne $\mu$ n'est pas estimée mais connue, et la correction n'a plus lieu d'être.

e) $CV=\dfrac{s}{\overline{x}}\times 100=\dfrac{4{,}95}{18}\times 100=27{,}5$ %. Il sert à comparer la dispersion de séries qui n'ont ni la même unité ni le même ordre de grandeur. Un écart-type de 5 est énorme sur des notes sur 20 et négligeable sur des salaires en dollars : rapporté à la moyenne, le coefficient de variation devient un pourcentage sans unité, directement comparable. On l'utilise couramment pour comparer la régularité de deux procédés de fabrication ou la volatilité de deux placements.

a) $z_{Anne}=\dfrac{78-70}{8}=\dfrac{8}{8}=1{,}00$ et $z_{Beno\hat{i}t}=\dfrac{85-80}{10}=\dfrac{5}{10}=0{,}50$.

b) ANNE, avec une cote z de 1,00 contre 0,50. Le résultat surprend au premier abord puisque sa note brute, 78, est INFÉRIEURE aux 85 de Benoît. Mais Anne se situe un écart-type complet au-dessus de son groupe, alors que Benoît n'est qu'à un demi-écart-type du sien. Rapportée à la difficulté de l'épreuve et à la dispersion du groupe, la performance d'Anne est donc meilleure. C'est exactement le raisonnement qui fonde la cote R utilisée pour l'admission universitaire au Québec.

c) Une cote z NÉGATIVE signifie que la valeur est INFÉRIEURE à la moyenne du groupe ; sa valeur absolue indique de combien d'écarts-types. Une cote z NULLE signifie que la valeur est exactement égale à la moyenne. La cote z n'a pas d'unité : c'est un rapport de deux grandeurs de même unité, ce qui est précisément ce qui rend la comparaison possible entre distributions différentes.

d) Anne, à $z=1{,}00$, se situe exactement à la limite de l'intervalle contenant les 68 % centraux : environ 16 % des étudiants de son groupe font mieux qu'elle. Benoît, à $z=0{,}50$, est bien à l'intérieur de cet intervalle central ; environ 31 % de son groupe fait mieux. Ni l'un ni l'autre n'atteint $z=2$, seuil au-delà duquel on entre dans les 2,5 % supérieurs et où l'on parle de performance exceptionnelle.

e) De $z=\dfrac{x-\overline{x}}{s}$ on tire $x=\overline{x}+z\,s=55\,000+1{,}5\times 6000=55\,000+9000=64\,000$ dollars. La cote z se lit donc dans les deux sens : elle transforme une valeur en position relative, et une position relative en valeur. Noter au passage que l'annonce est habilement formulée : elle décrit un salaire de 64 000 dollars, meilleur que celui d'environ 93 % du secteur, ce qui est bon mais moins spectaculaire que le vocabulaire statistique ne le laisse croire.

a) La série compte $n=10$ valeurs, déjà classées. La médiane est la moyenne des cinquième et sixième : $Q_{2}=\dfrac{22+25}{2}=23{,}5$. La moitié inférieure est 12, 15, 18, 20, 22, dont la valeur centrale est $Q_{1}=18$. La moitié supérieure est 25, 28, 30, 32, 60, dont la valeur centrale est $Q_{3}=30$.

b) $EI=Q_{3}-Q_{1}=30-18=12$. Le résumé en cinq nombres est : minimum 12, $Q_{1}=18$, médiane 23,5, $Q_{3}=30$, maximum 60.

c) Les bornes sont $Q_{1}-1{,}5\,EI=18-18=0$ et $Q_{3}+1{,}5\,EI=30+18=48$. Toute valeur hors de $\left[0\ ;\ 48\right]$ est aberrante. La valeur 60 dépasse 48 : c'est la SEULE valeur aberrante de la série. Toutes les autres sont dans l'intervalle.

d) La boîte s'étend de 18 à 30, coupée par un trait à 23,5. La moustache gauche descend au minimum non aberrant, 12 ; la moustache droite monte jusqu'à 32, dernière valeur non aberrante, et le 60 est marqué à part par un point isolé. La médiane 23,5 n'est pas au centre de la boîte, elle est légèrement décalée vers la gauche puisque $23{,}5-18=5{,}5$ contre $30-23{,}5=6{,}5$ : la moitié supérieure est un peu plus étalée. Combiné à la valeur aberrante haute, cela indique une distribution étalée vers la DROITE.

e) Parce que l'étendue ne repose que sur les DEUX valeurs extrêmes, donc précisément sur celles qui sont susceptibles d'être aberrantes. Ici l'étendue vaut $60-12=48$, un nombre entièrement dicté par une donnée suspecte, alors que l'écart interquartile vaut 12 et décrit les 50 % centraux de la série, sans être affecté par ce qui se passe aux extrémités. L'écart interquartile est donc ROBUSTE, au même titre que la médiane, et c'est pourquoi les deux vont naturellement ensemble : on associe moyenne et écart-type d'un côté, médiane et écart interquartile de l'autre.

a) Le centre de chaque classe est la moyenne de ses deux bornes : 5, 15, 25, 35 et 45 minutes. L'effectif total vaut $6+14+18+9+3=50$, ce qui correspond bien à l'énoncé.

b) $\overline{x}=\dfrac{\sum n_{i}c_{i}}{n}$ où $c_{i}$ est le centre de classe. Le numérateur vaut $6\times 5+14\times 15+18\times 25+9\times 35+3\times 45=30+210+450+315+135=1140$. Donc $\overline{x}=\dfrac{1140}{50}=22{,}8$ minutes.

c) On calcule $\sum n_{i}\left(c_{i}-\overline{x}\right)^{2}$. Les écarts valent $-17{,}8$, $-7{,}8$, $2{,}2$, $12{,}2$ et $22{,}2$, dont les carrés sont $316{,}84$, $60{,}84$, $4{,}84$, $148{,}84$ et $492{,}84$. Pondérés par les effectifs : $1901{,}04+851{,}76+87{,}12+1339{,}56+1478{,}52=5658$. Alors $\sigma^{2}=\dfrac{5658}{50}=113{,}16$ et $\sigma=\sqrt{113{,}16}=10{,}6$ minutes.

d) La classe MODALE est celle du plus grand effectif : $\left[20\ ;\ 30\right[$ avec 18 étudiants. Pour la classe médiane, on cherche où se situe la 25e et la 26e observation. Les effectifs cumulés valent 6, puis 20, puis 38 : la 25e et la 26e tombent donc dans la troisième classe. La classe MÉDIANE est également $\left[20\ ;\ 30\right[$. Leur coïncidence, jointe à une moyenne de 22,8 proche du centre de cette classe, suggère une distribution assez symétrique, avec un léger étalement vers la droite dû aux trajets longs.

e) Parce qu'on a remplacé chacune des 50 valeurs réelles par le CENTRE de sa classe, ce qui revient à supposer que les données se répartissent uniformément à l'intérieur de chaque classe, ou du moins symétriquement autour du centre. Si, par exemple, les 18 étudiants de la classe $\left[20\ ;\ 30\right[$ étaient en fait tous vers 21 minutes, la vraie moyenne serait plus basse que 22,8. Le résultat serait EXACT si, dans chaque classe, la moyenne réelle des données coïncidait avec le centre de la classe. En pratique les écarts se compensent largement d'une classe à l'autre, et l'approximation est excellente dès que les classes sont assez étroites et les effectifs suffisants.

a) Il manque la comparaison avec la MÉDIANE. L'écart entre 71 000 et 48 000 est considérable : la moyenne dépasse la médiane de près de 50 %, ce qui révèle une distribution fortement étalée vers la droite. Concrètement, une minorité de ménages très aisés tire la moyenne vers le haut, alors que le ménage typique gagne 48 000 dollars. Qualifier le quartier d'aisé sur la base de la seule moyenne, c'est décrire une minorité en la présentant comme la norme.

b) $CV=\dfrac{55\,000}{71\,000}\times 100=77{,}5$ %. Un coefficient de variation aussi élevé signale une hétérogénéité extrême : la dispersion est du même ordre de grandeur que le niveau moyen lui-même. Ce quartier n'a pas de revenu « typique » au sens usuel ; il juxtapose des situations très différentes. Une seule mesure de tendance centrale, quelle qu'elle soit, y sera nécessairement trompeuse.

c) OUI, c'est exact, et c'est même la définition de la médiane : la moitié des ménages gagnent plus de 48 000 dollars et l'autre moitié moins. L'affirmation est irréprochable sur le fond. Elle reste néanmoins orientée par ce qu'elle omet : on pourrait tout aussi véridiquement écrire que la moitié des ménages gagnent MOINS de 48 000 dollars. Choisir de présenter la moitié haute plutôt que la moitié basse est un choix rhétorique, non statistique.

d) Les deux quartiers ont le même ménage typique, mais le premier est très INÉGALITAIRE alors que le second est HOMOGÈNE : dans le second, la quasi-totalité des ménages se situe entre environ 24 000 et 72 000 dollars, tandis que dans le premier les revenus s'étalent sur une plage plusieurs fois plus large. Deux quartiers de même médiane peuvent donc offrir des réalités sociales entièrement différentes, ce qu'aucune mesure de tendance centrale ne peut révéler seule.

e) Premièrement la MÉDIANE, 48 000 dollars, comme mesure du ménage typique, parce qu'elle résiste aux valeurs extrêmes qui sont manifestement présentes ici. Deuxièmement l'ÉCART INTERQUARTILE, ou à défaut les quartiles eux-mêmes, parce qu'il décrit l'étalement des 50 % centraux sans être faussé par la queue de distribution, contrairement à l'écart-type de 55 000 qui est lui-même gonflé par les hauts revenus. Troisièmement la part des ménages sous un SEUIL de référence, par exemple le seuil de faible revenu, parce qu'un indicateur de position répond à la question sociale réelle là où aucun résumé numérique ne le fait. On pourrait ajouter un histogramme, qui reste la façon la plus honnête de présenter une distribution : il ne résume rien et ne cache donc rien.