Exercices corrigés : probabilités et lois de distribution (201-337)

a) Notons $M$ suivre les mathématiques et $P$ suivre la physique-chimie. On a $P(M)=\dfrac{22}{40}=0{,}550$, $P(P)=\dfrac{18}{40}=0{,}450$ et $P(M\cap P)=\dfrac{9}{40}=0{,}225$. Alors $P(M\cup P)=0{,}550+0{,}450-0{,}225=0{,}775$. Il faut bien retrancher l'intersection, faute de quoi les neuf étudiants suivant les deux seraient comptés deux fois.

b) C'est l'événement complémentaire : $P\left(\overline{M\cup P}\right)=1-0{,}775=0{,}225$, soit 9 étudiants sur 40. Contrôle par dénombrement direct : $22+18-9=31$ étudiants suivent au moins une spécialité, il en reste donc $40-31=9$, ce qui confirme.

c) Ils ne sont PAS incompatibles, puisque $P(M\cap P)=0{,}225\neq 0$ : neuf étudiants suivent bien les deux. Pour l'indépendance, on compare $P(M\cap P)$ au produit $P(M)\times P(P)=0{,}550\times 0{,}450=0{,}2475$. Or l'intersection vaut 0,225, valeur DIFFÉRENTE : les deux événements ne sont donc pas indépendants. L'écart est faible mais réel, et signale une légère tendance à ne pas cumuler les deux spécialités.

d) Si $A$ et $B$ sont incompatibles, alors $P(A\cap B)=0$ par définition. S'ils étaient de plus indépendants, on aurait $P(A\cap B)=P(A)\times P(B)$, donc $P(A)\times P(B)=0$, ce qui force l'une au moins des deux probabilités à être nulle. Dès que les deux sont strictement positives, la contradiction est immédiate. Intuitivement, deux événements incompatibles sont au contraire fortement DÉPENDANTS : savoir que l'un s'est produit garantit que l'autre ne s'est pas produit, ce qui est la forme la plus extrême de dépendance.

a) Sur 100 000 personnes : $0{,}50$ % sont malades, soit 500 malades et 99 500 personnes saines. Parmi les 500 malades, le test en détecte 99 %, soit 495 VRAIS POSITIFS, et manque les 5 autres, qui sont des FAUX NÉGATIFS. Parmi les 99 500 personnes saines, 95 % sont correctement déclarées négatives, soit 94 525 VRAIS NÉGATIFS, et les 5 % restants, soit 4975 personnes, sont des FAUX POSITIFS.

b) Le nombre total de tests positifs vaut $495+4975=5470$. Parmi eux, seulement 495 correspondent à de vrais malades, soit $\dfrac{495}{5470}=0{,}0905$, c'est-à-dire 9,05 %. Autrement dit, plus de 90 % des personnes ayant un test positif ne sont PAS malades.

c) $P\left(M\mid +\right)=\dfrac{P\left(+\mid M\right)P(M)}{P(+)}$ avec $P(+)=P\left(+\mid M\right)P(M)+P\left(+\mid\overline{M}\right)P\left(\overline{M}\right)$. Numériquement, $P(+)=0{,}99\times 0{,}005+0{,}05\times 0{,}995=0{,}00495+0{,}04975=0{,}0547$. Alors $P\left(M\mid +\right)=\dfrac{0{,}00495}{0{,}0547}=0{,}0905$, soit 9,05 % : identique au décompte de b, comme il se doit.

d) L'écart vient de la taille des deux groupes. Les malades sont RARES, 500 personnes, donc même en en détectant 99 % on n'obtient que 495 vrais positifs. Les personnes saines sont au contraire très NOMBREUSES, 99 500, si bien que le taux de faux positifs de 5 %, qui paraît faible, produit à lui seul 4975 positifs, soit dix fois plus. Un petit pourcentage d'un très grand nombre écrase un grand pourcentage d'un très petit nombre. C'est la PRÉVALENCE, absente du discours sur la « fiabilité à 99 % », qui commande le résultat.

e) Qu'il faut s'en abstenir, ou l'assortir d'un second test. Dépister massivement une maladie rare produit une majorité écrasante de faux positifs, avec pour conséquences une anxiété inutile, des examens de confirmation coûteux et parfois invasifs, et une perte de confiance dans le dépistage. La stratégie rationnelle consiste à ne dépister que des populations à prévalence ÉLEVÉE, c'est-à-dire présentant des facteurs de risque, ce qui augmente $P(M)$ et donc la valeur prédictive positive ; ou bien à confirmer tout positif par un second test indépendant et plus spécifique. C'est exactement ainsi que sont conçus les protocoles réels de dépistage.

a) Les trois conditions sont remplies. Premièrement, le nombre d'essais est FIXÉ : $n=10$ questions. Deuxièmement, chaque essai n'a que DEUX issues, bonne ou mauvaise réponse, avec une probabilité de succès CONSTANTE $p=\dfrac{1}{4}=0{,}25$, puisqu'il y a une bonne option sur quatre à chaque question. Troisièmement, les essais sont INDÉPENDANTS, l'étudiant répondant au hasard sans que ses réponses s'influencent. Donc $X\sim B(10\ ;\ 0{,}25)$.

b) $\binom{10}{3}=\dfrac{10!}{3!\,7!}=\dfrac{10\times 9\times 8}{3\times 2\times 1}=120$. Ce nombre compte les FAÇONS de choisir quelles 3 questions parmi les 10 seront réussies, sans tenir compte de l'ordre : la séquence des réussites aux questions 1, 2 et 3 est comptée une seule fois, au même titre que celle aux questions 4, 7 et 9.

c) $P(X=3)=\binom{10}{3}\left(0{,}25\right)^{3}\left(0{,}75\right)^{7}=120\times 0{,}015625\times 0{,}13348=0{,}250$. Environ une chance sur quatre. Chaque séquence précise a une probabilité de $0{,}25^{3}\times 0{,}75^{7}$, et il y en a 120 : le coefficient binomial est bien un simple compteur.

d) $\mu=np=10\times 0{,}25=2{,}5$ bonnes réponses en moyenne, ce qui est cohérent avec l'intuition d'un quart de 10. L'écart-type vaut $\sigma=\sqrt{np(1-p)}=\sqrt{10\times 0{,}25\times 0{,}75}=\sqrt{1{,}875}=1{,}37$.

e) « Au plus 1 » signifie 0 ou 1, deux cas incompatibles dont on additionne les probabilités. $P(X=0)=\binom{10}{0}\left(0{,}25\right)^{0}\left(0{,}75\right)^{10}=0{,}0563$ et $P(X=1)=\binom{10}{1}\left(0{,}25\right)^{1}\left(0{,}75\right)^{9}=10\times 0{,}25\times 0{,}0751=0{,}1877$. La somme vaut $0{,}244$. Un étudiant répondant au hasard a donc près d'une chance sur quatre de ne pas dépasser une bonne réponse, ce qui justifie que ce type de questionnaire soit souvent corrigé avec pénalité pour mauvaise réponse.

a) On convertit : $z=\dfrac{130-100}{15}=2{,}00$. La table donne l'aire à gauche de $z=2{,}00$, soit 0,9772. La proportion cherchée est donc $1-0{,}9772=0{,}0228$, environ 2,3 % de la population.

b) Les deux bornes correspondent à $z=\dfrac{85-100}{15}=-1{,}00$ et $z=\dfrac{115-100}{15}=+1{,}00$. L'aire entre ces deux cotes vaut $0{,}8413-0{,}1587=0{,}6827$, soit environ 68,3 %.

c) La règle empirique annonce environ 68 % des données à moins d'un écart-type de la moyenne. Or 85 et 115 sont exactement $\mu-\sigma$ et $\mu+\sigma$, puisque $\sigma=15$. Le résultat de 68,3 % coïncide donc parfaitement : la règle empirique n'est rien d'autre que la lecture de la table pour $z=\pm 1$, $\pm 2$ et $\pm 3$, arrondie.

d) Appartenir aux 2,5 % supérieurs signifie laisser 97,5 % de l'aire à gauche. La table donne $z=1{,}96$ pour cette aire. On revient à l'échelle d'origine : $x=\mu+z\sigma=100+1{,}96\times 15=100+29{,}4=129{,}4$. Il faut donc dépasser environ 129, ce qui est cohérent avec le résultat de a où le seuil 130 laissait 2,3 %.

e) À cause du THÉORÈME CENTRAL LIMITE : dès qu'une grandeur résulte de la somme d'un grand nombre de contributions petites, indépendantes et de même ordre, sa distribution tend vers une normale, quelles que soient les lois individuelles. Or c'est le cas de la plupart des caractères naturels : la taille d'un individu résulte de nombreux gènes et de facteurs nutritionnels, une erreur de mesure résulte de multiples causes minuscules, et ainsi de suite. C'est ce théorème qui explique l'omniprésence de la courbe en cloche, et c'est aussi lui qui fonde toute l'inférence statistique du chapitre suivant.

a) Il s'agit de 100 essais indépendants à deux issues, de probabilité constante $p=0{,}5$ : $X\sim B(100\ ;\ 0{,}5)$. Conditions de l'approximation : $np=100\times 0{,}5=50\geq 5$ et $n(1-p)=50\geq 5$. Les deux sont largement satisfaites, l'approximation sera donc très bonne. Elle serait à proscrire pour un $p$ très petit avec un $n$ modeste, cas où l'on utilise plutôt la loi de Poisson.

b) $\mu=np=50$ et $\sigma=\sqrt{np(1-p)}=\sqrt{100\times 0{,}5\times 0{,}5}=\sqrt{25}=5{,}0$.

c) On cherche $P(X\geq 60)$. Avec la correction de continuité, on calcule $P(X>59{,}5)$ pour la normale : $z=\dfrac{59{,}5-50}{5{,}0}=1{,}90$. La table donne une aire de 0,9713 à gauche, donc $P=1-0{,}9713=0{,}0287$, environ 2,9 %.

d) Parce qu'on approche une loi DISCRÈTE, où $X$ ne prend que des valeurs entières, par une loi CONTINUE, où la probabilité d'une valeur isolée est nulle. Dans le modèle continu, la valeur entière 60 est représentée par l'intervalle allant de 59,5 à 60,5, qui est la bande de largeur 1 centrée sur elle. Inclure l'entier 60 dans l'événement impose donc de partir de 59,5. Omettre cette correction et prendre $z=2{,}00$ donnerait 0,0228 au lieu de 0,0287, soit une sous-estimation de 20 % : l'erreur est loin d'être négligeable, surtout près d'un seuil de décision.

e) Avec 68 faces, la cote z vaut $z=\dfrac{67{,}5-50}{5{,}0}=3{,}50$. Une telle cote laisse à sa droite une probabilité d'environ 0,00023, soit deux chances sur dix mille. Autrement dit, si la pièce était équilibrée, un résultat aussi extrême ou plus n'arriverait qu'une fois sur environ 4300 séries de 100 lancers. C'est suffisamment improbable pour que le soupçon soit légitime : on rejetterait l'hypothèse d'équilibre à tous les seuils usuels, 5 % comme 1 %. Ce raisonnement est exactement celui d'un test d'hypothèse, formalisé au chapitre suivant.

a) Les bornes correspondent à $z=\dfrac{24{,}85-25{,}00}{0{,}08}=-1{,}875$ et $z=\dfrac{25{,}15-25{,}00}{0{,}08}=+1{,}875$. L'aire entre ces deux cotes vaut environ $0{,}9696-0{,}0304=0{,}9392$. Environ 93,9 % des pièces sont conformes, donc 6,1 % sont rejetées.

b) $0{,}0608\times 5000=304$ pièces rejetées par jour, soit un peu plus de 300. Sur une production annuelle de 250 jours, cela représente environ 76 000 pièces perdues.

c) Avec $\mu=25{,}06$, les cotes deviennent $z=\dfrac{24{,}85-25{,}06}{0{,}08}=-2{,}625$ et $z=\dfrac{25{,}15-25{,}06}{0{,}08}=+1{,}125$. L'aire conforme vaut environ $0{,}8697-0{,}0043=0{,}8654$, donc 13,5 % de rejets, soit 673 pièces par jour. Une dérive de 0,06 mm seulement, moins d'un écart-type, DOUBLE le taux de rejet. Le procédé est donc très sensible au centrage, ce qui justifie les cartes de contrôle qui surveillent la moyenne en continu.

d) Il faut que l'intervalle $\left[24{,}85\ ;\ 25{,}15\right]$, soit $\pm 0{,}15$ mm autour de la moyenne recentrée, contienne 99 % des pièces. Cela correspond à $z=\pm 2{,}576$. On impose donc $2{,}576\,\sigma\leq 0{,}15$, d'où $\sigma\leq\dfrac{0{,}15}{2{,}576}=0{,}0582$ mm. Il faut donc ramener l'écart-type de 0,08 à environ 0,058 mm, soit une réduction de 27 %.

e) Il faut faire les DEUX, mais dans cet ordre : recentrer d'abord. Le recentrage est en général peu coûteux, c'est un réglage machine, et le calcul de c montre qu'une dérive modeste coûte très cher, doublant les rejets pour 0,06 mm. Réduire l'écart-type, en revanche, exige d'agir sur la variabilité intrinsèque du procédé, ce qui suppose de meilleures machines, une matière première plus régulière ou un contrôle thermique, donc des investissements lourds. La démarche industrielle standard consiste donc à d'abord garantir le centrage par un suivi statistique, puis à n'engager la réduction de la dispersion que si le cahier des charges l'exige encore, comme c'est le cas ici puisque même parfaitement centré le procédé rejetterait 6,1 %.