Exercices corrigés : estimation et tests d'hypothèse (201-337)

a) La moyenne de la distribution d'échantillonnage est celle de la population : $\mu_{\overline{x}}=70$. L'erreur type vaut $\sigma_{\overline{x}}=\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}=\dfrac{12}{\sqrt{36}}=\dfrac{12}{6}=2{,}0$. Les moyennes d'échantillons sont donc six fois moins dispersées que les copies individuelles.

b) Le théorème central limite affirme que pour $n$ suffisamment grand, la distribution de $\overline{x}$ est approximativement NORMALE, de moyenne $\mu$ et d'écart-type $\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}$, QUELLE QUE SOIT la forme de la distribution de la population. Ici $n=36\geq 30$ : le seuil pratique usuel est atteint. C'est précisément la force du théorème : on n'a besoin d'aucune hypothèse sur la distribution des résultats individuels, qui peut être asymétrique, bimodale ou tronquée.

c) $z=\dfrac{73-70}{2{,}0}=1{,}50$. La table donne 0,9332 à gauche, donc $P\left(\overline{x}>73\right)=1-0{,}9332=0{,}0668$, environ 6,7 %. Noter qu'une copie INDIVIDUELLE dépassant 73 serait bien plus fréquente : $z=\dfrac{73-70}{12}=0{,}25$, soit 40 %. La distinction entre l'écart-type des données et l'erreur type de la moyenne est la source d'erreur numéro un du chapitre.

d) $\sigma_{\overline{x}}=\dfrac{12}{\sqrt{144}}=\dfrac{12}{12}=1{,}0$. Quadrupler $n$ a donc DIVISÉ PAR DEUX l'erreur type, et non par quatre, parce que c'est $\sqrt{n}$ et non $n$ qui figure au dénominateur.

e) Il faut multiplier $n$ par $10^{2}=100$. Passer de 36 à 3600 copies ne réduit l'erreur type que d'un facteur 10. La conséquence pratique est décisive : la précision d'un sondage progresse très lentement avec le coût. Doubler la précision exige de QUADRUPLER l'échantillon, donc à peu près le budget. C'est la raison pour laquelle presque tous les sondages d'opinion s'arrêtent autour de 1000 personnes : au-delà, le gain de précision ne justifie plus la dépense.

a) $\overline{x}\pm z\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}=70\pm 1{,}96\times 2{,}0=70\pm 3{,}92$. L'intervalle est donc $\left[66{,}08\ ;\ 73{,}92\right]$, de largeur 7,84.

b) À 99 %, $z=2{,}576$, donc la marge vaut $2{,}576\times 2{,}0=5{,}15$ et l'intervalle est $\left[64{,}85\ ;\ 75{,}15\right]$, de largeur 10,3. L'intervalle à 99 % est donc PLUS LARGE. C'est logique : exiger davantage de certitude quant au fait de capturer le vrai paramètre oblige à ratisser plus large. Il y a un arbitrage permanent entre CONFIANCE et PRÉCISION, et l'on ne peut améliorer les deux qu'en augmentant $n$.

c) La formulation est incorrecte parce qu'elle traite $\mu$ comme une variable aléatoire. Or $\mu$ est un nombre FIXE, quoique inconnu : il est dans l'intervalle ou il n'y est pas, il n'y a pas de probabilité là-dedans. Ce qui est aléatoire, c'est l'INTERVALLE, qui change à chaque échantillon. La formulation correcte est : « si l'on répétait l'échantillonnage un grand nombre de fois, 95 % des intervalles ainsi construits contiendraient $\mu$ ». En pratique on abrège en « je suis confiant à 95 % que $\mu$ se situe entre 66,08 et 73,92 », ce qui est acceptable à l'oral mais doit être justifié correctement dans une copie.

d) On impose $E=z\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}\leq 2$, d'où $\sqrt{n}\geq\dfrac{1{,}96\times 12}{2}=11{,}76$ et $n\geq 138{,}3$. Comme $n$ est un entier et que la condition doit être respectée, on ARRONDIT VERS LE HAUT : $n=139$ copies. Arrondir à 138 donnerait une marge légèrement supérieure à 2, ce qui violerait la contrainte ; c'est le seul cas du cours où l'arrondi ne se fait jamais au plus proche.

e) Parce que la marge $E=z\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}$ ne s'annule que si $n$ tend vers l'infini. Tant que l'échantillon est un sous-ensemble strict de la population, il subsiste une incertitude d'échantillonnage irréductible. La seule façon d'atteindre une marge nulle serait de recenser la population ENTIÈRE, ce qui n'est plus de l'échantillonnage. À cela s'ajoute, dans toute enquête réelle, une part d'erreur non liée à l'échantillonnage, due à la formulation des questions, aux non-réponses et aux biais de sélection, que la formule ne mesure pas du tout et qu'un très grand échantillon n'améliore en rien.

a) $\hat{p}=\dfrac{540}{1000}=0{,}540$. L'erreur type vaut $\sqrt{\dfrac{0{,}540\times 0{,}460}{1000}}=\sqrt{2{,}484\times 10^{-4}}=0{,}01576$. La marge à 95 % est $1{,}96\times 0{,}01576=0{,}0309$. L'intervalle est donc $\left[0{,}509\ ;\ 0{,}571\right]$.

b) La marge vaut 0,0309, soit environ $\pm 3{,}1$ points de pourcentage. C'est exactement le « plus ou moins 3 points » annoncé par tous les instituts de sondage, et l'on vient de le recalculer intégralement.

c) Oui, mais de justesse. La borne INFÉRIEURE de l'intervalle, 0,509, est supérieure à 0,500 : même dans l'hypothèse la plus défavorable compatible avec les données à 95 %, la mesure reste majoritaire. La conclusion est donc soutenue, mais avec une marge de seulement 0,9 point au-dessus du seuil décisif. Si le sondage avait donné 52 % au lieu de 54 %, l'intervalle aurait contenu 50 % et il aurait fallu conclure que le sondage ne permet PAS de trancher, formulation que les médias rendent presque toujours de travers.

d) Dans le cas le plus défavorable $\hat{p}=0{,}5$, on impose $1{,}96\sqrt{\dfrac{0{,}25}{n}}\leq 0{,}02$, d'où $\sqrt{n}\geq\dfrac{1{,}96\times 0{,}5}{0{,}02}=49$ et $n\geq 2401$. Il faut donc plus que DOUBLER l'échantillon, de 1000 à 2401 personnes, pour gagner à peine plus d'un point de précision.

e) Pour deux raisons qui se conjuguent. D'abord, la taille d'échantillon est presque toujours choisie autour de 1000, chiffre qui résulte du compromis coût-précision vu en d. Ensuite, le facteur $\sqrt{\hat{p}\left(1-\hat{p}\right)}$ varie très peu : il vaut 0,500 à son maximum en $\hat{p}=0{,}5$, et encore 0,458 pour $\hat{p}=0{,}30$, soit à peine 8 % de moins. La marge est donc très insensible au résultat observé, et pour $n=1000$ elle reste toujours voisine de $\dfrac{1{,}96\times 0{,}5}{\sqrt{1000}}=0{,}031$. Les instituts publient d'ailleurs la marge maximale, calculée en $\hat{p}=0{,}5$, ce qui la rend rigoureusement constante à taille d'échantillon fixée.

a) $H_{0}\ :\ \mu=500$ g, l'annonce du fabricant est exacte. $H_{1}\ :\ \mu\neq 500$ g. Le test est BILATÉRAL parce que l'inspecteur vérifie la conformité de l'étiquetage : un écart dans un sens comme dans l'autre constitue un défaut, un sur-remplissage systématique étant lui aussi une anomalie de procédé. Si le mandat avait été de détecter uniquement la fraude au détriment du consommateur, on aurait posé $H_{1}\ :\ \mu<500$ et fait un test unilatéral.

b) L'erreur type vaut $\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}=\dfrac{15}{\sqrt{40}}=2{,}372$ g. La statistique est $z=\dfrac{494-500}{2{,}372}=-2{,}530$.

c) Le test étant bilatéral, la valeur-p vaut $2\times P\left(Z<-2{,}530\right)=2\times 0{,}0057=0{,}0114$. Signification exacte : SI les sacs pesaient réellement 500 g en moyenne, alors un échantillon de 40 sacs s'écartant d'au moins 6 g de cette valeur, dans un sens ou dans l'autre, ne surviendrait que dans 1,14 % des cas. La valeur-p n'est PAS la probabilité que $H_{0}$ soit vraie, confusion qui est l'erreur d'interprétation la plus répandue en statistique.

d) Au seuil $\alpha=0{,}05$ : $0{,}0114<0{,}05$, on REJETTE $H_{0}$ et l'on conclut que le poids moyen diffère de 500 g. Au seuil $\alpha=0{,}01$ : $0{,}0114>0{,}01$, on ne rejette PAS $H_{0}$, faute de preuve suffisante. Les mêmes données conduisent donc à deux conclusions opposées. Il n'y a là aucune contradiction : le seuil exprime le risque d'erreur de type I que l'on accepte, et c'est une décision prise d'avance, en fonction des conséquences. Ce cas illustre pourquoi il faut TOUJOURS publier la valeur-p elle-même plutôt que la seule mention « significatif », et pourquoi fixer le seuil après avoir vu les données est une faute méthodologique grave.

e) Erreur de TYPE I : conclure que les sacs ne font pas 500 g alors qu'ils les font réellement, donc accuser à tort un fabricant honnête. Erreur de TYPE II : conclure que rien ne cloche alors que les sacs sont réellement sous-remplis, donc laisser passer une tromperie. Un organisme de protection du consommateur cherchera d'abord à minimiser l'erreur de TYPE II, celle qui laisse la fraude impunie, quitte à accepter un $\alpha$ plus élevé. Un tribunal, tenu par la présomption d'innocence, ferait l'arbitrage inverse. À $n$ constant, réduire l'une augmente mécaniquement l'autre : la seule façon de réduire les deux simultanément est d'AUGMENTER l'échantillon.

a) Étape 1 : formuler $H_{0}$ et $H_{1}$. Étape 2 : fixer le seuil $\alpha$ et vérifier les conditions d'application. Étape 3 : calculer la statistique de test. Étape 4 : calculer la valeur-p, ou comparer à la valeur critique, et décider. Étape 5 : conclure en français, dans le vocabulaire du problème, sans jargon.

b) $H_{0}\ :\ \mu\leq 4{,}0$ minutes, l'affirmation de la compagnie est vraie. $H_{1}\ :\ \mu>4{,}0$ minutes. Le test est UNILATÉRAL À DROITE parce que l'association ne cherche à établir qu'une seule chose : que l'attente est plus LONGUE qu'annoncé. Un temps d'attente plus court que promis ne l'intéresse pas et ne constituerait aucun grief. L'hypothèse alternative doit toujours refléter ce que l'on cherche à démontrer.

c) Conditions : $n=50\geq 30$, le théorème central limite s'applique et $\sigma$ est connu. L'erreur type vaut $\dfrac{1{,}5}{\sqrt{50}}=0{,}2121$ minute. La statistique est $z=\dfrac{4{,}4-4{,}0}{0{,}2121}=1{,}886$. Le test étant unilatéral à droite, la valeur-p vaut $P\left(Z>1{,}886\right)=0{,}0296$. Comme $0{,}0296<0{,}05$, on REJETTE $H_{0}$. Conclusion rédigée : au seuil de 5 %, les données recueillies permettent de conclure que le temps d'attente moyen dépasse réellement les 4,0 minutes annoncées par la compagnie ; l'écart observé de 0,4 minute est trop important pour être attribué au seul hasard de l'échantillonnage.

d) En bilatéral, la valeur-p doublerait : $2\times 0{,}02967=0{,}0593$. Comme $0{,}0593>0{,}05$, on ne rejetterait PAS $H_{0}$. La conclusion s'inverse donc. Cela montre qu'un test unilatéral est plus PUISSANT lorsqu'on a une raison légitime d'orienter l'hypothèse, puisqu'il concentre tout le risque $\alpha$ d'un seul côté. Mais cela montre aussi le danger : choisir le caractère unilatéral APRÈS avoir constaté le sens de l'écart revient à doubler subrepticement son seuil, ce qui est une faute méthodologique. Le sens du test doit être fixé avant de collecter les données.

e) La puissance, c'est-à-dire $1-\beta$, la probabilité de détecter un écart réellement présent, AUGMENTERAIT. En passant de 50 à 200 appels, l'erreur type est divisée par $\sqrt{4}=2$, tombant à 0,106 minute. Le même écart observé de 0,4 minute produirait alors une statistique deux fois plus grande, $z=3{,}77$, donc une valeur-p bien plus petite. Autrement dit, avec 200 appels, l'association détecterait des écarts plus FAIBLES que ceux qu'elle peut établir avec 50, et sa conclusion serait robuste au choix du seuil comme au caractère uni ou bilatéral du test. Augmenter $n$ est le seul moyen de réduire simultanément les deux types d'erreur.

a) L'erreur type vaut $\dfrac{15}{\sqrt{10\,000}}=0{,}15$ g. La statistique est $z=\dfrac{499{,}5-500}{0{,}15}=-3{,}33$, d'où une valeur-p bilatérale de $2\times 0{,}00043=0{,}00086$. Comme $0{,}00086<0{,}05$ et même $<0{,}01$, on REJETTE $H_{0}$ très nettement : l'écart est hautement significatif.

b) L'écart relatif vaut $\dfrac{0{,}5}{500}=0{,}1$ %. Un demi-gramme sur un sac de 500 g est totalement négligeable en pratique : c'est bien en dessous de la tolérance de n'importe quelle balance commerciale, en dessous de la variation due à l'humidité ambiante, et sans le moindre effet sur le consommateur. Le résultat est donc statistiquement significatif ET pratiquement sans importance. Les deux notions sont indépendantes.

c) Ici $d=\dfrac{0{,}5}{15}=0{,}033$. À l'exercice 4, $d=\dfrac{6}{15}=0{,}400$. La taille d'effet du présent cas est donc DOUZE FOIS plus petite, alors que sa valeur-p est bien plus impressionnante. Cela s'explique : la taille d'effet ne dépend PAS de $n$, elle mesure l'écart en unités d'écart-type de la population, tandis que la valeur-p, elle, dépend fortement de $n$. C'est précisément pourquoi la taille d'effet est l'indicateur pertinent pour juger de l'importance.

d) Parce que la statistique de test s'écrit $z=\dfrac{\overline{x}-\mu_{0}}{\sigma/\sqrt{n}}=\dfrac{\overline{x}-\mu_{0}}{\sigma}\times\sqrt{n}$, c'est-à-dire la taille d'effet MULTIPLIÉE par $\sqrt{n}$. Le facteur $\sqrt{n}$ n'a pas de borne : en augmentant suffisamment l'échantillon, on peut rendre $z$ aussi grand qu'on veut pour n'importe quel écart non nul, si minuscule soit-il. Comme aucun procédé réel n'est parfaitement centré, tout écart finit par devenir significatif si l'on mesure assez. La question n'est donc jamais « y a-t-il un écart », à laquelle la réponse est toujours oui, mais « l'écart est-il assez grand pour qu'on s'en soucie ».

e) Au minimum quatre éléments. Premièrement la TAILLE D'EFFET, seule mesure de l'importance, insensible à $n$. Deuxièmement l'INTERVALLE DE CONFIANCE sur l'écart, qui donne à la fois l'ordre de grandeur et sa précision, et qui contient bien plus d'information qu'une valeur-p. Troisièmement la TAILLE DE L'ÉCHANTILLON, sans laquelle une valeur-p est ininterprétable. Quatrièmement la valeur-p EXACTE, et non un simple « significatif » ou « p < 0,05 », afin que le lecteur puisse juger avec son propre seuil. Il faut y ajouter la mention de toutes les analyses effectuées, car tester vingt hypothèses en n'en publiant qu'une garantit un faux positif à 5 % près, pratique connue sous le nom de pêche aux valeurs-p.