Exercices corrigés : corrélation et régression linéaire (201-337)

a) Le nuage est nettement CROISSANT : les notes augmentent avec le nombre d'heures d'étude. Les points sont très proches d'une droite, sans courbure visible et sans valeur aberrante : la relation est linéaire et paraît très forte. Cette lecture préalable est indispensable, car elle valide l'emploi du coefficient de corrélation linéaire.

b) $\sum x=2+4+5+7+9+11=38$. $\sum y=35+48+52+68+80+95=378$. $\sum xy=70+192+260+476+720+1045=2763$. $\sum x^{2}=4+16+25+49+81+121=296$. $\sum y^{2}=1225+2304+2704+4624+6400+9025=26\,282$.

c) $S_{xy}=2763-\dfrac{38\times 378}{6}=2763-2394=369$. $S_{xx}=296-\dfrac{38^{2}}{6}=296-240{,}667=55{,}333$. $S_{yy}=26\,282-\dfrac{378^{2}}{6}=26\,282-23\,814=2468$.

d) $r=\dfrac{S_{xy}}{\sqrt{S_{xx}S_{yy}}}=\dfrac{369}{\sqrt{55{,}333\times 2468}}=\dfrac{369}{369{,}54}=0{,}9985$. La corrélation est POSITIVE, donc les deux variables varient dans le même sens, et sa valeur absolue est extrêmement proche de 1 : la relation linéaire est presque parfaite. Un tel coefficient est rare sur des données réelles ; il indique ici des données construites ou un phénomène très régulier.

e) NON, et c'est le piège classique. Un $r$ proche de zéro signifie seulement qu'il n'y a pas de relation LINÉAIRE. Il peut parfaitement exister une relation forte mais courbe : sur un nuage en forme de parabole symétrique, par exemple $y=x^{2}$ avec des $x$ répartis symétriquement autour de zéro, le coefficient vaut exactement 0 alors que $y$ est entièrement déterminé par $x$. C'est précisément pourquoi on TRACE le nuage avant de calculer : le coefficient seul ne peut pas distinguer « pas de relation » de « relation non linéaire ».

a) $b=\dfrac{S_{xy}}{S_{xx}}=\dfrac{369}{55{,}333}=6{,}669$. Puis $a=\overline{y}-b\overline{x}=63{,}0-6{,}669\times 6{,}333=63{,}0-42{,}235=20{,}765$. L'équation est donc $y=20{,}77+6{,}67x$.

b) La PENTE signifie qu'une heure d'étude hebdomadaire supplémentaire est associée à une hausse moyenne de 6,67 points sur la note. L'ORDONNÉE À L'ORIGINE, 20,77, correspondrait à la note d'un étudiant travaillant zéro heure. Ce nombre est à manier avec prudence : $x=0$ est en dehors de l'intervalle observé, qui va de 2 à 11 heures, et il s'agit donc d'une extrapolation. On peut y voir un ordre de grandeur plausible, mais le modèle ne le garantit pas.

c) Le point moyen est $\left(6{,}333\ ;\ 63{,}0\right)$. En y injectant l'équation : $20{,}765+6{,}669\times 6{,}333=20{,}765+42{,}235=63{,}0$. La droite passe bien par le point moyen, ce qui n'est pas une coïncidence mais une conséquence directe de la formule $a=\overline{y}-b\overline{x}$, laquelle est construite pour cela. C'est un contrôle rapide et systématique à faire sur toute régression.

d) « Moindres carrés » signifie que la droite retenue est celle qui rend MINIMALE la somme $\sum\left(y_{i}-\hat{y}_{i}\right)^{2}$, où $\hat{y}_{i}$ est la valeur prédite. On ne minimise pas les écarts bruts parce que leur somme est NULLE pour une infinité de droites, les écarts positifs compensant les négatifs : le critère ne sélectionnerait rien. Élever au carré empêche cette compensation, pénalise davantage les gros écarts que les petits, et conduit à des formules explicites simples, ce qui n'est pas le cas si l'on minimise les valeurs absolues.

e) La valeur prédite pour $x=5$ vaut $\hat{y}=20{,}765+6{,}669\times 5=54{,}11$. Le résidu est $y-\hat{y}=52-54{,}11=-2{,}11$. Son signe NÉGATIF signifie que cet étudiant a obtenu une note INFÉRIEURE à celle que le modèle prédisait pour son temps d'étude : il se situe sous la droite. C'est d'ailleurs le plus grand résidu en valeur absolue des six, donc le point le moins bien ajusté du nuage.

a) $r^{2}=0{,}9985^{2}=0{,}9971$, soit 99,7 %. Interprétation : 99,7 % de la variation observée des notes est EXPLIQUÉE par la relation linéaire avec le nombre d'heures d'étude. C'est un ajustement exceptionnellement bon.

b) Les 0,3 % restants représentent la variation RÉSIDUELLE, c'est-à-dire tout ce que le temps d'étude ne rend pas compte : les aptitudes individuelles, la qualité de l'étude et non sa seule durée, la forme le jour de l'examen, la part de hasard dans le choix des questions, ainsi que les erreurs de mesure. Aucun modèle statistique ne prétend expliquer 100 % d'un phénomène humain, et un $r^{2}$ de 1,000 sur des données réelles serait d'ailleurs suspect.

c) $\hat{y}=20{,}765+6{,}669\times 8=20{,}765+53{,}35=74{,}1$. La prédiction est d'environ 74. Elle est LÉGITIME parce que 8 heures se situe à l'intérieur de l'intervalle des données observées, entre 2 et 11 : il s'agit d'une interpolation.

d) $\hat{y}=20{,}765+6{,}669\times 20=20{,}765+133{,}37=154{,}1$. La prédiction dépasse 100 : elle est IMPOSSIBLE, puisque la note est bornée à 100. La prédiction n'est donc pas légitime, et pour une raison de fond : $x=20$ est bien au-delà de l'intervalle observé, on EXTRAPOLE. Rien dans les données ne garantit que la relation reste linéaire au-delà de 11 heures ; en réalité elle plafonne nécessairement.

e) $\hat{y}=20{,}765+6{,}669\times 30=220{,}8$, soit plus du double du maximum possible. L'absurdité du résultat est ici une bonne nouvelle : elle rend l'erreur VISIBLE. Le vrai danger de l'extrapolation, c'est le cas où elle produit un nombre plausible, que rien ne signale comme faux. La règle est donc de ne jamais prédire hors de l'intervalle des $x$ observés, et de toujours indiquer cet intervalle de validité à côté de l'équation. Un modèle linéaire n'est qu'une approximation LOCALE d'une relation qui, dans la réalité, sature presque toujours.

a) Avec le point $(5\ ;\ 90)$ : $n=7$, $\sum x=43$, $\sum y=468$, $\sum xy=3213$, $\sum x^{2}=321$, $\sum y^{2}=34\ 382$. Donc $\overline{x}\approx 6{,}143$ et $\overline{y}\approx 66{,}86$. Sommes de travail : $S_{xy}=3213-\frac{(43)(468)}{7}\approx 338{,}1$, $S_{xx}=321-\frac{43^{2}}{7}\approx 56{,}86$, $S_{yy}=34\ 382-\frac{468^{2}}{7}\approx 3092{,}9$. Coefficient : $r=\frac{338{,}1}{\sqrt{(56{,}86)(3092{,}9)}}\approx 0{,}806$.

b) $r^{2}$ passe de $0{,}997$ à $0{,}650$ : la proportion de variation expliquée s'effondre de 99,7 % à 65 %. Un point sur sept, soit 14 % des données, a détruit l'essentiel de la relation. C'est le rappel le plus utile du chapitre : le coefficient de corrélation n'est pas une mesure robuste, il est extrêmement sensible aux valeurs extrêmes, et l'annoncer sans avoir regardé le nuage revient à parier à l'aveugle.

c) Avec $(20\ ;\ 100)$ : $\sum x=58$, $\sum y=478$, $\sum xy=4763$, $\sum x^{2}=696$, $\sum y^{2}=36\ 282$. On obtient $S_{xy}\approx 802{,}4$, $S_{xx}\approx 215{,}4$ et $S_{yy}\approx 3641{,}4$, d'où une pente $b=\frac{802{,}4}{215{,}4}\approx 3{,}72$ et $r\approx 0{,}906$. Le contraste avec le a) est instructif : ici le coefficient reste élevé, apparemment rassurant, alors que la PENTE a été presque divisée par deux, passant de 6,67 à 3,72. Le modèle prédit désormais qu'une heure d'étude supplémentaire ne rapporte que 3,7 points au lieu de 6,7 : la conclusion pratique est bouleversée sans que $r$ ait tiré la sonnette d'alarme.

d) La pente vaut $b=\frac{S_{xy}}{S_{xx}}=\frac{\sum(x_{i}-\overline{x})(y_{i}-\overline{y})}{\sum(x_{i}-\overline{x})^{2}}$. Chaque point y intervient par son écart $x_{i}-\overline{x}$, et un point très éloigné en $x$ apporte un terme énorme au numérateur comme au dénominateur : il pèse beaucoup plus lourd que les autres dans la détermination de la droite. Un point situé loin en $x$ agit littéralement comme un LEVIER, avec le point moyen pour pivot. C'est donc le second point, $(20\ ;\ 100)$, qui est le plus dangereux : le premier abaisse visiblement le coefficient et alerte l'analyste, alors que le second déplace la droite en silence, en laissant un $r$ de 0,906 qui passerait sans discussion dans n'importe quel rapport.

e) Surtout pas le supprimer parce qu'il dérange. La démarche correcte comporte trois temps. D'abord ENQUÊTER : s'agit-il d'une erreur de saisie, d'une unité mal convertie, d'un individu qui n'appartient pas à la population étudiée ? Une donnée démontrablement fausse se corrige ou s'écarte, avec justification écrite. Ensuite, si le point est authentique, PUBLIER les deux analyses, avec et sans lui, en laissant le lecteur juger de sa portée : c'est la pratique courante en recherche. Enfin, envisager une méthode ROBUSTE, moins sensible aux extrêmes que les moindres carrés, ou une transformation qui rapproche les $x$. Un point aberrant est souvent l'observation la plus riche du jeu de données : il signale une erreur de mesure, une population hétérogène, ou un phénomène que le modèle ignore.

a) NON. Le coefficient mesure uniquement à quel point les deux séries varient ensemble ; il ne contient aucune information sur le mécanisme qui les relie. Conclure à la causalité à partir d'un $r$ élevé est une faute de raisonnement, quelle que soit la valeur du coefficient.

b) Quatre explications sont en concurrence, et les données seules ne permettent pas de trancher entre elles. Premièrement, $x$ cause $y$. Deuxièmement, $y$ cause $x$, c'est-à-dire la causalité inverse. Troisièmement, une TROISIÈME VARIABLE, dite confondante, cause les deux simultanément. Quatrièmement, il peut s'agir d'une coïncidence due au hasard de l'échantillonnage, d'autant plus plausible que l'échantillon est petit ou qu'on a comparé un grand nombre de séries jusqu'à en trouver deux qui coïncident.

c) La variable confondante est la TEMPÉRATURE, ou plus largement la saison. Quand il fait chaud, les gens achètent davantage de crème glacée ; et quand il fait chaud, ils se baignent davantage, ce qui augmente mécaniquement le nombre d'occasions de noyade. Les deux séries montent et descendent ensemble au fil de l'année parce qu'elles sont toutes deux commandées par la même cause, sans qu'aucun lien direct ne les unisse. Supprimer toute la crème glacée de la ville ne changerait rien au nombre de noyades.

d) Par une EXPÉRIENCE CONTRÔLÉE avec assignation ALÉATOIRE : on répartit les sujets au hasard entre un groupe exposé et un groupe témoin, puis on compare. La randomisation garantit que les deux groupes ne diffèrent, en moyenne, que par le facteur manipulé, y compris pour les variables confondantes que l'on n'a pas identifiées, ce qui est son avantage décisif. Quand l'expérience est impossible ou contraire à l'éthique, comme ici, on se rabat sur des études observationnelles où l'on CONTRÔLE statistiquement les variables connues, par exemple en examinant la corrélation à température constante, laquelle disparaîtrait dans notre cas.

e) L'analyse est du même type, mais avec une nuance instructive. Il serait absurde de conclure que les pompiers causent les dégâts. La variable confondante est ici l'AMPLEUR INITIALE de l'incendie : un grand feu provoque à la fois l'envoi de nombreux pompiers et des dégâts importants. On peut même ajouter qu'il y a bel et bien une causalité, mais de sens INVERSE à la lecture naïve : c'est la gravité du sinistre qui cause l'envoi des pompiers. Et l'effet réel des pompiers sur les dégâts est certainement de les RÉDUIRE, effet que la corrélation brute masque complètement. C'est l'exemple type où une corrélation positive coexiste avec un effet causal négatif.

a) $\overline{x}=\dfrac{440}{8}=55{,}0$ m² et $\overline{y}=\dfrac{10\,400}{8}=1300$ dollars. Ensuite $S_{xy}=608\,000-\dfrac{440\times 10\,400}{8}=608\,000-572\,000=36\,000$. $S_{xx}=25\,800-\dfrac{440^{2}}{8}=25\,800-24\,200=1600$. $S_{yy}=14\,000\,000-\dfrac{10\,400^{2}}{8}=14\,000\,000-13\,520\,000=480\,000$.

b) $r=\dfrac{36\,000}{\sqrt{1600\times 480\,000}}=\dfrac{36\,000}{\sqrt{768\,000\,000}}=\dfrac{36\,000}{27\,713}=1{,}299$... ce qui est IMPOSSIBLE, un coefficient de corrélation ne pouvant excéder 1. Un tel résultat signale nécessairement une erreur de calcul ou de données. En reprenant : $\sqrt{1600\times 480\,000}=\sqrt{7{,}68\times 10^{8}}=27\,713$, et $\dfrac{36\,000}{27\,713}=1{,}299$. Les sommes fournies sont donc mutuellement incompatibles, et le réflexe correct en examen est de le SIGNALER plutôt que de poursuivre. Ce contrôle, $\left|r\right|\leq 1$, doit être fait systématiquement : il attrape la grande majorité des erreurs de saisie dans les sommes de travail.

c) On peut néanmoins calculer la droite, qui ne dépend que de $S_{xy}$ et $S_{xx}$ : $b=\dfrac{36\,000}{1600}=22{,}5$ et $a=1300-22{,}5\times 55{,}0=1300-1237{,}5=62{,}5$. L'équation est $y=62{,}5+22{,}5x$. Ces deux coefficients sont cohérents et plausibles, ce qui confirme que l'incohérence vient de $S_{yy}$, donc de $\sum y^{2}$.

d) La pente vaut 22,5 dollars par mètre carré : chaque mètre carré supplémentaire est associé à une hausse moyenne du loyer de 22,50 dollars par mois. L'ordonnée à l'origine, 62,50 dollars, correspondrait au loyer d'un logement de superficie nulle : elle n'a évidemment aucun sens concret et ne doit surtout pas être interprétée. Elle n'est qu'un paramètre d'ajustement, nécessaire pour que la droite passe par le point moyen.

e) $\hat{y}=62{,}5+22{,}5\times 70=62{,}5+1575=1637{,}50$ dollars. Limites : d'une part cette estimation repose sur seulement 8 logements et sur des sommes dont on a montré qu'elles sont incohérentes, ce qui interdit toute confiance quantitative tant que les données n'ont pas été vérifiées ; d'autre part la superficie n'explique qu'une partie du loyer, qui dépend aussi du quartier, de l'état, de l'étage et de l'année, si bien qu'une prédiction ponctuelle sans intervalle de confiance donne une fausse impression de précision.

a) Valeurs prédites : $\hat{y}(2)=34{,}10$, $\hat{y}(4)=47{,}44$, $\hat{y}(5)=54{,}11$, $\hat{y}(7)=67{,}45$, $\hat{y}(9)=80{,}78$ et $\hat{y}(11)=94{,}12$. Résidus correspondants : $+0{,}90$, $+0{,}56$, $-2{,}11$, $+0{,}55$, $-0{,}78$ et $+0{,}88$. Leur somme vaut 0, aux arrondis près.

b) La droite des moindres carrés passe toujours par le point moyen : $\overline{y}=a+b\overline{x}$. Or $\sum e_{i}=\sum(y_{i}-a-bx_{i})=\sum y_{i}-na-b\sum x_{i}=n\overline{y}-na-nb\overline{x}=n(\overline{y}-a-b\overline{x})=0$. La somme est donc nulle par CONSTRUCTION, quelles que soient les données, même absurdes. Elle ne dit strictement rien de la qualité du modèle : c'est une vérification de calcul, pas un diagnostic. Si l'on veut mesurer l'ajustement, il faut regarder la somme des CARRÉS des résidus, qui elle ne s'annule pas.

c) Un graphique des résidus satisfaisant ne montre AUCUNE structure : un nuage horizontal, réparti au hasard de part et d'autre de zéro, d'épaisseur constante, sans tendance ni motif. Toute forme visible est un défaut du modèle. Première anomalie, une COURBURE en U ou en cloche : la relation n'est pas linéaire, et la droite passe systématiquement au-dessus puis en dessous des points. Deuxième anomalie, un ENTONNOIR qui s'élargit : la dispersion croît avec $x$, ce qu'on appelle l'hétéroscédasticité; la droite reste acceptable mais les intervalles de prédiction ne valent plus rien, car ils supposent une dispersion constante. Troisième anomalie, un point ISOLÉ très loin des autres : valeur aberrante ou point de levier, dont il faut examiner l'influence séparément.

d) $\sum e_{i}^{2}\approx(0{,}90)^{2}+(0{,}56)^{2}+(2{,}11)^{2}+(0{,}55)^{2}+(0{,}78)^{2}+(0{,}88)^{2}\approx 7{,}20$. Donc $s_{e}=\sqrt{\frac{7{,}20}{6-2}}=\sqrt{1{,}80}\approx 1{,}34$ point. Interprétation : les notes réelles s'écartent typiquement d'environ 1,3 point de la droite, ce qui donne l'ordre de grandeur de l'erreur à attendre d'une prédiction. On divise par $n-2$ et non par $n$ parce que deux paramètres, la pente et l'ordonnée à l'origine, ont déjà été estimés sur ces mêmes données. Vérification : $S_{yy}(1-r^{2})=(2468)(1-0{,}99708)=(2468)(0{,}00292)\approx 7{,}20$, identique. Cette relation éclaire d'ailleurs le sens de $r^{2}$ : il est exactement la part de $S_{yy}$ que la droite a réussi à absorber.

e) Un $r$ de 0,82 semble excellent, mais le U du graphique des résidus prouve que la relation n'est PAS linéaire : la droite sous-estime aux deux extrémités et surestime au milieu, ou l'inverse, et cette erreur est systématique et non aléatoire. Un coefficient de corrélation élevé ne garantit jamais la linéarité, il mesure seulement à quel point une DROITE s'ajuste, y compris quand une courbe s'ajusterait bien mieux. Les prédictions faites avec ce modèle seront biaisées de façon prévisible, ce qui est le pire des défauts. Il faut donc abandonner le modèle linéaire au profit d'un modèle quadratique, ou linéariser par une transformation, logarithme, racine ou inverse, selon la forme observée, puis vérifier que le nouveau graphique des résidus, lui, ne montre plus rien.

a) Un $r$ de 0,963 paraît excellent, mais il ne mesure que l'ajustement d'une DROITE. Or la population fait plus que septupler en quatre heures, en accélérant : le nuage est nettement incurvé vers le haut. Une droite peut suivre grossièrement une courbe croissante et décrocher un coefficient élevé, tout en se trompant systématiquement. Le graphique des résidus le montrerait aussitôt, en dessinant un U très net : la droite passerait au-dessus des points aux extrémités et en dessous au milieu. Le coefficient de corrélation ne teste jamais la linéarité, il la SUPPOSE.

b) $\ln 50\approx 3{,}912$, $\ln 82\approx 4{,}407$, $\ln 135\approx 4{,}905$, $\ln 220\approx 5{,}394$, $\ln 361\approx 5{,}889$. Écarts successifs : $0{,}495$, $0{,}499$, $0{,}488$ et $0{,}495$, remarquablement constants. Or un accroissement constant du logarithme à chaque heure signifie une MULTIPLICATION par un facteur constant à chaque heure, ce qui est la définition même d'une croissance exponentielle. Le modèle est donc confirmé, et sur une échelle semi-logarithmique les cinq points s'alignent.

c) Avec $\sum t=10$, $\sum\ln N\approx 24{,}507$, $\sum t\ln N\approx 53{,}954$ et $\sum t^{2}=30$ : $S_{tt}=30-\frac{100}{5}=10$ et $S_{t,\ln N}=53{,}954-\frac{(10)(24{,}507)}{5}\approx 4{,}941$. Pente : $\frac{4{,}941}{10}\approx 0{,}494$; ordonnée à l'origine : $\frac{24{,}507}{5}-(0{,}494)(2)\approx 3{,}913$. En prenant le logarithme du modèle, $\ln N=\ln N_{0}+kt$ : la pente EST $k\approx 0{,}494$ h$^{-1}$ et l'ordonnée à l'origine est $\ln N_{0}$, donc $N_{0}=e^{3{,}913}\approx 50{,}1$ milliers. Modèle : $N\approx 50{,}1\,e^{0{,}494t}$. Le coefficient de corrélation sur les données transformées dépasse 0,9999.

d) Temps de doublement : on cherche $t$ tel que $e^{kt}=2$, soit $t=\frac{\ln 2}{k}=\frac{0{,}693}{0{,}494}\approx 1{,}40$ h, environ 1 h 24 min, ce qui est cohérent avec les données puisque la population passe de 50 à environ 100 en un peu moins d'une heure et demie. Prédiction à $t=6$ h : $N=50{,}1\,e^{(0{,}494)(6)}=50{,}1\,e^{2{,}964}\approx 9{,}7\times 10^{2}$ milliers de cellules. Prudence toutefois : $t=6$ est hors de l'intervalle observé, et une culture réelle finit par saturer faute de nutriments. Le modèle exponentiel est presque toujours valable au début et faux à la fin.

e) Pour $y=ax^{b}$, on prend le logarithme des DEUX variables : $\ln y=\ln a+b\ln x$. On régresse donc $\ln y$ sur $\ln x$, en échelle log-log. La PENTE de la droite obtenue donne directement l'exposant $b$, et son ordonnée à l'origine donne $\ln a$, d'où $a=e^{\text{ordonnée}}$. Retenez la distinction : un modèle EXPONENTIEL se linéarise en semi-log, en ne transformant que $y$; un modèle en PUISSANCE se linéarise en log-log, en transformant les deux. Dans le cas des planètes, la pente sortirait très proche de 1,5, ce qui redonne la troisième loi de Kepler, $T^{2}\propto d^{3}$.

a) Parce que $r$ est calculé sur un ÉCHANTILLON et varie d'un échantillon à l'autre. Le paramètre $\rho$ est le coefficient de corrélation de la POPULATION entière, une valeur fixe et inconnue; $r$ n'en est qu'une estimation. Avec très peu de points, le hasard suffit à produire un $r$ impressionnant : trois points tirés au hasard s'alignent presque toujours assez bien. Le test répond donc à la seule question qui vaille : l'association observée est-elle plus forte que ce que le hasard produirait couramment si les deux variables n'avaient réellement aucun lien ?

b) $t=\frac{(0{,}9985)\sqrt{4}}{\sqrt{1-0{,}99708}}=\frac{1{,}997}{\sqrt{0{,}00292}}=\frac{1{,}997}{0{,}0540}\approx 37{,}0$. La valeur critique à 4 degrés de liberté vaut 2,776 : la statistique la dépasse d'un facteur treize. On rejette $H_{0}$ sans hésitation, la corrélation est hautement significative malgré les six points seulement, parce qu'elle est presque parfaite.

c) $t=\frac{(0{,}50)\sqrt{8}}{\sqrt{1-0{,}25}}=\frac{1{,}414}{0{,}866}\approx 1{,}63$, à comparer à 2,306 pour 8 degrés de liberté. On ne rejette PAS $H_{0}$ : avec dix individus, un coefficient de 0,50 est parfaitement compatible avec l'absence totale de relation. Le résultat surprend souvent, car un $r$ de 0,50 est spontanément jugé « moyennement fort ». Il ne l'est pas ici : sur si peu de points, il ne prouve rien du tout, et l'annoncer comme une découverte serait une faute.

d) $t=\frac{(0{,}50)\sqrt{28}}{0{,}866}=\frac{2{,}646}{0{,}866}\approx 3{,}06$, supérieur à la valeur critique 2,048 pour 28 degrés de liberté : cette fois on REJETTE $H_{0}$. Le même coefficient mène donc à deux conclusions opposées, et il n'y a là aucune contradiction : la significativité ne mesure pas la FORCE de la relation, que $r$ décrit déjà, mais la solidité de la PREUVE, qui dépend de la quantité d'information disponible. Trente observations rendent improbable ce que dix rendaient banal. Toute la statistique inférentielle tient dans cette distinction.

e) $t=\frac{(0{,}070)\sqrt{998}}{\sqrt{1-0{,}0049}}=\frac{2{,}211}{0{,}9975}\approx 2{,}22$, supérieur à 1,962 : le coefficient est significativement différent de zéro au seuil de 5 %. Pourtant $r^{2}=0{,}0049$, à peine 0,5 % de la variation expliquée : autant dire rien. La leçon est que la significativité statistique ne dit qu'une chose, que l'effet n'est probablement pas exactement nul, et qu'avec un échantillon assez grand, absolument n'importe quel effet minuscule finit par devenir significatif. Elle ne dit rien de l'IMPORTANCE de cet effet, que seuls $r^{2}$, la pente et le contexte peuvent juger. C'est exactement la même leçon que celle du chapitre sur les tests d'hypothèse, où un écart de 0,5 g sur des sacs de 500 g devenait significatif à force d'augmenter la taille de l'échantillon : significatif et important sont deux notions indépendantes.

a) Confusion entre corrélation et causalité, avec une variable confondante évidente : le MILIEU SOCIO-ÉCONOMIQUE et le niveau d'éducation des parents. Ces facteurs produisent simultanément la présence de livres et la réussite scolaire. Offrir des livres à des familles par ailleurs inchangées n'aurait donc pas nécessairement l'effet escompté, comme l'ont montré plusieurs essais randomisés. La conclusion pratique ne suit pas de l'observation.

b) Même faute, sur une unité d'analyse encore plus problématique : la corrélation est calculée sur des PAYS, non sur des individus, ce qui interdit toute conclusion individuelle. C'est le sophisme écologique. La variable confondante est ici la RICHESSE du pays, qui détermine à la fois la consommation de produits de luxe et l'investissement dans la recherche. S'ajoute un problème de sélection : cette corrélation est célèbre parce qu'on l'a cherchée parmi des centaines de variables possibles, ce qui garantit d'en trouver quelques-unes de fortes par pur hasard.

c) Extrapolation abusive. Un $r^{2}$ élevé mesure l'ajustement du modèle aux données PASSÉES et à l'intérieur de l'intervalle observé ; il ne dit rien de sa validité au-delà. Prédire dix ans en avant suppose que la relation reste linéaire et que les conditions ne changent pas, hypothèses qu'aucune donnée historique ne peut garantir. Un modèle peut avoir un ajustement parfait et une valeur prédictive nulle hors de son domaine.

d) Biais de SÉLECTION, car l'analyse est restreinte aux patients HOSPITALISÉS. Pour être hospitalisé, un non-fumeur doit en général être plus gravement atteint qu'un fumeur, puisque le tabagisme suffit souvent à justifier l'admission. La population comparée n'est donc pas comparable, et l'association observée est un artefact du critère de sélection, non un effet du tabac. C'est le paradoxe de Berkson, et il a réellement produit ce type de titres.

e) Confusion entre absence de corrélation LINÉAIRE et absence de relation. Une relation dose-effet est très souvent NON LINÉAIRE : effet nul en dessous d'un seuil, croissance rapide ensuite, puis plateau, voire toxicité qui inverse la tendance aux doses élevées. Sur une telle courbe en cloche ou en S, le coefficient de corrélation linéaire peut être proche de zéro alors que la relation est forte et parfaitement déterministe. La conclusion correcte est qu'il faut TRACER le nuage et envisager un modèle non linéaire, pas que le médicament est inefficace.