Statistiques avancées 201-337 • Complément québécois et cégep à Montréal

Fiche de révision : probabilités et lois de distribution (201-337)

Q: Quelle différence entre événements incompatibles et indépendants ?

Incompatibles signifie que les deux ne peuvent pas se produire en même temps, donc leur intersection est vide. Indépendants signifie que savoir que l'un s'est produit ne change rien à la probabilité de l'autre. Deux événements incompatibles de probabilités non nulles sont au contraire fortement dépendants, puisque la réalisation de l'un interdit l'autre.

Q: Pourquoi un test fiable à 99 % peut se tromper une fois sur trois ?

Parce que la maladie est rare. Sur dix mille personnes dont un pour cent sont malades, le test repère quatre-vingt-dix-neuf vrais malades, mais il déclare aussi positifs deux pour cent des neuf mille neuf cents personnes saines, soit cent quatre-vingt-dix-huit faux positifs. Parmi tous les positifs, un tiers seulement est réellement malade.

Q: Quand la loi binomiale ne s'applique-t-elle plus ?

Dès que les essais ne sont plus indépendants ou que la probabilité change en cours de route, ce qui est le cas d'un tirage sans remise dans une petite population. Il faut alors un arbre conditionnel ou la loi hypergéométrique. On tolère la binomiale si l'échantillon ne dépasse pas environ cinq pour cent de la population.

Q: À quoi sert la correction de continuité ?

À passer d'une variable qui saute d'entier en entier à une courbe continue. Chaque valeur entière occupe en réalité une barre de largeur un, centrée sur elle. Pour inclure la valeur dix dans le calcul, on intègre donc jusqu'à dix et demi, et pour l'exclure jusqu'à neuf et demi. Sans ce demi, la probabilité obtenue est systématiquement décalée.

Q: Comment choisir entre loi binomiale, de Poisson et normale ?

On décrit d'abord l'expérience. Un nombre fixé d'essais à deux issues donne la binomiale. Un comptage d'événements rares sur une durée ou une surface donne Poisson, avec un paramètre proportionnel à la fenêtre observée. La normale sert aux variables continues, et approche la binomiale quand le produit du nombre d'essais par chaque probabilité dépasse cinq.

Le calcul des probabilités est le chapitre où la bonne formule appliquée à la mauvaise expérience donne un résultat parfaitement propre et parfaitement faux. Un tirage sans remise traité à la binomiale ne déclenche aucune alerte, ni sur la copie ni à la calculatrice.

Cette fiche rassemble les décisions qui précèdent le calcul : lire si l'ordre compte, lire s'il y a remise, lire quelle probabilité est conditionnée par quoi, et vérifier les conditions avant toute approximation.

Le fil du chapitre

La formule ne se choisit jamais sur le vocabulaire de l'énoncé mais sur l'EXPÉRIENCE décrite : avec ou sans remise, l'ordre compte ou non, la probabilité est conditionnée ou non.

Ce chapitre fait partie de Statistiques avancées, 201-337

Avant ce chapitre

Cette fiche suppose ces notions acquises. Si une méthode ci-dessous reste opaque, c'est presque toujours l'une d'elles qui manque, pas la fiche.

Les statistiques descriptives Fiche

Remonter plus loin : la chaîne complète (4 chapitres) ↓

Le chemin de remédiation, du plus ancien au plus proche. Un élève qui reprend ce chapitre de zéro le reprend dans cet ordre.

1Nombres réels, racines et ensemblesSecondaire 3
2Statistique : échantillonnage, diagrammes et mesuresSecondaire 3
3Nuage de points, corrélation et régressionSecondaire 4 SN4
4Les statistiques descriptives

Notions couvertes

Probabilité conditionnelle
Théorème de Bayes
Événements indépendants
Événements incompatibles
Arrangements et combinaisons
Loi binomiale
Loi de Poisson
Loi normale
Correction de continuité
Espérance mathématique
Variance d'une variable aléatoire
Loi hypergéométrique

L'essentiel

Incompatibles et indépendants n'ont rien à voir

• INCOMPATIBLES : $P(A\cap B)=0$ , les deux ne peuvent pas se produire ensemble.
• INDÉPENDANTS : $P(A\cap B)=P(A)\times P(B)$ , savoir que l'un s'est produit ne change rien à l'autre.
• Deux événements incompatibles de probabilités non nulles ne sont JAMAIS indépendants : si $A$ arrive, $B$ devient impossible.
• Réunion : $P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)$ , le dernier terme ne disparaissant que si les événements sont incompatibles.

À gauche, aucun recouvrement : les événements sont incompatibles, donc dépendants. À droite, une intersection non vide : l'indépendance devient possible et se teste par le produit.

Ces deux mots se ressemblent en français et désignent des situations opposées. Une question qui donne $P(A)$ , $P(B)$ et $P(A\cup B)$ attend presque toujours qu'on teste l'indépendance par le produit.

Conditionner, et ne jamais retourner la barre

• $P(A\mid B)=\dfrac{P(A\cap B)}{P(B)}$ : ce qui suit la barre devient le nouvel univers.
• Bayes : $P(A\mid B)=\dfrac{P(B\mid A)\,P(A)}{P(B)}$ , où $P(B)$ se calcule par les probabilités totales.
• $P(A\mid B)$ et $P(B\mid A)$ sont deux nombres différents, parfois très différents : un test fiable à $99\,\%$ peut n'avoir qu'une chance sur trois d'être juste quand il est positif.

L'arbre pondéré rend Bayes presque automatique : la première branche porte la cause, la seconde l'observation, et la probabilité conditionnelle demandée remonte l'arbre à l'envers.

Quelle loi, et à quelles conditions

• BINOMIALE : $n$ essais INDÉPENDANTS, deux issues, probabilité $p$ constante. $P(X=k)=\binom{n}{k}p^{k}(1-p)^{n-k}$ , $\mu=np$ , $\sigma=\sqrt{np(1-p)}$ .
• POISSON : comptage d'événements rares sur une durée ou une surface. $P(X=k)=\dfrac{e^{-\lambda}\lambda^{k}}{k!}$ , avec $E(X)=V(X)=\lambda$ , propriété qui sert de test de diagnostic.
• NORMALE : on convertit par $z=\dfrac{x-\mu}{\sigma}$ puis on lit la table. Repères : $68\,\%$ dans $\pm 1\sigma$ , $95\,\%$ dans $\pm 2\sigma$ , $99{,}7\,\%$ dans $\pm 3\sigma$ .
• Approximation normale de la binomiale, licite si $np\geq 5$ ET $n(1-p)\geq 5$ , avec une correction de continuité de $0{,}5$ .

Les repères de la loi normale se lisent en écarts-types :

68\,\%

de la population entre

-1

+1

95\,\%

entre

-2

+2

Le paramètre de Poisson est proportionnel à la durée observée : $\lambda=4$ par heure devient $\lambda=2$ sur une demi-heure. C'est l'ajustement que les copies oublient le plus souvent.

Espérance et variance d'une variable discrète

• $E(X)=\sum x_{i}P(x_{i})$ : une moyenne à LONG TERME, souvent une valeur que $X$ ne prend jamais.
• $V(X)=E(X^{2})-[E(X)]^{2}$ , et l'écart-type en est la racine carrée.
• Un jeu est équitable si $E(X)=0$ pour le joueur ; toute maison de jeu vit d'une espérance négative pour le client.

Écrire l'unité de $E(X)$ évite l'erreur d'interprétation : « $-0{,}25$ dollar par partie » se comprend, « $-0{,}25$ » ne se comprend pas.

Les pièges qui coûtent des points

Les erreurs ci-dessous sont celles que je corrige le plus souvent en séance. Chacune coûte des points sur une copie, même quand le raisonnement est juste.

1. Traiter deux événements incompatibles comme indépendants

2 points, et la question d'indépendance vaut souvent le double

Ce qu'il ne faut pas écrire

« $A$ et $B$ ne peuvent pas arriver ensemble, donc ils n'ont aucune influence l'un sur l'autre : $P(A\cap B)=P(A)P(B)$ . »

Ce qu'il faut écrire

« Ils sont incompatibles, donc $P(A\cap B)=0$ , ce qui est différent de $P(A)P(B)$ dès que les deux probabilités sont non nulles : ils sont dépendants. »

Pourquoi : Savoir que $A$ s'est produit rend $B$ impossible : c'est l'influence maximale, l'exact contraire de l'indépendance.

2. Retourner une probabilité conditionnelle

3 points, c'est la question de raisonnement de l'examen

Ce qu'il ne faut pas écrire

« Le test détecte $99\,\%$ des malades, donc si je suis positif j'ai $99\,\%$ de chances d'être malade. »

Ce qu'il faut écrire

« $P(\text{positif}\mid\text{malade})=0{,}99$ , mais $P(\text{malade}\mid\text{positif})=\dfrac{99}{99+198}=\dfrac{1}{3}$ . »

Sur

10\,000

personnes dont

1\,\%

de malades, un test sensible à

99\,\%

et spécifique à

98\,\%

produit

99

vrais positifs contre

198

faux positifs.

Pourquoi : Quand la maladie est rare, les faux positifs issus de l'immense population saine dépassent en nombre les vrais positifs. Seule la probabilité totale au dénominateur le fait apparaître.

3. Appliquer la binomiale à un tirage sans remise

2 points, et le résultat reste plausible, donc invérifiable

Ce qu'il ne faut pas écrire

« On tire $5$ cartes dans un jeu de $52$ , donc $X$ suit une binomiale de paramètres $n=5$ et $p=\dfrac{4}{52}$ . »

Ce qu'il faut écrire

« Sans remise, $p$ change à chaque tirage : il faut un arbre conditionnel ou la loi hypergéométrique $\dfrac{\binom{a}{k}\binom{b}{n-k}}{\binom{a+b}{n}}$ . »

Pourquoi : La binomiale exige des essais indépendants de probabilité constante. Elle reste acceptable si l'échantillon ne dépasse pas environ $5\,\%$ de la population, ce qui n'est pas le cas ici.

4. Oublier la correction de continuité

1,5 point, et l'écart grandit quand $n$ est petit

Ce qu'il ne faut pas écrire

« $P(X\leq 10)$ avec $\mu=10$ : je prends $z=\dfrac{10-10}{\sigma}=0$ , donc $0{,}5$ . »

Ce qu'il faut écrire

« La valeur discrète $10$ occupe l'intervalle $[9{,}5\,;10{,}5]$ : je prends $z=\dfrac{10{,}5-10}{\sigma}$ . »

La barre de

10

s'étend de

9{,}5

10{,}5

: pour inclure la valeur

10

entière sous la courbe, la borne d'intégration est

10{,}5

Pourquoi : On remplace un histogramme par une courbe : chaque barre a une largeur de $1$ , et l'aire à intégrer va jusqu'au bord de la barre, pas jusqu'à son centre.

5. Prendre l'espérance pour une prédiction

1,5 point sur la question d'interprétation

Ce qu'il ne faut pas écrire

« $E(X)=2{,}4$ enfants par famille, donc une famille a deux ou trois enfants. »

Ce qu'il faut écrire

« $E(X)=2{,}4$ est une moyenne à long terme sur un grand nombre de familles ; aucune famille n'a $2{,}4$ enfant. »

Pourquoi : L'espérance est un centre de gravité, pas une valeur observable. C'est exactement pour cela qu'un jeu équitable se définit par $E(X)=0$ et non par « on gagne autant qu'on perd ».

6. Confondre arrangement et combinaison

2 points, et le facteur d'erreur est $k!$

Ce qu'il ne faut pas écrire

« On choisit $3$ délégués parmi $10$ : $\dfrac{10!}{7!}=720$ possibilités. »

Ce qu'il faut écrire

« L'ordre ne compte pas, donc $\binom{10}{3}=120$ ; on diviserait par $3!=6$ le résultat précédent. »

Pourquoi : Le test tient en une phrase : si permuter les objets choisis donne une situation différente, l'ordre compte. Trois délégués restent les mêmes trois délégués quel que soit l'ordre du tirage.

7. Garder le paramètre de Poisson d'une autre durée

2 points, tout le calcul qui suit est faux

Ce qu'il ne faut pas écrire

« Il arrive $6$ clients par heure, donc sur $20$ minutes $\lambda=6$ . »

Ce qu'il faut écrire

« $\lambda$ est proportionnel à la durée : sur $20$ minutes, $\lambda=6\times\dfrac{20}{60}=2$ . »

Pourquoi : Le paramètre de Poisson EST le nombre moyen d'événements sur la fenêtre observée. Changer de fenêtre change le paramètre, comme changer d'unité change un débit.

8. Additionner des probabilités qui se recouvrent

1,5 point, et parfois une probabilité supérieure à $1$

Ce qu'il ne faut pas écrire

« $P(\text{pair})+P(\text{supérieur à }4)=\dfrac{3}{6}+\dfrac{2}{6}=\dfrac{5}{6}$ . »

Ce qu'il faut écrire

« Les deux événements partagent le $6$ : $P(A\cup B)=\dfrac{3}{6}+\dfrac{2}{6}-\dfrac{1}{6}=\dfrac{4}{6}$ . »

Pourquoi : La formule d'addition simple est réservée aux événements incompatibles. Un total supérieur à $1$ est le signal le plus visible de cette erreur.

9. Lire la table normale du mauvais côté

2 points, et une conclusion inversée sur le contrôle de qualité

Ce qu'il ne faut pas écrire

« La table donne $0{,}9332$ pour $z=1{,}5$ , donc $P(Z>1{,}5)=0{,}9332$ . »

Ce qu'il faut écrire

« La table donne l'aire à GAUCHE : $P(Z>1{,}5)=1-0{,}9332=0{,}0668$ . »

Pourquoi : Un contrôle de bon sens suffit : une valeur au-dessus de la moyenne ne peut pas concerner $93\,\%$ de la population. Toute probabilité de queue est petite.

Quelle méthode choisir

Les quatre cas du dénombrement

Deux questions dans cet ordre : l'ordre compte-t-il ? peut-on répéter un objet ?

Si l'ordre compte et les répétitions sont permises → $n^{k}$

Exemple : un code de $4$ chiffres : $10^{4}=10\,000$
Si l'ordre compte, sans répétition → arrangement $\dfrac{n!}{(n-k)!}$

Exemple : podium de $3$ parmi $10$ : $720$
Si l'ordre ne compte pas, sans répétition → combinaison $\binom{n}{k}=\dfrac{n!}{k!(n-k)!}$

Exemple : $3$ délégués parmi $10$ : $120$
Si on permute des objets dont certains sont identiques → $\dfrac{n!}{n_{1}!\,n_{2}!\cdots}$

Exemple : anagrammes de MISSISSIPPI

Cas particulier à connaître : les permutations circulaires valent $(n-1)!$ , parce qu'une rotation de toute la table ne change pas le placement relatif des convives.

Quelle loi pour quelle expérience

On décrit l'expérience en une phrase avant de nommer une loi.

Si $n$ essais fixés, deux issues, remise ou population très grande → loi binomiale

Exemple : $200$ pièces contrôlées, $3\,\%$ de défauts
Si tirage sans remise dans une population petite → loi hypergéométrique, ou un arbre conditionnel

Exemple : $5$ cartes tirées d'un jeu de $52$
Si comptage d'événements rares sur une durée, une longueur ou une surface → loi de Poisson, avec $\lambda$ ajusté à la fenêtre observée

Exemple : appels reçus en $20$ minutes
Si variable continue, ou binomiale avec $np\geq 5$ et $n(1-p)\geq 5$ → loi normale, avec correction de continuité dans le second cas

Exemple : $P(X\geq 10)$ devient $P(Y\geq 9{,}5)$

Poisson approche aussi la binomiale quand $n$ est grand et $p$ petit, avec $\lambda=np$ . Les deux approximations donnent alors des résultats voisins, ce qui fournit une vérification gratuite.

La rédaction attendue

Le correcteur coche des étapes. Les voici dans l'ordre, avec la phrase de conclusion qu'il attend mot pour mot.

Rédiger un calcul de Bayes

Quand l'utiliser : L'énoncé donne une fiabilité de test, un taux de détection ou une proportion de défauts, et demande la probabilité inverse.

1 Nommer les événements par une lettre et une phrase complète, en français.
2 Écrire les données sous forme conditionnelle, en repérant ce qui est donné : $P(\text{positif}\mid\text{malade})$ , pas l'inverse.
3 Calculer la probabilité totale du dénominateur par les deux chemins de l'arbre.
4 Appliquer Bayes, puis commenter le résultat au regard de la rareté de la cause.

Phrase de conclusion

« $P(M\mid +)=\dfrac{0{,}99\times 0{,}01}{0{,}99\times 0{,}01+0{,}02\times 0{,}99}=\dfrac{1}{3}$ : malgré un test fiable, un positif sur trois seulement correspond à un malade. »

Le piège : Écrire le dénominateur avec la seule branche des malades, ce qui redonne mécaniquement $0{,}99$ .

Barème : 1 point les notations, 1 point la probabilité totale, 1 point le quotient, 1 point le commentaire.

Justifier l'emploi d'une approximation normale

Quand l'utiliser : L'énoncé propose une binomiale à grand $n$ et demande une probabilité cumulée.

1 Écrire $n$ , $p$ , puis vérifier explicitement $np\geq 5$ et $n(1-p)\geq 5$ .
2 Calculer $\mu=np$ et $\sigma=\sqrt{np(1-p)}$ .
3 Appliquer la correction de continuité en déplaçant la borne de $0{,}5$ dans le sens qui INCLUT la valeur entière demandée.
4 Convertir en cote $z$ , lire la table, et préciser de quel côté l'aire est prise.

Phrase de conclusion

« $np=6\geq 5$ et $n(1-p)=194\geq 5$ , donc l'approximation normale est licite avec $\mu=6$ et $\sigma\approx 2{,}41$ . »

Le piège : Déplacer la borne du mauvais côté : pour $P(X\geq 10)$ on prend $9{,}5$ , pour $P(X\leq 10)$ on prend $10{,}5$ .

Barème : 1 point les deux conditions vérifiées, 1 point les paramètres, 1 point la correction, 1 point la lecture de table.

Vérifier avant de rendre

Cinq minutes de vérification récupèrent plus de points qu'un exercice de plus commencé à la hâte.

Toute probabilité reste entre 0 et 1

Relire chaque résultat intermédiaire. Un nombre négatif ou supérieur à $1$ signale une intersection oubliée ou un complément mal pris.

$\dfrac{3}{6}+\dfrac{2}{6}=\dfrac{5}{6}$ pour deux événements qui partagent le $6$ : le total gonfle sans dépasser $1$ , mais la méthode est déjà fausse.
L'espérance tombe entre le minimum et le maximum

Vérifier que $E(X)$ est comprise entre la plus petite et la plus grande valeur possible, et que la somme des probabilités vaut $1$ .

Une espérance de $5{,}2$ pour une variable qui va de $0$ à $4$ trahit une probabilité mal recopiée.
Poisson : moyenne égale variance

Si l'énoncé donne une moyenne et une variance très différentes, la loi de Poisson ne convient pas, et il faut le dire.

Moyenne $6$ et variance $18$ : le modèle de Poisson est à rejeter, la dispersion est trop forte.
La probabilité de queue est petite

Après lecture de la table, se demander si l'événement décrit est rare. Une probabilité de queue supérieure à $0{,}5$ signale une lecture du mauvais côté.

$P(Z>1{,}5)=0{,}9332$ est impossible : la bonne valeur est $0{,}0668$ .

L'exercice type décortiqué

Contrôle de qualité : plus de dix pièces défectueuses ?

Une chaîne produit des pièces dont $3\,\%$ sont défectueuses. On en prélève $200$ au hasard dans une production continue.

Quelle est la probabilité d'y trouver au moins $10$ pièces défectueuses ?

Étape 1

Le prélèvement est petit devant la production, donc $X$ suit une binomiale de paramètres $n=200$ et $p=0{,}03$ .

Pourquoi

La justification du modèle vaut un point à elle seule. C'est aussi elle qui autorise à ignorer l'absence de remise, puisque la production est continue.

Étape 2

$np=6\geq 5$ et $n(1-p)=194\geq 5$ : l'approximation normale est licite.

Pourquoi

Les deux conditions se vérifient AVANT de changer de loi. Une approximation employée sans contrôle est comptée fausse même si le résultat est bon.

Étape 3

$\mu=6$ et $\sigma=\sqrt{200\times 0{,}03\times 0{,}97}\approx 2{,}41$ .

Pourquoi

L'écart-type se calcule sur la binomiale d'origine, jamais sur une racine de la moyenne : cette confusion avec Poisson est l'erreur voisine la plus fréquente.

Étape 4

Correction de continuité : $P(X\geq 10)\approx P(Y\geq 9{,}5)$ , donc $z=\dfrac{9{,}5-6}{2{,}41}\approx 1{,}45$ .

Pourquoi

On veut INCLURE la valeur $10$ , donc on descend la borne à $9{,}5$ . Monter à $10{,}5$ exclurait précisément la valeur que l'énoncé demande de compter.

Étape 5

Table : $P(Z<1{,}45)=0{,}9265$ , donc la probabilité cherchée vaut $1-0{,}9265\approx 0{,}074$ .

Pourquoi

La table donne l'aire à gauche : on la retranche à $1$ pour une queue de droite. Le résultat, environ $7\,\%$ , est bien une petite probabilité.

Étape 6

Contrôle par Poisson, $\lambda=np=6$ : on retrouve environ $0{,}084$ .

Pourquoi

Deux approximations indépendantes qui se rejoignent valident le calcul mieux qu'une relecture. L'écart tient à la dissymétrie de la binomiale, que la normale lisse.

Conclusion rédigée

« La probabilité de trouver au moins $10$ pièces défectueuses sur $200$ est d'environ $7\,\%$ , ce qui reste plausible sans que la chaîne soit déréglée. »

L'erreur classique sur cet exercice : Prendre $z=\dfrac{10-6}{2{,}41}$ sans correction, ou pire, $\sigma=\sqrt{6}$ en confondant la binomiale avec une loi de Poisson.

À savoir par cœur

• Incompatibles : $P(A\cap B)=0$ . Indépendants : $P(A\cap B)=P(A)P(B)$ . Jamais les deux à la fois si les probabilités sont non nulles.
• $P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)$ : le dernier terme ne s'oublie que si les événements sont incompatibles.
• $P(A\mid B)$ n'est pas $P(B\mid A)$ : Bayes passe de l'un à l'autre, et le dénominateur est une probabilité TOTALE.
• Ordre plus répétitions $n^{k}$ ; ordre seul $\dfrac{n!}{(n-k)!}$ ; ni l'un ni l'autre $\binom{n}{k}$ ; objets identiques $\dfrac{n!}{n_{1}!n_{2}!}$ .
• Binomiale : $\mu=np$ , $\sigma=\sqrt{np(1-p)}$ . Poisson : $E(X)=V(X)=\lambda$ , ajusté à la durée observée.
• Approximation normale si $np\geq 5$ ET $n(1-p)\geq 5$ , toujours avec la correction de $0{,}5$ .
• La table normale donne l'aire à GAUCHE ; une queue de droite se prend par complément.

Questions fréquentes

Quelle différence entre événements incompatibles et indépendants ?

Incompatibles signifie que les deux ne peuvent pas se produire en même temps, donc leur intersection est vide. Indépendants signifie que savoir que l'un s'est produit ne change rien à la probabilité de l'autre. Deux événements incompatibles de probabilités non nulles sont au contraire fortement dépendants, puisque la réalisation de l'un interdit l'autre.

Pourquoi un test fiable à 99 % peut se tromper une fois sur trois ?

Parce que la maladie est rare. Sur dix mille personnes dont un pour cent sont malades, le test repère quatre-vingt-dix-neuf vrais malades, mais il déclare aussi positifs deux pour cent des neuf mille neuf cents personnes saines, soit cent quatre-vingt-dix-huit faux positifs. Parmi tous les positifs, un tiers seulement est réellement malade.

Quand la loi binomiale ne s'applique-t-elle plus ?

Dès que les essais ne sont plus indépendants ou que la probabilité change en cours de route, ce qui est le cas d'un tirage sans remise dans une petite population. Il faut alors un arbre conditionnel ou la loi hypergéométrique. On tolère la binomiale si l'échantillon ne dépasse pas environ cinq pour cent de la population.

À quoi sert la correction de continuité ?

À passer d'une variable qui saute d'entier en entier à une courbe continue. Chaque valeur entière occupe en réalité une barre de largeur un, centrée sur elle. Pour inclure la valeur dix dans le calcul, on intègre donc jusqu'à dix et demi, et pour l'exclure jusqu'à neuf et demi. Sans ce demi, la probabilité obtenue est systématiquement décalée.

Comment choisir entre loi binomiale, de Poisson et normale ?

On décrit d'abord l'expérience. Un nombre fixé d'essais à deux issues donne la binomiale. Un comptage d'événements rares sur une durée ou une surface donne Poisson, avec un paramètre proportionnel à la fenêtre observée. La normale sert aux variables continues, et approche la binomiale quand le produit du nombre d'essais par chaque probabilité dépasse cinq.

Passer à la pratique

Exercices corrigés : Probabilités et lois de distribution

Une méthode se prouve sur une copie, pas sur une fiche. La série du même chapitre reprend chacun de ces pièges dans un exercice, avec le corrigé rédigé étape par étape.

10 exercices corrigés
100 points
150 minutes

Faire les exercices

Fiche précédente Les statistiques descriptives Fiche suivante Estimation et tests d'hypothèse

Ce chapitre resservira dans

Les chapitres qui le réclament en amont, plus tard dans l'année ou dans les années suivantes.

Estimation et tests d'hypothèse

Voir aussi

Toutes les fiches Tous les exercices Statistiques descriptives (201-337)Combinaisons linéaires et bases (201-105)Compléments québécois au lycée Tutorat cégep

Vous cherchez un tuteur en statistiques 201-337 à Montréal ?

Contactez-moi pour une première séance. Les probabilités conditionnelles sont le point où presque tout le monde décroche : un arbre bien construit règle la question en deux minutes.

Me contacter WhatsApp

Site par Studio Squalli