Statistiques avancées 201-337 • Complément québécois et cégep à Montréal

Fiche de révision : les statistiques descriptives (201-337)

Les statistiques descriptives sont le chapitre où tout le monde sait calculer et où beaucoup perdent des points quand même : l'énoncé demande quel indicateur décrit honnêtement la série, et la calculatrice ne répond pas à cette question.

Cette fiche laisse les formules dans le cahier et rassemble les décisions qui rapportent : reconnaître une distribution étalée, choisir entre $n$ et $n-1$ , pondérer avant de moyenner, et n'écarter une donnée aberrante qu'après enquête, jamais parce qu'elle dérange.

Le fil du chapitre

Le calcul n'est jamais ce qui coûte des points en statistiques descriptives : c'est le CHOIX de l'indicateur, moyenne ou médiane, $n$ ou $n-1$ , dispersion absolue ou relative.

Ce chapitre fait partie de Statistiques avancées, 201-337

Avant ce chapitre

Cette fiche suppose ces notions acquises. Si une méthode ci-dessous reste opaque, c'est presque toujours l'une d'elles qui manque, pas la fiche.

Nuage de points, corrélation et régressionSecondaire 4 SN4 Fiche

Remonter plus loin : la chaîne complète (3 chapitres) ↓

Le chemin de remédiation, du plus ancien au plus proche. Un élève qui reprend ce chapitre de zéro le reprend dans cet ordre.

1Nombres réels, racines et ensemblesSecondaire 3
2Statistique : échantillonnage, diagrammes et mesuresSecondaire 3
3Nuage de points, corrélation et régressionSecondaire 4 SN4

Notions couvertes

Mesures de tendance centrale
Médiane et quartiles
Écart-type d'un échantillon
Variance
Cote z
Écart interquartile
Valeur aberrante
Coefficient de variation
Moyenne pondérée
Ogive et percentiles
Transformation linéaire
Types de variables statistiques

L'essentiel

Trois mesures de centre, trois messages différents

• Moyenne $\overline{x}=\dfrac{\sum x_{i}}{n}$ : elle utilise toutes les données, donc elle subit les valeurs extrêmes.
• Médiane : la valeur du milieu après classement. Elle ignore l'ampleur des extrêmes, seulement leur nombre.
• Mode : la valeur la plus fréquente, seul indicateur utilisable sur une variable qualitative.
• Si $\overline{x}>$ médiane, la distribution est étalée vers la DROITE : c'est le cas des revenus, des durées d'attente et des prix immobiliers.

Sur une distribution étalée vers la droite, la moyenne est tirée vers la queue tandis que la médiane reste dans le gros de la population :

40

contre

28

L'écart entre moyenne et médiane est un diagnostic, pas un défaut de calcul. Un énoncé qui donne les deux attend qu'on commente cet écart.

La dispersion, et le choix de n ou de n moins 1

• Variance d'un ÉCHANTILLON : $s^{2}=\dfrac{\sum(x_{i}-\overline{x})^{2}}{n-1}$ . Variance d'une POPULATION : $\sigma^{2}=\dfrac{\sum(x_{i}-\mu)^{2}}{n}$ .
• On divise par $n-1$ parce que la moyenne a déjà été estimée sur ces mêmes données : il ne reste que $n-1$ écarts indépendants.
• L'écart-type est la racine carrée de la variance, et il porte l'unité des données ; la variance porte cette unité au carré.
• Coefficient de variation $CV=\dfrac{s}{\overline{x}}\times 100$ : dispersion RELATIVE, sans unité, seule façon de comparer deux séries d'échelles différentes.

Un PARAMÈTRE décrit la population et se note en lettres grecques, $\mu$ et $\sigma$ ; une STATISTIQUE décrit l'échantillon et se note $\overline{x}$ et $s$ . Le choix du dénominateur découle de cette lecture, pas d'une préférence.

La cote z : comparer ce qui n'est pas comparable

• $z=\dfrac{x-\overline{x}}{s}$ exprime un écart en NOMBRE d'écarts-types.
• Une cote $z$ positive place la donnée au-dessus de la moyenne, négative au-dessous ; sa valeur absolue mesure l'exceptionnel.
• Deux notes issues de barèmes différents ne se comparent qu'après passage en cotes $z$ .
• Une transformation $y=ax+b$ donne $\overline{y}=a\overline{x}+b$ et $s_{y}=|a|\,s_{x}$ : la cote $z$ est donc INVARIANTE si $a>0$ .

Ajouter une constante à toutes les données déplace le centre sans changer la dispersion. C'est la vérification la plus rapide sur une question de transformation.

Quartiles, écart interquartile et valeurs aberrantes

• $Q_{1}$ , $Q_{2}$ la médiane et $Q_{3}$ découpent la série en quatre parts d'effectifs égaux.
• Écart interquartile $EI=Q_{3}-Q_{1}$ : la dispersion du cœur de la série, insensible aux extrêmes.
• Est aberrante toute donnée hors de $[\,Q_{1}-1{,}5\,EI\ ;\ Q_{3}+1{,}5\,EI\,]$ .
• Sur une ogive, les effectifs cumulés se placent en face de la BORNE SUPÉRIEURE de chaque classe, jamais de son centre.

Le critère $1{,}5\,EI$ signale une donnée à examiner, il ne l'autorise pas à disparaître. On enquête sur son origine, et on publie les deux analyses si le doute persiste.

Les pièges qui coûtent des points

Les erreurs ci-dessous sont celles que je corrige le plus souvent en séance. Chacune coûte des points sur une copie, même quand le raisonnement est juste.

1. Résumer par la moyenne une distribution visiblement étalée

2 points, c'est la question d'interprétation de l'examen

Ce qu'il ne faut pas écrire

« Le salaire moyen est de $58$ k $, donc l'employé typique gagne environ$ 58 $k$ . »

Ce qu'il faut écrire

« La moyenne est de $58$ , la médiane de $41$ : la distribution est étalée vers la droite et c'est la médiane qui décrit l'employé typique. »

Pourquoi : Un seul très haut salaire suffit à déplacer la moyenne de plusieurs milliers de dollars sans toucher la médiane. L'énoncé teste ce réflexe à chaque session.

2. Diviser par n la variance d'un échantillon

1,5 point, et toutes les cotes $z$ de la question suivante

Ce qu'il ne faut pas écrire

« $s^{2}=\dfrac{\sum(x_{i}-\overline{x})^{2}}{n}$ , comme dans le cours de secondaire. »

Ce qu'il faut écrire

« Les données sont un ÉCHANTILLON, donc $s^{2}=\dfrac{\sum(x_{i}-\overline{x})^{2}}{n-1}$ . »

Pourquoi : La moyenne a été calculée sur ces mêmes données, ce qui consomme un degré de liberté. Diviser par $n$ sous-estime systématiquement la dispersion, d'autant plus que l'échantillon est petit.

3. Moyenner des moyennes sans tenir compte des effectifs

2 points, et l'erreur passe inaperçue faute de contrôle

Ce qu'il ne faut pas écrire

« Service A à $48$ , service B à $62$ , donc l'entreprise est à $\dfrac{48+62}{2}=55$ . »

Ce qu'il faut écrire

« $\overline{x}=\dfrac{12\times 48+28\times 62}{40}=57{,}8$ : on pondère par les effectifs. »

Le milieu naïf tombe à

55

, à égale distance des deux services ; la moyenne pondérée est à

57{,}8

, tirée vers le service de

28

employés.

Pourquoi : La moyenne des moyennes n'est correcte que si les groupes ont le même effectif. Le résultat pondéré penche toujours du côté du groupe le plus nombreux, ce qui donne un contrôle immédiat.

4. Comparer les écarts-types de deux séries d'échelles différentes

1,5 point, et une conclusion inversée

Ce qu'il ne faut pas écrire

« Les salaires ont un écart-type de $8000$ dollars et les âges de $6$ ans : les salaires sont donc bien plus dispersés. »

Ce qu'il faut écrire

« On compare les coefficients de variation : $\dfrac{8000}{52000}\times 100\approx 15\,\%$ contre $\dfrac{6}{38}\times 100\approx 16\,\%$ , donc les âges sont un peu plus dispersés. »

Pourquoi : Un écart-type porte l'unité de la variable : des dollars ne se comparent pas à des années. Seule la dispersion relative est sans unité.

5. Traiter comme quantitative une variable qui ne l'est pas

1 point, et la question de typologie qui ouvre l'examen

Ce qu'il ne faut pas écrire

« Le code postal moyen des répondants est $H3G$ ... donc $34\,512$ . »

Ce qu'il faut écrire

« Un code postal est une variable qualitative NOMINALE : on en donne les effectifs et le mode, jamais une moyenne. »

Pourquoi : Des chiffres ne font pas une variable quantitative. Le test est de se demander si la différence entre deux valeurs a un sens : entre deux codes postaux, elle n'en a aucun.

6. Croire qu'un plus grand échantillon corrige un biais

2 points sur la question de méthodologie

Ce qu'il ne faut pas écrire

« Le sondage est en ligne sur notre site, mais avec $10\,000$ réponses le résultat est fiable. »

Ce qu'il faut écrire

« La taille ne réduit que l'erreur ALÉATOIRE. Un biais de sélection ne se corrige jamais en interrogeant plus de monde, il faut changer la méthode de recrutement. »

Pourquoi : Interroger davantage de personnes du même groupe mal choisi rend l'erreur plus précise, pas plus juste. C'est le résultat que retient le correcteur : précision et exactitude sont deux choses différentes.

7. Appliquer le critère d'aberrance avec l'écart-type

1,5 point, et une boîte à moustaches fausse

Ce qu'il ne faut pas écrire

« La donnée est à plus de $1{,}5$ écart-type de la moyenne, donc elle est aberrante. »

Ce qu'il faut écrire

« Le critère porte sur les quartiles : est aberrante toute donnée hors de $[\,Q_{1}-1{,}5\,EI\ ;\ Q_{3}+1{,}5\,EI\,]$ . »

Les deux barrières se calculent à partir des quartiles ; la moustache s'arrête à la dernière donnée située avant la barrière, et seule la valeur

120

est déclarée aberrante.

Pourquoi : La moyenne et l'écart-type sont eux-mêmes déformés par la donnée suspecte : les utiliser pour la juger revient à laisser l'accusé écrire l'acte d'accusation. Les quartiles, eux, ne bougent pas.

8. Croire qu'ajouter une constante change la dispersion

1 point, souvent deux lignes d'un tableau à compléter

Ce qu'il ne faut pas écrire

« On ajoute $5$ points à toutes les copies, donc la moyenne et l'écart-type augmentent de $5$ . »

Ce qu'il faut écrire

« $y=x+5$ donne $\overline{y}=\overline{x}+5$ mais $s_{y}=s_{x}$ : la dispersion ne change pas. »

Pourquoi : Une translation déplace toutes les données du même écart : les distances entre elles sont inchangées. Seul un facteur multiplicatif modifie la dispersion, et il la multiplie par $|a|$ .

9. Construire l'ogive sur les centres de classe

1,5 point, et tous les percentiles lus ensuite

Ce qu'il ne faut pas écrire

« Je place l'effectif cumulé de la classe $[30\,;40[$ au point $x=35$ , le centre de la classe. »

Ce qu'il faut écrire

« Un effectif CUMULÉ est atteint à la fin de la classe : il se place en face de la borne supérieure, $x=40$ . »

La même série lue sur les bornes supérieures donne

P_{80}\approx 33

; placée sur les centres de classe, elle donnerait

28

, un demi-intervalle trop bas.

Pourquoi : Le cumul compte tout ce qui est inférieur à une valeur : il n'est complet qu'au bout de la classe. Décaler d'un demi-intervalle décale tous les percentiles du même coup.

Quelle méthode choisir

Quel indicateur de centre et de dispersion choisir

On regarde le type de variable, puis la forme de la distribution.

Si variable qualitative nominale → mode seulement, avec les effectifs et les pourcentages

Exemple : couleur préférée, code postal, programme d'études
Si variable quantitative, distribution symétrique et sans valeur extrême → moyenne et écart-type

Exemple : tailles d'un groupe d'adultes
Si distribution étalée, ou présence de valeurs aberrantes → médiane et écart interquartile

Exemple : revenus, prix des logements, temps d'attente
Si il faut comparer la dispersion de deux séries d'unités ou d'échelles différentes → coefficient de variation

Exemple : $15\,\%$ pour les salaires contre $16\,\%$ pour les âges
Si il faut comparer deux valeurs individuelles issues de deux distributions → cote $z$

Exemple : $18/20$ dans une classe forte contre $85/100$ dans une autre

Aucune de ces branches ne se décide à la calculatrice : elles se décident en regardant le nuage ou l'histogramme. C'est pour cela que l'examen demande presque toujours de justifier le choix.

Quel dénominateur, quelle notation

On lit si les données décrivent toute la population ou seulement un échantillon.

Si les données couvrent toute la population étudiée → diviser par $n$ , et noter $\mu$ et $\sigma$

Exemple : les notes des $32$ élèves d'une classe, quand la classe est la population
Si les données sont un échantillon tiré d'une population plus vaste → diviser par $n-1$ , et noter $\overline{x}$ et $s$

Exemple : $40$ pièces prélevées dans une production continue
Si l'énoncé ne précise rien mais parle de sondage, de prélèvement ou d'estimation → c'est un échantillon : $n-1$

Exemple : « on a interrogé $200$ clients »
Si la calculatrice affiche les deux résultats → prendre $s_{x}$ pour un échantillon, $\sigma_{x}$ pour une population, et écrire lequel a été choisi

Exemple : sur une TI, $\text{Sx}$ et $\sigma\text{x}$ apparaissent l'un sous l'autre

Écrire une phrase du type « les données constituent un échantillon, donc je divise par $n-1$ » rapporte le point de justification même quand la valeur numérique est ensuite mal recopiée.

La rédaction attendue

Le correcteur coche des étapes. Les voici dans l'ordre, avec la phrase de conclusion qu'il attend mot pour mot.

Détecter et commenter une valeur aberrante

Quand l'utiliser : L'énoncé demande si une donnée est aberrante, ou fournit une boîte à moustaches à construire.

1 Classer la série et calculer $Q_{1}$ , $Q_{2}$ et $Q_{3}$ , en écrivant les positions utilisées.
2 Calculer $EI=Q_{3}-Q_{1}$ , puis les deux barrières $Q_{1}-1{,}5\,EI$ et $Q_{3}+1{,}5\,EI$ .
3 Comparer chaque donnée extrême aux barrières et nommer celles qui sortent.
4 Conclure sans supprimer la donnée : dire ce qu'on ferait pour l'expliquer.

Phrase de conclusion

« $EI=60-40=20$ , donc les barrières sont $10$ et $90$ . La valeur $120$ est supérieure à $90$ : c'est une donnée aberrante, à vérifier avant toute décision, et non à supprimer. »

Le piège : Étendre la moustache jusqu'à la barrière : elle s'arrête à la dernière donnée réellement observée avant celle-ci.

Barème : 1 point les quartiles, 1 point les deux barrières, 1 point la conclusion nuancée.

Comparer deux valeurs par la cote z

Quand l'utiliser : Deux notes, deux mesures ou deux performances issues de distributions différentes doivent être comparées.

1 Écrire pour chaque distribution sa moyenne et son écart-type, avec la notation qui convient.
2 Calculer chaque cote $z$ séparément, en gardant deux décimales.
3 Comparer les deux cotes, pas les deux valeurs brutes.
4 Conclure en interprétant la cote en nombre d'écarts-types au-dessus ou au-dessous de la moyenne.

Phrase de conclusion

« $z_{A}=\dfrac{85-70}{10}=1{,}5$ et $z_{B}=\dfrac{18-14}{4}=1$ : la performance $A$ est meilleure, car elle se situe à $1{,}5$ écart-type au-dessus de sa moyenne contre $1$ pour $B$ . »

Le piège : Comparer $85$ et $18$ , ou comparer les écarts bruts $15$ et $4$ sans les diviser par leur écart-type respectif.

Barème : 1 point par cote correctement calculée, 1 point la conclusion exprimée en écarts-types.

Vérifier avant de rendre

Cinq minutes de vérification récupèrent plus de points qu'un exercice de plus commencé à la hâte.

La moyenne pondérée tombe du côté du gros effectif

Vérifier que le résultat est compris entre les deux moyennes et plus proche de celle du groupe le plus nombreux.

$57{,}8$ entre $48$ et $62$ , penché vers $62$ : cohérent avec $28$ employés contre $12$ .
L'écart-type comparé à l'étendue

Un écart-type dépasse rarement le quart de l'étendue sur une série ordinaire. Bien plus grand, c'est une erreur de saisie ou de dénominateur.

Une étendue de $16$ avec un écart-type annoncé de $12$ : la somme des carrés a été mal calculée.
La somme des écarts à la moyenne est nulle

Additionner les $x_{i}-\overline{x}$ avant de les élever au carré : le total doit être zéro, aux arrondis près.

Une somme de $-3$ signale une moyenne fausse ou une donnée oubliée.
L'unité de la réponse

Un écart-type porte l'unité des données, une variance son carré, une cote $z$ et un coefficient de variation n'en portent aucune.

Une cote $z$ annoncée « $1{,}5$ point » trahit une division oubliée par l'écart-type.

L'exercice type décortiqué

La moyenne de l'entreprise, et celle que la direction annonce

Le service A compte $12$ employés dont le salaire moyen est de $48$ k dollars ; le service B en compte $28$ , de salaire moyen $62$ k dollars.

La direction annonce un salaire moyen de $55$ k dollars pour l'entreprise. Est-ce exact ? Et si un cadre à $200$ k dollars s'ajoutait au service A, que faudrait-il publier ?

Étape 1

Effectif total : $12+28=40$ employés.

Pourquoi

Le dénominateur d'une moyenne pondérée est la somme des poids, pas le nombre de groupes. C'est là que se joue toute la question.

Étape 2

Somme des salaires : $12\times 48+28\times 62=576+1736=2312$ k dollars.

Pourquoi

Chaque moyenne de service redonne la somme de son groupe une fois multipliée par son effectif. On reconstitue ainsi la masse salariale sans connaître les salaires individuels.

Étape 3

Moyenne de l'entreprise : $\dfrac{2312}{40}=57{,}8$ k dollars.

Pourquoi

Le résultat est bien compris entre $48$ et $62$ , et penché vers $62$ : le contrôle de cohérence est immédiat et vaut démonstration que $55$ est faux.

Étape 4

Avec le cadre à $200$ : $\dfrac{2312+200}{41}\approx 61{,}3$ k dollars, alors que la médiane bouge à peine.

Pourquoi

Une seule donnée extrême déplace la moyenne de $3{,}5$ k dollars. C'est la démonstration chiffrée de ce que « la moyenne subit les extrêmes » veut dire.

Étape 5

Contrôle : $57{,}8\times 40=2312$ , et $55$ serait la bonne réponse seulement si les deux services comptaient $20$ employés chacun.

Pourquoi

L'opération inverse valide le calcul, et la condition d'égalité des effectifs nomme exactement l'hypothèse cachée derrière la moyenne des moyennes.

Conclusion rédigée

« La moyenne de l'entreprise est de $57{,}8$ k dollars et non $55$ : la moyenne des moyennes suppose des effectifs égaux, ce qui n'est pas le cas ici. Avec un salaire extrême, il faudrait publier la médiane à côté de la moyenne. »

L'erreur classique sur cet exercice : Additionner $48$ et $62$ puis diviser par $2$ : le résultat, $55$ , est celui d'une entreprise imaginaire où les deux services auraient le même effectif.

À savoir par cœur

• Moyenne supérieure à la médiane : distribution étalée vers la DROITE, c'est la médiane qui décrit le cas typique.
• Échantillon : $n-1$ et les notations $\overline{x}$ , $s$ . Population : $n$ et les notations $\mu$ , $\sigma$ .
• $z=\dfrac{x-\overline{x}}{s}$ : un écart mesuré en nombre d'écarts-types, sans unité.
• Aberrante : hors de $[\,Q_{1}-1{,}5\,EI\ ;\ Q_{3}+1{,}5\,EI\,]$ , avec $EI=Q_{3}-Q_{1}$ .
• $CV=\dfrac{s}{\overline{x}}\times 100$ : la seule dispersion comparable d'une série à l'autre.
• $y=ax+b$ : $\overline{y}=a\overline{x}+b$ et $s_{y}=|a|\,s_{x}$ . Le $+b$ ne change JAMAIS la dispersion.
• Sur une ogive, l'effectif cumulé se place à la BORNE SUPÉRIEURE de la classe.
• Un plus grand échantillon réduit l'erreur aléatoire, jamais un biais.

Questions fréquentes

Faut-il utiliser la moyenne ou la médiane ?

La médiane dès que la distribution est étalée ou qu'une valeur extrême est présente, ce qui est le cas des revenus, des prix et des temps d'attente. La moyenne convient aux distributions symétriques sans valeur aberrante. Si les deux sont demandées, l'écart entre elles est justement ce qu'il faut commenter.

Pourquoi divise-t-on par n moins 1 pour un échantillon ?

Parce que la moyenne utilisée dans la formule a elle-même été estimée sur ces données. Une fois la moyenne fixée, seuls n moins un écarts sont libres, le dernier se déduit des autres. Diviser par n sous-estimerait donc la dispersion réelle de la population, d'autant plus que l'échantillon est petit.

Comment savoir si une donnée est aberrante ?

On calcule l'écart interquartile, différence entre le troisième et le premier quartile, puis les deux barrières situées à une fois et demie cet écart de part et d'autre de la boîte. Toute donnée hors de cet intervalle est déclarée aberrante. Le critère se fonde sur les quartiles, jamais sur la moyenne et l'écart-type, que la donnée suspecte fausse déjà.

À quoi sert la cote z ?

À rendre comparables des valeurs issues de distributions différentes. Elle exprime l'écart à la moyenne en nombre d'écarts-types, donc sans unité. Une cote de un et demi signifie que la valeur se situe à un écart-type et demi au-dessus de la moyenne de sa propre série, ce qui peut se comparer directement à la cote d'une autre série.

Un sondage avec beaucoup de réponses est-il forcément fiable ?

Non. Le nombre de réponses ne réduit que l'erreur due au hasard de l'échantillonnage. Si les répondants ont été mal recrutés, par exemple sur la seule base du volontariat en ligne, le biais reste entier et grandit même en précision apparente. Corriger un biais demande de changer la méthode, pas d'interroger plus de monde.

Passer à la pratique

Exercices corrigés : Les statistiques descriptives

Une méthode se prouve sur une copie, pas sur une fiche. La série du même chapitre reprend chacun de ces pièges dans un exercice, avec le corrigé rédigé étape par étape.

10 exercices corrigés
100 points
150 minutes

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