Exercices corrigés : le théorème de Thalès en Troisième

1) Les deux triangles sont $AMN$ et $ABC$. La correspondance se lit sur la figure : $A$ correspond à $A$ (c'est le sommet commun), $M$ correspond à $B$ (les deux sont sur la même demi-droite issue de $A$), $N$ correspond à $C$. On écrit donc $AMN \leftrightarrow ABC$, dans cet ordre, et on ne le change plus. Cette ligne d'une phrase est ce qui empêche toutes les erreurs de la suite : une fois la correspondance écrite, chaque quotient se lit en prenant un côté du petit triangle sur le côté correspondant du grand.

2) Le théorème de Thalès donne $\dfrac{AM}{AB}=\dfrac{AN}{AC}=\dfrac{MN}{BC}$. Remarquer que les trois numérateurs sont des côtés de $AMN$ et les trois dénominateurs les côtés correspondants de $ABC$ : c'est toujours petit sur grand, ou toujours grand sur petit, jamais un mélange des deux.

3) $M$ est sur $[AB]$, donc $AB=AM+MB=3+4{,}5=7{,}5$ cm. L'énoncé ne donne jamais $AB$ directement, il donne les deux morceaux : penser à les additionner est la première marche de l'exercice. On obtient $\dfrac{AM}{AB}=\dfrac{3}{7{,}5}=0{,}4$.

4) De même $AC=AN+NC=4{,}8+7{,}2=12$ cm, donc $\dfrac{AN}{AC}=\dfrac{4{,}8}{12}=0{,}4$. Les deux quotients sont bien égaux, ce qui est cohérent avec l'hypothèse $(MN)$ parallèle à $(BC)$. Ce contrôle ne se demande pas toujours, mais il coûte deux secondes et signale une erreur de lecture.

5) Le troisième quotient vaut donc aussi $0{,}4$ : $\dfrac{MN}{BC}=0{,}4$, c'est-à-dire $\dfrac{5{,}2}{BC}=0{,}4$, donc $BC=\dfrac{5{,}2}{0{,}4}=13$ cm. Vérification de bon sens : $BC$ doit être PLUS GRAND que $MN$ puisque $ABC$ est l'agrandissement de $AMN$, et $13>5{,}2$.

6) L'égalité proposée mélange les deux sens. Elle donnerait $\dfrac{5{,}2}{BC}=\dfrac{7{,}5}{3}=2{,}5$, donc $BC=\dfrac{5{,}2}{2{,}5}=2{,}08$ cm, une valeur plus PETITE que $MN$, ce qui est impossible dans un agrandissement. L'erreur est d'avoir retourné un seul des deux quotients : dans une égalité de Thalès, ou l'on retourne les deux membres, ou l'on n'en retourne aucun.

1) Le théorème de Thalès ne demande pas que les points soient du même côté de $A$. Il demande seulement trois choses : deux droites sécantes en $A$, un point de chaque droite pour former chaque triangle, et le parallélisme des deux droites $(MN)$ et $(BC)$. Ces trois conditions sont remplies ici. La configuration papillon est donc le MÊME théorème, vu autrement.

2) La correspondance se lit sur les droites : $B$ et $M$ sont sur une même droite passant par $A$, $C$ et $N$ sur l'autre. Donc $A \leftrightarrow A$, $B \leftrightarrow M$, $C \leftrightarrow N$, et $\dfrac{AM}{AB}=\dfrac{AN}{AC}=\dfrac{MN}{BC}$.

3) Le rapport connu est $\dfrac{AM}{AB}=\dfrac{9}{6}=1{,}5$. Alors $\dfrac{AN}{AC}=1{,}5$ donne $AN=1{,}5\times 8=12$ cm.

4) De même $\dfrac{MN}{BC}=1{,}5$ donne $MN=1{,}5\times 7{,}2=10{,}8$ cm. Contrôle : les trois côtés de $AMN$ mesurent $9$, $12$ et $10{,}8$, ceux de $ABC$ mesurent $6$, $8$ et $7{,}2$ ; chaque côté est exactement une fois et demie l'autre, c'est bien la même forme.

5) Comme $1{,}5>1$, passer de $ABC$ à $AMN$ est un AGRANDISSEMENT de coefficient $1{,}5$. Dans l'autre sens, passer de $AMN$ à $ABC$ est une réduction de coefficient $\dfrac{1}{1{,}5}=\dfrac{2}{3}$. Un coefficient d'agrandissement et son inverse décrivent la même paire de figures : ce qui change, c'est le sens de lecture.

6) Ici $A$ est ENTRE $B$ et $M$, donc les longueurs s'ajoutent : $BM=BA+AM=6+9=15$ cm. C'est la différence concrète entre les deux configurations, et c'est la seule. Dans la configuration emboîtée, $A$ est à une extrémité et l'on écrit $AB=AM+MB$ ; ici $A$ est au milieu et l'on écrit $BM=AB+AM$. Retenir $BM=AM-AB=3$ cm serait une lecture de la figure emboîtée sur une figure papillon.

1) $AB=3{,}6$ et $AM=2{,}4$, donc $\dfrac{AM}{AB}=\dfrac{2{,}4}{3{,}6}=\dfrac{2}{3}$. Ensuite $AC=4{,}8$ et $AN=3{,}2$, donc $\dfrac{AN}{AC}=\dfrac{3{,}2}{4{,}8}=\dfrac{2}{3}$. Les points $A$, $M$, $B$ d'une part, $A$, $N$, $C$ d'autre part sont alignés dans le même ordre, et les deux quotients sont égaux : d'après la réciproque du théorème de Thalès, $(MN)$ est parallèle à $(BC)$.

2) $\dfrac{AM}{AB}=\dfrac{2{,}5}{3{,}5}=\dfrac{5}{7}\approx 0{,}714$ et $\dfrac{AN}{AC}=\dfrac{3{,}2}{4{,}8}=\dfrac{2}{3}\approx 0{,}667$. Les deux quotients sont DIFFÉRENTS, donc $(MN)$ n'est PAS parallèle à $(BC)$. Le point important est là : on ne conclut pas que l'on ne sait pas, on conclut au NON-parallélisme, parce que s'il y avait parallélisme le théorème direct imposerait l'égalité des quotients.

3) Réciproque : si $A$, $M$, $B$ sont alignés dans cet ordre, si $A$, $N$, $C$ le sont aussi, et si $\dfrac{AM}{AB}=\dfrac{AN}{AC}$, alors $(MN)$ est parallèle à $(BC)$. La différence avec le théorème direct est le sens de la flèche : le théorème direct part du parallélisme et FOURNIT des quotients égaux, ce qui sert à calculer une longueur ; la réciproque part de quotients égaux et FOURNIT le parallélisme, ce qui sert à justifier. On ne calcule jamais une longueur avec la réciproque.

4) Il faudrait $\dfrac{AM}{3{,}5}=\dfrac{2}{3}$, donc $AM=\dfrac{2}{3}\times 3{,}5=\dfrac{7}{3}\approx 2{,}33$ cm. L'écart avec la valeur réelle $2{,}5$ n'est que de $0{,}17$ cm, soit moins de deux millimètres : voilà exactement pourquoi l'œil ne peut pas trancher et pourquoi le calcul est obligatoire.

5) Sans condition d'ordre, on peut avoir deux quotients égaux avec $M$ placé de l'autre côté de $A$, sur la demi-droite opposée. Les longueurs $AM$ et $AB$ sont les mêmes, donc le quotient aussi, mais la droite $(MN)$ obtenue est alors la symétrique de la bonne par rapport à $A$ : elle coupe $(BC)$. L'égalité des quotients ne voit pas les signes, l'ordre des points est ce qui les remet.

6) Qu'un dessin ne démontre rien. La question 4 le prouve chiffres en main : un écart de moins de deux millimètres sur une figure de la taille d'une main est invisible, alors qu'il suffit à rendre les droites sécantes. Au brevet, une conclusion tirée du dessin ne rapporte aucun point, même lorsqu'elle est vraie.

1) Le coefficient est le quotient d'une longueur de $T'$ par la longueur CORRESPONDANTE de $T$ : $k=\dfrac{5}{2}=2{,}5$. Comme $k>1$, il s'agit bien d'un agrandissement.

2) L'aire de $T$ vaut $\dfrac{2\times 1{,}6}{2}=1{,}6$ cm$^2$. Toutes les longueurs étant multipliées par $k$, la hauteur comme les côtés, celle de $T'$ vaut $1{,}6\times 2{,}5=4$ cm.

3) Première façon, avec la formule : la base de $T'$ mesure $5$ cm et sa hauteur $4$ cm, donc son aire vaut $\dfrac{5\times 4}{2}=10$ cm$^2$. Deuxième façon, avec la règle du chapitre : l'aire est multipliée par $k^2$, donc elle vaut $1{,}6\times 2{,}5^2=1{,}6\times 6{,}25=10$ cm$^2$. Les deux méthodes coïncident, et c'est justement la leçon : $k^2$ n'est pas une règle à part, c'est ce que donne la formule de l'aire quand la base ET la hauteur sont toutes deux multipliées par $k$.

4) Les volumes sont multipliés par $k^3$ : $400\times 0{,}6^3=400\times 0{,}216=86{,}4$ cm$^3$. Réduire de $40$ pour cent les longueurs enlève donc près de $79$ pour cent du volume.

5) Au $1/50$, le coefficient est $k=\dfrac{1}{50}=0{,}02$, donc les aires sont multipliées par $0{,}02^2=0{,}0004$. La pièce occupe $18\times 0{,}0004=0{,}0072$ m$^2$, soit $72$ cm$^2$ : un carré de moins de $9$ cm de côté.

6) Parce qu'une aire se mesure dans DEUX directions. Un rectangle dont on double la longueur et la largeur contient quatre copies du rectangle de départ, comme on le voit en le découpant en quatre. Le facteur $k^2$ n'est donc pas une convention : c'est $k$ dans un sens multiplié par $k$ dans l'autre. Pour un volume, il y a trois directions, d'où $k^3$.

1) Le triangle $ABC$ est rectangle en $B$, donc $AC^2=AB^2+BC^2=6^2+8^2=36+64=100$ et $AC=10$ cm. C'est le triangle $6$-$8$-$10$, l'agrandissement du triangle $3$-$4$-$5$ : le reconnaître fait gagner du temps, mais la ligne de justification reste obligatoire.

2) Le coefficient est $k=\dfrac{AM}{AB}=\dfrac{2{,}4}{6}=0{,}4$. Comme $0{,}4<1$, c'est une réduction.

3) D'après le théorème de Thalès, $AN=0{,}4\times AC=0{,}4\times 10=4$ cm et $MN=0{,}4\times BC=0{,}4\times 8=3{,}2$ cm.

4) Si le triangle $AMN$ est rectangle en $M$, alors $AM^2+MN^2$ doit valoir $AN^2$ : $2{,}4^2+3{,}2^2=5{,}76+10{,}24=16$ et $4^2=16$. L'égalité tombe juste, ce qui confirme les deux longueurs calculées. Cette vérification est gratuite et devrait être un réflexe dès qu'un triangle réduit est rectangle.

5) Deux raisons, et la première suffit. La droite $(MN)$ est parallèle à $(BC)$, et $(AB)$ est perpendiculaire à $(BC)$ ; or si deux droites sont parallèles, toute perpendiculaire à l'une est perpendiculaire à l'autre, donc $(AB)$ est perpendiculaire à $(MN)$, c'est-à-dire que $AMN$ est rectangle en $M$. Deuxième raison, plus générale : une réduction conserve les angles, donc l'angle droit en $B$ devient un angle droit en $M$.

6) L'aire de $ABC$ vaut $\dfrac{6\times 8}{2}=24$ cm$^2$ et celle de $AMN$ vaut $\dfrac{2{,}4\times 3{,}2}{2}=3{,}84$ cm$^2$. Le rapport vaut $\dfrac{3{,}84}{24}=0{,}16$, c'est-à-dire exactement $0{,}4^2$ : la règle des aires se vérifie ici sur des nombres.

1) Soit $B$ le pied du bâton et $S$ son sommet, $P$ le pied de l'immeuble et $T$ son sommet. Les points $O$, $B$, $P$ sont alignés au sol, les points $O$, $S$, $T$ sont alignés sur la ligne de visée, et $(BS)$ est parallèle à $(PT)$ puisque le bâton et l'immeuble sont tous deux verticaux. C'est la configuration emboîtée, de sommet $O$, avec la correspondance $OBS \leftrightarrow OPT$.

2) Le théorème de Thalès donne $\dfrac{OB}{OP}=\dfrac{OS}{OT}=\dfrac{BS}{PT}$. Le quotient utile est le premier et le dernier : $\dfrac{OB}{OP}=\dfrac{BS}{PT}$, soit $\dfrac{3}{24}=\dfrac{2}{PT}$.

3) $\dfrac{3}{24}=0{,}125$, donc $PT=\dfrac{2}{0{,}125}=16$ m. Autre écriture, souvent plus sûre : le coefficient qui fait passer du petit triangle au grand est $\dfrac{24}{3}=8$, et la hauteur suit le même coefficient, $2\times 8=16$ m. L'immeuble mesure $16$ m, soit environ cinq étages, ce qui est plausible.

4) Le calcul $\dfrac{2\times 24}{3}$ vaut bien $16$ : la méthode était juste, c'est le $-4$ final qui est de trop. Léa a sans doute voulu retrancher la distance $24-3=21$... ou la hauteur du bâton. Rien ne se retranche ici : Thalès multiplie des rapports, il n'ajoute ni ne retranche de longueurs. Dès qu'une soustraction apparaît dans une résolution de Thalès sans venir d'un $AB=AM+MB$, elle est à expliquer ou à supprimer.

5) Avec $2{,}9$ m au lieu de $3$ : $PT=\dfrac{2\times 24}{2{,}9}\approx 16{,}55$ m. Avec $3{,}1$ m : $PT=\dfrac{2\times 24}{3{,}1}\approx 15{,}48$ m. Une erreur de $10$ cm sur la petite distance déplace donc le résultat d'environ un demi-mètre. C'est la petite longueur qui commande la précision, parce qu'elle est au dénominateur : c'est le défaut de toutes les mesures indirectes.

6) Il faudrait ajouter la hauteur des yeux. En visant debout, ses yeux sont à environ $1{,}55$ m du sol, et la configuration de Thalès ne donne alors que la hauteur de l'immeuble AU-DESSUS du niveau des yeux : la vraie hauteur serait ce résultat augmenté de $1{,}55$ m. Poser l'œil au sol évite précisément cette correction, et c'est pour cela que la méthode est décrite ainsi.

1) $M$ est sur $[AB]$ et $(MN)$ est parallèle à $(BC)$ : le théorème de Thalès donne $k_1=\dfrac{AM}{AB}=\dfrac{5}{12{,}5}=0{,}4$, donc $MN=0{,}4\times 15=6$ cm.

2) De même dans le triangle $AMN$ : $k_2=\dfrac{AP}{AM}=\dfrac{2}{5}=0{,}4$, donc $PQ=0{,}4\times 6=2{,}4$ cm. Le fait que les deux coefficients soient égaux ici est une coïncidence de l'énoncé, pas une règle.

3) Le point $P$ est sur $[AB]$ avec $AP=2$ cm, donc le coefficient direct vaut $k=\dfrac{AP}{AB}=\dfrac{2}{12{,}5}=0{,}16$, et $PQ=0{,}16\times 15=2{,}4$ cm. On retrouve la même valeur, ce qui est rassurant : une longueur ne dépend pas du chemin qu'on prend pour la calculer.

4) Les coefficients se MULTIPLIENT : $k=k_1\times k_2=0{,}4\times 0{,}4=0{,}16$. C'est le point le plus utile de l'exercice. Réduire de moitié puis encore de moitié donne le coefficient $0{,}5\times 0{,}5=0{,}25$ : la figure finale est au quart, et non au coefficient $0{,}5+0{,}5=1$, qui ne réduirait rien. L'erreur classique est d'écrire $0{,}4+0{,}4=0{,}8$ et de trouver $PQ=12$ cm, cinq fois trop.

5) $(PQ)$ est parallèle à $(MN)$ par hypothèse, et $(MN)$ est parallèle à $(BC)$ par hypothèse. Or deux droites parallèles à une même troisième sont parallèles entre elles, donc $(PQ)$ est parallèle à $(BC)$. C'est ce qui autorise la question 3 : sans cette justification, appliquer Thalès directement dans $ABC$ n'est pas permis.

6) Il faudrait $\dfrac{AP}{12{,}5}=\dfrac{9}{15}=0{,}6$, donc $AP=0{,}6\times 12{,}5=7{,}5$ cm. Vérification : le coefficient $0{,}6$ appliqué à $BC=15$ redonne bien $9$ cm, et $7{,}5<12{,}5$ donc le point est bien sur le segment.

1) FAUX. La réciproque exige en plus que les points soient ALIGNÉS DANS LE MÊME ORDRE : $A$, $M$, $B$ d'une part et $A$, $N$, $C$ d'autre part. Sans cela, $M$ peut être sur la demi-droite opposée et les quotients rester égaux alors que $(MN)$ coupe $(BC)$. Énoncé correct : si les points sont alignés dans le même ordre et si les deux quotients sont égaux, alors les droites sont parallèles.

2) FAUX. Dans un agrandissement de coefficient $3$, les LONGUEURS sont multipliées par $3$, les aires par $3^2=9$ et les volumes par $3^3=27$. Un carré de $1$ cm de côté a pour aire $1$ cm$^2$ ; agrandi trois fois, il a $3$ cm de côté et $9$ cm$^2$ d'aire, pas $3$.

3) FAUX. Le théorème de Thalès ne parle que de longueurs et de quotients de longueurs, jamais d'angles. Ce qui est vrai, et qui est une autre propriété, c'est qu'un agrandissement CONSERVE les angles : les angles du triangle $AMN$ sont égaux à ceux de $ABC$. Pour calculer un angle à partir de longueurs, il faut la trigonométrie.

4) FAUX. Le quotient de Thalès est $\dfrac{AM}{AB}$, avec le côté ENTIER $AB$ au dénominateur, pas le morceau restant $MB$. Avec $AM=3$ et $MB=4{,}5$, on a $\dfrac{AM}{MB}=\dfrac{3}{4{,}5}\approx 0{,}667$ alors que $\dfrac{AM}{AB}=\dfrac{3}{7{,}5}=0{,}4$ : ce ne sont pas les mêmes nombres. Énoncé correct : $\dfrac{AM}{AB}=\dfrac{AN}{AC}=\dfrac{MN}{BC}$.

5) FAUX. Les coefficients se multiplient : $0{,}5\times 2=1$, donc on retrouve exactement la figure de départ, aux mêmes dimensions. C'est la même règle qu'a l'exercice 7, appliquée à deux coefficients inverses l'un de l'autre.

1) $AB^2+AC^2=45^2+60^2=2025+3600=5625$ et $BC^2=75^2=5625$. Les deux nombres sont égaux, donc d'après la réciproque du théorème de Pythagore le triangle $ABC$ est rectangle en $A$. Son aire vaut $\dfrac{45\times 60}{2}=1350$ m$^2$.

2) Les aires sont multipliées par $k^2$, et l'on veut $k^2=\dfrac{1}{4}$, donc $k=\dfrac{1}{2}=0{,}5$ puisqu'un coefficient est positif. C'est le point que l'énoncé cherche : diviser l'AIRE par $4$ demande de diviser les LONGUEURS par $2$, pas par $4$.

3) $AM=0{,}5\times 45=22{,}5$ m, $AN=0{,}5\times 60=30$ m et $MN=0{,}5\times 75=37{,}5$ m. La clôture mesure donc $37{,}5$ m.

4) Le triangle $AMN$ est rectangle en $A$ lui aussi, car la réduction conserve les angles. Son aire vaut $\dfrac{22{,}5\times 30}{2}=337{,}5$ m$^2$, et $\dfrac{1350}{4}=337{,}5$ m$^2$ : c'est bien le quart. On note au passage que l'autre morceau, le quadrilatère $MBCN$, occupe les trois quarts restants, soit $1012{,}5$ m$^2$.

5) $37{,}5\times 38=1425$ dollars.

6) Placer $M$ au quart de $[AB]$ revient à prendre $k=0{,}25$, donc une aire multipliée par $0{,}25^2=0{,}0625$, soit $1350\times 0{,}0625=84{,}375$ m$^2$. Il aurait obtenu un seizième du terrain au lieu du quart, quatre fois trop petit. L'erreur d'aire est de $337{,}5-84{,}375=253{,}125$ m$^2$, et sur un terrain c'est une erreur qui se paie.

1) Le rayon vaut $\dfrac{8}{2}=4$ cm, donc le volume total est $\dfrac{1}{3}\times \pi \times 4^2\times 12=64\pi \approx 201{,}1$ cm$^3$. Garder $64\pi$ en valeur exacte évite d'accumuler les arrondis dans les questions suivantes.

2) Le liquide occupe la partie du cône située sous le plan de la surface, qui est parallèle à l'ouverture. C'est donc une RÉDUCTION du cône entier, de sommet la pointe du verre. Le coefficient se lit sur les hauteurs : $k=\dfrac{9}{12}=0{,}75$.

3) Les volumes sont multipliés par $k^3$ : $V=64\pi \times 0{,}75^3=64\pi \times 0{,}421875=27\pi \approx 84{,}8$ cm$^3$.

4) Le rayon à la surface suit le coefficient des longueurs : $r=0{,}75\times 4=3$ cm. Le volume vaut alors $\dfrac{1}{3}\times \pi \times 3^2\times 9=27\pi$ cm$^3$. Même résultat, ce qui confirme que la règle du $k^3$ n'est qu'un raccourci de ce calcul.

5) Le verre est rempli aux trois quarts de sa HAUTEUR, mais seulement à $\dfrac{27\pi}{64\pi}=\dfrac{27}{64}\approx 0{,}422$, soit environ $42{,}2$ pour cent de son VOLUME. C'est tout le piège du chapitre appliqué à un objet du quotidien : un verre conique rempli aux trois quarts contient moins de la moitié de sa contenance, parce que la partie manquante est la plus large.

6) Il faut $k^3=0{,}5$, donc $k=\sqrt[3]{0{,}5}\approx 0{,}7937$, et la hauteur vaut $0{,}7937\times 12\approx 9{,}5$ cm. Autrement dit, il reste seulement $2{,}5$ cm à verser pour passer de la moitié au verre plein : les derniers centimètres d'un verre conique valent la moitié du cocktail.