Exercices corrigés : fractions et proportionnalité (Sixième)

Pour passer de $6$ à $18$, on multiplie par $3$ ; on multiplie donc aussi le numérateur par $3$ : $\dfrac{5}{6}=\dfrac{15}{18}$. Piège : ajouter $12$ en haut comme en bas, ce qui donne $\dfrac{17}{18}$, une autre fraction.

Pour passer de $4$ à $20$, on multiplie par $5$ ; donc le dénominateur devient $7\times 5=35$ : $\dfrac{4}{7}=\dfrac{20}{35}$.

$15$ et $35$ sont tous deux dans la table de $5$ : $\dfrac{15}{35}=\dfrac{15\div 5}{35\div 5}=\dfrac{3}{7}$. Comme $3$ et $7$ n'ont plus de diviseur commun autre que $1$, c'est fini.

Le plus grand diviseur commun de $36$ et $48$ est $12$ : $\dfrac{36}{48}=\dfrac{36\div 12}{48\div 12}=\dfrac{3}{4}$. On peut aussi y aller par étapes, $\dfrac{36}{48}=\dfrac{18}{24}=\dfrac{9}{12}=\dfrac{3}{4}$. Piège : s'arrêter à $\dfrac{18}{24}$ ou à $\dfrac{9}{12}$, qui se simplifient encore.

On partage $56$ en $8$ parts : $56\div 8=7$. On en prend $3$ : $3\times 7=21$. Les $\dfrac{3}{8}$ de $56$ valent $21$.

On partage $13$ en $5$ parts : $13\div 5=2{,}6$. On en prend $2$ : $2\times 2{,}6=5{,}2$. Autre ordre, tout aussi juste : $2\times 13=26$, puis $26\div 5=5{,}2$.

$\dfrac{407}{100}$, c'est $407$ centièmes : $4$ unités et $7$ centièmes, soit $4{,}07$. Piège : écrire $4{,}7$, qui vaut $470$ centièmes ; le $0$ des dixièmes doit s'écrire.

$13\div 4$ : $4\times 3=12$, il reste $1$, et $1\div 4=0{,}25$. Donc $\dfrac{13}{4}=3{,}25$. Contrôle : $3{,}25\times 4=13$.

$3{,}06$, c'est $306$ centièmes, donc $3{,}06=\dfrac{306}{100}$. Piège : écrire $\dfrac{36}{100}$ en oubliant le $0$ des dixièmes, ou $\dfrac{3{,}06}{100}$.

Même dénominateur : on additionne les numérateurs et on GARDE le dénominateur, $\dfrac{5+11}{12}=\dfrac{16}{12}$. Puis on simplifie par $4$ : $\dfrac{16}{12}=\dfrac{4}{3}$. Piège : additionner aussi les dénominateurs, ce qui donne $\dfrac{16}{24}$, plus petit que $\dfrac{11}{12}$ seul, donc absurde.

La bande est partagée en $6$ parts égales et $4$ sont coloriées : la fraction coloriée est $\dfrac{4}{6}$. On peut aussi l'écrire $\dfrac{2}{3}$, puisque prendre $4$ parts sur $6$ revient à prendre $2$ parts sur $3$ en regroupant les parts deux par deux.

La partie blanche représente $2$ parts sur $6$, soit $\dfrac{2}{6}$, c'est-à-dire $\dfrac{1}{3}$. La somme vaut $\dfrac{4}{6}+\dfrac{2}{6}=\dfrac{6}{6}=1$ : les deux morceaux reconstituent la bande entière, ce qui est un bon contrôle systématique.

On a mangé $\dfrac{3}{8}$ du gâteau, et il reste $\dfrac{5}{8}$, car $3+5=8$. Le dénominateur reste $8$ dans les deux cas : c'est le partage qui ne change pas, seul le nombre de parts prises change.

$\dfrac{5}{4}$ signifie que l'unité est partagée en $4$ parts égales et qu'on en prend $5$. Cela a parfaitement un sens, à condition d'avoir plus d'une unité : avec deux tartes coupées en quatre, prendre cinq quarts est possible. Comme $5>4$, cette fraction est supérieure à $1$ : elle vaut une unité entière plus un quart.

Plus on partage en un grand nombre de parts, plus chaque part est PETITE. Un dixième est donc plus petit qu'un tiers, lui-même plus petit qu'un demi : $\dfrac{1}{10}<\dfrac{1}{3}<\dfrac{1}{2}$. C'est l'inverse de l'ordre des dénominateurs, et c'est l'erreur la plus fréquente du chapitre.

NON. Le mot « fraction » suppose un partage en parts ÉGALES. Si les six morceaux n'ont pas la même taille, deux d'entre eux peuvent représenter beaucoup plus ou beaucoup moins que $\dfrac{2}{6}$ du rectangle : la fraction ne veut plus rien dire. Il faudrait d'abord repartager le rectangle en parts identiques, puis compter.

$A$ est situé une graduation après $0$, donc à un quart de l'unité : son abscisse est $\dfrac{1}{4}$.

$B$ est cinq graduations après $0$ : son abscisse est $\dfrac{5}{4}$, ce qui se lit aussi $1$ unité et $\dfrac{1}{4}$. $C$ est sept graduations après $0$, donc $\dfrac{7}{4}$, soit $1$ et $\dfrac{3}{4}$. Une fraction supérieure à $1$ se lit sans difficulté sur la droite : elle est simplement au-delà de la graduation $1$.

Le nombre $2$ est atteint après huit quarts, donc on peut y écrire $\dfrac{8}{4}$. Cela confirme que $\dfrac{8}{4}=2$ : quand le numérateur est un multiple du dénominateur, la fraction est un nombre entier.

$\dfrac{3}{2}$ vaut trois demis. Comme un demi vaut deux quarts, trois demis valent six quarts : $\dfrac{3}{2}=\dfrac{6}{4}$. On le place donc à la sixième graduation, exactement au milieu de $B$ et de $C$, c'est-à-dire au milieu de $1$ et de $2$.

$\dfrac{7}{3}$ signifie sept tiers. Comme $6$ tiers valent $2$ et $9$ tiers valent $3$, on a $2<\dfrac{7}{3}<3$. Autrement dit $\dfrac{7}{3}=2+\dfrac{1}{3}$. La méthode générale consiste à chercher le plus grand multiple du dénominateur inférieur au numérateur, ici $6$.

$\dfrac{5}{4}$ dépasse $1$ d'un quart, tandis que $\dfrac{7}{4}$ le dépasse de trois quarts. C'est donc $\dfrac{5}{4}$ qui est la plus proche de $1$. La distance à $1$ se lit directement sur la droite : c'est le nombre de graduations qui sépare le point de la graduation $1$.

De $4$ à $12$, on multiplie par $3$, donc on multiplie aussi le numérateur par $3$ : $\dfrac{3}{4}=\dfrac{9}{12}$. De $5$ à $100$, on multiplie par $20$, donc $\dfrac{2}{5}=\dfrac{40}{100}$. Le même facteur doit obligatoirement s'appliquer en haut et en bas.

$\dfrac{12}{18}$ : $12$ et $18$ sont tous deux divisibles par $6$, donc $\dfrac{12}{18}=\dfrac{2}{3}$. $\dfrac{25}{100}$ : on divise par $25$, ce qui donne $\dfrac{1}{4}$. On cherche toujours le plus grand diviseur commun, sinon la simplification reste à moitié faite, comme $\dfrac{12}{18}=\dfrac{6}{9}$, qui peut encore être réduite.

OUI. En divisant $\dfrac{4}{6}$ par $2$ on obtient $\dfrac{2}{3}$, et en divisant $\dfrac{6}{9}$ par $3$ on obtient également $\dfrac{2}{3}$. Deux fractions d'écritures différentes peuvent désigner exactement le même nombre : c'est pour cela qu'on les compare toujours après simplification, ou après les avoir mises au même dénominateur.

Prendre les $\dfrac{3}{5}$ de $40$, c'est partager $40$ en $5$ parts, ce qui donne $8$, puis en prendre $3$ : $3\times 8=24$. Prendre les $\dfrac{2}{3}$ de $45$, c'est $45\div 3=15$, puis $2\times 15=30$. On divise d'abord par le dénominateur, on multiplie ensuite par le numérateur : dans cet ordre, les calculs restent des nombres entiers.

$\dfrac{7}{7}=1$, car on prend toutes les parts du partage. $\dfrac{0}{5}=0$, car on n'en prend aucune. $\dfrac{5}{1}=5$, car chaque part est l'unité entière et on en prend cinq. En revanche, une fraction de dénominateur $0$ n'existe pas : on ne partage jamais en zéro part.

Les filles représentent $\dfrac{18}{30}$ de la classe. En divisant les deux nombres par $6$, on obtient $\dfrac{3}{5}$. Trois cinquièmes de la classe sont des filles, donc les deux cinquièmes restants sont des garçons, soit $12$ élèves, ce que confirme le calcul $30-18=12$.

$\dfrac{1}{2}=0{,}5$ ; $\dfrac{1}{4}=0{,}25$ ; $\dfrac{3}{4}=0{,}75$ ; $\dfrac{1}{5}=0{,}2$. Ces quatre valeurs sont à connaître par cœur : elles reviennent dans tous les calculs de pourcentages.

$\dfrac{7}{10}=0{,}7$ ; $\dfrac{23}{100}=0{,}23$ ; $\dfrac{12}{10}=1{,}2$. Les fractions dont le dénominateur est $10$, $100$ ou $1000$ s'appellent des fractions DÉCIMALES, et leur écriture à virgule se lit directement : le dénominateur indique le rang du dernier chiffre.

$0{,}45$ vaut quarante-cinq centièmes, donc $0{,}45=\dfrac{45}{100}$. En divisant les deux nombres par $5$, on obtient $\dfrac{9}{20}$. Vérification : $9\div 20=0{,}45$.

La calculatrice affiche $0{,}3333\ldots$ : la division ne s'arrête jamais, $\dfrac{1}{3}$ n'est pas un nombre décimal. C'est pour cela que l'on garde souvent l'écriture fractionnaire, qui est EXACTE, plutôt qu'une écriture à virgule, qui ne serait qu'approchée.

On met les deux nombres sous la même forme : $\dfrac{3}{5}=\dfrac{6}{10}=0{,}6$. Comme $0{,}6<0{,}7$, on conclut que $\dfrac{3}{5}<0{,}7$. On aurait pu aussi écrire $0{,}7=\dfrac{7}{10}$ et comparer $\dfrac{6}{10}$ à $\dfrac{7}{10}$ : le résultat est le même, seul le déguisement change.

NON, ce n'est pas exact, c'est seulement approché. $0{,}33$ multiplié par $3$ donne $0{,}99$, et non $1$, alors que trois tiers font exactement une unité. Il faut donc écrire $\dfrac{1}{3}\approx 0{,}33$, avec le symbole de valeur approchée. Écrire un signe égal ici est une erreur de mathématiques, pas une simple imprécision d'écriture.

Les dénominateurs sont égaux : les parts sont de même taille, il suffit donc de comparer combien on en prend. Comme $5>3$, on a $\dfrac{5}{7}>\dfrac{3}{7}$.

Les numérateurs sont égaux : on prend le même nombre de parts, mais des parts de tailles différentes. Un huitième est plus petit qu'un cinquième, car partager en $8$ donne des parts plus fines que partager en $5$. Donc $\dfrac{3}{8}<\dfrac{3}{5}$. À numérateur égal, la plus grande fraction est celle de plus PETIT dénominateur.

$\dfrac{7}{6}$ est supérieure à $1$, car $7>6$ : on prend plus de parts qu'il n'en faut pour reconstituer l'unité. À l'inverse $\dfrac{5}{6}<1$. Comparer à $1$ est souvent le moyen le plus rapide de trancher entre deux fractions.

On met au même dénominateur. Le plus petit dénominateur commun à $3$, $4$ et $6$ est $12$ : $\dfrac{2}{3}=\dfrac{8}{12}$, $\dfrac{3}{4}=\dfrac{9}{12}$, $\dfrac{5}{6}=\dfrac{10}{12}$. Les parts étant maintenant identiques, on compare les numérateurs : $\dfrac{2}{3}<\dfrac{3}{4}<\dfrac{5}{6}$. La figure du corrigé montre les trois points sur une unité partagée en douze.

On met $\dfrac{1}{2}$ et $\dfrac{3}{4}$ au même dénominateur : $\dfrac{2}{4}$ et $\dfrac{3}{4}$. Aucune fraction de dénominateur $4$ ne se glisse entre les deux, il faut donc partager plus finement : $\dfrac{4}{8}$ et $\dfrac{6}{8}$ encadrent $\dfrac{5}{8}$. La réponse $\dfrac{5}{8}$ convient, et l'on pourrait continuer indéfiniment en partageant encore.

L'élève compare les dénominateurs comme s'il s'agissait des nombres eux-mêmes. Mais le dénominateur indique en combien de parts on coupe : plus il est GRAND, plus chaque part est PETITE. Un cinquième est donc plus petit qu'un tiers, et la comparaison correcte est $\dfrac{1}{5}<\dfrac{1}{3}$. Un contrôle immédiat : partager une tablette entre $3$ personnes ou entre $5$, ce n'est pas la même part.

OUI. En passant de la masse au prix, on multiplie toujours par le même nombre : $1\times 3{,}20=3{,}20$, $2\times 3{,}20=6{,}40$, $3\times 3{,}20=9{,}60$. Comme le facteur est le même sur toutes les colonnes, les deux grandeurs sont proportionnelles.

Le coefficient est $3{,}20$, et il s'interprète : c'est le prix d'UN kilogramme, donc le prix unitaire. Le coefficient de proportionnalité a presque toujours un sens concret, et le repérer aide à contrôler le résultat.

Pour $5$ kg : $5\times 3{,}20=16$ dollars. On pouvait aussi additionner les colonnes déjà connues, $2$ kg et $3$ kg, soit $6{,}40+9{,}60=16$ : dans un tableau de proportionnalité, on peut additionner deux colonnes pour en obtenir une troisième.

$750$ g valent $0{,}75$ kg, donc le prix est $0{,}75\times 3{,}20=2{,}40$ dollars. Autre chemin, sans décimales : un quart de kilogramme coûte $3{,}20\div 4=0{,}80$ dollar, et il en faut trois, soit $3\times 0{,}80=2{,}40$ dollars.

NON. De $2$ à $4$ ans, l'âge double, mais la taille passe de $85$ à $100$ cm, or $85\times 2=170$ et non $100$. Le facteur n'est pas constant : $85\div 2=42{,}5$ alors que $100\div 4=25$. Un enfant ne grandit pas proportionnellement à son âge, sinon il mesurerait plus de trois mètres à trente ans. Un seul contre-exemple suffit à réfuter la proportionnalité.

Le prix d'un croissant est $6\div 4=1{,}50$ dollar, donc $10$ croissants coûtent $10\times 1{,}50=15$ dollars. C'est le passage par l'unité, la méthode la plus sûre. On pouvait aussi remarquer que $10$ vaut $2{,}5$ fois $4$, donc le prix vaut $2{,}5\times 6=15$ dollars.

$50\,\%=\dfrac{50}{100}=\dfrac{1}{2}$ ; $25\,\%=\dfrac{1}{4}$ ; $10\,\%=\dfrac{1}{10}$ ; $75\,\%=\dfrac{3}{4}$. Reconnaître ces quatre fractions permet de calculer de tête : prendre $25\,\%$, c'est diviser par $4$.

$20\,\%$ de $350$, c'est $\dfrac{20}{100}\times 350$, autrement dit un cinquième de $350$ : $350\div 5=70$. On peut aussi calculer $10\,\%$, qui vaut $35$, puis doubler.

La réduction vaut $30\,\%$ de $60$, soit $\dfrac{30}{100}\times 60=18$ dollars. Le prix payé est donc $60-18=42$ dollars. Attention à ne pas confondre les deux : $18$ dollars est ce qu'on enlève, $42$ dollars est ce qu'on paie. On peut vérifier autrement, en payant $70\,\%$ du prix : $\dfrac{70}{100}\times 60=42$ dollars.

De $4$ à $6$ personnes, on multiplie par $\dfrac{6}{4}=1{,}5$. Il faut donc $500\times 1{,}5=750$ g de farine et $6\times 1{,}5=9$ œufs. Les quantités d'une recette sont proportionnelles au nombre de convives, ce qui autorise ce coefficient unique. En pratique on arrondirait les œufs, mais mathématiquement la réponse est bien $9$.

L'échelle $\dfrac{1}{200}$ signifie que $1$ cm sur le plan représente $200$ cm en réalité. Donc $3$ cm représentent $3\times 200=600$ cm, c'est-à-dire $6$ m.

Il faut faire le chemin inverse : $10$ m valent $1000$ cm, et l'on divise par $200$, ce qui donne $5$ cm sur le plan. Contrôle : $5\times 200=1000$ cm, soit bien $10$ m. Le sens du calcul se retient simplement, une longueur sur le plan est toujours beaucoup plus petite que la longueur réelle.

FAUX. Le dénominateur dit en combien de parts on coupe : plus il est grand, plus la part est petite. Partager une tablette en $5$ donne des morceaux plus petits qu'en la partageant en $3$. La comparaison correcte est $\dfrac{1}{5}<\dfrac{1}{3}$. À numérateur égal, l'ordre des fractions est l'INVERSE de l'ordre des dénominateurs.

FAUX. Les deux fractions se simplifient toutes les deux en $\dfrac{1}{3}$ : $\dfrac{2}{6}$ en divisant par $2$, $\dfrac{3}{9}$ en divisant par $3$. Elles désignent donc le même nombre. Deux écritures différentes peuvent parfaitement représenter la même fraction, exactement comme $0{,}5$ et $0{,}50$ représentent le même décimal.

FAUX. Prendre $50\,\%$, c'est prendre la moitié ; en reprendre $50\,\%$, c'est prendre la moitié de la moitié, soit le quart, c'est-à-dire $25\,\%$. Sur $80$ dollars : $50\,\%$ donnent $40$, puis $50\,\%$ de $40$ donnent $20$, et $20$ est bien $25\,\%$ de $80$. Les pourcentages successifs se MULTIPLIENT, ils ne s'additionnent pas.

FAUX. Ce qui compte n'est pas que les nombres augmentent, mais qu'ils soient multipliés par un même coefficient. Le tableau des tailles selon l'âge de l'exercice 6 augmente des deux côtés sans être proportionnel, puisque $85\div 2=42{,}5$ et $100\div 4=25$. L'énoncé correct est : un tableau est de proportionnalité si tous les quotients d'une ligne par l'autre sont égaux.

FAUX. La fraction $\dfrac{5}{4}$ signifie que l'UNITÉ est partagée en quatre, et rien n'interdit de disposer de plusieurs unités : avec deux tartes coupées en quatre, prendre cinq quarts est possible. $\dfrac{5}{4}$ vaut $1{,}25$, c'est un nombre parfaitement ordinaire, simplement supérieur à $1$. Toute fraction dont le numérateur dépasse le dénominateur est supérieure à $1$.

$750$ g valent $0{,}75$ kg. On cherche le prix d'un kilogramme, donc on divise : $4{,}50\div 0{,}75=6$ dollars le kilogramme. On peut éviter la division décimale en raisonnant par quarts : $750$ g, c'est trois quarts de kilogramme, donc un quart coûte $4{,}50\div 3=1{,}50$ dollar, et le kilogramme coûte $4\times 1{,}50=6$ dollars.

$7{,}44\div 1{,}2=6{,}20$ dollars le kilogramme. Pour éviter la division par un décimal, on multiplie les deux nombres par $10$ : $74{,}4\div 12=6{,}20$.

Le paquet A revient à $6$ dollars le kilogramme, le paquet B à $6{,}20$ : c'est donc le paquet A le plus avantageux, de $0{,}20$ dollar par kilogramme, soit $20$ centimes.

NON, cela ne suffit pas du tout. Le paquet B coûte plus cher parce qu'il contient plus de riz : comparer deux prix n'a de sens que pour une MÊME quantité. C'est exactement le rôle du prix au kilogramme, qui ramène les deux offres à la même base et rend la comparaison possible. Sans cette étape, on comparerait $4{,}50$ dollars de riz à $7{,}44$ dollars de riz sans savoir ce qu'il y a dans les paquets.

Au tarif du paquet A, le kilogramme coûte $6$ dollars, donc $3$ kg coûtent $3\times 6=18$ dollars. Cela suppose que le prix reste proportionnel à la masse, ce qui n'est vrai que si l'on achète quatre paquets A, soit exactement $3$ kg.

Le paquet C revient à $11{,}80\div 2=5{,}90$ dollars le kilogramme. Comme $5{,}90<6$, il est plus avantageux que le paquet A, de $0{,}10$ dollar par kilogramme. C'est le classement complet : C, puis A, puis B. Le plus gros paquet n'est donc pas toujours le meilleur marché, le paquet B le montre bien, et seul le prix ramené au kilogramme permet de trancher.

On lit sur le graphique : au bout de $2$ heures, $30$ km ; au bout de $4$ heures, $60$ km. La lecture se fait en montant depuis l'axe des durées jusqu'au point, puis en allant horizontalement vers l'axe des distances.

Les points sont ALIGNÉS et la droite qui les porte passe par l'ORIGINE. Ces deux conditions vont ensemble : l'alignement seul ne suffit pas, il faut aussi qu'à une durée nulle corresponde une distance nulle, ce qui est le cas ici puisque Léa n'a rien parcouru avant de partir.

Le coefficient vaut $30\div 2=15$, et l'on retrouve $60\div 4=15$ sur l'autre point. Il représente la distance parcourue en une heure, c'est-à-dire la vitesse de Léa : $15$ km par heure.