Sixième, programme français à Montréal • Exercices corrigés
Les fractions sont le premier chapitre où l'élève de Sixième calcule sur un nombre qu'il ne peut pas écrire en entier. Tant qu'il lit comme « trois et quatre », il additionnera les dénominateurs et comparera les numérateurs séparément.
Cette fiche laisse le cours dans le cahier et rassemble les gestes qui décident en contrôle : compléter au même dénominateur avant de comparer, diviser puis multiplier pour prendre une fraction d'une quantité, et vérifier qu'un tableau est proportionnel sur TOUTES ses colonnes.
Le fil du chapitre
Une fraction n'est pas deux nombres empilés mais un seul nombre, et toute la difficulté du chapitre est de ne jamais perdre de vue à quelle quantité ce nombre se rapporte.
Multiplier ou diviser le numérateur ET le dénominateur par un même nombre non nul ne change pas la fraction : c'est la seule transformation autorisée, et elle sert à tout le chapitre.
Ces trois cas couvrent la plupart des questions de comparaison. Quand aucun ne s'applique, on met au même dénominateur, jamais avant.
Le coefficient de proportionnalité porte souvent une unité qui raconte le problème : dollars par kilogramme, kilomètres par heure. Écrire cette unité évite d'inverser la division.
Les erreurs ci-dessous sont celles que je corrige le plus souvent en séance. Chacune coûte des points sur une copie, même quand le raisonnement est juste.
Ce qu'il ne faut pas écrire
« parce que est plus petit que . »
Ce qu'il faut écrire
« À numérateurs égaux, la plus grande fraction est celle de plus petit dénominateur, donc . »
Pourquoi : Le dénominateur ne compte pas des parts prises, il dit la TAILLE d'une part. Un grand dénominateur découpe plus fin, donc plus petit.
Ce qu'il ne faut pas écrire
« . »
Ce qu'il faut écrire
« On met au même dénominateur : . »
Pourquoi : On n'additionne que des parts de même taille, exactement comme on n'additionne pas des dixièmes avec des centièmes. Le résultat faux se repère sans calcul : une somme de nombres positifs dépasse chacun d'eux.
Ce qu'il ne faut pas écrire
« en enlevant partout. »
Ce qu'il faut écrire
« On DIVISE les deux par : . »
Pourquoi : Seules la multiplication et la division conservent une fraction. L'addition et la soustraction changent le rapport entre les deux nombres.
Ce qu'il ne faut pas écrire
« Les de : on divise par et on multiplie par , donc environ . »
Ce qu'il faut écrire
« On divise par le DÉNOMINATEUR puis on multiplie par le NUMÉRATEUR : , puis . »
Pourquoi : Prendre les trois quarts de quelque chose donne forcément moins que le tout. Le contrôle de cohérence est immédiat quand la fraction est inférieure à .
Ce qu'il ne faut pas écrire
« Une réduction de suivie d'une autre de , c'est : l'article est gratuit. »
Ce qu'il faut écrire
« La seconde réduction porte sur le prix DÉJÀ réduit : il reste du prix de départ. »
Pourquoi : Un pourcentage se rapporte toujours à une quantité de référence, et cette référence change après la première opération. Deux pourcentages successifs se multiplient, ils ne s'additionnent jamais.
Ce qu'il ne faut pas écrire
« puis : on retrouve le prix initial. »
Ce qu'il faut écrire
« dollars deviennent , puis dollars : il manque dollars. »
Pourquoi : La hausse s'applique à un prix plus petit que la baisse. Là encore, ce qui change, c'est la quantité de référence.
Ce qu'il ne faut pas écrire
« donne et , donc le tableau est de proportionnalité. »
Ce qu'il faut écrire
« Je teste le coefficient sur TOUTES les colonnes : devrait donner , or le tableau annonce , donc ce n'est pas un tableau de proportionnalité. »
Pourquoi : Un contre-exemple suffit à détruire la proportionnalité, mais un exemple ne suffit jamais à la prouver. C'est la première fois de la scolarité que cette différence est évaluée.
Ce qu'il ne faut pas écrire
« Les points sont sur une droite, donc c'est proportionnel. »
Ce qu'il faut écrire
« Les points sont alignés, mais la droite ne passe pas par l'origine : ce n'est pas une situation de proportionnalité. »
Pourquoi : Un abonnement mensuel plus un prix à l'unité donne toujours des points alignés. Ce qui trahit le montant fixe, c'est l'ordonnée du point de départ, jamais l'alignement.
Ce qu'il ne faut pas écrire
« . »
Ce qu'il faut écrire
« , ce n'est pas un nombre décimal ; on garde l'écriture fractionnaire pour être exact. »
Pourquoi : L'écriture décimale n'existe que si la division tombe juste. Arrondir dès la première ligne fausse tout ce qui suit, alors que la fraction reste exacte jusqu'au bout.
On regarde les deux écritures avant de calculer quoi que ce soit.
Si les dénominateurs sont égaux → comparer les numérateurs
Exemple :
Si les numérateurs sont égaux → la plus grande est celle de plus PETIT dénominateur
Exemple :
c'est le cas que les élèves inversent le plus souvent
Si l'une est plus petite que et l'autre plus grande → conclure aussitôt en comparant chacune à
Exemple :
Si un dénominateur est un multiple de l'autre → n'amplifier qu'une seule fraction
Exemple : , à comparer à
Si aucun des cas précédents → mettre au même dénominateur, en prenant le produit des deux
Exemple : et deviennent et
On ne convertit en écriture décimale qu'en dernier recours : et ne tombent pas juste, et deux arrondis se comparent mal.
On regarde sous quelle forme la situation est donnée.
Si un tableau → chercher un coefficient unique et le tester sur TOUTES les colonnes
Exemple : et : le coefficient échoue, donc non
Si un graphique → vérifier les deux conditions : points alignés ET droite passant par l'origine
Exemple : des points alignés sur ne sont pas proportionnels
Si un texte avec « pour chaque », « par kilogramme », « à l'unité » → c'est proportionnel, le coefficient est le prix ou la vitesse unitaire
Exemple : dollars par kilogramme
Si un texte avec un montant fixe, un abonnement, des frais de port → ce n'est PAS proportionnel, même si le reste l'est
Exemple : dollars de livraison plus dollars par article
Quand la proportionnalité est établie, le passage à l'unité est toujours la méthode la plus sûre : on ramène à , puis on multiplie. Le produit en croix n'est pas encore exigé en Sixième.
Le correcteur coche des étapes. Les voici dans l'ordre, avec la phrase de conclusion qu'il attend mot pour mot.
Quand l'utiliser : L'énoncé demande « ce tableau est-il un tableau de proportionnalité ? » ou « justifier votre réponse ».
Phrase de conclusion
« Le coefficient est pour la première colonne, mais et le tableau annonce : ce n'est pas un tableau de proportionnalité. »
Le piège : Tester une seule colonne, ou n'écrire aucun calcul et se contenter de « oui, c'est proportionnel ».
Barème : 1 point le coefficient, 1 point le test écrit sur les autres colonnes, 0,5 point la phrase de conclusion.
Quand l'utiliser : L'énoncé dit « les trois quarts des élèves », « la moitié de la recette », « du prix ».
Phrase de conclusion
« Un quart de élèves fait élèves, donc les trois quarts font élèves. »
Le piège : Changer de quantité de référence en cours de problème, ce qui arrive dès qu'il y a deux pourcentages successifs.
Barème : 1 point la division, 1 point la multiplication, 0,5 point la phrase avec l'unité.
Cinq minutes de vérification récupèrent plus de points qu'un exercice de plus commencé à la hâte.
Le résultat est-il du bon côté ?
Une fraction plus petite que donne toujours un résultat plus petit que la quantité de départ ; une fraction plus grande que , un résultat plus grand.
Les trois quarts de ne peuvent pas valoir : la division et la multiplication ont été échangées.
La somme de deux fractions dépasse chacune d'elles
Comparer le résultat d'une addition à ses deux termes. Un total plus petit que l'un des termes signale des dénominateurs additionnés.
est plus petit que : ce ne peut pas être .
Le coefficient testé sur une autre colonne
Reprendre le coefficient trouvé et l'appliquer à une colonne qui n'a pas servi à le calculer.
Coefficient dollar par kilogramme : dollars, la valeur de l'énoncé est retrouvée.
L'unité du coefficient
Lire à voix haute l'unité du coefficient. Si elle ne veut rien dire, la division a été faite à l'envers.
« kilogramme par dollar » au lieu de « dollar par kilogramme » : les deux nombres ont été inversés.
Un paquet de riz de kg coûte dollars. Un autre, de kg, coûte dollars.
Quel paquet revient le moins cher au kilogramme ?
Étape 1
Le prix est proportionnel à la masse : on peut ramener chaque paquet à kg.
Pourquoi
C'est la seule justification qui autorise la division. Sans elle, comparer des prix au kilo n'a aucun sens, et le correcteur attend cette phrase.
Étape 2
Premier paquet : dollar par kilogramme.
Pourquoi
On divise le prix par la masse, jamais l'inverse. L'unité « dollar par kilogramme » se lit dans le sens de la division et sert de garde-fou.
Étape 3
Second paquet : dollar par kilogramme.
Pourquoi
Même opération, même unité : c'est ce qui rend les deux nombres comparables. Comparer et ne compare rien du tout.
Étape 4
: le premier paquet est moins cher au kilogramme.
Pourquoi
La comparaison porte enfin sur deux grandeurs de même nature. C'est le seul moment du problème où l'on compare.
Étape 5
Contrôle : et , les deux prix de l'énoncé sont retrouvés.
Pourquoi
L'opération inverse valide les deux divisions d'un coup. Vingt secondes, et l'erreur de division devient impossible.
Conclusion rédigée
« Le paquet de kg revient à dollar le kilogramme contre dollar pour l'autre : c'est lui le plus avantageux. »
L'erreur classique sur cet exercice : Comparer directement et et conclure que le premier paquet est moins cher : c'est vrai du prix, faux du prix au kilogramme, et l'énoncé demandait le second.
On regarde d'abord la forme. À dénominateurs égaux, on compare les numérateurs. À numérateurs égaux, la plus grande est celle qui a le plus petit dénominateur, parce que les parts sont moins fines. Si l'une est plus petite que un et l'autre plus grande, c'est réglé. Sinon seulement, on met au même dénominateur.
Parce qu'on n'additionne que des parts de même taille. Un demi et un tiers découpent l'unité différemment : il faut d'abord les écrire en sixièmes, ce qui donne trois sixièmes plus deux sixièmes, soit cinq sixièmes. Deux cinquièmes serait d'ailleurs plus petit qu'un demi, ce qu'une somme ne peut pas être.
On divise par le dénominateur, puis on multiplie par le numérateur. Pour les trois quarts de vingt élèves : vingt divisé par quatre donne cinq, et cinq multiplié par trois donne quinze élèves. Dans cet ordre, le calcul reste sur des nombres entiers, et le résultat est forcément plus petit que la quantité de départ.
Non. La seconde réduction porte sur le prix déjà réduit, pas sur le prix de départ. Un article à quatre-vingts dollars passe à quarante, puis à vingt : il reste vingt-cinq pour cent du prix initial. Deux pourcentages successifs se multiplient et ne s'additionnent jamais.
Deux conditions doivent être réunies : les points sont alignés, et la droite passe par l'origine du repère. Des points parfaitement alignés qui démarrent au-dessus de zéro signalent un montant fixe, comme des frais de livraison ou un abonnement, et la situation n'est alors pas proportionnelle.
