Exercices corrigés : les fractions (Cinquième)

1) Même dénominateur : on additionne les numérateurs et on GARDE le dénominateur. $A=\dfrac{3+2}{7}=\dfrac{5}{7}$. Écrire $\dfrac{5}{14}$ reviendrait à dire que trois septièmes plus deux septièmes font moins d'un demi, alors que chaque morceau est déjà un septième.

2) $6$ est un multiple de $3$ : $\dfrac{1}{3}=\dfrac{2}{6}$. Donc $B=\dfrac{5}{6}-\dfrac{2}{6}=\dfrac{3}{6}$, qui se simplifie par $3$ : $B=\dfrac{1}{2}$.

3) $10$ est un multiple de $5$ : $\dfrac{2}{5}=\dfrac{4}{10}$. $C=\dfrac{4}{10}+\dfrac{3}{10}=\dfrac{7}{10}$, déjà simplifiée puisque $7$ et $10$ n'ont aucun diviseur commun autre que $1$.

4) $12=4\times 3$, donc $\dfrac{7}{4}=\dfrac{21}{12}$. $D=\dfrac{21}{12}-\dfrac{5}{12}=\dfrac{16}{12}$. On simplifie par $4$ : $D=\dfrac{4}{3}$. Le piège est de s'arrêter à $\dfrac{16}{12}$, juste mais pas simplifiée.

5) Pour un produit, aucun dénominateur commun : numérateurs entre eux, dénominateurs entre eux. On simplifie AVANT de multiplier : $E=\dfrac{2\times 9}{3\times 4}=\dfrac{2\times 3\times 3}{3\times 2\times 2}=\dfrac{3}{2}$. En multipliant d'abord, on trouve $\dfrac{18}{12}$, qui se simplifie par $6$ en $\dfrac{3}{2}$ : même résultat, plus de travail.

6) Un entier est une fraction de dénominateur $1$ : $3=\dfrac{12}{4}$. $F=\dfrac{12}{4}+\dfrac{5}{4}=\dfrac{17}{4}$. L'erreur fréquente est $\dfrac{3+5}{4}=\dfrac{8}{4}=2$, un résultat PLUS PETIT que $3$, ce qui est absurde puisqu'on ajoute un nombre positif à $3$.

7) Aucun dénominateur n'est multiple de l'autre : on prend un multiple commun, $6$. $\dfrac{1}{2}=\dfrac{3}{6}$ et $\dfrac{2}{3}=\dfrac{4}{6}$. $G=\dfrac{7}{6}$. Surtout pas $\dfrac{1+2}{2+3}=\dfrac{3}{5}$ : ce résultat est plus petit que $\dfrac{2}{3}$ alors qu'on lui ajoute un demi.

8) La multiplication passe avant la soustraction, avec les fractions comme avec les entiers. $\dfrac{1}{6}\times 3=\dfrac{3}{6}$. Puis $H=\dfrac{5}{6}-\dfrac{3}{6}=\dfrac{2}{6}=\dfrac{1}{3}$. Calculer d'abord la différence donnerait $\dfrac{4}{6}\times 3=2$, un résultat six fois trop grand.

1) On cherche un diviseur commun à $18$ et $24$. Le plus grand est $6$ : $18=6\times 3$ et $24=6\times 4$. Donc $\frac{18}{24}=\frac{6\times 3}{6\times 4}=\frac{3}{4}$. La méthode s'écrit toujours ainsi, en faisant APPARAÎTRE le facteur commun avant de le barrer : c'est ce qui garantit qu'on divise bien les deux, et pas seulement le numérateur. Vérification décimale : $18\div 24=0{,}75$ et $3\div 4=0{,}75$. Les deux écritures désignent le même nombre.

2) $45=15\times 3$ et $60=15\times 4$, donc $\frac{45}{60}=\frac{3}{4}$. On peut aussi y aller par étapes, ce qui est plus sûr quand on ne voit pas tout de suite le grand diviseur : $\frac{45}{60}=\frac{9}{12}$ en divisant par $5$, puis $\frac{9}{12}=\frac{3}{4}$ en divisant par $3$. On s'arrête quand plus aucun nombre autre que $1$ ne divise les deux : $3$ et $4$ n'ont plus de diviseur commun, la fraction est irréductible.

3) On passe de $5$ à $35$ en multipliant par $7$. La règle est la même en haut et en bas. Donc le numérateur devient $7\times 7=49$ et $\frac{7}{5}=\frac{49}{35}$. Le piège serait d'écrire $\frac{7}{35}$ en ne touchant qu'au dénominateur, ce qui divise le nombre par $7$ au lieu de le laisser égal.

4) $\frac{12}{18}$ : on divise par $6$, on obtient $\frac{2}{3}$, donc OUI. $\frac{14}{21}$ : on divise par $7$, on obtient $\frac{2}{3}$, donc OUI. $\frac{15}{20}$ : on divise par $5$, on obtient $\frac{3}{4}$, donc NON. Une seconde méthode, plus rapide à l'oral, est le produit en croix : $12\times 3=36$ et $18\times 2=36$, les produits sont égaux donc les fractions le sont ; pour la troisième, $15\times 3=45$ et $20\times 2=40$, produits différents donc fractions différentes.

5) $84$ et $36$ sont tous deux dans la table de $12$ : $84=12\times 7$ et $36=12\times 3$. Donc $\frac{84}{36}=\frac{7}{3}$. Comme $7$ et $3$ n'ont pas de diviseur commun, c'est la forme irréductible. Remarquez que $\frac{7}{3}$ est plus grand que $1$ : c'est normal, le numérateur de départ était plus grand que le dénominateur. Une fraction supérieure à $1$ n'est pas une erreur.

6) On teste : $\frac{1}{2}=0{,}5$, tandis que $\frac{1+2}{2+2}=\frac{3}{4}=0{,}75$. Les deux nombres sont différents, donc la règle de Léa est FAUSSE. Ce qui conserve une fraction, c'est la MULTIPLICATION (ou la division) du haut et du bas par un même nombre, jamais l'addition. La raison est concrète : multiplier par $2$ en haut et en bas revient à couper chaque part en deux et à en prendre deux fois plus, ce qui ne change rien ; ajouter $2$ en bas recoupe le gâteau sans aucun rapport avec ce qu'on prend.

1) Chaque intervalle vaut $\frac{1}{6}$, donc la troisième graduation porte $\frac{3}{6}$. On simplifie par $3$ : $\frac{3}{6}=\frac{1}{2}$. Elle tombe bien au milieu de $0$ et de $1$, ce qui est la vérification visuelle attendue : la moitié de l'unité est exactement à mi-chemin.

2) $\frac{5}{6}$ est la cinquième graduation, juste avant $1$. $\frac{4}{3}$ se convertit d'abord en sixièmes : $\frac{4}{3}=\frac{8}{6}$, c'est la huitième graduation, donc deux crans après $1$. $\frac{3}{2}=\frac{9}{6}$, la neuvième graduation, c'est-à-dire le milieu de $1$ et $2$. La méthode générale est toujours celle-là : pour placer une fraction sur une droite graduée en sixièmes, on la réécrit en sixièmes, puis on compte les crans.

3) $\frac{5}{9}$ et $\frac{7}{9}$ ont le même dénominateur : les parts sont de même taille, donc celui qui en prend le plus est le plus grand, $\frac{5}{9}<\frac{7}{9}$. $\frac{5}{9}$ et $\frac{5}{7}$ ont le même numérateur : on prend $5$ parts dans les deux cas, mais les neuvièmes sont plus PETITS que les septièmes puisque le gâteau a été coupé en plus de morceaux. Donc $\frac{5}{9}<\frac{5}{7}$. C'est ici que se produit l'erreur la plus fréquente du chapitre, croire que $9>7$ entraîne $\frac{5}{9}>\frac{5}{7}$.

4) Le plus petit dénominateur commun à $4$ et $6$ est $12$. On écrit $\frac{3}{4}=\frac{3\times 3}{4\times 3}=\frac{9}{12}$ et $\frac{5}{6}=\frac{5\times 2}{6\times 2}=\frac{10}{12}$. Comme $9<10$, on conclut $\frac{3}{4}<\frac{5}{6}$. Vérification décimale : $0{,}75<0{,}8333$. On aurait pu prendre $24$, cela marche aussi, mais les nombres sont plus gros pour rien.

5) On met tout en huitièmes : $\frac{1}{2}=\frac{4}{8}$, $\frac{3}{4}=\frac{6}{8}$, $\frac{7}{8}$ et $\frac{9}{8}$ restent. On range les numérateurs : $4<6<7<9$. Donc $\frac{1}{2}<\frac{3}{4}<\frac{7}{8}<\frac{9}{8}$. On écrit la réponse avec les fractions de l'énoncé, pas avec les huitièmes : la conversion est un outil de comparaison, pas la réponse.

6) Une fraction vaut $1$ quand son numérateur égale son dénominateur, elle dépasse $1$ quand le numérateur est plus grand, et elle est inférieure à $1$ sinon. Donc $\frac{9}{11}<1$, $\frac{13}{13}=1$ et $\frac{11}{9}>1$, d'où le classement $\frac{9}{11}<\frac{13}{13}<\frac{11}{9}$. Cette comparaison à $1$ est le premier réflexe à avoir : elle tranche beaucoup de cas sans le moindre calcul.

1) Les parts ont déjà la même taille : on ajoute les numérateurs et on garde le dénominateur, $\frac{3}{5}+\frac{1}{5}=\frac{4}{5}$, qui est irréductible. Le dénominateur ne s'additionne pas parce qu'il ne compte rien : il DIT la taille des parts, il n'en compte aucune.

2) $8$ est dans la table de $4$, puisque $8=4\times 2$. On transforme donc seulement la première fraction, $\frac{1}{4}=\frac{2}{8}$. Alors $\frac{1}{4}+\frac{5}{8}=\frac{2}{8}+\frac{5}{8}=\frac{7}{8}$. Vérification décimale : $0{,}25+0{,}625=0{,}875$ et $7\div 8=0{,}875$.

3) $6$ est un multiple de $3$, on écrit $\frac{2}{3}=\frac{4}{6}$. Alors $\frac{7}{6}-\frac{4}{6}=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}$. Ne jamais oublier la simplification finale : $\frac{3}{6}$ est juste, mais un contrôle attend la forme la plus simple, et une réponse non simplifiée coûte souvent un demi-point.

4) Un entier s'écrit comme une fraction de dénominateur $1$, puis on l'amène au dénominateur voulu : $2=\frac{2}{1}=\frac{14}{7}$. Donc $2-\frac{3}{7}=\frac{14}{7}-\frac{3}{7}=\frac{11}{7}$. On contrôle l'ordre de grandeur : on retire un peu moins d'un demi à $2$, on doit trouver un peu plus de $1{,}5$, et $11\div 7\approx 1{,}57$.

5) Le dénominateur commun est $12$, car $4$ et $3$ divisent tous deux $12$. On écrit $\frac{1}{4}=\frac{3}{12}$ et $\frac{1}{3}=\frac{4}{12}$. La somme vaut $\frac{5}{12}+\frac{3}{12}+\frac{4}{12}=\frac{12}{12}=1$. Un résultat rond de ce genre indique en général qu'on ne s'est pas trompé, mais il faut l'écrire simplifié : la réponse est $1$, pas $\frac{12}{12}$.

6) Hugo a additionné les numérateurs entre eux et les dénominateurs entre eux. Cette règle n'existe pas. Le résultat est faux, et on peut le voir sans aucun calcul : $\frac{6}{12}=\frac{1}{2}$, or l'une des deux fractions de départ, $\frac{5}{8}$, est DÉJÀ plus grande que $\frac{1}{2}$. Une somme de deux nombres positifs ne peut pas être plus petite que l'un d'eux. Ce contrôle mérite d'être fait systématiquement : une somme doit dépasser chacun de ses deux termes.

1) $3$ et $4$ n'ont pas de diviseur commun, le dénominateur commun est donc leur produit, $12$. On écrit $\frac{2}{3}=\frac{8}{12}$ et $\frac{1}{4}=\frac{3}{12}$, d'où la somme $\frac{11}{12}$. Contrôle d'ordre de grandeur : $\frac{2}{3}\approx 0{,}67$ plus $0{,}25$ font environ $0{,}92$, et $11\div 12\approx 0{,}92$. La fraction $\frac{11}{12}$ est irréductible.

2) $24$ est bien un multiple de $6$, quatre fois, et de $8$, trois fois. On écrit $\frac{5}{6}=\frac{20}{24}$ et $\frac{3}{8}=\frac{9}{24}$. La différence vaut $\frac{20-9}{24}=\frac{11}{24}$. Seuls les numérateurs se soustraient, le dénominateur reste : c'est encore la même idée, on compte des vingt-quatrièmes et on en retire.

3) $10$ et $15$ ont $30$ comme plus petit multiple commun. On écrit $\frac{3}{10}=\frac{9}{30}$ et $\frac{2}{15}=\frac{4}{30}$, la somme fait $\frac{13}{30}$, irréductible car $13$ est premier et ne divise pas $30$. Avec $150$, le produit des dénominateurs, on aurait obtenu $\frac{65}{150}$, juste également, mais qu'il aurait fallu simplifier par $5$ pour retrouver $\frac{13}{30}$.

4) Les trois dénominateurs $4$, $3$ et $6$ divisent $12$. On écrit $\frac{7}{4}=\frac{21}{12}$, $\frac{2}{3}=\frac{8}{12}$ et $\frac{1}{6}=\frac{2}{12}$. Le calcul se fait de gauche à droite : $\frac{21-8+2}{12}=\frac{15}{12}$, que l'on simplifie par $3$ pour obtenir $\frac{5}{4}$. Le piège classique est de faire d'abord $8+2$ parce que l'addition paraîtrait prioritaire : elle ne l'est pas, addition et soustraction se lisent dans l'ordre d'écriture.

5) $6=2\times 3$ et $8=2\times 2\times 2$ : le plus petit multiple commun est $24$. Avec $48$, on écrirait $\frac{40}{48}-\frac{18}{48}=\frac{22}{48}$, résultat exact qu'il faut ensuite simplifier par $2$ pour retrouver $\frac{11}{24}$. Prendre un dénominateur commun trop grand ne rend jamais faux, cela rend seulement plus long et oblige à une simplification finale.

6) Les trois résultats sont $\frac{11}{12}$, $\frac{11}{24}$ et $\frac{13}{30}$. Comme $\frac{11}{12}$ et $\frac{11}{24}$ ont le même numérateur, la seconde est la plus petite des deux. Pour départager $\frac{11}{24}$ et $\frac{13}{30}$, on passe en cent-vingtièmes : $\frac{11}{24}=\frac{55}{120}$ et $\frac{13}{30}=\frac{52}{120}$. Donc $\frac{13}{30}<\frac{11}{24}<\frac{11}{12}$.

1) Le carré est partagé en $4$ colonnes et $3$ lignes, il contient donc $4\times 3=12$ cases identiques. Comme l'aire totale vaut $1$, chaque case a pour aire $\frac{1}{12}$. C'est exactement cette lecture qui explique la règle de multiplication : le dénominateur du produit est le nombre de cases, donc le produit des deux dénominateurs.

2) $\frac{2}{4}$ de la largeur, ce sont $2$ colonnes ; $\frac{2}{3}$ de la hauteur, ce sont $2$ lignes. Le rectangle couvre donc $2\times 2=4$ cases, soit une aire de $\frac{4}{12}=\frac{1}{3}$. On retrouve bien $\frac{2}{4}\times\frac{2}{3}=\frac{4}{12}=\frac{1}{3}$ : les numérateurs comptent les colonnes et les lignes prises, les dénominateurs comptent celles qui sont disponibles.

3) $\frac{2}{3}\times\frac{3}{4}=\frac{2\times 3}{3\times 4}$. Avant de multiplier, on repère le $3$ présent en haut et en bas et on le barre, puis le $2$ du haut et le $4$ du bas se simplifient par $2$. Il reste $\frac{1}{2}$. Simplifier d'abord évite d'écrire $\frac{6}{12}$ et de devoir simplifier ensuite : même résultat, nombres plus petits, donc moins d'erreurs de tables.

4) Un entier est une fraction de dénominateur $1$ : $\frac{5}{8}\times\frac{24}{1}$. On simplifie $24$ et $8$ par $8$, il reste $\frac{5\times 3}{1}=15$. Autre lecture, souvent plus rapide de tête : $\frac{5}{8}$ de $24$, c'est $24\div 8=3$ puis $3\times 5=15$. Diviser d'abord par le dénominateur garde les nombres petits.

5) Nour a lu $\frac{5}{9}$ de $216$ pages, soit $216\div 9=24$ puis $24\times 5=120$ pages. Il lui reste $216-120=96$ pages. On peut aussi calculer directement la fraction restante : $1-\frac{5}{9}=\frac{4}{9}$, puis $24\times 4=96$. Les deux chemins donnent le même nombre, ce qui constitue la vérification.

6) Multiplier par $\frac{3}{4}$ diminue, car $\frac{3}{4}<1$ : on ne prend qu'une partie du nombre. Multiplier par $\frac{5}{4}$ augmente, car $\frac{5}{4}>1$. Règle générale : multiplier par une fraction inférieure à $1$ diminue, multiplier par une fraction supérieure à $1$ augmente. Cette idée casse la croyance de l'école primaire selon laquelle multiplier ferait toujours grandir, croyance qui est la source d'une bonne part des erreurs du chapitre.

1) Transport : $\frac{5}{12}$ de $720$, soit $720\div 12=60$ puis $60\times 5=300$ dollars. Musée : $\frac{1}{4}$ de $720$, soit $180$ dollars. Repas : $\frac{1}{6}$ de $720$, soit $120$ dollars. On garde l'ordre diviser puis multiplier : $720\div 12$ est un calcul simple, alors que $720\times 5$ donnerait $3600$ à diviser ensuite, plus lourd et plus risqué.

2) On additionne les fractions au dénominateur commun $12$ : $\frac{5}{12}+\frac{3}{12}+\frac{2}{12}=\frac{10}{12}=\frac{5}{6}$. Vérification par les dollars : $300+180+120=600$, et $\frac{600}{720}=\frac{5}{6}$. Les deux méthodes concordent, ce qui valide la mise au même dénominateur.

3) Il reste $1-\frac{5}{6}=\frac{6}{6}-\frac{5}{6}=\frac{1}{6}$ du budget, soit $720\div 6=120$ dollars. On retrouve bien $720-600=120$. Écrire le tout comme $\frac{6}{6}$ est le geste à retenir : soustraire une fraction à $1$ demande d'abord d'écrire $1$ avec le bon dénominateur.

4) $120\div 8=15$ dollars par groupe. La division tombe juste, ce qui est cohérent avec l'énoncé qui parle d'un partage équitable. Si elle ne tombait pas juste, la réponse s'écrirait en fraction, $\frac{120}{8}$, et non arrondie au hasard.

5) Augmenter de $\frac{1}{10}$, c'est ajouter $\frac{1}{10}$ de $300$, soit $30$ dollars : le transport passe à $330$ dollars. On peut aussi multiplier en une fois par $1+\frac{1}{10}=\frac{11}{10}$, ce qui donne $300\times\frac{11}{10}=330$. Retenez ce second chemin, c'est celui du chapitre sur la proportionnalité et les pourcentages.

6) Le nouveau total est $330+180+120=630$ dollars, à comparer aux $720$ dollars du budget. Comme $630<720$, le budget suffit encore, et il reste même $720-630=90$ dollars. En fraction du budget, ce reste vaut $\frac{90}{720}=\frac{1}{8}$. L'augmentation a donc fait passer la part restante de $\frac{1}{6}$ à $\frac{1}{8}$ du budget, ce qui est cohérent puisque $\frac{1}{8}<\frac{1}{6}$.

1) Zone A : $\frac{3}{12}=\frac{1}{4}$. Zone B : $\frac{5}{12}$, irréductible car $5$ ne divise pas $12$. Zone C : il reste $12-3-5=4$ parcelles, soit $\frac{4}{12}=\frac{1}{3}$. On compte les parcelles avant de simplifier, jamais l'inverse : la simplification est la dernière opération.

2) Au dénominateur commun $12$ : $\frac{3}{12}+\frac{5}{12}+\frac{4}{12}=\frac{12}{12}=1$. C'était prévisible puisque les trois zones recouvrent tout le jardin sans se chevaucher, mais le calcul reste la preuve. C'est aussi un contrôle : si la somme n'avait pas donné $1$, une des trois fractions serait fausse.

3) Une parcelle vaut $180\div 12=15$ mètres carrés. Zone A : $3\times 15=45$ mètres carrés. Zone B : $5\times 15=75$ mètres carrés. Zone C : $4\times 15=60$ mètres carrés. Contrôle : $45+75+60=180$, on retrouve bien l'aire totale.

4) L'écart vaut $75-45=30$ mètres carrés. En fraction du jardin : $\frac{30}{180}=\frac{1}{6}$. On peut aussi calculer directement l'écart des fractions, $\frac{5}{12}-\frac{3}{12}=\frac{2}{12}=\frac{1}{6}$. Les deux chemins donnent la même chose, ce qui n'a rien d'un hasard : prendre la fraction puis l'aire, ou l'aire puis la fraction, revient au même.

5) La zone C mesure $60$ mètres carrés. Les $\frac{2}{5}$ de $60$ font $60\div 5=12$ puis $12\times 2=24$ mètres carrés. Attention à la lecture de l'énoncé : les $\frac{2}{5}$ portent sur la zone C, pas sur le jardin. Prendre $\frac{2}{5}$ de $180$ donnerait $72$, un nombre qui dépasse la zone C elle-même, ce qui serait absurde.

6) Les tomates couvrent $24$ mètres carrés sur $180$, soit $\frac{24}{180}$. On simplifie par $12$ et on obtient $\frac{2}{15}$. Autre chemin, celui de la fraction d'une fraction : $\frac{2}{5}\times\frac{1}{3}=\frac{2}{15}$. Retenez cette égalité, c'est le cœur du chapitre : prendre une fraction d'une fraction, c'est multiplier les deux fractions.

1) FAUX. Les dénominateurs ne s'additionnent pas : ils indiquent la taille des parts, ils n'en comptent aucune. Le résultat proposé est d'ailleurs plus petit que chacun des deux termes, ce qui est impossible pour une somme de nombres positifs. Le calcul correct passe par le dénominateur commun $12$ : $\frac{4}{12}+\frac{3}{12}=\frac{7}{12}$.

2) FAUX. À numérateur égal, un dénominateur plus grand donne des parts plus PETITES, donc un nombre plus petit. Couper une tarte en $9$ et en prendre $4$, c'est moins que la couper en $7$ et en prendre $4$. Le bon énoncé est $\frac{4}{9}<\frac{4}{7}$, ce que confirment les décimales, environ $0{,}44$ contre environ $0{,}57$.

3) FAUX. On ne barre un nombre que s'il est FACTEUR de tout le numérateur, jamais s'il n'est qu'un des termes d'une somme. Ici $\frac{5+10}{5}=\frac{15}{5}=3$, et non $10$. Pour simplifier une somme, il faut d'abord la factoriser : $\frac{5+10}{5}=\frac{5\times(1+2)}{5}=1+2=3$.

4) FAUX. Multiplier par une fraction inférieure à $1$ DIMINUE le nombre : $20\times\frac{3}{4}=15$. Le bon énoncé distingue deux cas : multiplier par une fraction plus grande que $1$ augmente, multiplier par une fraction plus petite que $1$ diminue, et multiplier par $1$ ne change rien.

5) FAUX, ou plutôt inutilement compliqué. Prendre le produit des dénominateurs donne toujours un dénominateur commun valable, mais ici $6$ est déjà un multiple de $3$, donc $6$ suffit : $\frac{2}{3}+\frac{5}{6}=\frac{4}{6}+\frac{5}{6}=\frac{9}{6}=\frac{3}{2}$. Avec $18$ on trouverait $\frac{12}{18}+\frac{15}{18}=\frac{27}{18}$, exact mais qu'il faut ensuite simplifier par $9$ pour retrouver $\frac{3}{2}$.

1) $\frac{2}{5}$ de $45$ kilomètres : $45\div 5=9$ puis $9\times 2=18$ kilomètres. La première étape mesure donc $18$ kilomètres, ce qui correspond bien sur la figure à la partie gauche, un peu moins de la moitié de la barre.

2) Ce qui reste vaut $1-\frac{2}{5}=\frac{5}{5}-\frac{2}{5}=\frac{3}{5}$ du trajet, soit $9\times 3=27$ kilomètres. Contrôle direct : $45-18=27$. Sur la figure, c'est la partie droite, celle qui porte l'étiquette « ce qui RESTE ». Tout le problème tient à ne jamais confondre cette barre de droite avec la barre entière.

3) La deuxième étape est le tiers du reste, donc le tiers de $27$ kilomètres, soit $27\div 3=9$ kilomètres. Le mot « reste » de l'énoncé est ici décisif : il désigne les $27$ kilomètres, pas les $45$.

4) La deuxième étape mesure $9$ kilomètres sur $45$, donc $\frac{9}{45}=\frac{1}{5}$ du trajet total. Par le calcul de fractions on retrouve la même chose : le tiers de $\frac{3}{5}$, c'est $\frac{1}{3}\times\frac{3}{5}=\frac{3}{15}=\frac{1}{5}$. Les deux méthodes doivent toujours coïncider ; si elles divergent, c'est qu'on s'est trompé de référence.

5) Il reste $45-18-9=18$ kilomètres pour la troisième étape, soit $\frac{18}{45}=\frac{2}{5}$ du total. On vérifie que tout se recolle : $\frac{2}{5}+\frac{1}{5}+\frac{2}{5}=\frac{5}{5}=1$. Remarque utile à commenter en classe : la troisième étape mesure exactement autant que la première.

6) Son erreur est un changement de référence. Le $\frac{1}{3}$ de l'énoncé porte sur la barre de DROITE de la figure, celle du reste, et non sur la barre entière. Comme cette barre de droite ne vaut elle-même que $\frac{3}{5}$ du total, en prendre le tiers donne $\frac{1}{5}$ du total et non $\frac{1}{3}$. En kilomètres, l'écart est net : sa réponse donnerait $15$ kilomètres au lieu de $9$. Règle à retenir : une fraction ne veut rien dire tant qu'on n'a pas dit fraction DE QUOI.

1) $12\times\frac{3}{4}=\frac{12\times 3}{4}$. On simplifie $12$ et $4$ par $4$ : il reste $3\times 3=9$ mètres. Douze robes consomment donc $9$ mètres. Contrôle de bon sens : chaque robe prend moins d'un mètre, donc douze robes doivent prendre moins de douze mètres.

2) $8\times\frac{5}{8}=5$ mètres, le $8$ se simplifiant directement. Huit chemises consomment $5$ mètres. Là encore, comme $\frac{5}{8}$ est inférieur à $1$, le résultat doit être inférieur à $8$ mètres.

3) Le tissu utilisé vaut $9+5=14$ mètres. Il reste $36-14=22$ mètres. On aurait pu additionner les fractions d'abord, mais additionner les longueurs déjà calculées est plus court et moins risqué : la mise au même dénominateur ne sert que quand on ne connaît pas encore les valeurs.

4) Le reste vaut $\frac{22}{36}$ du rouleau. On simplifie par $2$ : $\frac{11}{18}$. Comme $11$ est premier et ne divise pas $18$, la fraction est irréductible. Un peu plus de la moitié du rouleau est donc intacte, ce qui est cohérent avec $22>18$.

5) Une robe prend $\frac{3}{4}$ de mètre, soit $0{,}75$ mètre. On cherche combien de fois $0{,}75$ tient dans $22$ : $22\div 0{,}75\approx 29{,}33$. On peut donc tailler $29$ robes entières, qui consomment $29\times 0{,}75=21{,}75$ mètres. La chute vaut $22-21{,}75=0{,}25$ mètre, soit un quart de mètre. On ARRONDIT VERS LE BAS parce qu'une robe incomplète n'est pas une robe : écrire $29{,}33$ robes n'a aucun sens.

6) Une chemise prend $\frac{5}{8}$ de mètre, soit $0{,}625$ mètre. On cherche combien de fois $0{,}625$ tient dans $36$ : $36\div 0{,}625=57{,}6$, donc $57$ chemises au maximum, pour $57\times 0{,}625=35{,}625$ mètres et une chute de $0{,}375$ mètre. Le calcul $36\times\frac{5}{8}=22{,}5$ répond à une tout autre question, celle de la longueur qu'occuperaient $36$ chemises. Multiplier, c'est prendre une part ; diviser, c'est compter combien de fois une part tient dans le tout. Le « combien de » de l'énoncé appelle une division.