Exercices corrigés : statistiques et probabilités (Cinquième)

$7+12+10+15=44$, et il y a $4$ valeurs : moyenne $=\frac{44}{4}=11$.

$14+9+16+11+13+12=75$, et il y a $6$ valeurs : moyenne $=\frac{75}{6}=12{,}5$. Une moyenne n'est pas forcément une des valeurs, ni même un entier.

On multiplie chaque note par son coefficient : $16\times 3+10\times 1+7\times 1=48+10+7=65$. On divise par la somme des coefficients, $3+1+1=5$ : moyenne $=\frac{65}{5}=13$. Piège : diviser par $3$, le nombre de notes, donne $21{,}7$, plus que la meilleure note, ce qui est impossible.

Les effectifs jouent le rôle de coefficients : $0\times 5+1\times 8+2\times 4+3\times 3=0+8+8+9=25$. L'effectif total vaut $5+8+4+3=20$, donc moyenne $=\frac{25}{20}=1{,}25$. Piège : diviser par $4$, le nombre de VALEURS différentes, au lieu de $20$, le nombre de PERSONNES.

Plus grande valeur $31$, plus petite valeur $9$ : étendue $=31-9=22$. Piège : soustraire la première et la dernière valeur écrites, $23-14=9$, alors que la série n'est pas rangée.

Fréquence $=\frac{15}{35}$. On simplifie par $5$, diviseur commun de $15$ et de $35$ : $\frac{15}{35}=\frac{3}{7}$, irréductible.

Fréquence $=\frac{18}{40}=0{,}45$, soit $45\,\%$. Autre chemin : $\frac{18}{40}=\frac{45}{100}$ en multipliant en haut et en bas par $2{,}5$.

Le disque entier, $360$ degrés, représente les $60$ individus : un individu vaut $\frac{360}{60}=6$ degrés. L'angle vaut donc $14\times 6=84$ degrés. Piège : prendre $14$ pour cent du disque, ou multiplier par $3{,}6$ comme si l'effectif total était $100$.

L'effectif total est la somme de tous les effectifs : $64+40+36+30+30=200$ élèves. Ce nombre est le premier à calculer dans tout exercice de statistiques, parce que toutes les fréquences se rapportent à lui. Écrivez-le à part et encadrez-le : on y revient à chaque question.

La fréquence est le quotient de l'effectif par l'effectif total : $\frac{64}{200}$. On simplifie par $8$ : $\frac{64}{200}=\frac{8}{25}$. En décimal, $64\div 200=0{,}32$. Une fréquence est toujours un nombre compris entre $0$ et $1$ ; si vous trouvez $32$, c'est que vous avez calculé le pourcentage, pas la fréquence.

Natation : $\frac{40}{200}=\frac{1}{5}=0{,}2$. Danse : $\frac{30}{200}=\frac{3}{20}=0{,}15$. On garde le même dénominateur de départ, $200$, pour toutes les lignes : c'est ce qui rend les comparaisons immédiates, avant même de simplifier.

Les cinq fréquences sont $0{,}32$, $0{,}2$, $0{,}18$, $0{,}15$ et $0{,}15$, dont la somme vaut exactement $1$. C'était prévisible : additionner toutes les fréquences revient à additionner tous les effectifs puis à diviser par l'effectif total, c'est-à-dire à calculer $\frac{200}{200}$. Cette vérification vaut la peine d'être faite à chaque exercice, elle attrape immédiatement une erreur de division.

L'écart vaut $64-36=28$ élèves. En fraction du total : $\frac{28}{200}=\frac{7}{50}=0{,}14$. On retrouve la même chose en soustrayant les fréquences, $0{,}32-0{,}18=0{,}14$, ce qui n'a rien d'un hasard : la fréquence d'un écart est l'écart des fréquences, puisque le dénominateur est commun.

Le sondage n'a interrogé que $200$ élèves sur $250$, soit $\frac{200}{250}=0{,}8$, c'est-à-dire $80$ pour cent du collège. Les fréquences trouvées ne décrivent donc rigoureusement que les élèves interrogés. On peut les considérer comme une bonne estimation pour l'ensemble du collège, mais ce n'est qu'une estimation : $50$ élèves n'ont pas répondu, et rien ne garantit qu'ils pratiquent les mêmes sports.

Le football est le plus pratiqué, avec $64$ élèves, c'est la barre la plus haute. Deux sports sont à égalité au dernier rang, la danse et la catégorie autres, avec $30$ élèves chacune. Une lecture de diagramme se justifie toujours en citant la valeur, pas seulement la position de la barre.

Pour passer d'une fréquence à un pourcentage, on multiplie par $100$. Football : $0{,}32$ soit $32$ pour cent. Natation : $0{,}2$ soit $20$ pour cent. Basket : $0{,}18$ soit $18$ pour cent. Danse : $15$ pour cent. Autres : $15$ pour cent. Un raccourci utile ici : l'effectif total étant $200$, chaque élève pèse $0{,}5$ pour cent, donc il suffit de diviser l'effectif par deux.

$32+20+18+15+15=100$. La somme fait bien $100$, ce qui confirme les cinq calculs d'un coup. C'est la même vérification qu'à l'exercice précédent, exprimée en pourcentages : elle ne coûte qu'une addition et sécurise tout le tableau.

Un élève sur cinq, c'est $\frac{1}{5}=0{,}2$, soit $20$ pour cent. Le football, à $32$ pour cent, dépasse ce seuil. La natation est exactement à $20$ pour cent, donc elle n'est pas STRICTEMENT au-dessus. Les autres sont en dessous. Réponse : seul le football, la natation étant au seuil exact. Il faut lire précisément « plus de » et le distinguer de « au moins ».

Non. Le football rassemble $64$ élèves et la danse $30$ : le rapport vaut $64\div 30\approx 2{,}13$, un peu plus du double. Comme l'axe part de $0$ et que les hauteurs sont proportionnelles aux effectifs, la barre du football est bien environ $2{,}13$ fois plus haute. Un diagramme en barres n'est lisible que si son axe commence à zéro, sinon les hauteurs ne représentent plus rien.

En démarrant l'axe à $28$, la barre du football mesurerait $64-28=36$ unités et celle de la danse $30-28=2$ unités : le football paraîtrait $18$ fois plus important que la danse alors qu'il ne l'est que $2{,}13$ fois. C'est le procédé graphique le plus courant pour tromper un lecteur pressé. Le réflexe à garder toute sa vie : avant de lire un diagramme, regarder où commence l'axe vertical.

On additionne : $12+15+9+14+11+17=78$. Puis on divise par le nombre de notes, $6$ : $78\div 6=13$. La moyenne vaut $13$. Un contrôle de vraisemblance : la moyenne doit toujours tomber entre la plus petite valeur, $9$, et la plus grande, $17$. C'est le cas.

La nouvelle somme vaut $78+6=84$, pour $7$ notes : $84\div 7=12$. La moyenne descend de $13$ à $12$. On remarque que le seul ajout d'une note basse a coûté un point de moyenne : plus l'effectif est petit, plus une valeur extrême pèse. C'est une des raisons pour lesquelles les moyennes de fin de trimestre se calculent sur beaucoup de notes.

On multiplie chaque note par son coefficient, on additionne, et on divise par la somme des coefficients : $\frac{12\times 2+15\times 1+9\times 3}{2+1+3}=\frac{24+15+27}{6}=\frac{66}{6}=11$. Le dénominateur est la somme des COEFFICIENTS, six ici, et non le nombre de notes, trois. C'est l'erreur la plus fréquente du chapitre.

La moyenne simple des trois notes vaudrait $\frac{12+15+9}{3}=12$. La pondération donne $11$, donc plus bas, parce que c'est la note la plus faible, $9$, qui porte le plus gros coefficient, $3$. Un coefficient revient à compter une note plusieurs fois : ici le $9$ compte comme trois notes et le $15$ comme une seule.

On pondère par les effectifs : $\frac{8\times 14+12\times 9}{8+12}=\frac{112+108}{20}=\frac{220}{20}=11$. La moyenne du groupe est $11$. Les effectifs jouent exactement le rôle de coefficients, ce qui permet de traiter un tableau de statistiques comme une moyenne pondérée.

Il a fait la moyenne des deux NOTES, en oubliant que les groupes n'ont pas la même taille. Son calcul serait juste si les deux groupes comptaient autant d'élèves. Ici les $12$ élèves à $9$ sont plus nombreux que les $8$ élèves à $14$, donc la moyenne doit pencher vers $9$, ce que confirme le résultat, $11$, inférieur à $11{,}5$. Règle à retenir : on ne fait jamais la moyenne de moyennes sans tenir compte des effectifs.

Les six valeurs se lisent au-dessus des barres : $3$, $1$, $4$, $2$, $5$ et $3$ buts. Le total vaut $3+1+4+2+5+3=18$ buts. On lit toujours les valeurs écrites au-dessus des barres plutôt que d'estimer les hauteurs à l'œil, ce qui évite les erreurs d'une unité.

La moyenne vaut $18\div 6=3$ buts par match. Ce nombre n'est marqué lors d'aucun match en particulier, mais il répond à la question : si l'équipe avait marqué le même nombre à chaque fois, ce serait $3$. C'est la bonne façon d'interpréter une moyenne, comme une répartition égale du total.

L'étendue est la différence entre la plus grande et la plus petite valeur : $5-1=4$ buts. Elle mesure la DISPERSION, c'est-à-dire l'écart entre les extrêmes, pas le niveau moyen. Une étendue de $4$ pour une moyenne de $3$ signale une équipe irrégulière.

Au moins $3$ buts, cela veut dire $3$ ou plus : les matchs 1, 3, 5 et 6, soit $4$ matchs. La fréquence vaut $\frac{4}{6}=\frac{2}{3}\approx 0{,}67$, soit environ $67$ pour cent des matchs. Attention à ne pas confondre « au moins $3$ », qui inclut $3$, avec « plus de $3$ », qui l'exclut et ne donnerait que $2$ matchs.

Le nouveau total est $18+9=27$ buts en $7$ matchs, soit une moyenne de $27\div 7\approx 3{,}86$ buts. La nouvelle étendue vaut $9-1=8$ buts. La moyenne est donc passée d'environ $3$ à environ $3{,}86$, et l'étendue de $4$ à $8$.

L'étendue a doublé, alors que la moyenne n'a augmenté que d'environ $0{,}86$ but, soit moins de $30$ pour cent. Conclusion : l'étendue est très sensible aux valeurs extrêmes, puisqu'elle ne dépend QUE de deux valeurs, tandis que la moyenne répartit le choc sur tout l'effectif. Il faut donc toujours donner les deux : la moyenne dit le niveau, l'étendue dit la régularité.

$12+10+8+6+4=40$ élèves, le total est correct. Les fréquences valent $\frac{12}{40}=0{,}3$, $\frac{10}{40}=0{,}25$, $\frac{8}{40}=0{,}2$, $\frac{6}{40}=0{,}15$ et $\frac{4}{40}=0{,}1$. Leur somme fait $1$, ce qui valide le tableau avant même de parler d'angles.

Le disque entier représente les $40$ élèves et fait $360$ degrés. Un élève correspond donc à $360\div 40=9$ degrés. Ce nombre est le coefficient de proportionnalité entre les effectifs et les angles : c'est lui qu'on écrit une fois, puis qu'on réutilise pour les cinq lignes.

On multiplie chaque effectif par $9$ : bus $12\times 9=108$ degrés, marche $10\times 9=90$ degrés, vélo $8\times 9=72$ degrés, voiture $6\times 9=54$ degrés, métro $4\times 9=36$ degrés. On peut aussi passer par les fréquences, $0{,}3\times 360=108$ degrés, et ainsi de suite : les deux chemins donnent le même résultat, puisque les angles sont proportionnels aux effectifs.

$108+90+72+54+36=360$ degrés. La vérification est indispensable AVANT de prendre le rapporteur : si la somme ne tombe pas sur $360$, c'est qu'un angle est faux, et il vaut mieux le découvrir sur le cahier de brouillon que sur le disque à moitié tracé.

Un quart du disque, c'est $360\div 4=90$ degrés. C'est exactement l'angle de la marche à pied. On le retrouve par la fréquence : $\frac{10}{40}=\frac{1}{4}$. Les deux lectures se rejoignent, la fraction du disque et la fraction de l'effectif sont la même chose.

Les angles ne changeraient PAS, car ils dépendent des fréquences et non des effectifs : les mêmes proportions donnent le même dessin. En revanche les effectifs doubleraient, $24$ en bus, $20$ à pied, $16$ à vélo, $12$ en voiture et $8$ en métro. C'est tout l'intérêt du diagramme circulaire : il montre des parts, pas des quantités, et permet donc de comparer deux classes de tailles différentes.

$4+3+2+2+1=12$. C'est ce nombre, et non le nombre de matières, qui servira de dénominateur. Le noter en premier évite l'erreur la plus coûteuse de l'exercice.

On multiplie chaque note par son coefficient : $14\times 4=56$, $11\times 3=33$, $16\times 2=32$, $9\times 2=18$ et $11\times 1=11$. La somme vaut $56+33+32+18+11=150$. La moyenne générale est donc $\frac{150}{12}=12{,}5$. Elle tombe bien entre la plus basse note, $9$, et la plus haute, $16$.

Sans coefficients, la moyenne vaudrait $\frac{14+11+16+9+11}{5}=\frac{61}{5}=12{,}2$. On divise cette fois par $5$, le nombre de matières, parce que chacune compte pour une.

La moyenne pondérée, $12{,}5$, dépasse la moyenne simple, $12{,}2$. La raison est que la matière la mieux notée après l'histoire, à savoir les mathématiques avec $14$, porte le plus fort coefficient, $4$. Un coefficient élevé sur une bonne note tire la moyenne vers le haut ; le même coefficient sur l'anglais, à $9$, aurait produit l'effet inverse.

On cherche la note $n$ en anglais telle que $\frac{56+33+32+2n+11}{12}=13$, c'est-à-dire $\frac{132+2n}{12}=13$. Il faut donc que $132+2n=13\times 12=156$, d'où $2n=24$ et $n=12$. Yasmine doit obtenir $12$ en anglais, soit $3$ points de plus. Vérification : $\frac{56+33+32+24+11}{12}=\frac{156}{12}=13$.

Gagner $2$ points en histoire, coefficient $2$, ajoute $2\times 2=4$ points au total pondéré. Gagner $1$ point en maths, coefficient $4$, en ajoute aussi $4$. Les deux sont donc exactement équivalents, et font monter la moyenne de $\frac{4}{12}\approx 0{,}33$ point. C'est la lecture utile d'un coefficient : ce qui compte, ce n'est pas le nombre de points gagnés, mais le produit de ces points par le coefficient de la matière.

Le dé a $6$ faces également probables. Une seule porte le $5$, donc la probabilité vaut $\frac{1}{6}$, soit environ $0{,}17$. Les nombres pairs sont $2$, $4$ et $6$, soit $3$ issues favorables sur $6$ : la probabilité vaut $\frac{3}{6}=\frac{1}{2}$. On écrit toujours le quotient sous la forme issues favorables sur issues possibles, avant de simplifier.

Strictement supérieur à $4$, ce sont les faces $5$ et $6$, donc $2$ issues sur $6$ : $\frac{2}{6}=\frac{1}{3}$. Le mot « strictement » exclut le $4$ ; s'il avait été écrit « supérieur ou égal à $4$ », il aurait fallu compter trois faces. Obtenir un $7$ est impossible avec un dé à six faces, la probabilité vaut donc $0$.

L'urne contient $5+4+3=12$ boules. Rouge : $\frac{5}{12}$. Verte : $\frac{4}{12}=\frac{1}{3}$. Bleue : $\frac{3}{12}=\frac{1}{4}$. La mention « indiscernables au toucher » est essentielle dans l'énoncé : c'est elle qui garantit que chaque boule a la même chance d'être tirée, sans quoi le calcul par comptage ne s'appliquerait pas.

Au dénominateur commun $12$ : $\frac{5}{12}+\frac{4}{12}+\frac{3}{12}=\frac{12}{12}=1$. La raison est simple : les trois couleurs épuisent toutes les issues possibles, et une boule tirée est nécessairement de l'une des trois couleurs. Toute somme de probabilités qui recouvre tous les cas possibles, sans en compter deux fois, vaut $1$.

On convertit en décimal pour placer : rouge $\frac{5}{12}\approx 0{,}42$, un peu avant le milieu de l'échelle ; bleue $\frac{1}{4}=0{,}25$, au quart ; nombre pair $\frac{1}{2}=0{,}5$, exactement au milieu. L'ordre sur l'échelle est donc bleue, puis rouge, puis nombre pair. Une probabilité ne sort jamais de l'intervalle de $0$ à $1$ : si un calcul donne $1{,}3$ ou $\frac{12}{5}$, il est faux.

En ajoutant $j$ boules jaunes, l'urne contient $12+j$ boules, dont toujours $5$ rouges. On veut $\frac{5}{12+j}=\frac{1}{4}$, donc $12+j=5\times 4=20$, d'où $j=8$. Il faut ajouter $8$ boules jaunes. Vérification : sur $20$ boules, $5$ sont rouges, et $\frac{5}{20}=\frac{1}{4}$. Notez que le numérateur n'a pas bougé : ajouter des boules d'une autre couleur ne change pas le nombre de rouges, seulement le total.

FAUX. Une fréquence est un quotient d'un effectif par l'effectif total, donc un nombre compris entre $0$ et $1$. Ce qui peut valoir $32$, c'est le POURCENTAGE correspondant. Le bon énoncé : la fréquence vaut $0{,}32$, ce qui s'exprime aussi par $32$ pour cent. Confondre les deux revient à se tromper d'un facteur $100$.

FAUX. Les deux groupes n'ont pas le même effectif, on ne peut donc pas faire la moyenne des deux notes. Il faut pondérer par les effectifs : $\frac{8\times 14+12\times 9}{20}=\frac{220}{20}=11$. La moyenne penche vers $9$ parce que le groupe à $9$ est le plus nombreux, ce qui est bien ce que donne le calcul.

FAUX. La moyenne ne dit rien de la dispersion. Les séries $8$, $12$, $12$, $13$, $15$ et $3$, $7$, $12$, $18$, $20$ ont toutes deux $12$ de moyenne, mais leurs étendues valent $7$ et $17$. Le bon énoncé : pour comparer deux séries, il faut donner au moins deux indicateurs, un de position comme la moyenne, et un de dispersion comme l'étendue.

FAUX. Un diagramme circulaire représente des PROPORTIONS, pas des effectifs. Si les deux classes ont les mêmes fréquences, les secteurs ont exactement le même angle, que la classe compte $40$ ou $80$ élèves. Le bon énoncé : les angles dépendent des fréquences seules, et c'est précisément ce qui permet de comparer deux populations de tailles différentes.

FAUX. La pièce n'a pas de mémoire : chaque lancer est indépendant des précédents, et la probabilité d'obtenir face reste $\frac{1}{2}$ à chaque fois. Cette croyance porte un nom, l'erreur du joueur, et elle est à l'origine de beaucoup de mauvais paris. Le bon énoncé : sur un grand nombre de lancers, les fréquences se rapprochent de $\frac{1}{2}$, mais aucun lancer particulier n'est influencé par ceux qui l'ont précédé.

$6+8+8+5+3=30$ élèves. Le total annoncé est correct. Cette vérification n'est pas une formalité : un tableau d'enquête dont les effectifs ne tombent pas juste signale une donnée oubliée ou comptée deux fois.

On pondère chaque temps par son effectif : $5\times 6=30$, $10\times 8=80$, $15\times 8=120$, $20\times 5=100$, $30\times 3=90$. La somme vaut $30+80+120+100+90=420$ minutes. La moyenne est donc $\frac{420}{30}=14$ minutes. Le dénominateur est l'effectif total, $30$, et non le nombre de colonnes, $5$.

Le temps le plus long est $30$ minutes, le plus court $5$ minutes, l'étendue vaut donc $30-5=25$ minutes. Elle est presque le double de la moyenne, ce qui indique une classe très hétérogène : certains élèves habitent tout près, d'autres à l'autre bout de la ville.

Au moins un quart d'heure, c'est $15$ minutes ou plus : $8+5+3=16$ élèves. La fréquence vaut $\frac{16}{30}\approx 0{,}533$, soit environ $53{,}3$ pour cent. Plus de la moitié de la classe est concernée, alors que le temps de $15$ minutes est celui de la colonne centrale : la moyenne seule ne l'aurait pas montré.

Moins de $10$ minutes, cela ne retient que la colonne des $5$ minutes, soit $6$ élèves, car $10$ n'est pas strictement inférieur à $10$. La fraction vaut $\frac{6}{30}=\frac{1}{5}$, soit $20$ pour cent des élèves. Le mot « moins de » exclut la valeur $10$ ; s'il avait été écrit « au plus $10$ minutes », il aurait fallu compter $6+8=14$ élèves.

On cumule les effectifs en partant des trajets les plus courts : jusqu'à $5$ minutes, $6$ élèves soit $20$ pour cent ; jusqu'à $10$ minutes, $14$ élèves soit environ $46{,}7$ pour cent ; jusqu'à $15$ minutes, $22$ élèves soit environ $73{,}3$ pour cent ; jusqu'à $20$ minutes, $27$ élèves soit $90$ pour cent. Le premier seuil qui atteint $80$ pour cent est donc $20$ minutes. Le professeur doit compter $20$ minutes de trajet. Retenir $15$ minutes ne couvrirait que $73{,}3$ pour cent des élèves, donc pas assez.

Sarah : $8+12+12+13+15=60$, donc $\frac{60}{5}=12$ de moyenne. Karim : $3+7+12+18+20=60$, donc également $\frac{60}{5}=12$. Les deux élèves ont exactement la même moyenne, ce qui est le point de départ de tout l'exercice.

Sarah : $15-8=7$. Karim : $20-3=17$. Les étendues sont très différentes, plus du simple au double. C'est là que les deux séries se séparent, alors que la moyenne les confondait.

Sarah est régulière : toutes ses notes se tiennent dans une plage de $7$ points, on peut donc prévoir avec assez de confiance sa prochaine note autour de $12$. Karim est irrégulier : il alterne des résultats très faibles et de très bons, et sa moyenne de $12$ ne correspond à aucune de ses performances réelles. Deux séries de même moyenne peuvent décrire deux situations totalement différentes, et c'est précisément pour cela qu'on ajoute toujours un indicateur de dispersion.

La nouvelle somme de Sarah vaut $60+18=78$ pour $6$ notes, donc une moyenne de $\frac{78}{6}=13$. Son étendue devient $18-8=10$, puisque $18$ est maintenant sa meilleure note. Elle gagne un point de moyenne et perd un peu de sa régularité, ce qui reste très modéré.

On cherche la note $n$ telle que $\frac{60+n}{6}=13$, donc $60+n=13\times 6=78$, d'où $n=18$. Karim doit obtenir $18$. Vérification : $\frac{60+18}{6}=\frac{78}{6}=13$. Le calcul est identique à celui de Sarah, ce qui est logique : ils partaient de la même somme.

Le commentaire ne retient que la moyenne, $12$, et ignore complètement la dispersion, qui est ici l'information la plus parlante. Karim a obtenu $20$ sur $20$ à une évaluation, ce qui montre qu'il en est capable, et $3$ à une autre, ce qui signale plutôt un problème ponctuel, un devoir non préparé ou une absence, qu'un niveau faible. Un commentaire utile dirait : « résultats très irréguliers, capable d'excellent, à sécuriser sur la régularité ». C'est exactement le rôle de l'étendue à côté de la moyenne.

Les angles d'un diagramme circulaire totalisent $360°$ : $360-100-125-45=90°$.

Le disque entier représente les $72$ personnes : une personne correspond à $360\div 72=5°$.

On divise chaque angle par $5$ : chien $100\div 5=20$ personnes ; chat $125\div 5=25$ ; poisson $45\div 5=9$ ; aucun animal $90\div 5=18$. Contrôle : $20+25+9+18=72$ ✓.

$\dfrac{18}{72}=\dfrac{1}{4}$, soit $25$ pour cent. On le voyait déjà sur l'angle : $90°$, c'est le quart de $360°$.

$125$ est un ANGLE, en degrés, pas un effectif. Le secteur des chats représente $125\div 5=25$ personnes. Leur fréquence vaut $\dfrac{25}{72}\approx 0{,}35$.