Cinquième, programme français à Montréal • Exercices corrigés
Cette fiche de révision couvre les statistiques et les premières probabilités en classe de cinquième du programme français : effectifs, fréquences, moyennes simple et pondérée, étendue, diagrammes en barres et circulaires, tels qu'ils sont évalués au Lycée Marie de France, au Collège Stanislas à Montréal et dans tout le réseau AEFE.
Elle ne redit pas le cours, que vous avez déjà : elle dit ce qui fait perdre des points sur ce chapitre, et le geste précis qui évite chaque perte. Le fil est toujours le même : écrire le dénominateur AVANT le numérateur.
Le fil du chapitre
Une statistique ne se lit jamais toute seule : chaque fréquence, chaque moyenne et chaque probabilité a un DÉNOMINATEUR précis, et c'est presque toujours lui qu'on choisit de travers.
Écrire la somme des coefficients sur une ligne à part, AVANT le grand calcul : c'est un demi-point de méthode et surtout la seule façon de ne pas diviser par le nombre de lignes du tableau.
Avant de commenter un diagramme, regardez d'abord son axe vertical et l'unité. Un commentaire juste sur un axe mal lu ne rapporte aucun point.
Une probabilité s'écrit en fraction, en décimal ou en pourcentage, jamais en « chances sur ». Le correcteur attend un nombre, pas une tournure.
Les erreurs ci-dessous sont celles que je corrige le plus souvent en séance. Chacune coûte des points sur une copie, même quand le raisonnement est juste.
Ce qu'il ne faut pas écrire
« Notes , et de coefficients , et : . »
Ce qu'il faut écrire
« : on divise par la SOMME DES COEFFICIENTS. »
Pourquoi : Un coefficient signifie que la note compte quatre fois : il y a donc six notes en tout, pas trois. Diviser par revient à ignorer les coefficients qu'on vient d'utiliser.
Ce qu'il ne faut pas écrire
« Il y a boules rouges et bleues, donc la proportion de rouges est . »
Ce qu'il faut écrire
« Il y a boules en tout, donc la proportion de rouges vaut , soit pour cent. »
Pourquoi : Le dénominateur d'une fréquence est l'effectif TOTAL, pas l'effectif de l'autre catégorie. Le contrôle est gratuit : , alors que ne vaut pas .
Ce qu'il ne faut pas écrire
« La dernière barre est trois fois plus haute, donc les ventes ont triplé. »
Ce qu'il faut écrire
« L'axe commence à : les valeurs vont de à , soit une hausse d'environ pour cent, pas un triplement. »
Pourquoi : Un axe tronqué transforme un écart de en un écart visuel de pour cent. C'est le procédé le plus courant des graphiques trompeurs, et l'énoncé le teste exprès.
Ce qu'il ne faut pas écrire
« La série , , , a une étendue de , il y a quatre valeurs. »
Ce qu'il faut écrire
« Étendue plus grande moins plus petite . »
Pourquoi : L'étendue mesure l'écart entre les extrêmes, en unités de la série. Elle s'exprime donc dans la même unité que les valeurs, ce qui exclut un nombre de valeurs.
Ce qu'il ne faut pas écrire
« La catégorie représente pour cent, donc son angle vaut degrés. »
Ce qu'il faut écrire
« Angle degrés : le disque entier vaut degrés, pas . »
Pourquoi : Le pourcentage est une proportion, le degré une unité d'angle. Il faut convertir, et la vérification est immédiate : la somme des angles doit valoir .
Ce qu'il ne faut pas écrire
« Les quatre catégories font , , et pour cent, le tableau est complet. »
Ce qu'il faut écrire
« : il manque pour cent, donc une catégorie ou une donnée a été oubliée. »
Pourquoi : La somme des pourcentages d'une répartition vaut toujours , celle des fréquences , celle des angles degrés. Ces trois contrôles sont gratuits et jamais faits.
Ce qu'il ne faut pas écrire
« Il y a chances sur , donc la probabilité vaut . »
Ce qu'il faut écrire
« La probabilité vaut , ou pour cent. Une probabilité est toujours comprise entre et . »
Pourquoi : Une probabilité est une proportion, pas un décompte. Un résultat supérieur à signale immanquablement qu'on a oublié de diviser.
Ce qu'il ne faut pas écrire
« Les deux classes ont de moyenne, donc elles ont les mêmes résultats. »
Ce qu'il faut écrire
« Même moyenne, mais étendues différentes : à dans l'une, à dans l'autre. La seconde est bien plus dispersée. »
Pourquoi : La moyenne résume le NIVEAU, l'étendue la DISPERSION. Un énoncé qui demande de comparer deux séries attend presque toujours les deux indicateurs, et le mot qui les relie.
On regarde ce que donne l'énoncé à côté des valeurs : rien, des coefficients, des effectifs, ou déjà des moyennes.
Si une simple liste de valeurs → moyenne simple : somme des valeurs divisée par leur nombre
Exemple : , , , donnent
Si chaque valeur porte un COEFFICIENT → moyenne pondérée : somme des produits divisée par la somme des coefficients
Exemple :
écrire la somme des coefficients à part, avant tout autre calcul
Si un tableau valeur contre EFFECTIF → même calcul : les effectifs sont les coefficients, et le dénominateur est l'effectif total
Exemple : trois et cinq donnent
Si l'énoncé donne déjà DEUX moyennes, pour deux groupes → repasser par les totaux : reconstituer chaque somme, les additionner, puis diviser par l'effectif total
Exemple : élèves à et élèves à donnent
faire la moyenne des deux moyennes donnerait , et c'est faux dès que les groupes n'ont pas la même taille
Le dénominateur n'est JAMAIS le nombre de lignes du tableau, sauf dans le cas particulier où tous les coefficients valent .
Le mot de la question décide, et deux mots voisins n'appellent pas le même calcul.
Si « en moyenne », « la note moyenne », « le temps moyen » → une moyenne, simple ou pondérée selon les données
Exemple : « la moyenne du trimestre » avec des coefficients : moyenne pondérée
Si « quel écart », « entre la plus basse et la plus haute », « la dispersion » → l'étendue : maximum moins minimum
Exemple : de à , l'étendue vaut
Si « quelle proportion », « quel pourcentage », « quelle part » → une fréquence : effectif divisé par effectif total, puis multiplié par
Exemple : sur donnent , soit pour cent
Si « au hasard », « quelle est la probabilité », « quelle chance » → une probabilité : cas favorables divisés par cas possibles
Exemple : boules rouges sur donnent
la fréquence décrit ce qui S'EST passé, la probabilité ce qui PEUT arriver ; le calcul se ressemble, la phrase de réponse non
Quand l'énoncé demande de COMPARER deux séries, il attend presque toujours deux indicateurs : la moyenne pour le niveau, l'étendue pour la régularité.
Le correcteur coche des étapes. Les voici dans l'ordre, avec la phrase de conclusion qu'il attend mot pour mot.
Quand l'utiliser : Chaque valeur porte un coefficient, ou le tableau donne des effectifs.
Phrase de conclusion
« La somme des coefficients vaut . La moyenne pondérée vaut . La moyenne du trimestre est donc sur . »
Le piège : Diviser par , le nombre de notes. La ligne « somme des coefficients » écrite en premier rend cette erreur impossible.
Barème : 0,5 point pour la somme des coefficients affichée, 1 point pour le calcul, 0,5 point pour la phrase avec l'unité.
Quand l'utiliser : L'énoncé demande de représenter une répartition par un diagramme circulaire ou semi-circulaire.
Phrase de conclusion
« Pour la catégorie qui compte élèves sur , l'angle vaut degrés. »
Le piège : Calculer les angles sur parce que les données sont données en pourcentages. Un pourcentage doit d'abord redevenir une fraction, puis être multiplié par .
Barème : 1 point pour le tableau des angles, 0,5 point pour la vérification de la somme, 0,5 point pour le tracé au rapporteur.
Cinq minutes de vérification récupèrent plus de points qu'un exercice de plus commencé à la hâte.
La somme fait-elle , ou ?
Additionner toutes les fréquences, tous les pourcentages ou tous les angles. Le total est imposé, et l'écart signale la ligne fausse.
: il manque pour cent, donc une catégorie a été oubliée ou mal calculée.
La moyenne tombe-t-elle entre le minimum et le maximum ?
Repérer la plus petite et la plus grande valeur de la série. Une moyenne hors de cet intervalle est toujours fausse, sans exception.
Avec des notes entre et , une moyenne de annonce une division par le mauvais dénominateur.
L'axe du diagramme part-il de zéro ?
Avant tout commentaire, poser le doigt sur le bas de l'axe vertical et lire la première graduation.
Un axe qui commence à fait paraître trois fois plus grande une valeur qui n'est supérieure que de pour cent.
La probabilité est-elle entre et ?
Comparer le numérateur et le dénominateur : les cas favorables sont toujours moins nombreux que les cas possibles, ou égaux.
est acceptable ; une réponse de ou de ne l'est pas.
Un élève a obtenu les notes suivantes : contrôle 1, sur , coefficient ; contrôle 2, sur , coefficient ; devoir maison, sur , coefficient ; examen, sur , coefficient .
Calculer la moyenne simple des quatre notes, puis la moyenne pondérée, donner l'étendue de la série, et la proportion de notes atteignant .
Étape 1
Moyenne simple : .
Pourquoi
Ici les coefficients sont ignorés volontairement, puisque l'énoncé le demande. C'est la seule situation où diviser par le nombre de notes est correct, et il faut dire qu'on le fait exprès.
Étape 2
Somme des coefficients : .
Pourquoi
Cette ligne s'écrit AVANT le grand calcul. Elle vaut un demi-point à elle seule et elle empêche la division par , qui est l'erreur classique de la question suivante.
Étape 3
Moyenne pondérée : .
Pourquoi
Chaque produit s'écrit en entier avant d'être additionné : c'est là que le correcteur voit que les coefficients ont bien été utilisés, même si l'addition finale se trompe.
Étape 4
Étendue : points. Proportion de notes atteignant : notes sur , soit , c'est-à-dire pour cent.
Pourquoi
Deux indicateurs différents, deux dénominateurs différents : l'étendue se lit sur les valeurs, la proportion se rapporte au nombre de notes. Confondre les deux dénominateurs est le piège de la question.
Étape 5
Vérification : est bien compris entre et , et il dépasse la moyenne simple , ce qui est cohérent puisque le plus gros coefficient porte sur la meilleure note.
Pourquoi
Le contrôle ne se limite pas à l'encadrement : le SENS de l'écart entre les deux moyennes est prévisible, donc vérifiable. Une pondérée plus basse que la simple aurait signalé une erreur.
Conclusion rédigée
« La moyenne simple vaut sur , la moyenne pondérée sur , l'étendue vaut points, et pour cent des notes atteignent . »
L'erreur classique sur cet exercice : Diviser par , le nombre de notes, au lieu de , la somme des coefficients. On obtient , une note supérieure à : le simple encadrement entre et suffit à la rejeter sans refaire le calcul.
Vous multipliez chaque note par son coefficient, vous additionnez tous ces produits, puis vous divisez par la somme des coefficients et non par le nombre de notes. Avec des coefficients un, un et quatre, le dénominateur vaut six. Écrire cette somme en premier évite l'erreur.
La moyenne dit le niveau général de la série, l'étendue dit à quel point les valeurs sont dispersées. Deux classes peuvent avoir douze de moyenne, l'une avec des notes de onze à treize, l'autre de quatre à vingt. Comparer deux séries demande donc presque toujours les deux indicateurs.
Vous divisez l'effectif de la catégorie par l'effectif total, puis vous multipliez par trois cent soixante, parce que le disque entier vaut trois cent soixante degrés. Cinq élèves sur vingt donnent un angle de quatre-vingt-dix degrés. La somme de tous les angles doit retomber sur trois cent soixante.
Quand toutes les issues ont la même chance de se produire, vous divisez le nombre de cas favorables par le nombre de cas possibles. Trois boules rouges dans un sac qui en contient huit donnent trois huitièmes, soit zéro virgule trois cent soixante-quinze. Le résultat est toujours entre zéro et un.
Parce que son axe vertical ne commence pas toujours à zéro. Avec un axe qui démarre à quatre-vingt-dix, des valeurs de quatre-vingt-quinze et cent cinq donnent des barres dont l'une paraît trois fois plus haute que l'autre, alors que l'écart réel n'est que de dix pour cent.
