Cinquième, programme français à Montréal • Exercices corrigés

Fiche de révision : la géométrie (Cinquième)

Q: Quand peut-on dire que deux angles alternes-internes sont égaux ?

Uniquement lorsque les deux droites coupées par la sécante sont parallèles, et que ce parallélisme est donné par l'énoncé ou codé sur la figure. Sans cette hypothèse, la propriété est fausse et la démonstration ne vaut aucun point, même si le nombre trouvé se trouve être le bon.

Q: Dans un triangle isocèle, quels angles sont égaux ?

Ceux de la base, c'est-à-dire les deux angles qui ne sont pas au sommet principal. Dans un triangle isocèle en A, ce sont les angles B et C. Si l'angle A vaut quarante-quatre degrés, les deux autres valent soixante-huit degrés chacun, et non quarante-quatre.

Q: Comment savoir si un triangle existe avec trois longueurs données ?

Vous repérez la plus grande longueur et vous la comparez à la somme des deux autres. Le triangle existe seulement si elle est strictement inférieure à cette somme. Avec trois, quatre et huit, la somme des deux petits vaut sept, donc le triangle est impossible.

Q: Comment reconnaître un losange, un rectangle et un carré ?

Par leurs diagonales. Si elles se coupent en leur milieu, c'est un parallélogramme. Si elles ont en plus la même longueur, c'est un rectangle. Si elles sont en plus perpendiculaires, c'est un losange. Si les trois conditions sont réunies, c'est un carré.

Q: Comment rédiger une démonstration de géométrie en cinquième ?

En trois lignes. La première dit ce qu'on sait, tiré de l'énoncé ou du codage. La deuxième cite la propriété en entier, avec son si et son alors. La troisième conclut. Les deux tiers des points sont dans les deux premières lignes, pas dans le résultat.

Cette fiche de révision couvre la géométrie de la classe de cinquième du programme français : symétrie centrale, angles et parallèles, somme des angles, inégalité triangulaire et quadrilatères particuliers, tels qu'ils sont évalués au Lycée Marie de France, au Collège Stanislas à Montréal et dans tout le réseau AEFE.

Elle ne redit pas le cours, que vous avez déjà : elle dit ce qui fait perdre des points sur ce chapitre, et le geste précis qui évite chaque perte. Le fil est toujours le même : citer la propriété avant de conclure, et vérifier son hypothèse avant de la citer.

Le fil du chapitre

En géométrie, une figure ne prouve rien : c'est la PROPRIÉTÉ citée qui prouve, et chaque propriété a une hypothèse à vérifier avant de servir. Le codage du dessin dit ce qu'on SAIT, jamais ce qu'on voit.

Ce chapitre fait partie de Mathématiques en Cinquième

Avant ce chapitre

Cette fiche suppose ces notions acquises. Si une méthode ci-dessous reste opaque, c'est presque toujours l'une d'elles qui manque, pas la fiche.

Géométrie et grandeursSixième Fiche

Notions couvertes

Symétrie centrale
Angles opposés par le sommet
Angles alternes-internes
Angles correspondants
Somme des angles d'un triangle
Inégalité triangulaire
Parallélogramme
Quadrilatères particuliers
Propriété réciproque
Rédaction d'une démonstration

L'essentiel

Les angles : ce qui est vrai toujours, et ce qui exige le parallélisme

• Deux angles OPPOSÉS PAR LE SOMMET sont égaux, sans aucune condition.
• Deux angles adjacents dont les côtés extérieurs forment une droite sont SUPPLÉMENTAIRES : leur somme vaut $180$ degrés. Complémentaires : somme $90$ degrés.
• Les angles ALTERNES-INTERNES et les angles CORRESPONDANTS sont égaux seulement si les deux droites coupées sont PARALLÈLES.
• La réciproque est vraie et très utile : des alternes-internes égaux PROUVENT que les deux droites sont parallèles.

À gauche les deux droites sont parallèles et les deux angles alternes-internes sont bien égaux ; à droite elles ne le sont pas et les deux angles diffèrent, alors que la configuration a exactement la même allure.

Si le parallélisme n'est ni écrit dans l'énoncé ni codé sur la figure, ces propriétés sont interdites. Les utiliser quand même annule toute la démonstration, même si le nombre trouvé est juste.

Les triangles : sommes et conditions d'existence

• La somme des angles d'un triangle vaut $180$ degrés, celle d'un quadrilatère $360$ degrés.
• Triangle isocèle en $A$ : ce sont les angles à la BASE, $\widehat{B}$ et $\widehat{C}$ , qui sont égaux. Triangle équilatéral : trois angles de $60$ degrés.
• Inégalité triangulaire : le PLUS GRAND côté doit être strictement inférieur à la somme des deux autres.
• En cas d'égalité, les trois points sont ALIGNÉS : il n'y a pas de triangle, et c'est une réponse à part entière.

À gauche, les arcs de rayons

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tracés depuis les extrémités du côté de

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ne se rencontrent jamais ; à droite, sur un côté de

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, ils se croisent et le triangle existe.

Pour tester l'existence d'un triangle, une seule comparaison suffit, mais c'est celle qui porte sur le plus grand côté. Tester $3+8>4$ ne prouve rien.

Les quadrilatères se reconnaissent à leurs diagonales

• PARALLÉLOGRAMME : diagonales de même MILIEU. Il a aussi ses côtés opposés parallèles et de même longueur, ses angles opposés égaux, et un centre de symétrie.
• RECTANGLE : diagonales de même milieu ET de même longueur.
• LOSANGE : diagonales de même milieu ET perpendiculaires.
• CARRÉ : les trois conditions à la fois.

« Se couper » et « se couper en leur milieu » sont deux choses différentes : deux diagonales quelconques se coupent toujours. Le mot MILIEU est le mot qui rapporte le point.

Les pièges qui coûtent des points

Les erreurs ci-dessous sont celles que je corrige le plus souvent en séance. Chacune coûte des points sur une copie, même quand le raisonnement est juste.

1. Utiliser les angles alternes-internes sans avoir le parallélisme

toute la démonstration, même quand le nombre trouvé est juste

Ce qu'il ne faut pas écrire

« Les angles alternes-internes sont égaux, donc $\widehat{x}=52$ degrés. »

Ce qu'il faut écrire

« Les droites $(d)$ et $(d')$ sont parallèles, donc les angles alternes-internes sont égaux et $\widehat{x}=52$ degrés. »

Pourquoi : La propriété commence par « SI deux droites parallèles ». Sans cette hypothèse, elle est fausse : c'est exactement ce que montre le panneau de droite de la figure.

2. Mesurer sur la figure au lieu de démontrer

toute la question, quel que soit le soin du dessin

Ce qu'il ne faut pas écrire

« Avec mon rapporteur l'angle fait $90$ degrés, donc les droites sont perpendiculaires. »

Ce qu'il faut écrire

« Les diagonales du losange $ABCD$ sont perpendiculaires, car les diagonales d'un losange sont perpendiculaires. »

Pourquoi : Une figure est faite à main levée ou à une échelle qui ment ; elle sert à voir, pas à prouver. Le correcteur cherche une propriété nommée, pas une mesure.

3. Tester l'inégalité triangulaire sur les deux mauvais côtés

toute la question, et la construction demandée ensuite

Ce qu'il ne faut pas écrire

« Côtés $3$ , $4$ et $8$ : comme $3+8>4$ , le triangle existe. »

Ce qu'il faut écrire

« On compare le PLUS GRAND côté à la somme des deux autres : $3+4=7$ et $7<8$ , donc ce triangle n'existe pas. »

Pourquoi : L'inégalité est vraie pour deux des trois comparaisons dès que les longueurs sont différentes. Seule celle qui porte sur le plus grand côté peut échouer, donc c'est la seule à tester.

4. Se tromper d'angles égaux dans un triangle isocèle

toute la question de calcul d'angles, souvent $3$ points

Ce qu'il ne faut pas écrire

« Le triangle est isocèle en $A$ , donc $\widehat{A}=\widehat{B}$ . »

Ce qu'il faut écrire

« Isocèle en $A$ : ce sont les angles à la BASE, $\widehat{B}$ et $\widehat{C}$ , qui sont égaux. »

Pourquoi : Le sommet principal est celui où se rejoignent les deux côtés de même longueur ; les angles égaux sont ceux d'EN FACE. Avec $\widehat{A}=44$ degrés, la bonne réponse est $68$ et $68$ , la mauvaise $44$ et $92$ .

5. Appliquer $180$ degrés à un quadrilatère

toute la question, et un angle négatif aurait dû alerter

Ce qu'il ne faut pas écrire

« Les trois angles connus font $215$ degrés, donc le quatrième vaut $180-215=-35$ degrés. »

Ce qu'il faut écrire

« La somme des angles d'un quadrilatère vaut $360$ degrés, donc le quatrième angle vaut $360-215=145$ degrés. »

Pourquoi : Un quadrilatère se coupe en DEUX triangles par une diagonale, d'où $2\times 180=360$ degrés. Un angle négatif ou nul est impossible dans une figure : c'est un signal gratuit.

6. Confondre « se couper » et « se couper en leur milieu »

toute la démonstration, car l'hypothèse citée n'est pas la bonne

Ce qu'il ne faut pas écrire

« Les diagonales de $ABCD$ se coupent, donc $ABCD$ est un parallélogramme. »

Ce qu'il faut écrire

« $O$ est le milieu de $[AC]$ ET le milieu de $[BD]$ , donc $ABCD$ est un parallélogramme. »

Pourquoi : Les diagonales de n'importe quel quadrilatère convexe se coupent : cette information ne distingue rien. C'est le mot MILIEU qui porte toute la propriété.

7. Attribuer au rectangle la propriété du losange

2 points, et la nature de la figure est fausse pour toute la suite

Ce qu'il ne faut pas écrire

« Les diagonales sont perpendiculaires, donc c'est un rectangle. »

Ce qu'il faut écrire

« Diagonales perpendiculaires et de même milieu : c'est un LOSANGE. De même longueur et de même milieu : un rectangle. Les trois : un carré. »

Pourquoi : Les deux propriétés se ressemblent et se confondent d'autant plus qu'elles portent sur le même objet. Le repère : le losange a quatre côtés ÉGAUX, donc des diagonales qui se croisent à angle droit.

8. Traiter la symétrie centrale comme une symétrie axiale

toute la construction, et la figure obtenue est retournée

Ce qu'il ne faut pas écrire

« Le symétrique de $M$ par rapport à $O$ est de l'autre côté, comme dans un miroir. »

Ce qu'il faut écrire

« $O$ est le MILIEU de $[MM']$ : la symétrie centrale est un demi-tour autour de $O$ , et l'image d'une droite lui est PARALLÈLE. »

O

est le milieu de chacun des trois segments en pointillés : le triangle image est retourné d'un demi-tour, et chaque côté reste PARALLÈLE à son côté d'origine.

Pourquoi : La symétrie axiale retourne la figure comme un miroir, la symétrie centrale la fait pivoter d'un demi-tour. Le test qui tranche : l'image d'une droite est parallèle à cette droite, ce qui est faux pour un miroir.

Quelle méthode choisir

Quelle propriété d'angles utiliser ?

On regarde la configuration du dessin, puis on vérifie que l'hypothèse dont la propriété a besoin est bien donnée.

Si deux droites sécantes, et deux angles qui se font face au point d'intersection → angles opposés par le sommet, ÉGAUX, sans aucune condition

Exemple : un angle de $52$ degrés donne son opposé de $52$ degrés
Si deux angles adjacents dont les côtés extérieurs forment une droite → angles supplémentaires : leur somme vaut $180$ degrés

Exemple : à côté d'un angle de $52$ degrés, l'angle adjacent vaut $128$ degrés
Si deux droites PARALLÈLES coupées par une sécante, angles de part et d'autre de la sécante et entre les deux droites → angles alternes-internes, égaux

Exemple : $52$ degrés en bas donnent $52$ degrés en haut

sans le parallélisme, cette branche est interdite
Si mêmes parallèles, mais les deux angles du même côté de la sécante, l'un au-dessus l'autre au-dessous → angles correspondants, égaux

Exemple : $52$ degrés en bas à droite donnent $52$ degrés en haut à droite

Les deux dernières propriétés se lisent aussi à L'ENVERS : des alternes-internes égaux prouvent le parallélisme. C'est le seul outil de cinquième pour démontrer que deux droites sont parallèles.

Quel quadrilatère, à partir de quelle donnée ?

On regarde ce que l'énoncé donne : des DIAGONALES ou des CÔTÉS. Les deux chemins existent, mais on ne les mélange pas.

Si les diagonales ont le même milieu → parallélogramme

Exemple : $O$ milieu de $[AC]$ et de $[BD]$
Si même milieu ET même longueur → rectangle

Exemple : $AC=BD$ et $O$ milieu commun
Si même milieu ET perpendiculaires → losange

Exemple : $(AC)\perp(BD)$ et $O$ milieu commun

les trois conditions réunies donnent le carré
Si l'énoncé parle des CÔTÉS : opposés parallèles, ou opposés de même longueur → parallélogramme, par une autre propriété

Exemple : $AB=CD$ et $AD=BC$

On cite toujours la propriété AVANT de conclure, et on précise laquelle des conditions on utilise : « les diagonales se coupent en leur milieu » n'est pas « les diagonales se coupent ».

La rédaction attendue

Le correcteur coche des étapes. Les voici dans l'ordre, avec la phrase de conclusion qu'il attend mot pour mot.

La démonstration en trois lignes : on sait, or, donc

Quand l'utiliser : L'énoncé dit « montrer que », « démontrer que », « justifier que ». C'est le squelette de TOUTE démonstration du collège.

1 Écrire ce qu'on SAIT, en citant l'énoncé ou le codage de la figure : « On sait que les droites $(d)$ et $(d')$ sont parallèles. »
2 Citer la PROPRIÉTÉ en entier, avec son « si » et son « alors » : « Or, si deux droites parallèles sont coupées par une sécante, alors les angles alternes-internes sont égaux. »
3 Appliquer et conclure : « Donc $\widehat{x}=52$ degrés. »
4 Relire la propriété citée et vérifier que son hypothèse figure bien dans la première ligne.

Phrase de conclusion

« On sait que... Or, si... alors... Donc... »

Le piège : Sauter la ligne du milieu et passer directement de la donnée à la conclusion. C'est précisément la ligne qui vaut le plus de points, parce que c'est la seule qui démontre.

Barème : 1 point pour la donnée, 1 point pour la propriété citée en entier, 1 point pour la conclusion : les deux tiers des points se trouvent AVANT le résultat.

Prouver qu'un quadrilatère est un parallélogramme

Quand l'utiliser : L'énoncé donne un quadrilatère et demande sa nature, ou de montrer que c'est un parallélogramme.

1 Nommer le point d'intersection des diagonales, s'il ne l'est pas déjà : « Soit $O$ le point d'intersection de $[AC]$ et $[BD]$ . »
2 Établir que $O$ est le milieu de la PREMIÈRE diagonale, en disant pourquoi.
3 Établir que $O$ est aussi le milieu de la SECONDE.
4 Citer la propriété réciproque, puis conclure.

Phrase de conclusion

« $O$ est le milieu de $[AC]$ et le milieu de $[BD]$ . Or, si les diagonales d'un quadrilatère se coupent en leur milieu, alors ce quadrilatère est un parallélogramme. Donc $ABCD$ est un parallélogramme. »

Le piège : Écrire que les diagonales « se coupent », sans le mot MILIEU. L'affirmation devient vraie de tout quadrilatère et ne démontre plus rien.

Barème : 0,5 point par milieu établi, 1 point pour la propriété citée, 0,5 point pour la conclusion nommant la figure.

Vérifier avant de rendre

Cinq minutes de vérification récupèrent plus de points qu'un exercice de plus commencé à la hâte.

La somme retombe-t-elle sur $180$ ou sur $360$ ?

Additionner tous les angles trouvés dans la figure. Un triangle doit rendre $180$ degrés, un quadrilatère $360$ .

$44+68+68=180$ : les deux angles à la base sont confirmés. Avec $44+44+92$ on retombe aussi sur $180$ , donc il faut en plus vérifier QUELS angles sont égaux.
Le plus grand côté est-il inférieur à la somme des deux autres ?

Repérer d'abord la plus grande longueur, puis la comparer à la somme des deux autres. Une seule comparaison, mais la bonne.

Avec $3$ , $4$ et $8$ : $3+4=7<8$ , donc pas de triangle, quel que soit le résultat des deux autres comparaisons.
L'hypothèse de la propriété est-elle vraiment donnée ?

Relire la propriété citée et souligner son « si ». Chercher cette hypothèse dans l'énoncé ou dans le codage de la figure, littéralement.

« Si deux droites PARALLÈLES... » : si le mot parallèle n'apparaît nulle part, la propriété n'est pas utilisable.
Le dessin confirme-t-il l'ordre de grandeur ?

Comparer le résultat au dessin, non pour prouver mais pour détecter l'absurde : un angle trouvé à $130$ degrés doit être visiblement obtus.

Un angle négatif, un angle de $0$ degré ou un angle aigu annoncé à $150$ degrés signalent une erreur, sans qu'il soit besoin de refaire le calcul.

L'exercice type décortiqué

Un calcul d'angles en cascade, entièrement rédigé

$ABC$ est un triangle isocèle en $A$ tel que $\widehat{A}=44$ degrés. La droite $(d)$ passe par $C$ et est parallèle à la droite $(AB)$ .

Calculer $\widehat{B}$ et $\widehat{C}$ , puis l'angle formé par la droite $(d)$ et la droite $(BC)$ , en rédigeant chaque étape.

Étape 1

Le triangle $ABC$ est isocèle en $A$ , donc les angles à la base sont égaux : $\widehat{B}=\widehat{C}$ .

Pourquoi

On commence par traduire l'hypothèse en une égalité d'angles, et on nomme lesquels. C'est ici que se joue le piège du chapitre : le sommet principal $A$ n'entre pas dans l'égalité.

Étape 2

La somme des angles du triangle vaut $180$ degrés, donc $\widehat{B}+\widehat{C}=180-44=136$ degrés.

Pourquoi

On isole la somme des deux angles inconnus avant de les séparer. Cette ligne intermédiaire est notée, et elle évite de diviser $180$ par $2$ , qui est l'autre erreur classique.

Étape 3

Comme ces deux angles sont égaux, $\widehat{B}=\widehat{C}=\frac{136}{2}=68$ degrés.

Pourquoi

La division par $2$ n'est légitime QUE grâce à l'égalité établie à la première étape. Le mot « comme » relie les deux, et c'est ce mot que le correcteur cherche.

Étape 4

On sait que $(d)$ et $(AB)$ sont parallèles, et qu'elles sont coupées par la sécante $(BC)$ . Or, si deux droites parallèles sont coupées par une sécante, alors les angles alternes-internes sont égaux. Donc l'angle entre $(d)$ et $(BC)$ vaut $\widehat{B}=68$ degrés.

Pourquoi

La rédaction complète « on sait, or, donc » apparaît ici en entier : c'est le modèle à recopier. L'hypothèse de parallélisme est écrite avant la propriété, pas après.

Étape 5

Vérification : $44+68+68=180$ degrés, et $68$ degrés est bien un angle aigu, cohérent avec la figure.

Pourquoi

Deux contrôles en une ligne : la somme referme le triangle, et l'ordre de grandeur écarte l'erreur du triangle isocèle mal lu, qui aurait donné $92$ degrés, un angle obtus.

Conclusion rédigée

« $\widehat{B}=\widehat{C}=68$ degrés, et l'angle formé par $(d)$ et $(BC)$ vaut lui aussi $68$ degrés. »

L'erreur classique sur cet exercice : Écrire $\widehat{A}=\widehat{B}$ parce que le triangle est isocèle en $A$ . On obtiendrait $\widehat{C}=180-44-44=92$ degrés : la somme retombe bien sur $180$ , donc la vérification par la somme ne suffit pas, il faut aussi vérifier QUELS angles sont égaux.

À savoir par cœur

• Opposés par le sommet : toujours égaux. Alternes-internes et correspondants : égaux SEULEMENT entre parallèles.
• Somme des angles : $180$ degrés dans un triangle, $360$ degrés dans un quadrilatère.
• Isocèle en $A$ : ce sont $\widehat{B}$ et $\widehat{C}$ , les angles à la BASE, qui sont égaux.
• Inégalité triangulaire : le PLUS GRAND côté doit être strictement inférieur à la somme des deux autres.
• Parallélogramme : diagonales de même MILIEU. Rectangle : en plus, même longueur. Losange : en plus, perpendiculaires. Carré : les trois.
• Symétrie centrale de centre $O$ : $O$ est le milieu de $[MM']$ , et l'image d'une droite lui est PARALLÈLE.
• Une figure ne prouve rien : « On sait que... Or, si... alors... Donc... ».

Questions fréquentes

Quand peut-on dire que deux angles alternes-internes sont égaux ?

Uniquement lorsque les deux droites coupées par la sécante sont parallèles, et que ce parallélisme est donné par l'énoncé ou codé sur la figure. Sans cette hypothèse, la propriété est fausse et la démonstration ne vaut aucun point, même si le nombre trouvé se trouve être le bon.

Dans un triangle isocèle, quels angles sont égaux ?

Ceux de la base, c'est-à-dire les deux angles qui ne sont pas au sommet principal. Dans un triangle isocèle en A, ce sont les angles B et C. Si l'angle A vaut quarante-quatre degrés, les deux autres valent soixante-huit degrés chacun, et non quarante-quatre.

Comment savoir si un triangle existe avec trois longueurs données ?

Vous repérez la plus grande longueur et vous la comparez à la somme des deux autres. Le triangle existe seulement si elle est strictement inférieure à cette somme. Avec trois, quatre et huit, la somme des deux petits vaut sept, donc le triangle est impossible.

Comment reconnaître un losange, un rectangle et un carré ?

Par leurs diagonales. Si elles se coupent en leur milieu, c'est un parallélogramme. Si elles ont en plus la même longueur, c'est un rectangle. Si elles sont en plus perpendiculaires, c'est un losange. Si les trois conditions sont réunies, c'est un carré.

Comment rédiger une démonstration de géométrie en cinquième ?

En trois lignes. La première dit ce qu'on sait, tiré de l'énoncé ou du codage. La deuxième cite la propriété en entier, avec son si et son alors. La troisième conclut. Les deux tiers des points sont dans les deux premières lignes, pas dans le résultat.

Passer à la pratique

Exercices corrigés : Géométrie de Cinquième

Une méthode se prouve sur une copie, pas sur une fiche. La série du même chapitre reprend chacun de ces pièges dans un exercice, avec le corrigé rédigé étape par étape.

15 exercices corrigés
150 points
195 minutes

Faire les exercices

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Pythagore et cosinusQuatrième Translations, symétries et rotationsQuatrième Thalès et les agrandissementsQuatrième

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Fiche de révision : la géométrie (Cinquième)

L'essentiel

Les angles : ce qui est vrai toujours, et ce qui exige le parallélisme

Les triangles : sommes et conditions d'existence

Les quadrilatères se reconnaissent à leurs diagonales

Les pièges qui coûtent des points

1. Utiliser les angles alternes-internes sans avoir le parallélisme

2. Mesurer sur la figure au lieu de démontrer

3. Tester l'inégalité triangulaire sur les deux mauvais côtés

4. Se tromper d'angles égaux dans un triangle isocèle

5. Appliquer 180180180 degrés à un quadrilatère

6. Confondre « se couper » et « se couper en leur milieu »

7. Attribuer au rectangle la propriété du losange

8. Traiter la symétrie centrale comme une symétrie axiale

Quelle méthode choisir

Quelle propriété d'angles utiliser ?

Quel quadrilatère, à partir de quelle donnée ?

La rédaction attendue

La démonstration en trois lignes : on sait, or, donc

Prouver qu'un quadrilatère est un parallélogramme

Vérifier avant de rendre

L'exercice type décortiqué

Un calcul d'angles en cascade, entièrement rédigé

À savoir par cœur

Questions fréquentes

Quand peut-on dire que deux angles alternes-internes sont égaux ?

Dans un triangle isocèle, quels angles sont égaux ?

Comment savoir si un triangle existe avec trois longueurs données ?

Comment reconnaître un losange, un rectangle et un carré ?

Comment rédiger une démonstration de géométrie en cinquième ?

Exercices corrigés : Géométrie de Cinquième

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5. Appliquer $180$ degrés à un quadrilatère