Cinquième, programme français à Montréal • Fiche de révision
Fiche de révision : la géométrie (Cinquième)
Cette fiche de révision fait la synthèse de la géométrie de la classe de cinquième du programme français : symétrie centrale, angles et parallèles, somme des angles et quadrilatères particuliers, tels qu'ils sont évalués dans tout le réseau AEFE. Les angles et les triangles ont aussi chacun leur fiche : angles et parallélisme et les triangles. Au-delà du programme de Cinquième de 2026 : l'inégalité triangulaire, gardée ici comme entraînement.
Elle ne redit pas le cours, que vous avez déjà : elle dit ce qui fait perdre des points sur ce chapitre, et le geste précis qui évite chaque perte. Le fil est toujours le même : citer la propriété avant de conclure, et vérifier son hypothèse avant de la citer.
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Le fil du chapitre
En géométrie, une figure ne prouve rien : c'est la PROPRIÉTÉ citée qui prouve, et chaque propriété a une hypothèse à vérifier avant de servir. Le codage du dessin dit ce qu'on SAIT, jamais ce qu'on voit.
Les angles : ce qui est vrai toujours, et ce qui exige le parallélisme
•Deux angles OPPOSÉS PAR LE SOMMET sont égaux, sans aucune condition.
•Deux angles adjacents dont les côtés extérieurs forment une droite sont SUPPLÉMENTAIRES : leur somme vaut 180 degrés. Complémentaires : somme 90 degrés.
•Les angles ALTERNES-INTERNES et les angles CORRESPONDANTS sont égaux seulement si les deux droites coupées sont PARALLÈLES.
•La réciproque est vraie et très utile : des alternes-internes égaux PROUVENT que les deux droites sont parallèles.
À gauche les deux droites sont parallèles et les deux angles alternes-internes sont bien égaux ; à droite elles ne le sont pas et les deux angles diffèrent, alors que la configuration a exactement la même allure.
Si le parallélisme n'est ni écrit dans l'énoncé ni codé sur la figure, ces propriétés sont interdites. Les utiliser quand même annule toute la démonstration, même si le nombre trouvé est juste.
Les triangles : sommes et conditions d'existence
•La somme des angles d'un triangle vaut 180 degrés, celle d'un quadrilatère 360 degrés.
•Triangle isocèle en A : ce sont les angles à la BASE, B et C, qui sont égaux. Triangle équilatéral : trois angles de 60 degrés.
•Inégalité triangulaire : le PLUS GRAND côté doit être strictement inférieur à la somme des deux autres.
•En cas d'égalité, les trois points sont ALIGNÉS : il n'y a pas de triangle, et c'est une réponse à part entière.
À gauche, les arcs de rayons 3 et 4 tracés depuis les extrémités du côté de 8 ne se rencontrent jamais ; à droite, sur un côté de 6, ils se croisent et le triangle existe.
Pour tester l'existence d'un triangle, une seule comparaison suffit, mais c'est celle qui porte sur le plus grand côté. Tester 3+8>4 ne prouve rien.
Les quadrilatères se reconnaissent à leurs diagonales
•PARALLÉLOGRAMME : diagonales de même MILIEU. Il a aussi ses côtés opposés parallèles et de même longueur, ses angles opposés égaux, et un centre de symétrie.
•RECTANGLE : diagonales de même milieu ET de même longueur.
•LOSANGE : diagonales de même milieu ET perpendiculaires.
•CARRÉ : les trois conditions à la fois.
Mêmes codages sur les deux moitiés d'une diagonale : même milieu. Le rectangle ajoute la même longueur, le losange l'angle droit, le carré les deux.
« Se couper » et « se couper en leur milieu » sont deux choses différentes : deux diagonales quelconques se coupent toujours. Le mot MILIEU est le mot qui rapporte le point.
Les pièges qui coûtent des points
Les erreurs ci-dessous sont celles que je corrige le plus souvent en séance. Chacune coûte des points sur une copie, même quand le raisonnement est juste.
1.Utiliser les angles alternes-internes sans avoir le parallélisme
toute la démonstration, même quand le nombre trouvé est juste
Ce qu'il ne faut pas écrire
« Les angles alternes-internes sont égaux, donc x=52 degrés. »
Ce qu'il faut écrire
« Les droites (d) et (d′) sont parallèles, donc les angles alternes-internes sont égaux et x=52 degrés. »
Pourquoi : La propriété commence par « SI deux droites parallèles ». Sans cette hypothèse, elle est fausse : c'est exactement ce que montre le panneau de droite de la figure.
2.Mesurer sur la figure au lieu de démontrer
toute la question, quel que soit le soin du dessin
Ce qu'il ne faut pas écrire
« Avec mon rapporteur l'angle fait 90 degrés, donc les droites sont perpendiculaires. »
Ce qu'il faut écrire
« Les diagonales du losange ABCD sont perpendiculaires, car les diagonales d'un losange sont perpendiculaires. »
Pourquoi : Une figure est faite à main levée ou à une échelle qui ment ; elle sert à voir, pas à prouver. Le correcteur cherche une propriété nommée, pas une mesure.
3.Tester l'inégalité triangulaire sur les deux mauvais côtés
toute la question, et la construction demandée ensuite
Ce qu'il ne faut pas écrire
« Côtés 3, 4 et 8 : comme 3+8>4, le triangle existe. »
Ce qu'il faut écrire
« On compare le PLUS GRAND côté à la somme des deux autres : 3+4=7 et 7<8, donc ce triangle n'existe pas. »
Pourquoi : L'inégalité est vraie pour deux des trois comparaisons dès que les longueurs sont différentes. Seule celle qui porte sur le plus grand côté peut échouer, donc c'est la seule à tester.
4.Se tromper d'angles égaux dans un triangle isocèle
toute la question de calcul d'angles, souvent 3 points
Ce qu'il ne faut pas écrire
« Le triangle est isocèle en A, donc A=B. »
Ce qu'il faut écrire
« Isocèle en A : ce sont les angles à la BASE, B et C, qui sont égaux. »
Isocèle en A (deux côtés codés égaux) : les angles égaux sont ceux de la base, en B et en C (vert). L'angle en A (rouge) est à part.
Pourquoi : Le sommet principal est celui où se rejoignent les deux côtés de même longueur ; les angles égaux sont ceux d'EN FACE. Avec A=44 degrés, la bonne réponse est 68 et 68, la mauvaise 44 et 92.
5.Appliquer 180 degrés à un quadrilatère
toute la question, et un angle négatif aurait dû alerter
Ce qu'il ne faut pas écrire
« Les trois angles connus font 215 degrés, donc le quatrième vaut 180−215=−35 degrés. »
Ce qu'il faut écrire
« La somme des angles d'un quadrilatère vaut 360 degrés, donc le quatrième angle vaut 360−215=145 degrés. »
Une diagonale coupe le quadrilatère en deux triangles : la somme de ses angles vaut 180+180=360 degrés, jamais 180.
Pourquoi : Un quadrilatère se coupe en DEUX triangles par une diagonale, d'où 2×180=360 degrés. Un angle négatif ou nul est impossible dans une figure : c'est un signal gratuit.
6.Confondre « se couper » et « se couper en leur milieu »
toute la démonstration, car l'hypothèse citée n'est pas la bonne
Ce qu'il ne faut pas écrire
« Les diagonales de ABCD se coupent, donc ABCD est un parallélogramme. »
Ce qu'il faut écrire
« O est le milieu de [AC] ET le milieu de [BD], donc ABCD est un parallélogramme. »
À gauche, les diagonales se coupent, mais pas en leur milieu : la figure n'a rien de particulier. À droite, le même milieu (codages) fait le parallélogramme.
Pourquoi : Les diagonales de n'importe quel quadrilatère convexe se coupent : cette information ne distingue rien. C'est le mot MILIEU qui porte toute la propriété.
7.Attribuer au rectangle la propriété du losange
2 points, et la nature de la figure est fausse pour toute la suite
Ce qu'il ne faut pas écrire
« Les diagonales sont perpendiculaires, donc c'est un rectangle. »
Ce qu'il faut écrire
« Diagonales perpendiculaires et de même milieu : c'est un LOSANGE. De même longueur et de même milieu : un rectangle. Les trois : un carré. »
Pourquoi : Les deux propriétés se ressemblent et se confondent d'autant plus qu'elles portent sur le même objet. Le repère : le losange a quatre côtés ÉGAUX, donc des diagonales qui se croisent à angle droit.
8.Traiter la symétrie centrale comme une symétrie axiale
toute la construction, et la figure obtenue est retournée
Ce qu'il ne faut pas écrire
« Le symétrique de M par rapport à O est de l'autre côté, comme dans un miroir. »
Ce qu'il faut écrire
« O est le MILIEU de [MM′] : la symétrie centrale est un demi-tour autour de O, et l'image d'une droite lui est PARALLÈLE. »
O est le milieu de chacun des trois segments en pointillés : le triangle image est retourné d'un demi-tour, et chaque côté reste PARALLÈLE à son côté d'origine.
Pourquoi : La symétrie axiale retourne la figure comme un miroir, la symétrie centrale la fait pivoter d'un demi-tour. Le test qui tranche : l'image d'une droite est parallèle à cette droite, ce qui est faux pour un miroir.
Quelle méthode choisir
Quelle propriété d'angles utiliser ?
On regarde la configuration du dessin, puis on vérifie que l'hypothèse dont la propriété a besoin est bien donnée.
Les trois configurations : des angles opposés égaux sans condition, des adjacents qui font 180 degrés, des alternes-internes égaux SEULEMENT entre deux parallèles.
Si deux droites sécantes, et deux angles qui se font face au point d'intersection → angles opposés par le sommet, ÉGAUX, sans aucune condition
Exemple : un angle de 52 degrés donne son opposé de 52 degrés
Si deux angles adjacents dont les côtés extérieurs forment une droite → angles supplémentaires : leur somme vaut 180 degrés
Exemple : à côté d'un angle de 52 degrés, l'angle adjacent vaut 128 degrés
Si deux droites PARALLÈLES coupées par une sécante, angles de part et d'autre de la sécante et entre les deux droites → angles alternes-internes, égaux
Exemple : 52 degrés en bas donnent 52 degrés en haut
sans le parallélisme, cette branche est interdite
Si mêmes parallèles, mais les deux angles du même côté de la sécante, l'un au-dessus l'autre au-dessous → angles correspondants, égaux
Exemple : 52 degrés en bas à droite donnent 52 degrés en haut à droite
Les deux dernières propriétés se lisent aussi à L'ENVERS : des alternes-internes égaux prouvent le parallélisme. C'est le seul outil de cinquième pour démontrer que deux droites sont parallèles.
Quel quadrilatère, à partir de quelle donnée ?
On regarde ce que l'énoncé donne : des DIAGONALES ou des CÔTÉS. Les deux chemins existent, mais on ne les mélange pas.
Si les diagonales ont le même milieu → parallélogramme
Exemple : O milieu de [AC] et de [BD]
Si même milieu ET même longueur → rectangle
Exemple : AC=BD et O milieu commun
Si même milieu ET perpendiculaires → losange
Exemple : (AC)⊥(BD) et O milieu commun
les trois conditions réunies donnent le carré
Si l'énoncé parle des CÔTÉS : opposés parallèles, ou opposés de même longueur → parallélogramme, par une autre propriété
Exemple : AB=CD et AD=BC
On cite toujours la propriété AVANT de conclure, et on précise laquelle des conditions on utilise : « les diagonales se coupent en leur milieu » n'est pas « les diagonales se coupent ».
La rédaction attendue
Le correcteur coche des étapes. Les voici dans l'ordre, avec la phrase de conclusion qu'il attend mot pour mot.
La démonstration en trois lignes : on sait, or, donc
Quand l'utiliser : L'énoncé dit « montrer que », « démontrer que », « justifier que ». C'est le squelette de TOUTE démonstration du collège.
1Écrire ce qu'on SAIT, en citant l'énoncé ou le codage de la figure : « On sait que les droites (d) et (d′) sont parallèles. »
2Citer la PROPRIÉTÉ en entier, avec son « si » et son « alors » : « Or, si deux droites parallèles sont coupées par une sécante, alors les angles alternes-internes sont égaux. »
3Appliquer et conclure : « Donc x=52 degrés. »
4Relire la propriété citée et vérifier que son hypothèse figure bien dans la première ligne.
Phrase de conclusion
« On sait que... Or, si... alors... Donc... »
Le piège : Sauter la ligne du milieu et passer directement de la donnée à la conclusion. C'est précisément la ligne qui vaut le plus de points, parce que c'est la seule qui démontre.
Barème : 1 point pour la donnée, 1 point pour la propriété citée en entier, 1 point pour la conclusion : les deux tiers des points se trouvent AVANT le résultat.
Prouver qu'un quadrilatère est un parallélogramme
Quand l'utiliser : L'énoncé donne un quadrilatère et demande sa nature, ou de montrer que c'est un parallélogramme.
1Nommer le point d'intersection des diagonales, s'il ne l'est pas déjà : « Soit O le point d'intersection de [AC] et [BD]. »
2Établir que O est le milieu de la PREMIÈRE diagonale, en disant pourquoi.
3Établir que O est aussi le milieu de la SECONDE.
4Citer la propriété réciproque, puis conclure.
Phrase de conclusion
« O est le milieu de [AC] et le milieu de [BD]. Or, si les diagonales d'un quadrilatère se coupent en leur milieu, alors ce quadrilatère est un parallélogramme. Donc ABCD est un parallélogramme. »
Le piège : Écrire que les diagonales « se coupent », sans le mot MILIEU. L'affirmation devient vraie de tout quadrilatère et ne démontre plus rien.
Barème : 0,5 point par milieu établi, 1 point pour la propriété citée, 0,5 point pour la conclusion nommant la figure.
Vérifier avant de rendre
Cinq minutes de vérification récupèrent plus de points qu'un exercice de plus commencé à la hâte.
La somme retombe-t-elle sur 180 ou sur 360 ?
Additionner tous les angles trouvés dans la figure. Un triangle doit rendre 180 degrés, un quadrilatère 360.
44+68+68=180 : les deux angles à la base sont confirmés. Avec 44+44+92 on retombe aussi sur 180, donc il faut en plus vérifier QUELS angles sont égaux.
Le plus grand côté est-il inférieur à la somme des deux autres ?
Repérer d'abord la plus grande longueur, puis la comparer à la somme des deux autres. Une seule comparaison, mais la bonne.
Avec 3, 4 et 8 : 3+4=7<8, donc pas de triangle, quel que soit le résultat des deux autres comparaisons.
L'hypothèse de la propriété est-elle vraiment donnée ?
Relire la propriété citée et souligner son « si ». Chercher cette hypothèse dans l'énoncé ou dans le codage de la figure, littéralement.
« Si deux droites PARALLÈLES... » : si le mot parallèle n'apparaît nulle part, la propriété n'est pas utilisable.
Le dessin confirme-t-il l'ordre de grandeur ?
Comparer le résultat au dessin, non pour prouver mais pour détecter l'absurde : un angle trouvé à 130 degrés doit être visiblement obtus.
Un angle négatif, un angle de 0 degré ou un angle aigu annoncé à 150 degrés signalent une erreur, sans qu'il soit besoin de refaire le calcul.
L'exercice type décortiqué
Un calcul d'angles en cascade, entièrement rédigé
ABC est un triangle isocèle en A tel que A=44 degrés. La droite (d) passe par C et est parallèle à la droite (AB).
Calculer B et C, puis l'angle formé par la droite (d) et la droite (BC), en rédigeant chaque étape.
La configuration de l'énoncé : AB=AC (codage), l'angle en A, et la droite (d) parallèle à (AB) par C. Les angles à calculer ne sont pas marqués.
Étape 1
Le triangle ABC est isocèle en A, donc les angles à la base sont égaux : B=C.
Pourquoi
On commence par traduire l'hypothèse en une égalité d'angles, et on nomme lesquels. C'est ici que se joue le piège du chapitre : le sommet principal A n'entre pas dans l'égalité.
Étape 2
La somme des angles du triangle vaut 180 degrés, donc B+C=180−44=136 degrés.
Pourquoi
On isole la somme des deux angles inconnus avant de les séparer. Cette ligne intermédiaire est notée, et elle évite de diviser 180 par 2, qui est l'autre erreur classique.
Étape 3
Comme ces deux angles sont égaux, B=C=2136=68 degrés.
Pourquoi
La division par 2 n'est légitime QUE grâce à l'égalité établie à la première étape. Le mot « comme » relie les deux, et c'est ce mot que le correcteur cherche.
Étape 4
On sait que (d) et (AB) sont parallèles, et qu'elles sont coupées par la sécante (BC). Or, si deux droites parallèles sont coupées par une sécante, alors les angles alternes-internes sont égaux. Donc l'angle entre (d) et (BC) vaut B=68 degrés.
Pourquoi
La rédaction complète « on sait, or, donc » apparaît ici en entier : c'est le modèle à recopier. L'hypothèse de parallélisme est écrite avant la propriété, pas après.
Étape 5
Vérification : 44+68+68=180 degrés, et 68 degrés est bien un angle aigu, cohérent avec la figure.
Pourquoi
Deux contrôles en une ligne : la somme referme le triangle, et l'ordre de grandeur écarte l'erreur du triangle isocèle mal lu, qui aurait donné 92 degrés, un angle obtus.
Conclusion rédigée
« B=C=68 degrés, et l'angle formé par (d) et (BC) vaut lui aussi 68 degrés. »
L'erreur classique sur cet exercice : Écrire A=B parce que le triangle est isocèle en A. On obtiendrait C=180−44−44=92 degrés : la somme retombe bien sur 180, donc la vérification par la somme ne suffit pas, il faut aussi vérifier QUELS angles sont égaux.
À savoir par cœur
•Opposés par le sommet : toujours égaux. Alternes-internes et correspondants : égaux SEULEMENT entre parallèles.
•Somme des angles : 180 degrés dans un triangle, 360 degrés dans un quadrilatère.
•Isocèle en A : ce sont B et C, les angles à la BASE, qui sont égaux.
•Inégalité triangulaire : le PLUS GRAND côté doit être strictement inférieur à la somme des deux autres.
•Parallélogramme : diagonales de même MILIEU. Rectangle : en plus, même longueur. Losange : en plus, perpendiculaires. Carré : les trois.
•Symétrie centrale de centre O : O est le milieu de [MM′], et l'image d'une droite lui est PARALLÈLE.
•Une figure ne prouve rien : « On sait que... Or, si... alors... Donc... ».
Questions fréquentes
Quand peut-on dire que deux angles alternes-internes sont égaux ?
Uniquement lorsque les deux droites coupées par la sécante sont parallèles, et que ce parallélisme est donné par l'énoncé ou codé sur la figure. Sans cette hypothèse, la propriété est fausse et la démonstration ne vaut aucun point, même si le nombre trouvé se trouve être le bon.
Dans un triangle isocèle, quels angles sont égaux ?
Ceux de la base, c'est-à-dire les deux angles qui ne sont pas au sommet principal. Dans un triangle isocèle en A, ce sont les angles B et C. Si l'angle A vaut quarante-quatre degrés, les deux autres valent soixante-huit degrés chacun, et non quarante-quatre.
Comment savoir si un triangle existe avec trois longueurs données ?
Vous repérez la plus grande longueur et vous la comparez à la somme des deux autres. Le triangle existe seulement si elle est strictement inférieure à cette somme. Avec trois, quatre et huit, la somme des deux petits vaut sept, donc le triangle est impossible.
Comment reconnaître un losange, un rectangle et un carré ?
Par leurs diagonales. Si elles se coupent en leur milieu, c'est un parallélogramme. Si elles ont en plus la même longueur, c'est un rectangle. Si elles sont en plus perpendiculaires, c'est un losange. Si les trois conditions sont réunies, c'est un carré.
Comment rédiger une démonstration de géométrie en cinquième ?
En trois lignes. La première dit ce qu'on sait, tiré de l'énoncé ou du codage. La deuxième cite la propriété en entier, avec son si et son alors. La troisième conclut. Les deux tiers des points sont dans les deux premières lignes, pas dans le résultat.
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Exercices corrigés : Géométrie de Cinquième
Une méthode se prouve sur une copie, pas sur une fiche. La série du même chapitre reprend chacun de ces pièges dans un exercice, avec le corrigé rédigé étape par étape.
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