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Cinquième, programme français à Montréal • Exercices corrigés

Fiche de révision : aires, volumes et conversions (Cinquième)

Cette fiche de révision couvre les aires, les volumes et les conversions en classe de cinquième du programme français : périmètres, aires usuelles, disque, prismes droits, cylindres et unités, tels qu'ils sont évalués au Lycée Marie de France, au Collège Stanislas à Montréal et dans tout le réseau AEFE.

Elle ne redit pas le cours, que vous avez déjà : elle dit ce qui fait perdre des points sur ce chapitre, et le geste précis qui évite chaque perte. Le fil est toujours le même : écrire l'unité à chaque ligne, parce que c'est l'unité qui dit si la formule employée est la bonne.

Le fil du chapitre

Une longueur, une aire et un volume sont trois grandeurs différentes : ni la même unité, ni la même conversion, ni le même comportement quand on agrandit la figure. Chaque erreur du chapitre vient d'un mélange entre les trois.

Ce chapitre fait partie de Mathématiques en Cinquième

Avant ce chapitre

Cette fiche suppose ces notions acquises. Si une méthode ci-dessous reste opaque, c'est presque toujours l'une d'elles qui manque, pas la fiche.

L'essentiel

Trois grandeurs, trois unités, trois conversions

  • • Une longueur se mesure en centimètres, une aire en centimètres CARRÉS, un volume en centimètres CUBES.
  • • 11 m =100=100 cm, mais 11 m2=10 000^2=10\,000 cm2^2 et 11 m3=1 000 000^3=1\,000\,000 cm3^3 : le facteur s'applique autant de fois que le petit exposant l'indique.
  • • Capacités : 11 L =1=1 dm3=1 000^3=1\,000 cm3^3, et 11 m3=1 000^3=1\,000 L.
  • • Si toutes les longueurs sont multipliées par kk, les aires le sont par k2k^2 et les volumes par k3k^3.
10 dm1 m = 10 dm1 m² = 100 dm²la longueur × 10l'aire × 100un carreau = 1 dm²
Le côté du grand carré contient 1010 petits côtés, mais sa surface contient 100100 petits carreaux : la longueur est multipliée par 1010, l'aire par 100100.

Écrire l'unité à CHAQUE ligne du calcul, pas seulement à la réponse. C'est ce qui fait apparaître, en cours de route, qu'on additionne une longueur et une aire.

Les formules qui se ressemblent

  • • Rectangle : périmètre 2×(L+ℓ)2\times(L+\ell), aire L×ℓL\times\ell.
  • • Triangle : aire =base×hauteur2=\frac{\text{base}\times\text{hauteur}}{2}, où la hauteur est PERPENDICULAIRE à la base choisie.
  • • Parallélogramme : aire == base ×\times hauteur, jamais le produit de deux côtés.
  • • Disque de rayon rr : périmètre 2πr2\pi r en centimètres, aire πr2\pi r^{2} en centimètres carrés.

La hauteur d'un triangle peut tomber À L'EXTÉRIEUR de la figure, sur le prolongement de la base. Cela ne change rien à la formule, et c'est un cas que les énoncés adorent.

Prismes droits et cylindres

  • • Volume d'un prisme droit ou d'un cylindre : aire de la BASE ×\times hauteur.
  • • Aire latérale : périmètre de la base ×\times hauteur. C'est le rectangle qu'on obtient en déroulant le solide.
  • • Aire totale == aire latérale ++ les DEUX bases, et seulement si le solide est fermé.
  • • Pour un cylindre de rayon rr et de hauteur hh : V=πr2hV=\pi r^{2}h et aire latérale =2πrh=2\pi r h.

Un énoncé qui parle d'une boîte SANS couvercle attend cinq faces, pas six. Relire la phrase avant de choisir entre aire latérale, cinq faces et aire totale.

Les pièges qui coûtent des points

Les erreurs ci-dessous sont celles que je corrige le plus souvent en séance. Chacune coûte des points sur une copie, même quand le raisonnement est juste.

1. Convertir une aire comme si c'était une longueur

toute la question, avec un résultat cent fois trop petit

Ce qu'il ne faut pas écrire

« 11 m2=100^2=100 cm2^2. »

Ce qu'il faut écrire

« 11 m2=100×100=10 000^2=100\times 100=10\,000 cm2^2 : le facteur 100100 s'applique une fois par dimension. »

Pourquoi : Un mètre carré est le carré d'un mètre : il contient 100100 colonnes de 100100 centimètres carrés. Le petit 22 dit exactement combien de fois convertir.

2. Prendre le côté du parallélogramme pour sa hauteur

toute la question, avec une aire surestimée d'un tiers

Ce qu'il ne faut pas écrire

« Le parallélogramme a des côtés de 66 et de 44, donc son aire vaut 2424. »

Ce qu'il faut écrire

« Aire == base ×\times hauteur =6×3=18=6\times 3=18, la hauteur étant le segment PERPENDICULAIRE à la base. »

643aire = 6 × 3 = 18, pas 6 × 4
Le côté oblique mesure 44 et la hauteur seulement 33 : c'est le segment en pointillés, perpendiculaire à la base, qui entre dans la formule.

Pourquoi : Le côté oblique est toujours plus long que la hauteur : l'aire calculée est donc systématiquement trop grande. L'égalité n'aurait lieu que pour un rectangle.

3. Oublier de diviser par deux l'aire d'un triangle

2 points, et le double sur une figure composée de deux triangles

Ce qu'il ne faut pas écrire

« Base 88, hauteur 55, donc aire =40=40 cm2^2. »

Ce qu'il faut écrire

« Aire =8×52=20=\frac{8\times 5}{2}=20 cm2^2 : un triangle est la moitié d'un rectangle de mêmes base et hauteur. »

Pourquoi : L'oubli passe inaperçu parce que le résultat reste plausible. Le contrôle est visuel : le triangle occupe clairement moins de la moitié de son rectangle englobant.

4. Confondre le périmètre et l'aire d'un disque

toute la question, et l'unité annoncée est fausse elle aussi

Ce qu'il ne faut pas écrire

« Le périmètre d'un disque de rayon 33 cm vaut π×32≈28,3\pi\times 3^{2}\approx 28{,}3 cm. »

Ce qu'il faut écrire

« Périmètre =2πr=2π×3≈18,8=2\pi r=2\pi\times 3\approx 18{,}8 cm ; aire =πr2=π×9≈28,3=\pi r^{2}=\pi\times 9\approx 28{,}3 cm2^2. »

Pourquoi : Les deux formules contiennent π\pi et rr, ce qui les rend interchangeables dans la mémoire. L'unité tranche : une longueur ne peut pas s'exprimer en centimètres carrés.

5. Utiliser le diamètre à la place du rayon

toute la question, avec une aire QUATRE fois trop grande

Ce qu'il ne faut pas écrire

« Le disque a un diamètre de 1010 cm, donc son aire vaut π×102≈314\pi\times 10^{2}\approx 314 cm2^2. »

Ce qu'il faut écrire

« r=102=5r=\frac{10}{2}=5 cm, donc l'aire vaut π×52≈78,5\pi\times 5^{2}\approx 78{,}5 cm2^2. »

Pourquoi : Le rayon est au carré dans la formule : se tromper d'un facteur 22 sur rr multiplie l'aire par 44. Écrire « r=…r=\ldots » sur une ligne à part supprime l'erreur.

6. Calculer une aire totale sans les deux bases

toute la question, et l'erreur est invisible dans le calcul

Ce qu'il ne faut pas écrire

« Aire totale du cylindre =2πrh=2\pi r h. »

Ce qu'il faut écrire

« Aire totale =2πrh+2×πr2=2\pi r h+2\times\pi r^{2} : le patron comporte le rectangle latéral ET les deux disques. »

2πr × h2πrhπr²πr²le patron d'un cylindreaire totale = latérale + 2 disques
Déplié, le cylindre donne un rectangle de largeur 2πr2\pi r et de hauteur hh, plus DEUX disques : c'est l'image qui empêche de les oublier.

Pourquoi : Le mot « totale » veut dire tout ce qui se peint. Déplier mentalement le solide en patron rend visible ce qui manque, ce que le calcul seul ne fait jamais.

7. Croire qu'une aire double quand les longueurs doublent

toute la question d'agrandissement, souvent $3$ points

Ce qu'il ne faut pas écrire

« Toutes les dimensions sont doublées, donc l'aire double et le volume aussi. »

Ce qu'il faut écrire

« L'aire est multipliée par 22=42^{2}=4 et le volume par 23=82^{3}=8. »

Pourquoi : Une aire est un produit de deux longueurs, un volume de trois : chacune des longueurs est doublée, donc le facteur s'applique deux ou trois fois. C'est la même logique que la conversion.

8. Lire des centimètres cubes comme des litres

toute la question, et l'ordre de grandeur est absurde

Ce qu'il ne faut pas écrire

« L'aquarium mesure 60×30×4060\times 30\times 40 cm, donc il contient 72 00072\,000 litres. »

Ce qu'il faut écrire

« 60×30×40=72 00060\times 30\times 40=72\,000 cm3^3, et 11 L =1 000=1\,000 cm3^3, donc il contient 7272 litres. »

Pourquoi : Un litre est un cube de 1010 cm de côté, donc 1 0001\,000 cm3^3. Un aquarium de 72 00072\,000 litres pèserait 7272 tonnes : le simple bon sens suffit à rejeter la réponse.

Quelle méthode choisir

Quelle formule d'aire, selon la figure ?

On identifie la forme, puis on repère laquelle des longueurs données est la HAUTEUR, c'est-à-dire celle qui est perpendiculaire à la base.

  • Si un rectangle ou un carré → aire == longueur ×\times largeur

    Exemple : 8×5=408\times 5=40 cm2^2

  • Si un triangle → aire =base×hauteur2=\frac{\text{base}\times\text{hauteur}}{2}, la hauteur étant perpendiculaire à la base choisie

    Exemple : base 88, hauteur 55 : 8×52=20\frac{8\times 5}{2}=20 cm2^2

    n'importe quel côté peut servir de base, à condition de prendre la hauteur qui lui correspond

  • Si un parallélogramme → aire == base ×\times hauteur, jamais côté ×\times côté

    Exemple : base 66, hauteur 33 : 1818 cm2^2, et non 2424

  • Si un disque ou une portion de disque → aire =πr2=\pi r^{2} avec le RAYON, puis on prend la fraction voulue

    Exemple : un demi-disque de rayon 33 : π×92≈14,1\frac{\pi\times 9}{2}\approx 14{,}1 cm2^2

Devant une figure composée, on la découpe en formes connues et on additionne, ou bien on encadre la figure et on soustrait ce qui dépasse. Les deux méthodes se rédigent, et la seconde est souvent plus rapide.

Combien de fois appliquer le facteur de conversion ?

On regarde l'exposant de l'unité : il dit exactement combien de fois multiplier ou diviser.

  • Si une LONGUEUR (cm, m, km) → une seule fois

    Exemple : 11 m =100=100 cm

  • Si une AIRE (cm2^2, m2^2) → deux fois : le facteur au carré

    Exemple : 11 m2=1002=10 000^2=100^{2}=10\,000 cm2^2

    d'où 9 0009\,000 cm2=0,9^2=0{,}9 m2^2, et non 9090

  • Si un VOLUME (cm3^3, m3^3) → trois fois : le facteur au cube

    Exemple : 11 m3=1003=1 000 000^3=100^{3}=1\,000\,000 cm3^3

  • Si une CAPACITÉ (L, cL, mL) → passer d'abord par 11 L =1=1 dm3=1 000^3=1\,000 cm3^3

    Exemple : 72 00072\,000 cm3=72^3=72 L, et 11 m3=1 000^3=1\,000 L

Vers une unité PLUS PETITE, le nombre grandit ; vers une unité plus grande, il diminue. Ce contrôle de sens attrape les divisions faites à l'endroit de multiplications.

La rédaction attendue

Le correcteur coche des étapes. Les voici dans l'ordre, avec la phrase de conclusion qu'il attend mot pour mot.

Calculer le volume et l'aire totale d'un prisme droit

Quand l'utiliser : L'énoncé donne un solide droit (prisme ou cylindre) et demande son volume, son aire latérale ou son aire totale.

  1. 1 Décrire la base et calculer SON AIRE, sur une ligne à part : « la base est un rectangle de 33 cm sur 44 cm, son aire vaut 1212 cm2^2 ».
  2. 2 Multiplier par la hauteur pour le volume : 12×10=12012\times 10=120 cm3^3.
  3. 3 Calculer le PÉRIMÈTRE de la base : 2×(3+4)=142\times(3+4)=14 cm, puis l'aire latérale : 14×10=14014\times 10=140 cm2^2.
  4. 4 Ajouter les DEUX bases pour l'aire totale : 140+2×12=164140+2\times 12=164 cm2^2, en écrivant l'unité à chaque ligne.

Phrase de conclusion

« L'aire de la base vaut 1212 cm2^2, donc le volume vaut 120120 cm3^3. Le périmètre de la base vaut 1414 cm, donc l'aire latérale vaut 140140 cm2^2 et l'aire totale 164164 cm2^2. »

Le piège : Écrire 140+12140+12 au lieu de 140+2×12140+2\times 12. Le solide fermé a DEUX bases, celle du dessus et celle du dessous.

Barème : 0,5 point pour l'aire de la base, 0,5 pour le volume, 0,5 pour l'aire latérale, 0,5 pour l'aire totale, et les unités sont comptées à part.

Convertir proprement une aire ou un volume

Quand l'utiliser : L'énoncé change d'unité, ou demande une réponse « en mètres carrés » alors que les données sont en centimètres.

  1. 1 Écrire la grandeur avec son unité et son exposant : 2,52{,}5 m2^2.
  2. 2 Écrire le facteur de conversion des LONGUEURS, seul, sur sa ligne : 11 m =100=100 cm.
  3. 3 L'élever à la puissance indiquée par l'exposant : 11 m2=1002=10 000^2=100^{2}=10\,000 cm2^2.
  4. 4 Multiplier, et vérifier le SENS : on va vers une unité plus petite, donc le nombre doit grandir.

Phrase de conclusion

« 11 m =100=100 cm, donc 11 m2=10 000^2=10\,000 cm2^2, et 2,52{,}5 m2=25 000^2=25\,000 cm2^2. »

Le piège : Multiplier par 100100 une seule fois, ce qui donne 250250 cm2^2, soit une feuille de papier au lieu d'une table.

Barème : 0,5 point pour le facteur des longueurs isolé, 0,5 pour son élévation à la puissance, 1 point pour le résultat avec son unité.

Vérifier avant de rendre

Cinq minutes de vérification récupèrent plus de points qu'un exercice de plus commencé à la hâte.

L'exercice type décortiqué

L'aquarium du club : volume, capacité, verre et agrandissement

Un aquarium a la forme d'un pavé droit de 6060 cm de long, 3030 cm de large et 4040 cm de haut. Il est ouvert sur le dessus.

Calculer son volume en centimètres cubes puis en litres, la quantité d'eau lorsqu'il est rempli aux 34\frac{3}{4}, l'aire de verre nécessaire, et le volume qu'il aurait si toutes ses dimensions étaient doublées.

Étape 1

Volume : 60×30×40=72 00060\times 30\times 40=72\,000 cm3^3.

Pourquoi

La base est un rectangle, donc son aire vaut 60×30=1 80060\times 30=1\,800 cm2^2, et le volume est cette aire multipliée par la hauteur. Les trois facteurs sont des centimètres, donc le résultat est en centimètres cubes.

Étape 2

Capacité : 11 L =1 000=1\,000 cm3^3, donc 72 00072\,000 cm3=72^3=72 litres.

Pourquoi

La conversion est une division par 1 0001\,000, pas une recopie. C'est ici que la réponse absurde de 72 00072\,000 litres apparaît si l'on saute la ligne.

Étape 3

Remplissage aux trois quarts : 72×34=72÷4×3=5472\times\frac{3}{4}=72\div 4\times 3=54 litres.

Pourquoi

On divise par le dénominateur en premier, ce qui donne 1818, un entier. La réponse est en litres parce qu'on est parti d'une capacité, pas d'un volume en centimètres cubes.

Étape 4

Verre : le fond mesure 60×30=1 80060\times 30=1\,800 cm2^2, les deux grandes faces 2×60×40=4 8002\times 60\times 40=4\,800 cm2^2, les deux petites 2×30×40=2 4002\times 30\times 40=2\,400 cm2^2. Total : 9 0009\,000 cm2^2, soit 0,90{,}9 m2^2.

Pourquoi

L'aquarium est OUVERT, donc cinq faces et non six : c'est la phrase de l'énoncé qui décide, pas la formule d'aire totale. La conversion finale divise par 10 00010\,000, deux fois 100100.

Étape 5

Dimensions doublées : le volume est multiplié par 23=82^{3}=8, donc 72×8=57672\times 8=576 litres. Vérification directe : 120×60×80=576 000120\times 60\times 80=576\,000 cm3^3, soit 576576 litres.

Pourquoi

Les deux chemins doivent se rejoindre : le raisonnement par le facteur k3k^{3} et le recalcul complet. C'est le contrôle qui valide à la fois la règle d'agrandissement et la conversion.

Conclusion rédigée

« L'aquarium a un volume de 72 00072\,000 cm3^3, soit 7272 litres. Rempli aux trois quarts, il contient 5454 litres. Il faut 9 0009\,000 cm2^2 de verre, soit 0,90{,}9 m2^2. Avec des dimensions doublées, il contiendrait 576576 litres. »

L'erreur classique sur cet exercice : Annoncer 72 00072\,000 litres en oubliant que 11 litre vaut 1 0001\,000 cm3^3. Un aquarium de 72 00072\,000 litres pèserait 7272 tonnes : l'ordre de grandeur suffit à rejeter la réponse sans refaire un seul calcul.

À savoir par cœur

  • • 11 m =100=100 cm, 11 m2=10 000^2=10\,000 cm2^2, 11 m3=1 000 000^3=1\,000\,000 cm3^3 : une fois, deux fois, trois fois.
  • • 11 L =1=1 dm3=1 000^3=1\,000 cm3^3, et 11 m3=1 000^3=1\,000 L.
  • • Aire du triangle : base ×\times hauteur ÷2\div 2, la hauteur étant PERPENDICULAIRE à la base choisie.
  • • Aire du parallélogramme : base ×\times hauteur, jamais le produit de deux côtés.
  • • Disque de rayon rr : périmètre 2πr2\pi r en centimètres, aire πr2\pi r^{2} en centimètres carrés.
  • • Prisme droit et cylindre : volume == aire de la base ×\times hauteur.
  • • Aire latérale == périmètre de la base ×\times hauteur ; aire totale == latérale ++ DEUX bases.
  • • Longueurs multipliées par kk : aires par k2k^{2}, volumes par k3k^{3}.

Questions fréquentes

Pourquoi un mètre carré ne fait-il pas cent centimètres carrés ?

Parce qu'un mètre carré est le carré d'un mètre : il mesure cent centimètres de long et cent centimètres de large. Il contient donc cent fois cent, soit dix mille centimètres carrés. Le petit deux de l'unité dit combien de fois appliquer le facteur de conversion.

Comment calculer l'aire d'un parallélogramme ?

En multipliant une base par la hauteur qui lui correspond, c'est-à-dire le segment perpendiculaire à cette base. Le côté oblique n'est pas la hauteur : il est toujours plus long, donc l'utiliser donne une aire trop grande. Avec une base de six et une hauteur de trois, l'aire vaut dix-huit.

Quelle est la différence entre le périmètre et l'aire d'un disque ?

Le périmètre mesure le tour et vaut deux fois pi fois le rayon ; il s'exprime en centimètres. L'aire mesure la surface et vaut pi fois le rayon au carré ; elle s'exprime en centimètres carrés. C'est l'unité qui permet de vérifier laquelle des deux formules a servi.

Comment passer des centimètres cubes aux litres ?

En divisant par mille, car un litre est un cube de dix centimètres de côté, soit mille centimètres cubes. Un aquarium de soixante-douze mille centimètres cubes contient donc soixante-douze litres. Dans l'autre sens, un mètre cube vaut mille litres.

Que devient l'aire quand on double toutes les longueurs ?

Elle est multipliée par quatre, et le volume par huit. Une aire est le produit de deux longueurs et un volume le produit de trois : chacune étant doublée, le facteur deux s'applique deux fois pour l'aire et trois fois pour le volume.

Passer à la pratique

Exercices corrigés : Aires, volumes et conversions

Une méthode se prouve sur une copie, pas sur une fiche. La série du même chapitre reprend chacun de ces pièges dans un exercice, avec le corrigé rédigé étape par étape.

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