Exercices corrigés : pyramides et cônes de révolution (Quatrième)

L'aire de la base est donnée : $V=\dfrac{27\times 8}{3}=\dfrac{216}{3}=72$ cm$^{3}$.

$\mathcal{B}=5\times 5=25$ cm$^{2}$, puis $V=\dfrac{25\times 9}{3}=\dfrac{225}{3}=75$ cm$^{3}$. Piège : s'arrêter à $225$, qui est le volume du pavé de même base et de même hauteur.

$\mathcal{B}=8\times 4=32$ cm$^{2}$, puis $V=\dfrac{32\times 6}{3}=\dfrac{192}{3}=64$ cm$^{3}$.

L'aire d'un triangle rectangle est la moitié du produit des côtés de l'angle droit : $\mathcal{B}=\dfrac{9\times 4}{2}=18$ cm$^{2}$. Puis $V=\dfrac{18\times 7}{3}=42$ cm$^{3}$. Piège : oublier la moitié, ce qui donne $84$.

$\mathcal{B}=\dfrac{10\times 6}{2}=30$ cm$^{2}$, puis $V=\dfrac{30\times 9}{3}=90$ cm$^{3}$. Deux hauteurs dans la même ligne : celle du triangle, $6$ cm, sert à l'aire de la base ; celle de la pyramide, $9$ cm, sert au volume. Piège : les échanger ou les mélanger.

$\mathcal{B}=\pi\times 6^{2}=36\pi$ cm$^{2}$, puis $V=\dfrac{36\pi\times 5}{3}=\dfrac{180\pi}{3}=60\pi$ cm$^{3}$. Piège : $6^{2}=12$ ; un carré multiplie le nombre par lui-même.

Le diamètre vaut $14$ cm, donc le rayon vaut $7$ cm. $\mathcal{B}=\pi\times 7^{2}=49\pi$ cm$^{2}$, puis $V=\dfrac{49\pi\times 6}{3}=98\pi$ cm$^{3}$. Piège : mettre le diamètre au carré, ce qui donne $392\pi$, quatre fois trop.

$V=\dfrac{\pi\times 2^{2}\times 5}{3}=\dfrac{20\pi}{3}\approx 20{,}94$, soit $V\approx 20{,}9$ cm$^{3}$. On garde $\dfrac{20\pi}{3}$ jusqu'au bout et l'on n'arrondit qu'une fois.

$2{,}5^{2}=2{,}5\times 2{,}5=6{,}25$, puis $V=\dfrac{\pi\times 6{,}25\times 6}{3}=12{,}5\pi\approx 39{,}27$, soit $V\approx 39{,}3$ cm$^{3}$. Piège : $2{,}5^{2}=5$, qui double le nombre au lieu de le multiplier par lui-même.

$V=\dfrac{\pi\times 81\times 20}{3}=540\pi\approx 1\,696{,}5$ cm$^{3}$. Comme $1$ L $=1$ dm$^{3}=1\,000$ cm$^{3}$, on divise par $1\,000$ : $V\approx 1{,}696$ L, soit $V\approx 1{,}7$ L. Piège : diviser par $100$, comme pour des longueurs.

La pyramide a $5$ faces : le carré de base $ABCD$ et les quatre triangles $SAB$, $SBC$, $SCD$, $SDA$. Elle a $8$ arêtes : les quatre côtés de la base et les quatre arêtes latérales $[SA]$, $[SB]$, $[SC]$, $[SD]$. Elle a $5$ sommets : $A$, $B$, $C$, $D$ et $S$. La règle générale se retient en comptant sur la base : une pyramide à base à $n$ côtés a $n+1$ faces, $2n$ arêtes et $n+1$ sommets. Ici $n=4$, ce qui redonne bien $5$, $8$ et $5$.

Chaque face latérale est un triangle. Comme la base est un carré et que $S$ est à la verticale du centre $H$, ces quatre triangles sont isocèles et superposables. La hauteur de la pyramide est le segment $[SH]$ : il joint le sommet $S$ au plan de la base, et il lui est perpendiculaire. Sur la figure il est en pointillé parce qu'il est à l'intérieur du solide.

Parce que $[SA]$ est oblique : il rejoint le plan de la base, mais pas perpendiculairement, il aboutit à un COIN de la base et non au centre. La hauteur est la distance du sommet au plan, c'est-à-dire le plus court chemin, donc le segment perpendiculaire. Toute autre longueur partant de $S$ est strictement plus grande, et c'est exactement ce que va confirmer le calcul de la question 4 : $SA>SH$.

Le triangle $SHA$ est rectangle en $H$. Le côté $[HA]$ est la moitié de la diagonale du carré. Cette diagonale vaut $\sqrt{6^{2}+6^{2}}=\sqrt{72}$, donc $HA=\dfrac{\sqrt{72}}{2}$ et $HA^{2}=\dfrac{72}{4}=18$. Pythagore donne alors $SA^{2}=SH^{2}+HA^{2}=64+18=82$, d'où $SA=\sqrt{82}\approx 9{,}1$ cm. On retrouve bien $9{,}1>8$ : l'arête latérale est plus longue que la hauteur, comme annoncé.

Le triangle $S'OA'$ est rectangle en $O$, avec $S'O=4$ et $OA'=3$. Donc $S'A'^{2}=4^{2}+3^{2}=16+9=25$ et $S'A'=5$ cm. C'est le triangle rectangle $3$, $4$, $5$, qu'il faut reconnaître d'un coup d'œil. Cette hypoténuse porte un nom : la GÉNÉRATRICE du cône. C'est elle qui balaie la surface latérale quand le triangle tourne autour de l'axe.

$5$ cm est la génératrice, pas la hauteur ; la hauteur vaut $4$ cm et c'est une donnée de l'énoncé, il n'y avait rien à calculer. L'erreur vient de ce que l'élève prend la plus grande longueur visible sur le dessin, celle qui va du sommet jusqu'au bord. Coût de l'erreur : dans le volume, $\dfrac{\pi\times 9\times 5}{3}$ au lieu de $\dfrac{\pi\times 9\times 4}{3}$, soit $25\,\%$ de trop, sans qu'aucun signal n'avertisse.

La base est un carré de côté $6$, donc $\mathcal{B}=6\times 6=36$ cm$^{2}$. Le volume vaut $V=\dfrac{36\times 8}{3}=\dfrac{288}{3}=96$ cm$^{3}$. Une bonne habitude : simplifier avant de multiplier, $\dfrac{36}{3}=12$ puis $12\times 8=96$, ce qui évite de manipuler $288$ et réduit le risque d'oublier la division.

La base est un rectangle, donc $\mathcal{B}=5\times 3=15$ cm$^{2}$. Alors $V=\dfrac{15\times 7}{3}=\dfrac{105}{3}=35$ cm$^{3}$. Là encore $\dfrac{15}{3}=5$ puis $5\times 7=35$ va plus vite.

La base est un triangle rectangle : son aire est le demi-produit des côtés de l'angle droit, $\mathcal{B}=\dfrac{4\times 6}{2}=12$ cm$^{2}$. Attention, il y a maintenant DEUX divisions dans le calcul, celle du triangle et celle de la pyramide, et elles ne se confondent pas : $V=\dfrac{12\times 10}{3}=40$ cm$^{3}$. Oublier l'une des deux est l'erreur la plus fréquente de cette question.

Le prisme droit de même base et de même hauteur a pour volume $\mathcal{B}\times h=36\times 8=288$ cm$^{3}$. C'est exactement trois fois le volume de la pyramide, $3\times 96=288$. Autrement dit trois pyramides pleines de ce modèle rempliraient sans trou ni débordement le prisme correspondant.

Il a oublié de diviser par $3$ : il a calculé le volume du prisme, pas celui de la pyramide. Son résultat est donc trois fois trop grand, soit $192$ cm$^{3}$ de trop. C'est l'erreur la plus coûteuse du chapitre parce qu'elle ne se voit pas dans les unités : le résultat est bien en cm$^{3}$, il est simplement faux d'un facteur $3$. Le seul garde-fou est de se demander à chaque fois si le solide se termine en pointe.

Doubler la hauteur double le volume : $\dfrac{36\times 16}{3}=192$ cm$^{3}$, soit $2\times 96$, parce que $h$ apparaît une seule fois dans la formule. Doubler le côté du carré multiplie le volume par $4$ : la base devient $12\times 12=144$ cm$^{2}$, quatre fois plus grande, et $V=\dfrac{144\times 8}{3}=384$ cm$^{3}$, soit $4\times 96$. La hauteur compte une fois, le côté de la base compte deux fois.

$V=\dfrac{\pi\times 3^{2}\times 7}{3}=\dfrac{63\pi}{3}=21\pi$ cm$^{3}$. La valeur exacte est $21\pi$ cm$^{3}$, l'arrondi au centième $65{,}97$ cm$^{3}$. Écrire la valeur exacte d'abord n'est pas une coquetterie : elle se simplifie souvent, ici $\dfrac{63}{3}=21$, et elle permet de comparer deux cônes sans jamais sortir la calculatrice.

Le diamètre vaut $10$ cm, donc le RAYON vaut $5$ cm. $V=\dfrac{\pi\times 5^{2}\times 12}{3}=\dfrac{300\pi}{3}=100\pi$ cm$^{3}$, soit environ $314{,}16$ cm$^{3}$. Le réflexe à installer : dès qu'un énoncé donne un diamètre, on écrit $r=\dfrac{d}{2}$ sur sa copie avant toute autre ligne.

$V=\dfrac{\pi\times 3^{2}\times 12}{3}=36\pi\approx 113{,}10$ cm$^{3}$. Pour convertir, on utilise $1$ L $=1000$ cm$^{3}$ : le cornet contient donc environ $0{,}113$ L, soit à peu près $11$ cL. C'est cohérent avec l'expérience, un cornet ne contient pas un verre d'eau.

Il a utilisé le diamètre à la place du rayon. Il obtient $\dfrac{\pi\times 100\times 12}{3}=400\pi\approx 1256{,}64$ cm$^{3}$, c'est-à-dire $4$ fois trop. Le facteur est bien $4$ et non $2$, parce que le rayon est ÉLEVÉ AU CARRÉ dans la formule : doubler $r$ multiplie $r^{2}$ par $4$.

Le cylindre de même base et de même hauteur a pour volume $\pi\times 3^{2}\times 7=63\pi\approx 197{,}92$ cm$^{3}$, exactement trois fois le volume du cône. C'est la même phrase que pour la pyramide et le prisme, et c'est le fil de la série : un solide en pointe vaut le tiers du solide droit de même base et même hauteur.

Le rapport des volumes est $\dfrac{6^{2}}{3^{2}}=\dfrac{36}{9}=4$ : le second est $4$ fois plus volumineux, pas $2$. On peut le vérifier sur une hauteur au choix, par exemple $h=5$ : $\dfrac{\pi\times 9\times 5}{3}=15\pi$ contre $\dfrac{\pi\times 36\times 5}{3}=60\pi$, et $60=4\times 15$. C'est la même règle qu'à la question 4, vue cette fois du bon côté.

Le patron est fait de $5$ pièces : un carré de côté $6$ cm, et quatre triangles isocèles de base $6$ cm accolés aux quatre côtés du carré. Les quatre triangles sont superposables, il suffit donc d'en construire un correctement.

L'apothème joint le sommet $S$ au MILIEU d'un côté de la base. Le triangle formé par le sommet, le centre $H$ de la base et ce milieu est rectangle en $H$ : ses côtés de l'angle droit sont la hauteur $SH=8$ cm et la demi-largeur du carré, $\dfrac{6}{2}=3$ cm. Pythagore donne $a^{2}=8^{2}+3^{2}=64+9=73$, donc $a=\sqrt{73}\approx 8{,}5$ cm. Remarquez que $8{,}5>8$ : l'apothème est plus long que la hauteur de la pyramide, il ne peut donc pas lui être égal.

Chaque triangle latéral a pour aire $\dfrac{6\times\sqrt{73}}{2}=3\sqrt{73}$ cm$^{2}$. Il y en a quatre, donc la surface latérale vaut $12\sqrt{73}\approx 102{,}5$ cm$^{2}$. En ajoutant la base, $36$ cm$^{2}$, on obtient une aire totale d'environ $138{,}5$ cm$^{2}$. L'énoncé ne demandait que la surface latérale, donc on n'ajoute pas la base : lire la consigne fait partie du calcul.

Le patron du cône est fait d'un disque de rayon $3$ cm, qui est la base, et d'un secteur circulaire dont le rayon est la GÉNÉRATRICE, soit $5$ cm. Le rayon du secteur n'est ni la hauteur ni le rayon du disque : c'est la longueur qui, une fois enroulée, va du sommet au bord.

Quand on enroule le secteur, son arc vient se refermer exactement sur le bord du disque de base. Ces deux longueurs sont donc égales. Le bord du disque mesure $2\pi\times 3=6\pi$ cm. L'arc du secteur d'angle $a$ mesure $\dfrac{a}{360}\times 2\pi\times 5$. En égalant, $\dfrac{a}{360}\times 10\pi=6\pi$, donc $\dfrac{a}{360}=\dfrac{6}{10}$ et $a=360\times\dfrac{3}{5}=216$ degrés. La formule à retenir est $a=360\times\dfrac{r}{g}$, et comme $r<g$ toujours, l'angle est toujours inférieur à $360$ degrés.

Ses triangles sont trop courts. Avec une hauteur de $8$ cm au lieu de $8{,}5$ cm, les quatre pointes ne se rejoignent pas en un même point une fois relevées : le patron laisse une ouverture et le solide obtenu n'est plus fermé. C'est la vérification pratique du fait que l'apothème est strictement plus grand que la hauteur, et la raison pour laquelle on ne peut jamais confondre les deux.

La section de la pyramide est un carré, comme sa base : un plan parallèle à la base donne une figure de MÊME NATURE que la base, seulement réduite. La section du cône est un disque. Retenir la règle sous cette forme évite l'erreur classique qui consiste à répondre « un triangle » pour le cône, en confondant avec la vue de côté.

Le coefficient se lit sur les hauteurs comptées DEPUIS LE SOMMET : $k=\dfrac{4}{12}=\dfrac{1}{3}$. Le côté de la section vaut donc $9\times\dfrac{1}{3}=3$ cm. Attention au sens de la fraction : c'est bien la petite hauteur sur la grande, donc un nombre plus petit que $1$, ce qui est cohérent avec une réduction.

Deux méthodes qui doivent donner le même résultat. Directement : le carré de côté $3$ a pour aire $3\times 3=9$ cm$^{2}$. Par le coefficient : l'aire de la base est $9\times 9=81$ cm$^{2}$, et les aires sont multipliées par $k^{2}=\dfrac{1}{9}$, donc $81\times\dfrac{1}{9}=9$ cm$^{2}$. La seconde méthode est la seule utilisable quand la base n'est pas un carré.

Les volumes sont multipliés par $k^{3}=\dfrac{1}{27}$. La grande pyramide a pour volume $\dfrac{81\times 12}{3}=324$ cm$^{3}$, donc la petite vaut $324\times\dfrac{1}{27}=12$ cm$^{3}$. Vérification directe : $\dfrac{9\times 4}{3}=12$ cm$^{3}$. Les deux chemins concordent, ce qui valide à la fois le coefficient et le cube.

Pour le cône, $k=\dfrac{10}{15}=\dfrac{2}{3}$, donc le rayon de la section vaut $6\times\dfrac{2}{3}=4$ cm. La section est donc un disque de rayon $4$ cm, d'aire $16\pi\approx 50{,}27$ cm$^{2}$.

Un plan qui contient l'axe coupe le cône selon un TRIANGLE ISOCÈLE, dont la base est un diamètre du disque de base, ici $12$ cm, et dont les deux autres côtés sont des génératrices. Cette section n'a rien à voir avec la précédente : ce n'est pas parce qu'on coupe un cône que la section est un disque, c'est parce qu'on le coupe PARALLÈLEMENT À LA BASE.

Le pavé a pour volume $10\times 10\times 6=600$ cm$^{3}$. La pyramide de même base et de même hauteur vaut $\dfrac{100\times 6}{3}=200$ cm$^{3}$.

Il en faudrait $3$, puisque $3\times 200=600$. C'est une expérience que l'on peut faire avec du sable : trois pyramides remplies rasent exactement le prisme. Cette image vaut mieux qu'une formule apprise par cœur, parce qu'elle survit à l'oubli.

Le volume est multiplié par $4$. Dans $V=\dfrac{\pi r^{2}h}{3}$, remplacer $r$ par $2r$ donne $(2r)^{2}=4r^{2}$ : le facteur $2$ passe au carré. Sur un exemple, $r=3$ et $h=5$ donnent $15\pi$, tandis que $r=6$ et $h=5$ donnent $60\pi$, et $60=4\times 15$.

Le volume est simplement multiplié par $2$, parce que $h$ apparaît à la puissance $1$. Avec $r=3$ et $h=10$ on obtient $30\pi$, soit le double de $15\pi$. Une longueur qui apparaît une seule fois dans la formule agit une seule fois.

Le volume est multiplié par $4\times 2=8$, c'est-à-dire par $2^{3}$. On retrouve la règle générale des agrandissements : si toutes les longueurs sont multipliées par $k$, les aires le sont par $k^{2}$ et les volumes par $k^{3}$. Ici $k=2$ et $2^{3}=8$ ; en reprenant l'exemple, $r=6$ et $h=10$ donnent $120\pi$, qui vaut bien $8\times 15\pi$.

Ils contiennent exactement la même chose. Le cône vaut $\dfrac{\pi\times 25\times 9}{3}=75\pi$ cm$^{3}$ et le cylindre vaut $\pi\times 25\times 3=75\pi$ cm$^{3}$. On pouvait le voir sans aucun calcul : le cône a trois fois la hauteur du cylindre, et il vaut le tiers d'un cylindre de même hauteur, donc les deux effets se compensent exactement. Raisonner ainsi est plus sûr que de taper des touches, et c'est ce que le correcteur récompense.

L'aire de la base est $\mathcal{B}=36$ cm$^{2}$. De $\dfrac{36\times h}{3}=96$ on tire $36h=96\times 3=288$, donc $h=\dfrac{288}{36}=8$ cm. La règle générale se retient sous la forme $h=\dfrac{3V}{\mathcal{B}}$ : le $3$ MONTE au numérateur.

$h=\dfrac{3\times 70}{15}=\dfrac{210}{15}=14$ cm. Le fait que la base soit un triangle ne change rien à la méthode : son aire était déjà calculée, elle joue le rôle de $\mathcal{B}$ et rien d'autre.

On écrit $\dfrac{\pi r^{2}\times 8}{3}=96\pi$. Le $\pi$ se simplifie des deux côtés, ce qui est tout l'intérêt d'avoir gardé la valeur exacte : $8r^{2}=288$, donc $r^{2}=36$ et $r=6$ cm. On garde la solution positive puisqu'un rayon est une longueur.

$\dfrac{\pi\times 16\times h}{3}=48\pi$ donne $16h=144$, donc $h=9$ cm. Même chemin : simplifier $\pi$, faire monter le $3$, puis diviser.

Il a divisé par $3$ au lieu de multiplier par $3$. Il trouve $\dfrac{96}{108}\approx 0{,}89$ cm, une hauteur de moins d'un centimètre pour une pyramide dont la base fait $6$ cm de côté : le résultat est absurde et devait l'alerter. La bonne réponse est $9$ fois plus grande, puisqu'il s'est trompé d'un facteur $3$ deux fois de suite. Le contrôle de vraisemblance coûte cinq secondes et sauve la question.

$0{,}3$ L $=300$ cm$^{3}$, car $1$ L $=1000$ cm$^{3}$. On résout $\dfrac{\pi\times 36\times h}{3}=300$, soit $12\pi h=300$ et $h=\dfrac{300}{12\pi}=\dfrac{25}{\pi}\approx 8{,}0$ cm. Il faut donc un entonnoir d'environ $8$ cm de hauteur. La conversion en premier est essentielle : mélanger des litres et des centimètres dans la même équation donne un résultat faux d'un facteur $1000$.

FAUX. $\pi r^{2}h$ est le volume du CYLINDRE de même base et de même hauteur. Le cône se termine en pointe, il n'en contient que le tiers. Énoncé correct : $V=\dfrac{\pi r^{2}h}{3}$. Coût de l'erreur : un résultat trois fois trop grand, dans la bonne unité, donc invisible à la relecture.

FAUX. Une arête latérale est oblique : elle rejoint un sommet de la base, pas le pied de la perpendiculaire. Énoncé correct : la hauteur est le segment qui joint le sommet au plan de la base perpendiculairement, et c'est la plus COURTE des longueurs partant du sommet. L'arête latérale est toujours strictement plus longue, ce que Pythagore confirme à chaque fois.

FAUX. Le rayon figure au carré dans la formule, donc doubler $r$ multiplie $r^{2}$ par $4$ et le volume par $4$. Énoncé correct : le volume est multiplié par $4$. Si l'on doublait aussi la hauteur, il serait multiplié par $8$.

FAUX. C'est un DISQUE, réduction du disque de base. On obtient un triangle isocèle en coupant selon un plan qui contient l'axe, ce qui est une tout autre section. Énoncé correct : une section parallèle à la base est une réduction de la base, un disque pour le cône, un polygone semblable pour la pyramide.

FAUX pour deux raisons. D'abord l'unité : les dimensions sont en dm, donc le volume sort en dm$^{3}$, pas en cm$^{3}$. Ensuite le calcul est juste mais mal lu : $\dfrac{\pi\times 2^{2}\times 3}{3}=4\pi\approx 12{,}57$ dm$^{3}$. Énoncé correct : environ $12{,}6$ dm$^{3}$, soit $12\,566$ cm$^{3}$ ou encore $12{,}6$ L. Le rapport entre les deux réponses est de $1000$, l'écart le plus grave qu'une erreur d'unité puisse produire dans ce chapitre.

La partie droite est un pavé : $V_{1}=4\times 4\times 2{,}5=40$ m$^{3}$.

La toiture est une pyramide de base $16$ m$^{2}$ et de hauteur $1{,}8$ m, donc $V_{2}=\dfrac{16\times 1{,}8}{3}=\dfrac{28{,}8}{3}=9{,}6$ m$^{3}$. Une vérification de bon sens : la toiture est presque aussi haute que $2$ m mais se termine en pointe, elle doit donc contenir bien moins que les $32$ m$^{3}$ d'un étage droit de $2$ m, et c'est le cas.

$V=40+9{,}6=49{,}6$ m$^{3}$. On additionne parce que les deux solides sont empilés sans se chevaucher, et parce que les deux volumes sont dans la même unité, le mètre cube.

Trois renouvellements par heure demandent $3\times 49{,}6=148{,}8$ m$^{3}$ par heure. Il faudrait donc une ventilation d'au moins $150$ m$^{3}$ par heure environ, valeur qu'un installateur arrondirait vers le haut.

Il faut d'abord l'apothème d'un pan. Le triangle rectangle formé par la hauteur de la toiture, $1{,}8$ m, et la demi-largeur du kiosque, $\dfrac{4}{2}=2$ m, donne $a^{2}=1{,}8^{2}+2^{2}=3{,}24+4=7{,}24$, donc $a=\sqrt{7{,}24}\approx 2{,}69$ m. Chaque pan est un triangle de base $4$ m et de hauteur $2{,}69$ m, d'aire $\dfrac{4\times 2{,}69}{2}\approx 5{,}38$ m$^{2}$. Les quatre pans couvrent environ $21{,}53$ m$^{2}$. Comme $\dfrac{21{,}53}{3}\approx 7{,}18$, il faut $8$ paquets : on arrondit TOUJOURS à l'entier supérieur dans un problème d'achat, car $7$ paquets laisseraient une partie du toit à nu.