Exercices corrigés : volumes et sections de solides en Troisième

1) L'aire de la base vaut $\dfrac{3\times 4}{2}=6$ cm$^2$, et le prisme n'est pas pointu : $V=6\times 10=60$ cm$^3$. Attention, la hauteur du PRISME est $10$ cm ; les $3$ cm et $4$ cm sont des dimensions de la base, pas des hauteurs du solide.

2) L'aire de la base vaut $\pi \times 5^2=25\pi$ cm$^2$, donc $V=25\pi \times 12=300\pi \approx 942{,}5$ cm$^3$. Garder $300\pi$ en valeur exacte permet de reprendre le calcul plus loin sans arrondi.

3) La base est un carré d'aire $6^2=36$ cm$^2$, et la pyramide se termine en pointe : $V=\dfrac{1}{3}\times 36\times 10=120$ cm$^3$. Le prisme de même base et de même hauteur contiendrait $360$ cm$^3$ : une pyramide occupe exactement le tiers du prisme qui la contient.

4) $V=\dfrac{1}{3}\times \pi \times 3^2\times 8=\dfrac{72\pi}{3}=24\pi \approx 75{,}4$ cm$^3$.

5) $V=\dfrac{4}{3}\pi \times 6^3=\dfrac{4}{3}\pi \times 216=288\pi \approx 904{,}8$ cm$^3$. L'aire de la sphère vaut $4\pi r^2=4\pi \times 36=144\pi \approx 452{,}4$ cm$^2$. Ne jamais mélanger les deux : l'une est en cm$^3$ et fait intervenir $r^3$, l'autre est en cm$^2$ et fait intervenir $r^2$. L'unité est le contrôle le plus rapide.

6) En valeurs approchées : cône $75{,}4$, pyramide $120$, prisme $60$, cylindre $942{,}5$, boule $904{,}8$. L'ordre croissant est donc prisme, cône, pyramide, boule, cylindre. Remarque utile : la boule de rayon $6$ et le cylindre de rayon $5$ et de hauteur $12$ sont très proches, alors que leurs formes n'ont rien de commun ; l'œil est ici un mauvais juge et seul le calcul tranche.

1) Un plan parallèle à une face coupe le pavé selon une figure IDENTIQUE à cette face. Ici la section est donc un rectangle de $5$ cm sur $3$ cm. Le dessin en perspective la fait paraître penchée, mais elle est bel et bien un rectangle, avec quatre angles droits.

2) $5\times 3=15$ cm$^2$.

3) Non. Tant que le plan reste parallèle à la même face et coupe le solide, la section garde exactement les mêmes dimensions, $5$ sur $3$. C'est le propre du pavé droit et du cylindre : leur section parallèle à la base ne dépend pas de la hauteur à laquelle on coupe. Le cône et la pyramide, eux, se comportent autrement, comme le montrera l'exercice 5.

4) Les trois faces possibles ont pour dimensions $8\times 5$, $8\times 3$ et $5\times 3$, donc les aires de section possibles sont $40$ cm$^2$, $24$ cm$^2$ et $15$ cm$^2$.

5) La diagonale de la face $8$ sur $5$ vérifie $d^2=8^2+5^2=64+25=89$, donc $d=\sqrt{89}\approx 9{,}43$ cm. La grande diagonale du pavé se calcule avec un second théorème de Pythagore, dans le triangle rectangle formé par cette diagonale de face et l'arête de $3$ cm : $D^2=89+3^2=89+9=98$, donc $D=\sqrt{98}=7\sqrt{2}\approx 9{,}90$ cm. Cette double application est la technique à retenir pour toute diagonale de pavé.

6) La section contient une arête entière, de longueur $6$ cm, et la diagonale de la face opposée, de longueur $6\sqrt{2}$ cm. C'est un rectangle de $6$ sur $6\sqrt{2}$, d'aire $36\sqrt{2}\approx 50{,}9$ cm$^2$. Il est plus grand que n'importe quelle face du cube, qui ne fait que $36$ cm$^2$ : une section peut donc être plus large que toutes les faces du solide, ce qui surprend souvent.

1) Un plan parallèle à la base coupe le cylindre selon un DISQUE de même rayon que la base, donc de rayon $5$ cm. Son aire vaut $\pi \times 5^2=25\pi \approx 78{,}5$ cm$^2$.

2) Un plan contenant l'axe coupe le cylindre selon un RECTANGLE. Sa hauteur est celle du cylindre, $12$ cm, et sa largeur est le DIAMÈTRE, $2\times 5=10$ cm. Son aire vaut $10\times 12=120$ cm$^2$. L'erreur la plus commune est d'utiliser le rayon au lieu du diamètre, ce qui divise l'aire par deux.

3) La section reste un rectangle de hauteur $12$ cm, mais sa largeur est une corde du disque de base. En notant $O$ le centre du disque, $H$ le milieu de la corde et $A$ une de ses extrémités, le triangle $OHA$ est rectangle en $H$ avec $OA=5$ (un rayon) et $OH=3$ (la distance à l'axe). Pythagore donne $HA^2=5^2-3^2=25-9=16$, donc $HA=4$ et la corde mesure $2\times 4=8$ cm.

4) L'aire vaut $8\times 12=96$ cm$^2$.

5) L'aire $96$ cm$^2$ correspond à une largeur de $96:12=8$ cm, donc à une demi-corde de $4$ cm, donc à $OH^2=25-16=9$ et $OH=3$ cm. Le plan doit être à $3$ cm de l'axe. Il y a en réalité une infinité de positions : $3$ cm de part et d'autre, et dans toutes les directions autour de l'axe. La distance, elle, est unique.

6) La largeur $2\sqrt{25-OH^2}$ est d'autant plus grande que $OH$ est petit, donc l'aire maximale est atteinte pour $OH=0$, c'est-à-dire quand le plan CONTIENT l'axe. On retrouve la section 2, de $120$ cm$^2$. Autrement dit, aucune section parallèle à l'axe ne peut dépasser le rectangle diamétral, et c'est la même raison qui fait que le diamètre est la plus grande corde d'un cercle.

1) Soit $H$ le pied de la perpendiculaire menée de $O$ au plan, et $M$ un point du cercle de section. Le triangle $OHM$ est rectangle en $H$. Son hypoténuse $OM$ est un rayon de la sphère, elle vaut $10$ cm ; le côté $OH$ est la distance du centre au plan, il vaut $6$ cm ; le côté $HM$ est justement le rayon de la section, c'est l'inconnue. Reconnaître que $OM$ est l'hypoténuse est la seule vraie difficulté, et elle vient de ce que $OM$ est un rayon de la SPHÈRE, pas du cercle de section.

2) Pythagore dans $OHM$ : $HM^2=OM^2-OH^2=10^2-6^2=100-36=64$, donc $HM=8$ cm. On reconnaît le triangle $6$-$8$-$10$.

3) Le périmètre vaut $2\pi \times 8=16\pi \approx 50{,}3$ cm, et l'aire du disque vaut $\pi \times 8^2=64\pi \approx 201{,}1$ cm$^2$.

4) À $10$ cm, on a $HM^2=100-100=0$ : le cercle se réduit à un POINT, le plan est tangent à la sphère. À $12$ cm, il faudrait $HM^2=100-144=-44$, ce qui est impossible : le plan ne rencontre pas la sphère, il n'y a pas de section. La formule elle-même signale la limite, par un carré négatif.

5) Il faut $6^2=100-OH^2$, donc $OH^2=100-36=64$ et $OH=8$ cm. Le couple $(6\;;8)$ a simplement échangé ses rôles avec le couple $(8\;;6)$ : les deux plans, l'un à $6$ cm l'autre à $8$ cm, donnent des sections de rayons $8$ et $6$.

6) Le plus grand disque possible est obtenu pour $OH=0$, quand le plan passe par le CENTRE : c'est le grand cercle, de rayon $10$ cm et d'aire $100\pi \approx 314{,}2$ cm$^2$. La section de la question 2 en occupe donc $\dfrac{64\pi}{100\pi}=\dfrac{64}{100}=64$ pour cent. Couper à $6$ cm du centre, soit à peine plus de la moitié du rayon, fait déjà perdre plus du tiers de l'aire : les sections se rétrécissent vite en s'éloignant du centre.

1) Le plan est parallèle à la base, donc le petit cône de sommet $S$ est une RÉDUCTION du grand. Le coefficient se lit sur les hauteurs, qui se mesurent toutes deux à partir du sommet : $k=\dfrac{3}{12}=0{,}25$.

2) Le rayon suit le coefficient des longueurs : $r=0{,}25\times 5=1{,}25$ cm.

3) L'aire de la section vaut $\pi \times 1{,}25^2=1{,}5625\pi \approx 4{,}9$ cm$^2$, contre $\pi \times 5^2=25\pi \approx 78{,}5$ cm$^2$ pour la base. Le rapport vaut $\dfrac{1{,}5625}{25}=0{,}0625$, c'est-à-dire $0{,}25^2$ : les aires suivent $k^2$, comme toujours.

4) Le volume du grand cône vaut $\dfrac{1}{3}\pi \times 25\times 12=100\pi \approx 314{,}2$ cm$^3$. Le petit vaut $100\pi \times 0{,}25^3=100\pi \times 0{,}015625=1{,}5625\pi \approx 4{,}9$ cm$^3$. Il n'occupe qu'un soixante-quatrième du grand, alors que sa hauteur en est le quart.

5) Le tronc de cône est ce qui reste : $100\pi -1{,}5625\pi =98{,}4375\pi \approx 309{,}3$ cm$^3$, soit plus de $98$ pour cent du volume total. Un cône concentre presque tout son volume dans sa partie large.

6) Il faut $k^3=0{,}5$, donc $k=\sqrt[3]{0{,}5}\approx 0{,}7937$, et la hauteur de coupe vaut $0{,}7937\times 12\approx 9{,}5$ cm. Couper à mi-hauteur, soit $6$ cm, ne donnerait que $0{,}5^3=0{,}125$, c'est-à-dire un huitième du volume en haut et sept huitièmes en bas : très loin du partage égal.

1) Le rayon vaut $\dfrac{1{,}6}{2}=0{,}8$ m, donc $V=\pi \times 0{,}8^2\times 2{,}5=\pi \times 0{,}64\times 2{,}5=1{,}6\pi \approx 5{,}027$ m$^3$. Erreur à éviter : utiliser le diamètre $1{,}6$ comme rayon, ce qui multiplierait le volume par quatre.

2) $5{,}027$ m$^3$ font $5027$ litres, en multipliant par $1000$. Un facteur mille, jamais dix : c'est le passage où se perdent le plus de points du chapitre.

3) Six dixièmes de $5027$ litres font $0{,}6\times 5027=3016{,}2$ litres, soit environ $3016$ litres.

4) $3016:45\approx 67{,}0$. On peut donc faire $67$ arrosages complets, et il restera $3016-67\times 45=1$ litre. La réponse est un entier parce que la question demande des arrosages COMPLETS : arrondir à $68$ par excès n'aurait pas de sens ici.

5) Deux mille litres font $2$ m$^3$. La hauteur $h$ vérifie $\pi \times 0{,}64\times h=2$, donc $h=\dfrac{2}{0{,}64\pi}\approx 0{,}995$ m, soit un peu moins d'un mètre. Le réservoir est haut de $2{,}5$ m : les deux mille litres n'occupent donc que les quatre dixièmes de sa hauteur, ce qui est cohérent avec la contenance de la question 2 : $\dfrac{2\ 000}{5\ 027}\approx 0{,}40$.

6) Les volumes sont multipliés par $1{,}2^3=1{,}728$, donc la contenance devient $5027\times 1{,}728\approx 8687$ litres. Augmenter chaque dimension de $20$ pour cent augmente donc la contenance de près de $73$ pour cent : c'est le même effet de puissance trois qu'à l'exercice 5, appliqué cette fois à un achat.

1) La boule touche deux faces opposées, distantes de $10$ cm : son diamètre vaut donc $10$ cm et son rayon $5$ cm. Confondre les deux serait ici une erreur d'un facteur huit sur le volume.

2) $V=\dfrac{4}{3}\pi \times 5^3=\dfrac{500\pi}{3}\approx 523{,}6$ cm$^3$.

3) Le cube contient $10^3=1000$ cm$^3$. Le volume libre vaut donc $1000-523{,}6=476{,}4$ cm$^3$, soit un peu moins de la moitié, réparti dans les huit coins.

4) $\dfrac{523{,}6}{1000}=0{,}5236$, soit environ $52{,}4$ pour cent. Une boule bien calée dans une boîte en occupe donc à peine plus de la moitié : c'est pourquoi transporter des billes ou des oranges revient toujours à transporter beaucoup d'air.

5) Prenons un cube d'arête $a$. La boule a pour rayon $\dfrac{a}{2}$ et pour volume $\dfrac{4}{3}\pi \left(\dfrac{a}{2}\right)^3=\dfrac{4}{3}\pi \dfrac{a^3}{8}=\dfrac{\pi a^3}{6}$. Le cube vaut $a^3$. Le rapport vaut donc $\dfrac{\pi}{6}\approx 0{,}5236$ : le $a^3$ s'en va, la proportion est la même pour une bille de $1$ cm et pour un ballon de $1$ m. Le calcul littéral prouve ici ce qu'aucun exemple numérique ne pourrait établir.

6) Le cylindre de rayon $5$ et de hauteur $10$ a pour volume $\pi \times 25\times 10=250\pi \approx 785{,}4$ cm$^3$, soit environ $78{,}5$ pour cent du cube. Il occupe donc nettement plus de place que la boule. Le rapport des deux vaut $\dfrac{500\pi /3}{250\pi}=\dfrac{2}{3}$ : une boule occupe exactement les deux tiers du cylindre qui la contient de justesse, résultat qui reviendra à l'exercice 10.

1) FAUX deux fois. C'est un CERCLE, pas un disque, et son rayon est plus PETIT que celui de la sphère dès que le plan ne passe pas par le centre. Énoncé correct : la section d'une sphère de rayon $R$ par un plan situé à la distance $d$ du centre, avec $d<R$, est un cercle de rayon $\sqrt{R^2-d^2}$ ; le rayon vaut $R$ uniquement si $d=0$.

2) FAUX. Cette formule est celle du CYLINDRE. Le cône se termine en pointe, donc son volume vaut le TIERS de ce produit : $V=\dfrac{1}{3}\times \text{aire de la base}\times \text{hauteur}$. Avec un rayon de $3$ et une hauteur de $8$, cela fait $24\pi$ et non $72\pi$.

3) FAUX. Un mètre cube vaut $1000$ litres, pas $100$. La raison est qu'un mètre vaut $10$ décimètres, donc un mètre cube vaut $10^3=1000$ décimètres cubes, et un décimètre cube est un litre. Sur les volumes, chaque changement d'unité de longueur se paie au cube.

4) FAUX. Le cylindre a des sections toutes identiques parce que ses parois sont parallèles ; le cône se rétrécit vers son sommet, donc sa section est une RÉDUCTION dont le coefficient est le rapport des distances au sommet. Couper à $3$ cm du sommet d'un cône de $12$ cm de haut donne un rayon quatre fois plus petit que celui de la base.

5) FAUX. Les volumes sont multipliés par le CUBE du coefficient : doubler le rayon multiplie le volume par $2^3=8$. Une boule de rayon $10$ cm a pour volume $\dfrac{4000\pi}{3}\approx 4189$ cm$^3$, contre $\dfrac{500\pi}{3}\approx 524$ cm$^3$ pour une boule de rayon $5$ cm, et $4189:524\approx 8$.

1) $V_1=\pi \times 1{,}5^2\times 6=\pi \times 2{,}25\times 6=13{,}5\pi$ m$^3$.

2) $V_2=\dfrac{1}{3}\times \pi \times 1{,}5^2\times 2=\dfrac{1}{3}\times \pi \times 2{,}25\times 2=1{,}5\pi$ m$^3$.

3) $V=13{,}5\pi +1{,}5\pi =15\pi \approx 47{,}12$ m$^3$. Garder les deux volumes sous la forme « un multiple de $\pi$ » rend l'addition immédiate et exacte ; additionner deux arrondis aurait donné un troisième arrondi, moins fiable.

4) $47{,}12$ m$^3$ font $47\,120$ litres. On multiplie par $1000$, pas par $100$.

5) $47\,120\times 0{,}75=35\,340$ kg, soit un peu plus de $35$ tonnes. L'ordre de grandeur est crédible pour un silo de ferme, ce qui constitue une vérification à part entière.

6) Le cône représente $\dfrac{1{,}5\pi}{15\pi}=\dfrac{1}{10}$, soit $10$ pour cent du volume. C'est peu au regard de la place qu'il occupe sur le dessin : sa hauteur est le tiers de celle du cylindre, mais il ne pèse qu'un dixième du total, parce qu'un cône ne vaut que le tiers du cylindre de même base et de même hauteur. Le rapport $\dfrac{2}{6}\times \dfrac{1}{3}=\dfrac{1}{9}$ donne d'ailleurs directement le rapport cône sur cylindre, et $\dfrac{1}{9}$ du cylindre fait bien $\dfrac{1}{10}$ du total.

1) Chaque balle a pour diamètre $2r$, et il y en a trois empilées, donc la hauteur du tube vaut $3\times 2r=6r$.

2) Le tube est un cylindre de rayon $r$ et de hauteur $6r$, donc $V_{\text{tube}}=\pi r^2\times 6r=6\pi r^3$.

3) Chaque balle a pour volume $\dfrac{4}{3}\pi r^3$, donc les trois occupent $3\times \dfrac{4}{3}\pi r^3=4\pi r^3$. Le $3$ et le tiers se simplifient, ce qui est le petit cadeau de l'exercice.

4) La part occupée vaut $\dfrac{4\pi r^3}{6\pi r^3}=\dfrac{4}{6}=\dfrac{2}{3}$. Les balles remplissent exactement les DEUX TIERS du tube, et le rayon a disparu du résultat : la réponse ne dépend ni de la taille des balles ni des unités. Un tube de balles de tennis contient donc toujours un tiers d'air, quel que soit le fabricant.

5) Avec $d=6{,}7$ cm, le rayon vaut $3{,}35$ cm. Le tube mesure $6\times 3{,}35=20{,}1$ cm de haut et contient $\pi \times 3{,}35^2\times 20{,}1\approx 708{,}7$ cm$^3$. Les trois balles occupent $3\times \dfrac{4}{3}\pi \times 3{,}35^3\approx 472{,}4$ cm$^3$. Le rapport vaut $\dfrac{472{,}4}{708{,}7}\approx 0{,}667$ : les deux tiers sont bien là.

6) Avec cinq balles, la hauteur devient $10r$, le tube vaut $10\pi r^3$ et les balles $5\times \dfrac{4}{3}\pi r^3=\dfrac{20}{3}\pi r^3$ ; le rapport vaut encore $\dfrac{20/3}{10}=\dfrac{2}{3}$. Avec une seule balle, hauteur $2r$, tube $2\pi r^3$, balle $\dfrac{4}{3}\pi r^3$, rapport $\dfrac{4/3}{2}=\dfrac{2}{3}$ à nouveau. Le nombre de balles ne change rien, et c'est le même résultat que celui rencontré à l'exercice 7 entre une boule et son cylindre : c'est un théorème d'Archimède, gravé sur sa tombe.

1) $C$ est dans la face du bas, donc son altitude est $0$ ; on l'atteint en avançant de $4$ selon le premier axe et de $3$ selon le deuxième : $C(4\ ;\ 3\ ;\ 0)$.

2) $G$ est au-dessus de $C$, à la hauteur $2$ : $G(4\ ;\ 3\ ;\ 2)$. Chaque coordonnée vaut la dimension correspondante du pavé.

3) $F$ est au-dessus de $B$ : $F(4\ ;\ 0\ ;\ 2)$. $H$ est au-dessus de $D$ : $H(0\ ;\ 3\ ;\ 2)$. Le piège est d'intervertir l'ordonnée et l'altitude : l'ordre des coordonnées suit l'ordre des axes, toujours.

4) Le milieu a pour coordonnées la moyenne des coordonnées des extrémités : $I\left(\dfrac{0+4}{2}\ ;\ \dfrac{0+3}{2}\ ;\ \dfrac{0+2}{2}\right)=(2\ ;\ 1{,}5\ ;\ 1)$. C'est le CENTRE du pavé, à mi-chemin dans les trois directions.

5) Pythagore dans la face du bas : $AC^2=4^2+3^2=25$. Puis dans le triangle $ACG$, rectangle en $C$ : $AG^2=AC^2+CG^2=25+4=29$, donc $AG=\sqrt{29}\approx 5{,}39$ cm.

Le fil : dans l'espace, on se repère avec trois nombres pris dans un ordre fixe, et les longueurs se calculent par deux Pythagore successifs.

1) $2\pi\times 6\ 370\approx 40\ 024$ km : environ quarante mille kilomètres.

2) Les deux villes sont sur un grand cercle, séparées d'un angle de $48-36=12°$ au centre de la Terre. La distance est la même fraction de la circonférence : $40\ 024\times\dfrac{12}{360}\approx 1\ 334$ km. Le piège est de comparer les latitudes directement en kilomètres : un degré de méridien vaut environ $111$ km.

3) L'antipode est dans l'autre hémisphère à la même latitude, $48°$ Sud, et à la longitude opposée : $180-2=178°$ Ouest. On passe par le centre de la Terre, ce qui change le Nord en Sud et fait tourner la longitude d'un demi-tour.

4) Le centre du parallèle est sur l'axe des pôles. Dans le triangle rectangle formé par le centre de la Terre, le centre du parallèle et un point du parallèle, le rayon du parallèle est adjacent à l'angle de $60°$ : $r=6\ 370\times\cos(60°)=3\ 185$ km. Sa longueur vaut $2\pi\times 3\ 185\approx 20\ 012$ km, la moitié de l'équateur.

5) $1\ 000$ km représentent $\dfrac{1\ 000}{40\ 024}$ du tour, soit $\dfrac{1\ 000}{40\ 024}\times 360\approx 8{,}99°$ de longitude.

Le fil : sur une sphère, les distances le long d'un grand cercle sont proportionnelles aux angles au centre, et un parallèle est un cercle plus petit dont la trigonométrie donne le rayon.

1) $V=\pi\times 3{,}7^2\times 11=\pi\times 13{,}69\times 11\approx 473{,}1$ cm$^3$. Comme $1$ cm$^3$ vaut $1$ mL, la boîte contient environ $473$ mL.

2) Un côté du rectangle est la hauteur, $11$ cm ; l'autre est le périmètre du disque de base, que l'étiquette entoure : $2\pi\times 3{,}7\approx 23{,}25$ cm. Aire : $23{,}248\times 11\approx 255{,}7$ cm$^2$. Le piège est de prendre le diamètre ou le rayon comme longueur du rectangle.

3) Chaque disque a pour aire $\pi\times 3{,}7^2\approx 43{,}01$ cm$^2$. Aire totale : $255{,}726+2\times 43{,}008\approx 341{,}7$ cm$^2$. On garde trois décimales avant d'arrondir : les arrondis au centième donneraient $341{,}75$, à la limite.

4) Le volume est $\pi r^2h$. Doubler le rayon multiplie $r^2$ par $4$ : pour garder le volume, il faut diviser la hauteur par $4$, soit $\dfrac{11}{4}=2{,}75$ cm. Une boîte large et plate, comme une boîte de thon.

5) Il faut que la hauteur égale le périmètre de base : $h=2\pi\times 3{,}7\approx 23{,}25$ cm.

Le fil : le patron d'un cylindre est un rectangle dont un côté vaut le PÉRIMÈTRE du disque de base, et deux disques.

1) $V=8\times 4\times 1{,}5=48$ m$^3$, soit $48\ 000$ litres.

2) La hauteur d'eau vaut $1{,}5-0{,}1=1{,}4$ m, donc le volume d'eau vaut $8\times 4\times 1{,}4=44{,}8$ m$^3$. Le piège est de retirer $10$ cm à chaque dimension : seule la hauteur change.

3) $44{,}8$ m$^3$ font $44\ 800$ L, et $\dfrac{44\ 800}{25}=1\ 792$ minutes. Or $1\ 792=29\times 60+52$ : il faut $29$ h $52$ min, plus d'un jour entier. Écrire $29{,}87$ h et lire « $29$ h $87$ » est l'erreur classique : les minutes vont de $0$ à $59$.

4) Fond : $8\times 4=32$ m$^2$. Deux grandes parois : $2\times 8\times 1{,}5=24$ m$^2$. Deux petites : $2\times 4\times 1{,}5=12$ m$^2$. Total : $68$ m$^2$. On ne carrelle pas le dessus, qui est ouvert.

5) Les volumes sont multipliés par $\left(\dfrac{1}{50}\right)^3=\dfrac{1}{125\ 000}$ : $\dfrac{48}{125\ 000}=0{,}000\ 384$ m$^3$, soit $0{,}384$ L. Autre chemin : la maquette mesure $16$ cm sur $8$ cm sur $3$ cm, soit $384$ cm$^3$. Le piège est de diviser $48\ 000$ L par $50$, ce qui donnerait $960$ L, une maquette plus grande qu'une baignoire.

Le fil : un volume se calcule dans une seule unité, puis on convertit, et un changement d'échelle se paie au cube.

1) $V_{\text{cône}}=\dfrac{1}{3}\pi\times 2{,}5^2\times 10=\dfrac{62{,}5\pi}{3}\approx 65{,}45$ cm$^3$.