Exercices corrigés : aires, volumes et conversions d'unités (Cinquième)

1) Le périmètre est la longueur du tour : $2\times(7+4)=2\times 11=22$ centimètres. L'aire est la mesure de la surface : $7\times 4=28$ centimètres carrés. Les deux nombres, $22$ et $28$, sont proches, ce qui n'a aucune signification : ils ne mesurent pas la même chose. Le périmètre se compte en centimètres, une unité de LONGUEUR ; l'aire se compte en centimètres carrés, une unité de SURFACE. Écrire « le périmètre vaut $22\ \text{cm}^2$ » est une faute de sens, pas une étourderie d'écriture, et elle coûte le point à chaque contrôle.

2) La formule est $\dfrac{\text{base}\times\text{hauteur}}{2}$. La base mesure $6$ centimètres et la hauteur relative à cette base est le segment en pointillés, qui mesure $5$ centimètres et tombe perpendiculairement sur la base. L'aire vaut donc $\dfrac{6\times 5}{2}=\dfrac{30}{2}=15$ centimètres carrés. Contrôle : le triangle est inscrit dans un rectangle de $6$ sur $5$, d'aire $30$ centimètres carrés, et il en occupe exactement la moitié.

3) L'aire d'un parallélogramme vaut $\text{base}\times\text{hauteur}$, soit $6\times 3=18$ centimètres carrés. Le calcul $6\times 5$ est faux parce que $5$ n'est pas une hauteur : ce serait la longueur du côté oblique, et un côté oblique est toujours plus long que la hauteur qu'il porte. Multiplier deux côtés ne donne l'aire que dans le cas particulier du rectangle, où les côtés sont eux-mêmes perpendiculaires. C'est le piège numéro un du chapitre : la hauteur se lit sur le trait en pointillés, jamais sur un côté penché.

4) Il suffit de choisir un rectangle très allongé. Avec une longueur de $10$ centimètres et une largeur de $1$ centimètre, le périmètre vaut $2\times(10+1)=22$ centimètres, le même que celui du premier rectangle, mais l'aire ne vaut que $10\times 1=10$ centimètres carrés au lieu de $28$. L'affirmation est donc fausse. À périmètre fixé, l'aire est d'autant plus grande que le rectangle se rapproche du carré : ici le carré de côté $5{,}5$ centimètres atteindrait $30{,}25$ centimètres carrés, le maximum possible.

5) On cherche une longueur $L$ telle que $3\times L=15$, donc $L=\dfrac{15}{3}=5$ centimètres. Le rectangle de $5$ centimètres sur $3$ centimètres a bien pour aire $15$ centimètres carrés, comme le triangle. Leurs périmètres, eux, diffèrent : $2\times(5+3)=16$ centimètres pour le rectangle, alors que le triangle a deux côtés obliques plus longs que la hauteur. Deux figures de même aire n'ont donc pas non plus le même périmètre, ce qui confirme dans l'autre sens la question précédente.

6) Le rectangle mesure $7$ centimètres sur $4$ centimètres, c'est-à-dire $70$ millimètres sur $40$ millimètres. Son aire vaut donc $70\times 40=2\,800$ millimètres carrés. On retrouve le facteur : passer des centimètres aux millimètres multiplie les longueurs par $10$, donc les aires par $10\times 10=100$, et $28\times 100=2\,800$ ✓. En décimètres carrés, on divise au contraire par $100$, puisque $1$ décimètre vaut $10$ centimètres : l'aire vaut $28\div 100=0{,}28$ décimètre carré.

1) Un mètre vaut $100$ centimètres, donc $3{,}5\times 100=350$ centimètres. C'est le cas d'une seule dimension : on multiplie une seule fois par $100$.

2) Un mètre carré est le carré de côté $1$ mètre, c'est-à-dire de côté $100$ centimètres. Son aire vaut donc $100\times 100=10\,000$ centimètres carrés, et $3{,}5$ mètres carrés valent $3{,}5\times 10\,000=35\,000$ centimètres carrés. L'erreur classique consiste à écrire $350$ : c'est la conversion d'une LONGUEUR appliquée à une aire, et elle donne un résultat cent fois trop petit.

3) Un mètre cube est le cube d'arête $100$ centimètres, de volume $100\times 100\times 100=1\,000\,000$ centimètres cubes. Donc $3{,}5$ mètres cubes valent $3{,}5\times 1\,000\,000=3\,500\,000$ centimètres cubes. Trois millions et demi de petits cubes d'un centimètre d'arête tiennent dans $3{,}5$ mètres cubes : l'ordre de grandeur surprend, et c'est justement pour cela qu'on ne devine jamais ces conversions, on les reconstruit.

4) Ici on va dans l'autre sens, donc on DIVISE par $10\,000$ : $45\,000\div 10\,000=4{,}5$ mètres carrés. Contrôle de bon sens : $4{,}5$ mètres carrés, c'est à peu près la surface d'une petite chambre, ce qui est cohérent avec un terrain de jeu miniature. En divisant par $100$ on aurait trouvé $450$ mètres carrés, soit la surface d'un grand appartement : l'ordre de grandeur aurait dû alerter tout de suite.

5) Par définition, $1$ litre vaut $1$ décimètre cube, donc $2{,}4$ litres font $2{,}4$ décimètres cubes. Un décimètre vaut $10$ centimètres, donc un décimètre cube vaut $10\times 10\times 10=1\,000$ centimètres cubes, et $2{,}4$ décimètres cubes font $2{,}4\times 1\,000=2\,400$ centimètres cubes. Enfin le millilitre est le millième du litre, donc $2{,}4$ litres font $2\,400$ millilitres. On retient la coïncidence utile : $1$ millilitre égale exactement $1$ centimètre cube.

6) Parce qu'une aire est un produit de DEUX longueurs et un volume un produit de TROIS longueurs. Si chaque longueur est multipliée par $100$, un produit de deux longueurs est multiplié par $100\times 100=10\,000$ et un produit de trois longueurs par $100\times 100\times 100=1\,000\,000$. La règle générale tient en une phrase : on élève le facteur de conversion des longueurs à la puissance égale au nombre de dimensions. C'est la même idée qui gouverne le tableau de conversion, où l'on saute une colonne par unité pour les longueurs, deux pour les aires et trois pour les volumes.

1) Le périmètre d'un cercle vaut $2\pi r$, soit $2\times\pi\times 4=8\pi$ centimètres, c'est-à-dire environ $25{,}13$ centimètres. Il s'agit d'une longueur, donc l'unité est le centimètre, sans exposant.

2) L'aire du disque vaut $\pi r^{2}$, soit $\pi\times 4^{2}=16\pi$ centimètres carrés, environ $50{,}27$ centimètres carrés. La confusion entre $2\pi r$ et $\pi r^{2}$ est l'erreur la plus fréquente du chapitre. Le garde-fou est l'unité : une aire est un produit de deux longueurs, donc la formule doit contenir un carré. Dès qu'on écrit $2\pi r$ pour une aire, le résultat n'est même pas homogène.

3) L'aire du demi-disque est la moitié de celle du disque de même rayon : $\dfrac{16\pi}{2}=8\pi$ centimètres carrés, environ $25{,}13$ centimètres carrés. Le contour, lui, se compose de DEUX morceaux : le demi-cercle, de longueur $\dfrac{8\pi}{2}=4\pi\approx 12{,}57$ centimètres, et le diamètre, de longueur $2\times 4=8$ centimètres. Le contour mesure donc $4\pi+8\approx 20{,}57$ centimètres. Couper un disque en deux divise bien l'aire par $2$, mais pas le périmètre : la coupe crée un nouveau bord, le diamètre, qui n'existait pas avant.

4) Le diamètre vaut $10$ centimètres, donc le RAYON vaut $\dfrac{10}{2}=5$ centimètres. L'aire vaut $\pi\times 5^{2}=25\pi$ centimètres carrés, environ $78{,}54$ centimètres carrés. Le réflexe à installer : dès qu'un énoncé donne un diamètre, on écrit $r=\dfrac{d}{2}$ sur sa copie avant toute autre ligne. En prenant $10$ pour rayon, on trouverait $100\pi$, soit quatre fois trop.

5) Le nouveau rayon vaut $8$ centimètres et la nouvelle aire $\pi\times 8^{2}=64\pi$ centimètres carrés. Or $64\pi=4\times 16\pi$ : l'aire est multipliée par $4$, et non par $2$. La raison tient à la formule : le rayon y est élevé au carré, donc doubler $r$ multiplie $r^{2}$ par $2\times 2=4$. Le périmètre, lui, est bien seulement doublé, puisque $r$ y figure à la puissance $1$. C'est encore le fil de la série : une longueur et une aire ne réagissent pas de la même façon à un agrandissement.

6) Un tour mesure $2\times\pi\times 25=50\pi\approx 157{,}08$ mètres. Un kilomètre valant $1\,000$ mètres, il faut $\dfrac{1\,000}{157{,}08}\approx 6{,}37$ tours. Comme on demande des tours COMPLETS et au moins $1$ kilomètre, on arrondit vers le haut : $7$ tours, ce qui représente $7\times 157{,}08\approx 1\,099{,}6$ mètres. Avec $6$ tours on n'aurait parcouru que $942{,}5$ mètres, donc moins d'un kilomètre. Le sens de l'arrondi se décide toujours en relisant l'énoncé, jamais par habitude.

1) Le demi-disque a pour diamètre la largeur de la fenêtre, soit $1{,}20$ mètre. Son rayon vaut donc la moitié : $\dfrac{1{,}20}{2}=0{,}60$ mètre. C'est la seule longueur qui ne soit pas écrite sur la figure, et c'est celle dont on a besoin : toute la question 3 en dépend.

2) L'aire du rectangle vaut $1{,}20\times 1{,}80=2{,}16$ mètres carrés. On garde les mètres du début à la fin ; convertir en centimètres ici obligerait à multiplier par $10\,000$ au moment de revenir aux mètres carrés, pour rien.

3) L'aire du disque entier de rayon $0{,}60$ mètre vaudrait $\pi\times 0{,}60^{2}=0{,}36\pi$ mètre carré. Le demi-disque en vaut la moitié : $\dfrac{0{,}36\pi}{2}=0{,}18\pi\approx 0{,}57$ mètre carré. L'aire totale de la vitre est la SOMME des deux morceaux : $2{,}16+0{,}18\pi\approx 2{,}16+0{,}57=2{,}73$ mètres carrés. Découper la figure en morceaux dont on connaît la formule, puis additionner, est la méthode de tout le chapitre.

4) Le contour ne contient pas le segment horizontal qui sépare le rectangle du demi-disque : ce trait est une aide au calcul de l'aire, il n'existe pas sur la vitre. Le contour vaut donc : la base, $1{,}20$ mètre ; les deux montants, $2\times 1{,}80=3{,}60$ mètres ; et le demi-cercle, $\dfrac{2\pi\times 0{,}60}{2}=0{,}60\pi\approx 1{,}88$ mètre. Total : $1{,}20+3{,}60+0{,}60\pi\approx 6{,}68$ mètres. C'est le piège de l'exercice : la ligne de découpe compte pour l'aire, jamais pour le périmètre.

5) La vitre mesure environ $2{,}73$ mètres carrés à $145$ dollars le mètre carré. En calculant sur la valeur non arrondie, $2{,}16+0{,}18\pi$, on obtient $395{,}20$ dollars. En calculant sur $2{,}73$ on trouverait $395{,}85$ dollars, soit $65$ cents d'écart : on arrondit toujours À LA FIN, et l'écart obtenu ici montre pourquoi.

6) Le joint mesure environ $6{,}68$ mètres à $6$ dollars le mètre, soit $40{,}11$ dollars. La facture totale s'élève donc à $395{,}20+40{,}11=435{,}31$ dollars. On remarque que la vitre coûte près de dix fois le joint : le prix suit l'aire, pas le périmètre, et c'est exactement pour cela qu'il fallait calculer les deux grandeurs séparément.

1) La base est un triangle rectangle, donc les deux côtés de l'angle droit sont l'un la base, l'autre la hauteur du triangle. Son aire vaut $\dfrac{3\times 4}{2}=\dfrac{12}{2}=6$ centimètres carrés. On n'utilise pas l'hypoténuse ici : $5$ centimètres ne sert qu'au périmètre, à la question 3.

2) Le volume d'un prisme droit vaut $\text{aire de la base}\times\text{hauteur}$, soit $6\times 10=60$ centimètres cubes. L'unité change : on multiplie des centimètres carrés par des centimètres, ce qui donne bien des centimètres cubes. Vérifier l'unité obtenue est le meilleur contrôle de la formule employée.

3) Les trois faces latérales sont des rectangles de hauteur $10$ centimètres et de largeurs respectives $3$, $4$ et $5$ centimètres. Leur aire totale vaut $3\times 10+4\times 10+5\times 10=30+40+50=120$ centimètres carrés. On peut factoriser et retrouver la formule du cours : $(3+4+5)\times 10=12\times 10=120$ centimètres carrés, c'est-à-dire $\text{périmètre de la base}\times\text{hauteur}$. Si l'on déroulait la surface latérale, on obtiendrait un seul rectangle de $12$ centimètres sur $10$ centimètres, ce que montre le patron du corrigé.

4) L'aire totale ajoute les deux bases à l'aire latérale : $120+2\times 6=120+12=132$ centimètres carrés. Oublier de doubler la base, ou au contraire compter les bases alors que le solide est ouvert, sont les deux erreurs symétriques du chapitre. On relit toujours l'énoncé pour savoir si le solide est fermé.

5) Le volume vaut $60$ centimètres cubes. Or $1$ centimètre cube égale exactement $1$ millilitre, donc la contenance est de $60$ millilitres. Et comme $1$ litre vaut $1\,000$ millilitres, cela fait $\dfrac{60}{1\,000}=0{,}06$ litre. Ordre de grandeur cohérent : $60$ millilitres, c'est le contenu d'un petit pot de yaourt à boire.

6) Non, et c'est tout l'intérêt de la question. Le volume devient $6\times 20=120$ centimètres cubes : il est bien multiplié par $2$. L'aire latérale devient $12\times 20=240$ centimètres carrés : elle aussi est multipliée par $2$, puisque la hauteur y figure en facteur. Mais l'aire totale devient $240+12=252$ centimètres carrés, alors que $2\times 132=264$ : elle n'est PAS doublée. La raison est simple : les deux bases n'ont pas changé, on a seulement allongé le tube. Une grandeur n'est proportionnelle à la hauteur que si la hauteur intervient dans chacun de ses morceaux.

1) Le diamètre vaut $8$ centimètres, donc le rayon vaut $\dfrac{8}{2}=4$ centimètres. La base est un disque, d'aire $\pi\times 4^{2}=16\pi$ centimètres carrés, environ $50{,}27$ centimètres carrés. On écrit $r=4$ sur la copie avant tout calcul : c'est là que se perd la moitié des points de ce chapitre.

2) Le volume d'un cylindre vaut $\text{aire de la base}\times\text{hauteur}$, exactement comme pour un prisme droit : $16\pi\times 11=176\pi$ centimètres cubes, soit environ $552{,}92$ centimètres cubes. Un cylindre n'est rien d'autre qu'un prisme dont la base est un disque, ce qui explique que la formule ne change pas.

3) Un centimètre cube vaut un millilitre, donc la boîte contient environ $552{,}92$ millilitres. Le centilitre valant $10$ millilitres, cela fait $\dfrac{552{,}92}{10}\approx 55{,}29$ centilitres. L'ordre de grandeur est rassurant : une boîte de conserve d'un demi-litre, c'est bien ce que l'on trouve en magasin.

4) L'étiquette est un rectangle une fois déroulée. Sa hauteur est celle de la boîte, $11$ centimètres, et sa largeur est le périmètre du cercle de base, $2\pi\times 4=8\pi$ centimètres. Son aire vaut donc $8\pi\times 11=88\pi$ centimètres carrés, environ $276{,}46$ centimètres carrés. C'est la formule du cours : $\text{périmètre de la base}\times\text{hauteur}$. L'erreur à éviter est d'utiliser l'aire du disque à la place de son périmètre : la surface latérale s'enroule autour du bord, pas autour du disque plein.

5) L'aire totale ajoute les deux disques : $88\pi+2\times 16\pi=88\pi+32\pi=120\pi$ centimètres carrés, environ $376{,}99$ centimètres carrés. Si la boîte était ouverte, comme un gobelet, on n'ajouterait qu'un seul disque et l'on obtiendrait $104\pi$ centimètres carrés. La différence entre les deux réponses vaut exactement une base, et elle se joue sur un mot de l'énoncé.

6) Le volume doit rester $176\pi$ centimètres cubes. Avec un rayon de $5$ centimètres, l'aire de base vaut $25\pi$ centimètres carrés, donc la hauteur vaut $\dfrac{176\pi}{25\pi}=\dfrac{176}{25}=7{,}04$ centimètres. Les $\pi$ se simplifient, ce qui évite toute calculatrice. L'aire totale de cette seconde boîte vaut $2\pi\times 5\times 7{,}04+2\times 25\pi=70{,}4\pi+50\pi=120{,}4\pi\approx 378{,}25$ centimètres carrés, contre $120\pi\approx 376{,}99$ pour la première. La première boîte consomme donc un peu moins de métal, l'écart valant $0{,}4\pi\approx 1{,}26$ centimètre carré, soit à peine trois millièmes. À volume fixé, la forme change la surface : c'est tout l'enjeu industriel de l'emballage, et cela montre qu'un même volume peut être enfermé par des surfaces différentes.

1) Le volume d'un cube d'arête $a$ vaut $a^{3}$, soit $3^{3}=27$ centimètres cubes. Son aire totale est celle de ses six faces carrées : $6\times 3^{2}=6\times 9=54$ centimètres carrés.

2) Pour l'arête $6$ centimètres : volume $6^{3}=216$ centimètres cubes, aire totale $6\times 6^{2}=6\times 36=216$ centimètres carrés. La coïncidence des deux nombres $216$ est un pur accident de l'arête choisie, et ils ne mesurent toujours pas la même chose.

3) Le volume est passé de $27$ à $216$, donc il a été multiplié par $\dfrac{216}{27}=8$. L'aire est passée de $54$ à $216$, donc multipliée par $\dfrac{216}{54}=4$. Ces deux nombres ne sont pas égaux, et aucun des deux ne vaut $2$. En doublant les longueurs, on multiplie les aires par $2^{2}=4$ et les volumes par $2^{3}=8$. C'est encore le fil de la série : le nombre de dimensions donne l'exposant.

4) L'aire passe de $5\times 4=20$ à $10\times 4=40$ centimètres carrés : elle est multipliée par $2$ seulement. La réponse n'est pas $4$ parce qu'il ne s'agit PAS d'un agrandissement : une seule longueur a changé, la largeur est restée $4$ centimètres, et la figure obtenue n'a pas la même forme que celle de départ. La règle du carré ne vaut que si toutes les longueurs sont multipliées par le même nombre. Confondre « étirer dans un sens » et « agrandir » est le second piège du chapitre.

5) Le volume vaut $\pi r^{2}h$. Si $r$ double et que $h$ ne change pas, alors $r^{2}$ est multiplié par $4$ et le volume aussi. Là encore le résultat est $4$ et non $8$, parce que la hauteur n'a pas bougé : ce n'est pas un agrandissement du solide entier, mais seulement un élargissement.

6) Règle générale : si toutes les longueurs sont multipliées par $k$, alors les aires sont multipliées par $k^{2}$ et les volumes par $k^{3}$. Pour la maquette, $k=\dfrac{1}{50}$, donc les volumes sont multipliés par $\left(\dfrac{1}{50}\right)^{3}=\dfrac{1}{125\,000}$. La maquette contient donc $\dfrac{450\,000}{125\,000}=3{,}6$ litres. Le résultat surprend toujours : une maquette cinquante fois plus petite en longueur ne contient pas cinquante fois moins d'eau, mais cent vingt-cinq mille fois moins. C'est aussi pourquoi un modèle réduit de bateau ne flotte pas comme le vrai.

1) Faux. Le facteur $100$ est celui des LONGUEURS. Un mètre carré est le carré de côté $1$ mètre, donc de côté $100$ centimètres, et son aire vaut $100\times 100=10\,000$ centimètres carrés. Énoncé correct : $1\ \text{m}^{2}=10\,000\ \text{cm}^{2}$. Coût de l'erreur : tout résultat exprimé en centimètres carrés est cent fois trop petit, sans qu'aucun signal n'avertisse, puisque l'unité écrite reste juste.

2) Faux, et un seul contre-exemple suffit à le prouver. Le rectangle de $10$ centimètres sur $1$ centimètre et celui de $6$ centimètres sur $5$ centimètres ont tous deux un périmètre de $22$ centimètres, mais leurs aires valent respectivement $10$ et $30$ centimètres carrés. Énoncé correct : deux rectangles de même périmètre peuvent avoir des aires très différentes ; à périmètre fixé, l'aire est maximale pour le carré. Aire et périmètre sont deux grandeurs indépendantes.

3) Faux : $6\pi$ est le PÉRIMÈTRE du cercle de rayon $3$ centimètres, car $2\pi\times 3=6\pi$ centimètres. L'aire du disque vaut $\pi r^{2}=\pi\times 3^{2}=9\pi$ centimètres carrés, soit environ $28{,}27$ centimètres carrés. Énoncé correct : l'aire vaut $9\pi\ \text{cm}^{2}$. Le contrôle imparable est celui de l'unité : une aire exige un carré dans la formule, donc $\pi r^{2}$ et jamais $2\pi r$.

4) Faux. Un litre est un DÉCIMÈTRE cube, c'est-à-dire le cube d'arête $10$ centimètres, dont le volume vaut $10\times 10\times 10=1\,000$ centimètres cubes. Énoncé correct : $1\ \text{L}=1\ \text{dm}^{3}=1\,000\ \text{cm}^{3}$, et c'est le MILLILITRE qui vaut $1$ centimètre cube. Une bouteille d'un litre serait, avec l'affirmation fausse, un dé à jouer.

5) Faux deux fois. D'abord la base d'un cylindre est un disque, dont l'aire vaut $\pi r^{2}=\pi\times 2^{2}=4\pi$ centimètres carrés, et non $2$. Ensuite le volume vaut $\text{aire de la base}\times\text{hauteur}$, donc $4\pi\times 5=20\pi$ centimètres cubes, environ $62{,}83$ centimètres cubes. Énoncé correct : $V=\pi r^{2}h=20\pi\ \text{cm}^{3}$. Le résultat annoncé est plus de six fois trop petit ; multiplier le rayon par la hauteur revient à prendre l'aire d'un rectangle de $2$ sur $5$, ce qui n'a rien à voir avec un disque.

1) Le volume d'un pavé droit est le produit de ses trois dimensions : $1{,}20\times 0{,}50\times 0{,}60=0{,}36$ mètre cube. On peut mener le calcul dans l'ordre le plus commode : $1{,}20\times 0{,}50=0{,}60$, puis $0{,}60\times 0{,}60=0{,}36$. Les trois longueurs étant déjà en mètres, aucune conversion préalable n'est nécessaire, et c'est toujours par là qu'il faut commencer.

2) Un mètre cube contient $1\,000$ litres, donc $0{,}36$ mètre cube contient $0{,}36\times 1\,000=360$ litres. On retrouve ce facteur en repassant par le décimètre : $1\ \text{m}^{3}=1\,000\ \text{dm}^{3}$ et $1\ \text{dm}^{3}=1$ litre. C'est la conversion la plus utile de tout le chapitre, celle qui relie la géométrie à la vie courante.

3) Prendre $85\,\%$ d'une quantité, c'est la multiplier par $\dfrac{85}{100}=0{,}85$. Cela donne $360\times 0{,}85=306$ litres. Contrôle mental : $10\,\%$ de $360$ vaut $36$, donc $85\,\%$ vaut $360-15\,\%$ de $360=360-54=306$ litres ✓.

4) Un litre d'eau pèse $1$ kilogramme, donc $306$ litres pèsent $306$ kilogrammes. Il faut y ajouter le poids de la cuve elle-même : le meuble qui supportera l'aquarium devra tenir plus de trois cents kilogrammes, ce qui n'est pas anodin. Ce genre de vérification est exactement ce que l'on attend d'un calcul de volume.

5) Il faut remplir $306$ litres à raison de $12$ litres par minute, donc $\dfrac{306}{12}=25{,}5$ minutes. Attention à la lecture du résultat : $25{,}5$ minutes ne se lit pas « $25$ minutes $50$ », mais $25$ minutes et une demi-minute, soit $25$ minutes et $30$ secondes. La partie décimale d'une durée en minutes se convertit en secondes en la multipliant par $60$, et $0{,}5\times 60=30$.

6) Il y a cinq faces à compter, le dessus étant ouvert. Le fond mesure $1{,}20\times 0{,}50=0{,}60$ mètre carré. Les deux grandes faces verticales mesurent chacune $1{,}20\times 0{,}60=0{,}72$ mètre carré, soit $1{,}44$ mètre carré à elles deux. Les deux petites faces mesurent chacune $0{,}50\times 0{,}60=0{,}30$ mètre carré, soit $0{,}60$ mètre carré. Au total : $0{,}60+1{,}44+0{,}60=2{,}64$ mètres carrés, donc $2{,}64\times 48=126{,}72$ dollars. Compter six faces, par automatisme, aurait ajouté $0{,}60$ mètre carré et $28{,}80$ dollars pour un couvercle qui n'existe pas.

1) Le volume vaut $25\times 10\times 1{,}80=450$ mètres cubes. On calcule d'abord l'aire du fond, $25\times 10=250$ mètres carrés, puis on multiplie par la profondeur, $250\times 1{,}80=450$ mètres cubes. Un bassin est un prisme droit posé sur son fond, donc la formule du chapitre s'applique telle quelle.

2) Un mètre cube vaut $1\,000$ litres, donc il faut $450\times 1\,000=450\,000$ litres. Quatre cent cinquante mille litres, c'est-à-dire près d'un demi-million de bouteilles d'un litre : l'ordre de grandeur mérite d'être dit à voix haute, car c'est lui qui permet de repérer une erreur de conversion.

3) La pompe débite $15$ mètres cubes par heure et il y a $450$ mètres cubes à remplir, donc $\dfrac{450}{15}=30$ heures. On a travaillé en mètres cubes des deux côtés, ce qui évite toute conversion ; en litres il aurait fallu écrire $450\,000\div 15\,000$, qui donne bien $30$ également. Le remplissage prend donc un jour et six heures.

4) L'aire se décompose en cinq morceaux, le dessus étant à l'air libre. Le fond : $25\times 10=250$ mètres carrés. Les deux grands côtés : $2\times(25\times 1{,}80)=2\times 45=90$ mètres carrés. Les deux petits côtés : $2\times(10\times 1{,}80)=2\times 18=36$ mètres carrés. Total : $250+90+36=376$ mètres carrés. On note que le fond représente à lui seul les deux tiers de la surface, alors qu'il ne représente qu'une face sur cinq.

5) Un carreau mesure $25$ centimètres de côté, soit $0{,}25$ mètre, et son aire vaut $0{,}25\times 0{,}25=0{,}0625$ mètre carré. C'est ici qu'il faut convertir la longueur AVANT de calculer l'aire, sous peine de trouver $625$ au lieu de $0{,}0625$. Il faut donc $\dfrac{376}{0{,}0625}=6\,016$ carreaux, auxquels s'ajoutent $5\,\%$ de casse : $6\,016\times 1{,}05=6\,316{,}8$, donc $6\,317$ carreaux au minimum. Les boîtes contenant $20$ carreaux, $\dfrac{6\,317}{20}=315{,}85$ : on arrondit vers le HAUT, il faut $316$ boîtes, soit $6\,320$ carreaux.

6) Le coût vaut $316\times 34=10\,744$ dollars. Contrôle par décomposition : $316\times 34=316\times 30+316\times 4=9\,480+1\,264=10\,744$ dollars ✓. Si l'on avait oublié la casse, on aurait commandé $\dfrac{6\,016}{20}=300{,}8$, donc $301$ boîtes et $10\,234$ dollars : quinze boîtes de moins, et un chantier arrêté au dernier mètre carré. Prévoir la casse n'est pas une précaution de commerçant, c'est une contrainte de l'énoncé qu'il faut lire jusqu'au bout.

1) Le rectangle mesure $6$ cm sur $4$ cm : $6\times 4=24\ \mathrm{cm^{2}}$. Le triangle rectangle a pour côtés de l'angle droit $10-6=4$ cm et $4$ cm : $\dfrac{4\times 4}{2}=8\ \mathrm{cm^{2}}$. Trapèze : $24+8=32\ \mathrm{cm^{2}}$.

2) Le triangle $ABC$ a pour base $AB=10$ cm et pour hauteur la distance de $C$ à $(AB)$, soit $4$ cm : $\dfrac{10\times 4}{2}=20\ \mathrm{cm^{2}}$. Le triangle $ACD$ a pour base $DC=6$ cm et pour hauteur $AD=4$ cm : $\dfrac{6\times 4}{2}=12\ \mathrm{cm^{2}}$. Total : $20+12=32\ \mathrm{cm^{2}}$ ✓, le même résultat par un autre découpage.

3) Les deux triangles ont la même hauteur $h$, celle du trapèze : $\dfrac{B\times h}{2}+\dfrac{b\times h}{2}=\dfrac{(B+b)\times h}{2}$. L'aire d'un trapèze est la demi-somme des bases multipliée par la hauteur. Contrôle : $\dfrac{(10+6)\times 4}{2}=32$ ✓.

4) $\dfrac{(12+6)\times 5}{2}=\dfrac{90}{2}=45\ \mathrm{cm^{2}}$. La formule ne dépend pas de la forme exacte du trapèze, seulement de ses bases et de sa hauteur.

5) $\dfrac{(9+6)\times h}{2}=60$, donc $15\times h=120$ et $h=8$ cm. Contrôle : $\dfrac{15\times 8}{2}=60$ ✓.

Le fil : une figure nouvelle se ramène à des figures connues ; deux découpages différents donnent la même aire, ce qui sert de vérification.

1) Les abscisses vont de $0$ à $6$ et les ordonnées de $0$ à $5$ : le rectangle mesure $6$ cm sur $5$ cm, d'aire $30\ \mathrm{cm^{2}}$.

2) Sous $[AB]$ : côtés de l'angle droit $6$ et $2$, aire $\dfrac{6\times 2}{2}=6\ \mathrm{cm^{2}}$. À droite de $[BC]$ : côtés $6-2=4$ et $5-2=3$, aire $\dfrac{4\times 3}{2}=6\ \mathrm{cm^{2}}$. À gauche de $[CA]$ : côtés $2$ et $5$, aire $\dfrac{2\times 5}{2}=5\ \mathrm{cm^{2}}$.

3) $30-6-6-5=13\ \mathrm{cm^{2}}$. La méthode évite de chercher une hauteur qui ne tombe pas sur le quadrillage.

4) Le rectangle devient $6$ sur $6$, d'aire $36$. Triangles à retirer : $\dfrac{6\times 2}{2}=6$ ; $\dfrac{4\times 4}{2}=8$ ; $\dfrac{2\times 6}{2}=6$. Aire : $36-6-8-6=16\ \mathrm{cm^{2}}$.

5) La base $[AD]$ est sur l'axe horizontal et mesure $6$ cm ; la hauteur est la distance de $C$ à cet axe, son ordonnée $5$ cm. Aire : $\dfrac{6\times 5}{2}=15\ \mathrm{cm^{2}}$. Contrôle par le rectangle : $30-\dfrac{2\times 5}{2}-\dfrac{4\times 5}{2}=30-5-10=15$ ✓.

Le fil : quand la hauteur n'est pas lisible, on calcule l'aire par différence avec un rectangle.

1) $250\times 180=45\,000\ \mathrm{m^{2}}$. Un hectare valant $10\,000\ \mathrm{m^{2}}$ : $45\,000\div 10\,000=4{,}5$ ha.

2) $105\times 68=7\,140\ \mathrm{m^{2}}$, soit $7\,140\div 10\,000=0{,}714$ ha, environ $0{,}71$ ha. Un terrain de football fait un peu moins des trois quarts d'un hectare.

3) $45\,000\div 7\,140\approx 6{,}3$ : six terrains entiers. On arrondit vers le bas, un septième terrain ne tiendrait pas.

4) $3{,}2\times 100=320\ \mathrm{m^{2}}$, par exemple un rectangle de $20$ m sur $16$ m.

5) $4{,}5\times 7=31{,}5$ tonnes. Avec $450$ hectares, l'élève aurait trouvé $450\times 7=3\,150$ tonnes, cent fois trop : il a divisé par $100$ comme pour les ares. Un champ de $250$ m sur $180$ m ne peut pas faire $450$ hectares, soit quatre kilomètres et demi carrés.

Le fil : l'are et l'hectare sont des carrés de $10$ m et de $100$ m ; retrouver leur côté redonne le bon facteur de conversion.

1) Le périmètre du cercle vaut $2\pi r=21$, donc $r=\dfrac{21}{2\pi}\approx 3{,}34$ cm.

2) $r=\dfrac{29{,}7}{2\pi}\approx 4{,}73$ cm.

3) $V=\pi r^{2}h\approx\pi\times 3{,}3423^{2}\times 29{,}7\approx 1\,042\ \mathrm{cm^{3}}$. On garde le rayon non arrondi dans la calculatrice jusqu'au bout.

4) $V\approx\pi\times 4{,}7269^{2}\times 21\approx 1\,474\ \mathrm{cm^{3}}$.

5) Le cylindre BAS contient le plus : $\dfrac{1\,474}{1\,042}\approx 1{,}41$ fois plus. Les deux ont la même aire latérale, celle de la feuille, $21\times 29{,}7=623{,}7\ \mathrm{cm^{2}}$, mais le rayon intervient au CARRÉ dans le volume et la hauteur seulement une fois : mieux vaut un grand tour et une petite hauteur. On peut montrer que le rapport vaut exactement $\dfrac{29{,}7}{21}$.

Le fil : une même surface peut enfermer des volumes différents ; le rayon, élevé au carré, pèse plus que la hauteur.