Exercices corrigés : solides, patrons et volumes (Sixième)

1) Un pavé droit a toujours $6$ faces, $12$ arêtes et $8$ sommets, quelles que soient ses dimensions. On les retrouve sur le dessin : $6$ faces (devant, derrière, dessus, dessous, gauche, droite), $8$ sommets nommés de $A$ à $H$, et $12$ arêtes, soit $4$ de chaque longueur.

2) Les arêtes en pointillés sont $[AE]$, $[EF]$ et $[EH]$. Elles partent toutes du sommet $E$, qui est le sommet du fond en bas à gauche : c'est le seul sommet qu'on ne verrait pas si le pavé était opaque. Le pointillé n'est donc pas une décoration, il dit « cette arête existe mais elle est derrière ».

3) L'arête $[AB]$ mesure $6$ cm, c'est la longueur du pavé. Les arêtes de même longueur sont $[DC]$, $[EF]$ et $[HG]$ : elles sont toutes horizontales et parallèles à $[AB]$. Il y en a donc $4$ en tout, ce qui est vrai pour chacune des trois dimensions du pavé.

4) La face opposée à $ABCD$ est la face $EFGH$, celle du fond. Ces deux faces sont parallèles et SUPERPOSABLES : ce sont deux rectangles de $6$ cm sur $3$ cm. Sur le dessin, elles sont d'ailleurs tracées identiques, l'une simplement décalée par rapport à l'autre.

5) Le fil de fer doit couvrir les $12$ arêtes : $4$ arêtes de $6$ cm, $4$ de $4$ cm et $4$ de $3$ cm. La longueur totale est $4\times 6+4\times 4+4\times 3=24+16+12=52$ cm, ou plus rapidement $4\times(6+4+3)=4\times 13=52$ cm. Attention à l'unité : il s'agit d'une longueur, donc de cm, et pas de cm² ni de cm³.

6) NON. La face $DCGH$ est la face du dessus : c'est un RECTANGLE de $6$ cm sur $4$ cm. Elle est dessinée penchée uniquement parce qu'une feuille est plate et qu'il faut bien représenter la profondeur. La perspective cavalière déforme toujours les faces qui fuient vers le fond : les angles droits n'y apparaissent plus comme des angles droits, et les longueurs y sont souvent réduites. Il faut donc lire les dimensions dans l'énoncé, jamais à la règle sur le dessin.

1) Un cube a $6$ faces, donc son patron comporte exactement $6$ carrés. Les quatre figures en comptent bien $6$ chacune : le nombre de carrés est une condition NÉCESSAIRE, mais elle ne suffit pas du tout à garantir qu'on obtiendra un cube.

2) Seules les figures $A$ et $C$ sont des patrons de cube. La figure $A$ est la croix : la colonne de quatre carrés fait le tour du cube, le carré de gauche devient une face latérale et celui de droite la face opposée. La figure $C$ est un escalier : il ne ressemble pas à une croix, et pourtant il se plie parfaitement. C'est le piège le plus courant du chapitre, celui qui consiste à croire qu'un patron de cube a forcément la forme d'une croix.

3) La figure $B$ est un rectangle de $2$ carrés sur $3$. En la pliant, la première colonne et la troisième viennent se superposer sur la même face du cube, tandis qu'une autre face reste à découvert. Le compte de $6$ carrés est bon, mais deux d'entre eux se recouvrent : il y a à la fois une superposition et un trou, donc ce n'est pas un patron.

4) La figure $D$ est une bande de quatre carrés surmontée de deux carrés empilés au même endroit. La bande de quatre fait bien le tour du cube. Le premier carré ajouté ferme le dessus. Mais le second, posé au-dessus du premier, retombe en se pliant sur une face déjà occupée par la bande, alors que le dessous du cube n'est toujours pas couvert. Retenir la règle : les deux carrés qui ferment le haut et le bas doivent se trouver DE PART ET D'AUTRE de la bande, jamais du même côté.

5) Dans une colonne de quatre carrés, deux cases se retrouvent face à face lorsque l'on en saute une : la case du bas vient donc en face de la TROISIÈME case en montant, celle qui est encadrée par les deux carrés latéraux. La deuxième case et la quatrième sont elles aussi opposées, tout comme les deux carrés de gauche et de droite. Sur un patron, deux faces opposées ne sont jamais collées l'une à l'autre.

6) Il existe $11$ patrons de cube différents, à rotation et à retournement près. C'est beaucoup plus que ce qu'imaginent la plupart des élèves, et cela explique pourquoi il faut savoir PLIER mentalement une figure au lieu d'apprendre par cœur la forme en croix.

1) C'est le patron d'un PAVÉ DROIT. La bande horizontale de quatre faces fait le tour du solide, et les faces $5$ et $6$ ferment le dessus et le dessous. Ses dimensions sont $6$ cm de longueur, $4$ cm de profondeur et $3$ cm de hauteur.

2) Les faces vont par paires opposées, et deux faces opposées sont identiques. Faces $1$ et $3$ : deux rectangles de $6$ cm sur $3$ cm. Faces $2$ et $4$ : deux rectangles de $4$ cm sur $3$ cm. Faces $5$ et $6$ : deux rectangles de $6$ cm sur $4$ cm. On retrouve les trois dimensions du pavé, chacune apparaissant dans deux paires de faces.

3) La face $2$ mesure $4$ cm de large. On ne le lit pas à la règle, on le déduit : la face $2$ est collée à la face $1$ le long d'un bord vertical, et une fois pliée, elle devient le côté du pavé, dont la largeur est la PROFONDEUR du solide. Or cette profondeur est donnée par la face $5$, qui mesure $4$ cm : deux bords qui se recollent ont la même longueur.

4) La face $5$ est le dessus, la face $6$ est le dessous : ce sont elles qui se font face. On le vérifie sur la bande : $5$ et $6$ sont accrochées de PART ET D'AUTRE de la face $1$, donc elles se retrouvent aux deux extrémités du pliage, sans jamais se toucher. Deux faces voisines sur un patron ne sont jamais opposées sur le solide.

5) L'aire du carton est la somme des aires des six faces : $2\times(6\times 3)+2\times(4\times 3)+2\times(6\times 4)$, c'est-à-dire $2\times 18+2\times 12+2\times 24=36+24+48=108$ cm². C'est l'AIRE TOTALE du pavé, exprimée en cm² car il s'agit d'une surface, pas d'un volume.

6) Le patron s'étend sur $6+4+6+4=20$ cm horizontalement et sur $4+3+4=11$ cm verticalement : la feuille doit donc mesurer au moins $20$ cm sur $11$ cm, soit une aire de $20\times 11=220$ cm². Comme le patron n'en utilise que $108$ cm², il reste $220-108=112$ cm² de chutes, c'est-à-dire plus de la moitié de la feuille. C'est exactement le calcul que fait un fabricant d'emballages avant de choisir la disposition de ses patrons.

1) $V=4\times 4\times 4=64$ cm³. On multiplie bien trois longueurs, ce qui explique l'exposant $3$ de l'unité : un volume s'exprime en cm³ et jamais en cm ni en cm². Écrire « $64$ cm » à la place de « $64$ cm³ » coûte un point à tous les contrôles.

2) $V=8\times 5\times 3=120$ cm³. L'ordre des trois facteurs n'a aucune importance : $5\times 3\times 8$ donne le même résultat. On peut d'ailleurs calculer astucieusement, ici $8\times 5=40$ puis $40\times 3=120$.

3) L'aire de la base vaut $6\times 4=24$ cm². Comme $V=\text{base}\times h$, on cherche le nombre qui, multiplié par $24$, donne $120$ : c'est $120\div 24=5$. La hauteur est donc de $5$ cm. On vérifie : $6\times 4\times 5=120$ cm³.

4) NON. Le cube devient un cube de $8$ cm d'arête, dont le volume est $8\times 8\times 8=512$ cm³. Or $512=64\times 8$ : le volume est multiplié par $8$, pas par $2$. La raison est que les TROIS dimensions sont doublées, et $2\times 2\times 2=8$. C'est le même phénomène que pour les aires, où doubler les côtés multiplie l'aire par $4$.

5) Le volume est le même : $10\times 6\times 2=120$ cm³. L'aire totale, en revanche, est différente. Pour le pavé $8\times 5\times 3$ : $2\times(40+24+15)=2\times 79=158$ cm². Pour le pavé $10\times 6\times 2$ : $2\times(60+20+12)=2\times 92=184$ cm². Deux solides de même volume peuvent donc demander des quantités de carton différentes, et c'est tout le sujet de l'exercice 10.

6) Un dm³ vaut $1000$ cm³, donc $120$ cm³ $=120\div 1000=0{,}12$ dm³. Comme $1$ dm³ $=1$ L, cela fait $0{,}12$ L, c'est-à-dire $12$ cL. Un pavé grand comme la main contient donc à peine plus qu'un petit verre : rapporter un volume à une contenance connue est la meilleure façon de vérifier qu'on ne s'est pas trompé de $1000$.

1) $3$ dm³ $=3\times 1000=3\,000$ cm³ : on va vers une unité plus petite, donc le nombre augmente. Dans l'autre sens, $2\,500$ cm³ $=2\,500\div 1000=2{,}5$ dm³. Le contrôle est toujours le même : vers le petit on multiplie, vers le grand on divise.

2) $1$ m³ $=1000$ dm³. Et $0{,}5$ m³ $=0{,}5\times 1000=500$ dm³, donc $500$ L, puisque $1$ dm³ $=1$ L. Un demi-mètre cube représente ainsi $500$ bouteilles d'un litre : c'est un volume considérable, ce qui aide à repérer une erreur de facteur.

3) $75$ cL $=75\div 100=0{,}75$ L, car le centilitre est un centième de litre. Comme $1$ L $=1$ dm³ $=1000$ cm³, on obtient $0{,}75\times 1000=750$ cm³. Une canette de $33$ cL contient donc $330$ cm³ : le passage des cL aux cm³ revient à multiplier par $10$.

4) $1{,}5$ L $=1{,}5\times 1000=1\,500$ cm³. Et comme $1$ L $=1$ dm³, cela fait $1{,}5$ dm³. Le litre et le dm³ mesurent exactement la même chose : seul le nom change, selon qu'on parle d'un liquide ou d'un solide.

5) On convertit tout en cm³, ce qui est la seule méthode sûre : $2\,500$ cm³ restent $2\,500$ cm³ ; $0{,}3$ dm³ $=300$ cm³ ; $1{,}2$ L $=1\,200$ cm³ ; $0{,}004$ m³ $=0{,}004\times 1\,000\,000=4\,000$ cm³. L'ordre croissant est donc $0{,}3$ dm³ $<1{,}2$ L $<2\,500$ cm³ $<0{,}004$ m³. Comparer les nombres sans convertir aurait donné exactement l'ordre inverse, ce qui montre à quel point l'unité fait partie du nombre.

6) Parce qu'un dm vaut $10$ cm, et qu'un cube de $1$ dm d'arête est un cube de $10$ cm d'arête : son volume vaut $10\times 10\times 10=1000$ cm³. Le facteur $10$ intervient une fois par direction, et il y a trois directions. C'est le même raisonnement qui donne $100$ pour les aires, où il n'y a que deux directions.

1) $V=1{,}20\times 0{,}80\times 1{,}50$. On calcule en deux temps : $1{,}20\times 0{,}80=0{,}96$, puis $0{,}96\times 1{,}50=1{,}44$. Le volume est donc de $1{,}44$ m³. Les trois dimensions étaient déjà en mètres, donc le résultat est en mètres cubes, sans aucune conversion préalable.

2) $1$ m³ $=1000$ L, donc $1{,}44$ m³ $=1{,}44\times 1000=1\,440$ L. C'est l'ordre de grandeur d'une grande citerne de jardin, ce qui confirme que le facteur $1000$ est le bon : avec $100$, on aurait trouvé $144$ L, soit à peine une baignoire, et avec $10\,000$, un volume absurde de $14\,400$ L.

3) Les trois quarts de $1\,440$ L font $1\,440\div 4=360$, puis $360\times 3=1\,080$ L. On peut aussi retirer le quart manquant : $1\,440-360=1\,080$ L. Les deux chemins donnent le même résultat, et le second sert de vérification.

4) Il faut $1\,440\div 12=120$ minutes, soit $2$ heures. Pour convertir, on compte $120=60+60$ : deux paquets de $60$ minutes. Écrire « $2{,}0$ heures » est correct ici, mais attention, un résultat comme $150$ minutes ne se lirait pas $1{,}50$ heure mais $2$ h $30$.

5) $1\,440\div 90=16$ : la citerne pleine permet exactement $16$ arrosages. On vérifie : $16\times 90=1\,440$ L, le compte tombe juste et il ne reste rien. Si la division ne tombait pas juste, il faudrait garder la partie entière, car un arrosage incomplet n'est pas un arrosage.

6) Doubler la contenance, c'est viser $2\times 1{,}44=2{,}88$ m³. L'aire de la base ne change pas : $1{,}20\times 0{,}80=0{,}96$ m². Il faut donc une hauteur $h$ telle que $0{,}96\times h=2{,}88$, c'est-à-dire $h=2{,}88\div 0{,}96=3$ m. Autrement dit, il faudrait doubler la hauteur, ce qui est logique puisqu'une seule dimension est modifiée. Ce n'est cependant pas réaliste : une citerne de $3$ m de haut dépasse la hauteur d'un étage et deviendrait instable. Élargir la base serait plus raisonnable, et c'est bien ce que font les fabricants.

1) $V=40\times 25\times 20$. On calcule $40\times 25=1\,000$, puis $1\,000\times 20=20\,000$ cm³. Comme $1\,000$ cm³ $=1$ dm³ $=1$ L, cela fait $20$ L. La caisse contient donc l'équivalent de $20$ bouteilles d'un litre.

2) Dans la longueur : $40\div 5=8$ cubes. Dans la profondeur : $25\div 5=5$ cubes. Dans la hauteur : $20\div 5=4$ cubes. Au total, $8\times 5\times 4=160$ cubes. On multiplie bien les trois nombres de cubes, exactement comme on multiplie les trois dimensions pour un volume.

3) Un cube de $5$ cm a pour volume $5\times 5\times 5=125$ cm³. Les $160$ cubes occupent donc $160\times 125=20\,000$ cm³, c'est-à-dire exactement le volume de la caisse. Aucune place n'est perdue, et le double calcul confirme le compte de $160$ : c'est la meilleure vérification possible, car elle emprunte un chemin différent.

4) Cette fois les divisions ne tombent plus juste. Dans la longueur : $40=6\times 6+4$, donc $6$ cubes et $4$ cm perdus. Dans la profondeur : $25=6\times 4+1$, donc $4$ cubes et $1$ cm perdu. Dans la hauteur : $20=6\times 3+2$, donc $3$ cubes et $2$ cm perdus. Au total $6\times 4\times 3=72$ cubes. On garde à chaque fois le QUOTIENT et on abandonne le reste, car un cube ne se coupe pas.

5) Un cube de $6$ cm a pour volume $6\times 6\times 6=216$ cm³. Les $72$ cubes occupent $72\times 216=15\,552$ cm³. Le volume perdu est donc $20\,000-15\,552=4\,448$ cm³, soit environ $4{,}4$ L : c'est un peu plus du cinquième de la caisse, environ $22$ pour cent. Des cubes plus gros ne remplissent donc pas forcément mieux.

6) Parce que $5$ est un DIVISEUR de $40$, de $25$ et de $20$ à la fois : les trois divisions tombent juste, donc les cubes se rangent en couches complètes. Le nombre $6$, lui, ne divise aucune des trois dimensions, et chaque division laisse un reste, c'est-à-dire une bande de caisse inutilisable. La question « quels cubes remplissent exactement la caisse » est donc une question de diviseurs communs, comme le dallage d'une pièce.

1) FAUX, le nombre $6$ est celui des FACES, pas des arêtes. Un cube a $6$ faces, $12$ arêtes et $8$ sommets. Énoncé correct : « un cube possède $6$ faces carrées et $12$ arêtes de même longueur ». Un moyen de ne plus se tromper : chaque face carrée a $4$ côtés, et $6\times 4=24$, mais chaque arête est partagée par deux faces, d'où $24\div 2=12$ arêtes.

2) FAUX. Le facteur entre deux unités de volume voisines est $1000$, donc $1$ m³ $=1000$ dm³. Le facteur $100$ est celui des AIRES : $1$ m² $=100$ dm². Énoncé correct : « $1$ m³ $=1000$ dm³ $=1000$ L ». Confondre les deux revient à se tromper d'un facteur $10$ sur une facture d'eau ou sur un devis de béton.

3) FAUX. La croix n'est qu'un patron parmi les $11$ patrons de cube existants. Contre-exemple : l'escalier formé de trois paires de carrés décalées se plie parfaitement en cube. Énoncé correct : « il existe $11$ patrons de cube différents, dont la croix ». Retenir seulement la croix conduit à refuser des patrons corrects le jour du contrôle.

4) FAUX. Contre-exemple : un cube de $8$ cm d'arête et un pavé de $16$ cm sur $8$ cm sur $4$ cm ont tous deux un volume de $512$ cm³, mais leurs aires totales valent respectivement $384$ cm² et $448$ cm². Énoncé correct : « deux boîtes de même volume peuvent avoir des aires totales différentes ». Le volume mesure ce qu'on met DEDANS, l'aire mesure ce qu'il faut AUTOUR : ce sont deux grandeurs indépendantes.

5) FAUX, et c'est exactement l'inverse. Sur un patron, deux faces opposées du cube ne partagent jamais de bord : elles sont toujours séparées par au moins une autre face. Deux carrés voisins sur le patron deviennent au contraire deux faces PERPENDICULAIRES du cube. Énoncé correct : « sur un patron de cube, deux faces opposées ne sont jamais voisines ». C'est la règle qui permet de répondre instantanément aux questions du type « quelle face sera en face de la face grise ».

1) $V=15\times 10\times 6=900$ cm³. Comme $1000$ cm³ $=1$ L, cela fait $900\div 1000=0{,}9$ L, soit un peu moins d'une bouteille d'eau.

2) L'aire totale d'un pavé droit est la somme des aires des six faces, soit $2\times(15\times 10+15\times 6+10\times 6)=2\times(150+90+60)=2\times 300=600$ cm². Le résultat est en cm², car on additionne des aires : c'est une surface de carton, pas un contenu.

3) Sans couvercle, il manque une face de dessus, qui est un rectangle de $15$ cm sur $10$ cm, donc d'aire $150$ cm². L'aire nécessaire est alors $600-150=450$ cm². On retire l'aire d'UNE seule face, pas la moitié du total : le dessus et les côtés n'ont pas la même aire.

4) L'aire de la feuille vaut $30\times 25=750$ cm², bien plus que les $450$ cm² nécessaires. Mais une aire suffisante ne garantit pas que le patron TIENNE dans la feuille : tout dépend de sa disposition. Dessinées en une seule bande, les quatre faces latérales mesurent $15+10+15+10=50$ cm de long, et cette bande n'entre pas dans une feuille de $30$ cm. En revanche, avec le fond au centre et les quatre côtés rabattus autour de lui, le patron occupe $6+15+6=27$ cm sur $6+10+6=22$ cm : il tient dans la feuille de $30$ cm sur $25$ cm, comme le montre la figure. On peut donc le découper d'une seule pièce, à condition de choisir la bonne disposition. La surface ne décide jamais seule, la FORME compte aussi.

5) Les nouvelles dimensions sont $30$ cm, $20$ cm et $12$ cm. Le volume devient $30\times 20\times 12=7\,200$ cm³, et $7\,200=900\times 8$ : le volume est multiplié par $8$, car $2\times 2\times 2=8$. L'aire totale devient $2\times(600+360+240)=2\times 1\,200=2\,400$ cm², et $2\,400=600\times 4$ : l'aire est multipliée par $4$, car $2\times 2=4$. Une aire dépend de deux dimensions, un volume de trois : c'est toute la différence entre les deux grandeurs.

6) $9$ L représentent $9\,000$ cm³, et chaque boîte en contient $900$. On peut donc remplir $9\,000\div 900=10$ boîtes exactement. La conversion en cm³ est obligatoire avant de diviser : diviser $9$ par $900$ n'aurait aucun sens, puisque les deux nombres ne seraient pas dans la même unité.

1) Boîte A : $8\times 8\times 8=512$ cm³. Boîte B : $16\times 8\times 4=512$ cm³. Les deux boîtes contiennent donc exactement la même chose, alors qu'elles n'ont visiblement pas la même forme. Le volume ne détermine pas la forme.

2) Les six faces de la boîte A sont des carrés de $8$ cm de côté, d'aire $8\times 8=64$ cm² chacun. L'aire totale vaut donc $6\times 64=384$ cm².

3) Pour la boîte B, les faces vont par paires : $2\times(16\times 8)=256$ cm², $2\times(16\times 4)=128$ cm² et $2\times(8\times 4)=64$ cm². Au total, $256+128+64=448$ cm². On peut aussi écrire directement $2\times(128+64+32)=2\times 224=448$ cm².

4) La boîte A demande moins de carton : $384$ cm² contre $448$ cm², soit $448-384=64$ cm² d'économie par boîte, environ $14$ pour cent. À contenance égale, la forme la plus proche du cube est celle qui consomme le moins d'emballage : c'est pour cela que tant de cartons de déménagement sont presque cubiques.

5) Boîte C : le volume vaut $32\times 4\times 4=512$ cm³, le même que les deux autres. Son aire totale vaut $2\times(32\times 4+32\times 4+4\times 4)$, c'est-à-dire $2\times(128+128+16)=2\times 272=544$ cm². Plus la boîte est allongée, plus il faut de carton pour enfermer le même contenu : $384$, puis $448$, puis $544$ cm² pour un volume toujours égal à $512$ cm³.

6) L'écart entre la boîte C et la boîte A vaut $544-384=160$ cm² par boîte. Pour $1\,000$ boîtes, cela fait $160\times 1\,000=160\,000$ cm². Comme $1$ m² $=10\,000$ cm², on obtient $160\,000\div 10\,000=16$ m² de carton économisés, soit la surface d'une petite chambre. Sur une production industrielle, le choix de la forme n'est donc pas un détail, et il ne se voit que si l'on calcule l'aire au lieu de se fier au volume.

1) $27=3\times 3\times 3$ : le grand cube a $3$ petits cubes par arête, donc une arête de $3$ cm. Son volume vaut $3\times 3\times 3=27$ cm³, un cm³ par petit cube.

2) Un petit cube a trois faces peintes quand il est à un COIN du grand cube, là où trois faces se rejoignent. Un cube a $8$ sommets : $8$ petits cubes ont trois faces peintes.

3) Deux faces peintes : le petit cube est au milieu d'une ARÊTE, entre deux coins. Chaque arête du grand cube porte $3$ petits cubes, dont $2$ coins, il en reste $1$ par arête. Un cube a $12$ arêtes : $12$ petits cubes.

4) Une seule face peinte : le petit cube est au centre d'une FACE. Chaque face compte $9$ petits cubes, dont $4$ coins et $4$ milieux d'arête, il reste $1$ centre. Six faces : $6$ petits cubes. Aucune face peinte : le cube caché au cœur du grand cube, $1$ seul.

5) $8+12+6+1=27$, tous les petits cubes sont comptés. Avec une arête de $4$ cm, on retire la couche extérieure de chaque côté : le cœur non peint est un cube de $4-2=2$ cm d'arête, soit $2\times 2\times 2=8$ petits cubes. On retrouve dans ce problème les $8$ sommets, $12$ arêtes et $6$ faces du cube.

1) Dans la colonne de quatre cases, deux cases sont opposées quand on en saute une : la case du haut et la troisième, la deuxième et la quatrième. Les deux cases latérales, accrochées de part et d'autre de la deuxième, sont opposées entre elles.

2) Oui. Le $1$ est en haut de la colonne et le $6$ en troisième case : elles sont opposées, et $1+6=7$.

3) La case $a$ est la quatrième de la colonne, opposée à la deuxième, qui porte le $2$. Il faut $7-2=5$.

4) La case $b$ est opposée à la case de gauche, qui porte le $3$. Il faut $7-3=4$. Contrôle : les six nombres $1$, $2$, $3$, $4$, $5$, $6$ sont tous utilisés une seule fois.

5) Non. Deux cases qui se touchent sur un patron deviennent deux faces VOISINES du dé, jamais des faces opposées. Or $2+5=7$ : sur un vrai dé, $2$ et $5$ doivent être opposés. Ce patron ne peut pas être celui d'un dé.

1) La cuillère à café contient $5$ mL, la brique de lait $1$ L, la baignoire $200$ L et la piscine de jardin $30$ m³. On range du plus petit objet au plus grand, en convertissant pour comparer.

2) $5$ mL $=5$ cm³, puisque $1$ mL $=1$ cm³. $1$ L $=1$ dm³ $=1\,000$ cm³. $200$ L $=200\times 1\,000=200\,000$ cm³. $30$ m³ $=30\times 1\,000\,000=30\,000\,000$ cm³, car $1$ m³ $=1\,000$ dm³ $=1\,000\,000$ cm³.

3) $1\,000\div 5=200$ cuillères à café pour une seule brique de lait.

4) $30$ m³ $=30\,000$ L, et $30\,000\div 200=150$ baignoires.

5) $30\times 20\times 12=7\,200$ cm³, soit $7{,}2$ L. Ce n'est pas plausible : $12$ m³ font $12\,000$ L, soixante baignoires, le volume d'une petite chambre. L'élève a sans doute oublié de convertir ou s'est trompé d'unité. Un ordre de grandeur connu suffit à repérer l'erreur.

1) L'arête commune divise à la fois $12$ et $15$, puisque chaque aire est cette arête multipliée par une autre. Diviseurs de $12$ : $1$, $2$, $3$, $4$, $6$, $12$ ; diviseurs de $15$ : $1$, $3$, $5$, $15$. L'arête commune mesure $1$ ou $3$ cm.

2) Diviseurs communs de $15$ et de $20$ : $1$ et $5$. L'arête commune mesure $1$ ou $5$ cm.

3) Diviseurs communs de $12$ et de $20$ : $1$, $2$ et $4$. L'arête commune mesure $1$, $2$ ou $4$ cm.

4) Si l'arête commune aux faces de $12$ et $15$ cm² mesurait $1$ cm, les deux autres arêtes mesureraient $12$ et $15$ cm, et la troisième face aurait une aire de $12\times 15=180$ cm², pas $20$. Elle mesure donc $3$ cm. La face de $12$ cm² a alors une autre arête de $12\div 3=4$ cm, celle de $15$ cm² une autre arête de $15\div 3=5$ cm, et la troisième face mesure $4\times 5=20$ cm², ce qui convient. Le pavé mesure $3$ cm, $4$ cm et $5$ cm.

5) Volume : $3\times 4\times 5=60$ cm³. Aire totale : chaque face apparaît deux fois, $2\times(12+15+20)=2\times 47=94$ cm².

1) Le cube de $1$ dm a $10$ cm d'arête : $10$ petits cubes dans chaque direction, soit $10\times 10\times 10=1\,000$ petits cubes. On retrouve $1$ dm³ $=1\,000$ cm³.

2) $1\,000$ cubes de $1$ cm alignés font $1\,000$ cm, c'est-à-dire $10$ m. Un volume qui tient dans la main devient une ligne longue comme une salle de classe.

3) $1$ m $=100$ cm : il faut $100\times 100\times 100=1\,000\,000$ petits cubes. Alignés, ils forment $1\,000\,000$ cm, soit $10\,000$ m, c'est-à-dire $10$ km.

4) $1$ m³ $=1\,000$ dm³ $=1\,000$ L : il faudrait $1\,000$ briques de lait.

5) Dans chaque direction, $1$ m $=100$ cm contient $10$ fois $10$ cm. Il faut donc $10\times 10\times 10=1\,000$ cubes de $10$ cm, et non $100$. Avec $100$ cubes, on ne remplit que la couche du fond, un carré de $10$ sur $10$ : il en faut encore neuf autres par-dessus.