Sixième, programme français à Montréal • Exercices corrigés
Ce chapitre se corrige sur trois lignes qui reviennent à chaque copie : « le volume est cm », « m³ dm³ », et « cette figure n'est pas un patron parce qu'elle ne ressemble pas à une croix ». Aucune de ces erreurs ne vient d'un calcul raté.
Cette fiche laisse le cours dans le cahier. Elle rassemble ce qui rapporte des points : distinguer longueur, aire et volume par leur unité, plier un patron par la pensée au lieu de reconnaître une forme apprise par coeur, et mettre les trois dimensions dans la même unité avant de multiplier.
Le fil du chapitre
Un patron se plie dans la tête : deux bords qui se recollent ont la même longueur, et deux faces opposées ne se touchent jamais. Tout le reste du chapitre est une affaire d'UNITÉS, où le facteur vaut pour un volume et jamais .
L'unité de la réponse fait partie de la réponse. Un volume annoncé en cm² ou en cm dit au correcteur que la formule n'a pas été comprise, même quand le nombre est juste.
On ne mesure JAMAIS une longueur à la règle sur une perspective : les dimensions se lisent dans l'énoncé. Le dessin sert à voir quelles faces sont opposées, pas à mesurer.
Les deux carrés qui ferment le dessus et le dessous doivent se trouver DE PART ET D'AUTRE de la bande. Du même côté, l'un des deux retombe sur une face déjà occupée.
Convertir la réponse en litres est le meilleur contrôle du chapitre : un aquarium de L est crédible, un aquarium de L ne l'est pas.
Les erreurs ci-dessous sont celles que je corrige le plus souvent en séance. Chacune coûte des points sur une copie, même quand le raisonnement est juste.
Ce qu'il ne faut pas écrire
« m³ dm³, donc la citerne contient litres. »
Ce qu'il faut écrire
« m³ dm³ L, donc m³ litres. »
Pourquoi : Le facteur est celui des aires. Un dm vaut cm dans les TROIS directions, donc le facteur d'un volume est .
Ce qu'il ne faut pas écrire
« cm. »
Ce qu'il faut écrire
« cm³. »
Pourquoi : On a multiplié trois longueurs, donc l'unité porte l'exposant . L'exposant de l'unité est le compte des dimensions multipliées, ce n'est pas une décoration.
Ce qu'il ne faut pas écrire
« La boîte mesure sur sur , il faut donc cm² de carton. »
Ce qu'il faut écrire
« Le carton couvre les six faces : cm². Le nombre cm³ est le volume, c'est-à-dire ce que la boîte CONTIENT. »
Pourquoi : Le volume mesure ce qu'on met dedans, l'aire mesure ce qu'il faut autour. Les mots de l'énoncé, carton, peinture, papier cadeau, annoncent toujours une aire.
Ce qu'il ne faut pas écrire
« On double l'arête du cube de cm, donc le volume passe de à cm³. »
Ce qu'il faut écrire
« La nouvelle arête vaut cm, donc cm³ : le volume est multiplié par , car . »
Pourquoi : Les TROIS dimensions sont doublées à la fois. Pour une aire, le même raisonnement donne un facteur , et pour une longueur un facteur : c'est encore le nombre de dimensions qui décide.
Ce qu'il ne faut pas écrire
« Cette figure en escalier n'est pas un patron de cube, un patron a la forme d'une croix. »
Ce qu'il faut écrire
« Cette figure se plie bien en cube : la croix n'est qu'un patron parmi les patrons de cube possibles. »
Pourquoi : Le critère n'est pas la ressemblance à une forme apprise par coeur, mais le pliage : chaque face doit être couverte une fois et une seule.
Ce qu'il ne faut pas écrire
« Sur le patron, la face du dessus est à côté de la face du dessous, puisqu'elles se retrouvent l'une en face de l'autre. »
Ce qu'il faut écrire
« Deux faces opposées ne partagent jamais de bord sur un patron : elles sont séparées par au moins une autre face, et sur une bande de quatre carrés on les trouve en sautant une case. »
Pourquoi : Deux carrés voisins sur le patron deviennent au contraire deux faces PERPENDICULAIRES du cube, puisqu'on plie le long de leur bord commun.
Ce qu'il ne faut pas écrire
« Un cube a arêtes, une par face. »
Ce qu'il faut écrire
« Un cube a faces, arêtes et sommets. »
Pourquoi : Chaque face carrée a côtés, ce qui ferait , mais chaque arête est partagée par deux faces : . Le compte se retrouve au lieu de s'apprendre.
Ce qu'il ne faut pas écrire
« La citerne mesure cm sur m sur m, donc m³. »
Ce qu'il faut écrire
« On convertit d'abord : cm m. Alors m³, soit L. »
Pourquoi : La formule du volume suppose les trois longueurs dans la même unité. La conversion se fait AVANT la multiplication, jamais après, sinon il faut corriger d'un facteur qu'on ne sait plus retrouver.
On lit le VERBE de l'énoncé, pas la forme du solide.
Si remplir, contenir, verser, la capacité, combien de litres → c'est un VOLUME : multiplier les trois dimensions, répondre en cm³, m³ ou L
Exemple : une citerne de contient m³, soit L
Si recouvrir, peindre, emballer, le carton nécessaire, le papier → c'est une AIRE : additionner les six faces, répondre en cm² ou m²
Exemple : une boîte demande cm² de carton
sans couvercle, on retire l'aire d'UNE face, pas la moitié du total
Si entourer, le fil de fer, les arêtes, le contour → c'est une LONGUEUR : additionner les arêtes, répondre en cm ou m
Exemple : un pavé demande cm de fil
Si combien de cubes tiennent dedans → diviser chaque dimension par l'arête du cube, puis multiplier les trois quotients
Exemple : caisse et cubes de : cubes
si une division ne tombe pas juste, on garde le quotient entier et il reste de la place perdue
Le contrôle qui ne trompe pas : l'unité de la réponse doit être celle de la branche choisie. Un carton annoncé en cm³ signale qu'on a pris la mauvaise branche, avant même de vérifier le calcul.
On regarde l'exposant de l'unité, c'est lui qui donne le facteur.
Si une longueur, unité sans exposant → facteur d'une unité à la suivante
Exemple : m dm cm
Si une aire, unité au carré → facteur , soit
Exemple : m² dm² cm²
Si un volume, unité au cube → facteur , soit
Exemple : m³ dm³ cm³
Si une contenance en litres → passer par L dm³, puis appliquer le facteur
Exemple : L dm³ cm³
le litre et le dm³ mesurent la même chose, seul le nom change
On multiplie en allant vers l'unité PLUS PETITE et on divise en allant vers la plus grande. Comparer deux volumes exige de tout convertir dans la même unité avant de regarder les nombres.
Le correcteur coche des étapes. Les voici dans l'ordre, avec la phrase de conclusion qu'il attend mot pour mot.
Quand l'utiliser : L'énoncé demande un volume, une capacité ou un nombre de litres.
Phrase de conclusion
« m³. Comme m³ L, la citerne contient litres. »
Le piège : Multiplier d'abord et convertir ensuite : le facteur à rattraper n'est plus mais ou , et personne ne le retrouve.
Barème : 0,5 point la conversion des dimensions, 0,5 point la formule écrite, 1 point le calcul, 0,5 point l'unité et la conversion finale.
Quand l'utiliser : L'énoncé donne plusieurs figures de six carrés et demande lesquelles sont des patrons.
Phrase de conclusion
« Cette figure compte bien carrés, mais en la pliant, deux carrés se superposent sur la même face et le dessous reste à découvert : ce n'est pas un patron de cube. »
Le piège : Répondre « non, ça ne marche pas » sans dire quelle face se superpose. C'est la désignation de la face qui rapporte le point, pas la conclusion.
Barème : 0,5 point le compte des carrés, 1 point le pliage décrit, 0,5 point la face nommée.
Cinq minutes de vérification récupèrent plus de points qu'un exercice de plus commencé à la hâte.
L'unité répond-elle à la question ?
Une longueur se termine par cm ou m, une aire par cm² ou m², un volume par cm³, m³ ou L. Si l'unité ne correspond pas au verbe de l'énoncé, c'est la formule qui est fausse.
Un carton annoncé en cm³ signale qu'on a calculé le volume au lieu de l'aire totale.
Les trois dimensions étaient-elles dans la même unité ?
Relire la ligne du calcul et vérifier que les trois nombres portaient la même unité avant la multiplication. C'est le contrôle le plus rentable du chapitre.
mélange des centimètres et des mètres : le résultat est cent fois trop grand.
L'ordre de grandeur en litres
Convertir la réponse en litres et la comparer à un objet connu : une bouteille fait L, un seau L, une baignoire L.
Un aquarium de L n'existe pas dans un salon : le facteur a été appliqué une fois de trop.
Le compte des faces sur un patron
Compter les carrés ou les rectangles du patron, puis vérifier qu'ils vont par paires identiques, deux par deux, pour un pavé droit.
Trois rectangles au lieu de deux signalent une face de trop et une face manquante.
On fabrique une boîte en forme de pavé droit de cm de longueur, cm de profondeur et cm de hauteur.
Quel est son volume en litres ? Quelle aire de carton faut-il si la boîte n'a pas de couvercle ? Une feuille de cm sur cm suffit-elle ?
Étape 1
cm³. Comme cm³ L, cela fait L.
Pourquoi
On calcule dans l'unité de l'énoncé, puis on convertit à la fin. Convertir les longueurs en dm avant de multiplier donnerait le même résultat mais avec trois occasions de se tromper au lieu d'une.
Étape 2
Aire totale : , soit cm².
Pourquoi
On écrit les trois produits AVANT de doubler : c'est la forme attendue, et elle rend visible qu'aucune paire de faces n'a été oubliée.
Étape 3
Sans couvercle, on retire la face du dessus, un rectangle de sur , d'aire cm². Il reste cm².
Pourquoi
On retire l'aire d'UNE face précise, nommée. Retirer un sixième du total serait faux, puisque les six faces n'ont pas la même aire.
Étape 4
La feuille a une aire de cm², donc plus que les cm² nécessaires.
Pourquoi
L'aire est la première condition, et elle est remplie. C'est ce qui rend l'étape suivante indispensable : sans elle, on conclurait trop vite.
Étape 5
Mais la bande des quatre faces latérales mesure cm de large, alors que la feuille n'en mesure que : le patron n'y entre pas d'une seule pièce.
Pourquoi
Une aire suffisante ne dit rien de la FORME. C'est l'étape qui distingue une copie qui a compris d'une copie qui a calculé.
Conclusion rédigée
« La boîte contient L. Sans couvercle, elle demande cm² de carton. La feuille de cm² a une aire suffisante, mais le patron d'une seule pièce mesure cm de large : il faut donc le découper en plusieurs morceaux. »
L'erreur classique sur cet exercice : Répondre que la feuille suffit parce que , sans regarder les dimensions. C'est la question que l'énoncé pose vraiment, et le calcul d'aire seul n'y répond pas.
On multiplie la longueur par la profondeur puis par la hauteur, après avoir mis les trois dimensions dans la même unité. Le résultat s'exprime en centimètres cubes ou en mètres cubes, jamais en centimètres. Pour un cube, les trois dimensions sont égales : on multiplie donc l'arête trois fois par elle-même.
Un mètre cube vaut mille litres. Le chemin le plus sûr passe par le décimètre cube : un mètre cube vaut mille décimètres cubes, et un décimètre cube vaut exactement un litre. Attention, le facteur entre deux unités de volume voisines est mille, jamais dix ni cent, parce qu'un volume a trois dimensions.
On vérifie d'abord qu'il y a six carrés, puis on plie la figure par la pensée. Il faut que chaque face du cube soit couverte une fois et une seule, sans superposition ni trou. La forme en croix n'est pas la seule : il existe onze patrons de cube différents, dont plusieurs en escalier.
Le volume mesure ce que la boîte contient, en centimètres cubes ou en litres. L'aire totale mesure ce qu'il faut autour, c'est-à-dire la surface de carton, en centimètres carrés. Deux boîtes de même volume peuvent demander des quantités de carton différentes : le cube est la forme la plus économique.
Le volume est multiplié par huit et non par deux, parce que les trois dimensions sont doublées en même temps et que deux fois deux fois deux font huit. L'aire totale, elle, est multipliée par quatre, puisqu'une aire ne dépend que de deux dimensions. La longueur des arêtes, elle, double simplement.
© Ahmed Squalli Houssaini. Fiche publiée sur www.letuteurscientifique.ca/fiches/6eme-solides-volumes. Libre pour l'usage personnel et en classe ; sa republication ailleurs demande une autorisation écrite (mentions légales).
