Exercices corrigés : géométrie et grandeurs (Sixième)

$(d_{1})$ et $(d_{2})$ sont perpendiculaires, ce que le petit carré tracé en $A$ indique : on écrit $(d_{1})\perp(d_{2})$. Les droites $(d_{1})$ et $(d_{3})$ sont parallèles, on écrit $(d_{1})\parallel(d_{3})$. On le justifie par la propriété de la question 5, et non par l'allure du dessin.

NON, $E$ n'est pas sur $(d_{1})$ : on écrit $E\notin(d_{1})$. Pour les points qui appartiennent, comme $D$, on écrit $D\in(d_{1})$. Ces deux symboles se lisent « appartient à » et « n'appartient pas à ».

$(AB)$ désigne la DROITE passant par $A$ et $B$, illimitée des deux côtés. $[AB]$ désigne le SEGMENT, la portion comprise entre $A$ et $B$, avec ses deux extrémités. $AB$ sans crochets désigne la LONGUEUR de ce segment, c'est-à-dire un nombre, qu'on peut comparer ou additionner. Écrire $(AB)=5$ cm n'a donc aucun sens : une droite n'est pas un nombre.

OUI, $B$ appartient aux deux : $B\in(d_{2})$ et $B\in(d_{3})$. On dit que $B$ est le POINT D'INTERSECTION des droites $(d_{2})$ et $(d_{3})$. Deux droites non parallèles se coupent toujours en un point et un seul.

OUI, c'est une propriété du cours : si deux droites sont perpendiculaires à une même troisième, alors elles sont parallèles entre elles. Sur la figure, $(d_{1})$ et $(d_{3})$ sont toutes deux perpendiculaires à $(d_{2})$, donc $(d_{1})\parallel(d_{3})$. C'est bien cette propriété qui justifie la réponse de la question 1, et pas le fait que les deux droites aient l'air horizontales.

NON. Une droite parallèle à $(d_{1})$ ne la couperait jamais, or $(d_{4})$ la coupe : elles sont donc sécantes. Même chose avec $(d_{3})$. Et $(d_{4})$ n'est pas non plus perpendiculaire à ces droites, car aucun angle droit n'est codé sur la figure. Sécant, parallèle et perpendiculaire sont trois positions différentes : perpendiculaire est un cas particulier de sécant, jamais de parallèle.

On pose l'équerre le long de $(d)$, on la fait glisser jusqu'à ce que son autre côté passe par $A$, puis on trace. Le point $H$ obtenu s'appelle le PIED de la perpendiculaire, et la longueur $AH$ est la distance du point $A$ à la droite $(d)$ : c'est le plus court chemin de $A$ à $(d)$. On code l'angle droit en $H$ par un petit carré.

Même outil, dans l'autre sens : on aligne un côté de l'équerre sur $(d)$ et l'on trace le long de l'autre côté après avoir amené la règle contre $A$. La parallèle ainsi obtenue ne rencontrera jamais $(d)$, aussi loin qu'on prolonge les deux traits.

Le milieu $I$ est le point de $[EF]$ situé à égale distance de $E$ et de $F$. Ici $EF$ mesure $2{,}4$ unités sur la figure, donc $EI=IF=1{,}2$ unité. On le trouve à la règle graduée en mesurant la moitié de la longueur, ou au compas en traçant deux arcs de même rayon centrés en $E$ et en $F$.

La médiatrice de $[EF]$ est la droite perpendiculaire à $[EF]$ qui passe par son milieu $I$. Il faut donc les DEUX propriétés : perpendiculaire, et passant par le milieu. Elle a une propriété essentielle, utilisée dans tout le collège : tous ses points sont à égale distance de $E$ et de $F$.

On pique la pointe du compas en $A$, on règle l'écartement à $1{,}2$ cm sur la règle, puis on trace le tour complet. Tous les points du cercle sont à $1{,}2$ cm de $A$ : le cercle est exactement l'ensemble des points situés à cette distance du centre. Le rayon vaut $1{,}2$ cm et le diamètre le double, soit $2{,}4$ cm.

Il existe UNE SEULE perpendiculaire à $(d)$ passant par $A$, et UNE SEULE parallèle. Ces deux propriétés d'unicité sont fondamentales : c'est parce que la perpendiculaire est unique que la distance d'un point à une droite est bien définie, et c'est parce que la parallèle est unique que deux droites parallèles à une même troisième sont parallèles entre elles.

Pour chaque sommet, on compte les carreaux qui le séparent de $(d)$, puis on reporte le même nombre de l'autre côté, sur la même ligne horizontale. Le point $A$ est à $4$ carreaux à gauche de $(d)$, donc $A'$ est à $4$ carreaux à droite, à la même hauteur. On procède de même pour $B$ et $C$, puis on relie les trois images.

La droite $(d)$ est la verticale d'abscisse $5$. Le point $A$ a pour abscisse $1$, donc $A'$ a pour abscisse $5+4=9$ et la même ordonnée $1$ : $A'(9\,;1)$. De même $C(1\,;4)$ donne $C'(9\,;4)$. L'ordonnée ne change JAMAIS dans une symétrie d'axe vertical, seule l'abscisse est renvoyée de l'autre côté.

Les longueurs sont ÉGALES : $AB=A'B'=2$ carreaux. Les aires aussi : les deux triangles ont même base $2$ et même hauteur $3$, donc chacun a pour aire $\dfrac{2\times 3}{2}=3$ carreaux. La symétrie axiale conserve les longueurs, les angles, les aires et le parallélisme : la figure image est superposable à la figure de départ, simplement retournée.

$C'$ est à $4$ carreaux de $(d)$, exactement comme $C$. C'est la définition même : $(d)$ est la médiatrice de $[CC']$, donc elle passe par le milieu de ce segment et tous ses points sont à égale distance de $C$ et de $C'$.

Un point situé sur $(d)$ est son PROPRE symétrique : il ne bouge pas. On dit qu'il est invariant. C'est cohérent avec la définition, puisque sa distance à l'axe est nulle et qu'on la reporte à l'identique de l'autre côté.

OUI. Si trois points sont alignés, leurs symétriques le sont aussi. C'est ce qui permet de ne construire que les SOMMETS d'un polygone, puis de relier les images à la règle : les côtés suivent automatiquement. Sans cette propriété, il faudrait construire le symétrique de chaque point d'un segment, ce qui serait impossible.

Carré : $4$ axes, les deux médiatrices des côtés et les deux diagonales. Rectangle non carré : $2$ axes, les médiatrices des côtés seulement. Losange non carré : $2$ axes, ses deux diagonales. Triangle équilatéral : $3$ axes. Triangle isocèle non équilatéral : $1$ axe. Parallélogramme quelconque : $0$ axe. Cercle : une INFINITÉ d'axes.

NON. En pliant un rectangle le long d'une diagonale, les deux moitiés ne se superposent pas : on obtient deux triangles rectangles identiques mais retournés l'un par rapport à l'autre, dont les côtés ne coïncident pas, sauf si le rectangle est un carré. C'est l'erreur la plus fréquente du chapitre, et le pliage d'une feuille suffit à la lever.

Le carré possède tout ce qu'a le rectangle, les deux médiatrices des côtés, PLUS ce qu'a le losange, les deux diagonales, parce qu'il est à la fois rectangle et losange. Il cumule donc $2+2=4$ axes. Plus une figure a de propriétés d'égalité entre ses côtés, plus elle a d'axes.

Une infinité : toute droite passant par le CENTRE est un axe de symétrie du cercle. En pliant le long de n'importe quel diamètre, les deux demi-disques se superposent, puisque tous les points du cercle sont à la même distance du centre.

OUI, c'est le cas le plus fréquent. Le parallélogramme quelconque n'en a aucun, et un triangle dont les trois côtés ont des longueurs différentes non plus. Avoir un axe de symétrie est une propriété particulière, pas une règle générale.

L'axe de symétrie échange les deux côtés égaux, donc il échange aussi les deux angles à la base. Comme la symétrie axiale conserve les angles, ces deux angles sont ÉGAUX. C'est ainsi qu'on démontre, sans mesurer, que les angles à la base d'un triangle isocèle ont la même mesure.

Le premier se nomme $\widehat{AOB}$ ou $\widehat{BOA}$ : le sommet $O$ est écrit au milieu dans les deux cas. Le second se nomme $\widehat{RST}$ ou $\widehat{TSR}$, de sommet $S$. Écrire $\widehat{OAB}$ désignerait un tout autre angle, celui de sommet $A$ : la position de la lettre du milieu n'est pas une convention d'écriture, elle porte l'information.

$\widehat{AOB}$ est AIGU, car son ouverture est plus petite qu'un angle droit ; sa mesure, $55°$, est bien inférieure à $90°$. $\widehat{RST}$ est OBTUS, car son ouverture dépasse l'angle droit ; sa mesure, $125°$, est comprise entre $90°$ et $180°$.

Un angle de $90°$ est un angle DROIT, celui que forment deux droites perpendiculaires ; on le code par un petit carré. Un angle de $180°$ est un angle PLAT : ses deux côtés sont alignés et forment une droite entière.

Le complémentaire de $55°$ vaut $90-55=35°$. Vérification : $55+35=90$. Deux angles complémentaires forment, mis bout à bout, un angle droit.

Le supplémentaire de $125°$ vaut $180-125=55°$. Vérification : $125+55=180$. Deux angles supplémentaires forment, mis bout à bout, un angle plat.

Les deux angles de la figure sont justement SUPPLÉMENTAIRES l'un de l'autre, puisque $55+125=180$. Autrement dit, si l'on plaçait $\widehat{RST}$ contre $\widehat{AOB}$ en faisant coïncider les sommets et un côté, les deux côtés restants seraient alignés. C'est exactement la configuration de deux angles adjacents formant un angle plat, celle qu'on retrouvera en cinquième avec les angles alternes-internes.

$3{,}5$ m $=350$ cm ; $250$ mm $=25$ cm ; $2$ km $=2000$ m ; $45$ cm $=0{,}45$ m. On multiplie quand on va vers une unité plus petite, on divise quand on va vers une unité plus grande, ce qui donne un contrôle immédiat du sens : il y a beaucoup de centimètres dans un mètre, donc le nombre doit grandir.

Le carré a quatre côtés égaux : $P=4\times 7{,}5=30$ cm.

Le rectangle a deux longueurs et deux largeurs : $P=2\times(12+4{,}5)=2\times 16{,}5=33$ cm. On peut aussi calculer $12+12+4{,}5+4{,}5$, qui donne évidemment le même résultat, mais la première écriture est plus rapide et moins source d'oubli.

Attention à l'unité : $30$ mm valent $3$ cm. Le périmètre vaut donc $5+7+3=15$ cm. On ne peut jamais additionner des nombres exprimés dans des unités différentes, il faut d'abord tout convertir.

$P=2\times 3{,}14\times 5=31{,}4$ cm. Le diamètre valant $10$ cm, on retrouve la propriété qui fonde la formule : le périmètre d'un cercle vaut environ $3{,}14$ fois son diamètre, quelle que soit sa taille.

Le demi-périmètre vaut $30\div 2=15$ cm, et c'est la somme d'une longueur et d'une largeur. La largeur vaut donc $15-9=6$ cm. Contrôle : $2\times(9+6)=30$ cm. L'erreur classique consiste à faire $30-9=21$, en oubliant qu'un périmètre contient DEUX longueurs et DEUX largeurs.

En comptant, on trouve $18$ carreaux, donc une aire de $18$ cm². Le comptage est fiable ici parce que la figure suit exactement les lignes du quadrillage : aucun carreau n'est coupé en deux.

On découpe la figure en un rectangle du bas, de $6$ cm sur $2$ cm, et un rectangle du haut, de $3$ cm sur $2$ cm. Les aires valent $6\times 2=12$ cm² et $3\times 2=6$ cm², et leur somme donne $12+6=18$ cm², ce qui confirme le comptage. Découper en rectangles est la méthode générale, celle qui fonctionne encore quand les dimensions ne sont pas entières.

On fait le tour : $6+2+3+2+3+4=20$ cm. Notez que ce contour rentre et ressort, mais qu'on additionne bien TOUS les côtés parcourus, sans en oublier dans le renfoncement.

Rectangle : $12\times 4{,}5=54$ cm². Triangle rectangle : c'est la moitié d'un rectangle de mêmes côtés, donc $\dfrac{6\times 5}{2}=15$ cm². C'est ainsi qu'on retient la formule sans la confondre avec celle du rectangle.

Un mètre carré est un carré de $1$ m de côté, c'est-à-dire de $100$ cm de côté. Son aire vaut donc $100\times 100=10\,000$ cm². Le facteur entre deux unités d'aire successives est $100$, et non $10$ comme pour les longueurs : c'est le piège classique des conversions d'aires.

Le côté est le nombre qui, multiplié par lui-même, donne $36$ : c'est $6$, car $6\times 6=36$. Le périmètre vaut alors $4\times 6=24$ cm. Attention à ne pas confondre les deux grandeurs : l'aire $36$ s'exprime en cm² et le périmètre $24$ en cm, ce sont deux nombres et deux unités différents pour la même figure.

FAUX. Un rectangle de $12$ m sur $8$ m et un carré de $10$ m de côté ont tous deux un périmètre de $40$ m, mais leurs aires valent $96$ m² et $100$ m². Périmètre et aire sont deux grandeurs indépendantes : on peut allonger un rectangle en gardant son périmètre, son aire diminue alors. L'énoncé correct est : deux figures de même périmètre n'ont aucune raison d'avoir la même aire.

FAUX. En pliant un rectangle non carré le long d'une de ses diagonales, les deux moitiés ne se superposent pas. Seules les deux médiatrices des côtés sont des axes de symétrie du rectangle, qui en a donc exactement $2$. Les diagonales ne deviennent des axes que dans le cas particulier du carré.

FAUX. Un mètre carré est un carré de $1$ m de côté, soit $100$ cm sur $100$ cm : son aire vaut $100\times 100=10\,000$ cm². Pour les aires, le facteur de conversion est le CARRÉ de celui des longueurs. L'énoncé correct est $1$ m² $=10\,000$ cm².

FAUX. Dans le nom d'un angle, la lettre du milieu désigne le SOMMET. $\widehat{AOB}$ a pour sommet $O$, tandis que $\widehat{OAB}$ a pour sommet $A$ : ce sont deux angles différents d'une même figure, avec des mesures en général différentes. Seules les deux écritures $\widehat{AOB}$ et $\widehat{BOA}$ désignent le même angle.

FAUX. C'est vrai pour tous les points SAUF ceux de la droite elle-même. Un point situé sur l'axe est son propre symétrique : il reste où il est, on dit qu'il est invariant. L'énoncé correct est : le symétrique d'un point n'appartenant pas à l'axe est de l'autre côté, à la même distance ; un point de l'axe est invariant.

Il faut le PÉRIMÈTRE du jardin : $P=2\times(12+8)=2\times 20=40$ m de clôture.

Il faut l'AIRE : $\mathcal{A}=12\times 8=96$ m² de gazon. C'est le moment décisif du problème : la clôture suit le contour, donc c'est un périmètre, le gazon couvre la surface, donc c'est une aire. Confondre les deux est l'erreur qui coûte le plus de points au collège.

Clôture : $40\times 14=560$ dollars. Gazon : $96\times 3=288$ dollars. Total : $560+288=848$ dollars.

L'ouverture réduit la clôture à $40-2{,}5=37{,}5$ m, qui coûtent $37{,}5\times 14=525$ dollars. En ajoutant le portail et le gazon : $525+180+288=993$ dollars. Le portail coûte donc plus cher que les $2{,}5$ m de clôture qu'il remplace, ce qui augmente le total de $145$ dollars.

Le voisin a un périmètre de $4\times 10=40$ m : sa clôture a exactement la MÊME longueur, donc le même prix. En revanche son aire vaut $10\times 10=100$ m², soit $4$ m² de plus, et son gazon coûte $100\times 3=300$ dollars, c'est-à-dire $12$ dollars de plus. À clôture identique, il a plus de jardin.

Deux figures de même périmètre n'ont pas forcément la même aire, comme le montre la figure du corrigé. À périmètre fixé, plus le rectangle est allongé, plus son aire est petite ; le carré est celui qui enferme la plus grande aire. Un rectangle de $19$ m sur $1$ m aurait encore un périmètre de $40$ m mais une aire de $19$ m² seulement, cinq fois moins que le carré. Périmètre et aire sont donc deux grandeurs indépendantes, et connaître l'une ne détermine jamais l'autre.

$V=80\times 40\times 50=160\,000$ cm³. On multiplie bien les TROIS dimensions : une longueur multipliée par une longueur donne une aire, et le troisième facteur en fait un volume.

$1$ dm vaut $10$ cm, donc $1$ dm³ vaut $10\times 10\times 10=1000$ cm³. On divise donc par $1000$ : $160\,000$ cm³ $=160$ dm³ $=160$ L. Comme pour les aires, le facteur de conversion n'est pas $10$ mais $10$ élevé au cube, soit $1000$.

Le volume d'eau est celui d'un pavé de $80$ cm sur $40$ cm sur $35$ cm : $80\times 40\times 35=112\,000$ cm³, soit $112$ L. Seule la hauteur change, la base reste la même.

L'eau occupe $\dfrac{112}{160}$ de l'aquarium. En simplifiant par $16$, on obtient $\dfrac{7}{10}$, c'est-à-dire $70\,\%$ du volume. On pouvait aussi raisonner uniquement sur les hauteurs, $\dfrac{35}{50}=\dfrac{7}{10}$, puisque la base ne change pas : c'est plus rapide et cela évite tout calcul de volume.

La base de l'aquarium a une aire de $80\times 40=3200$ cm². Or $16$ L valent $16\,000$ cm³, donc la hauteur ajoutée vaut $16\,000\div 3200=5$ cm. L'eau monte à $35+5=40$ cm, ce qui reste sous le bord. Contrôle : $80\times 40\times 40=128\,000$ cm³, soit $128$ L, et $112+16=128$ L.

NON. Un cube de $40$ cm d'arête a un volume de $40\times 40\times 40=64\,000$ cm³, soit $64$ L seulement, bien moins que les $160$ L de l'aquarium. Pourtant, ce cube a des dimensions qui semblent proches. C'est le propre des volumes : ils varient beaucoup plus vite que les longueurs, et une réduction de moitié d'une seule dimension divise déjà le volume par deux.

Le point $C$ doit être à $4$ cm de $A$ : l'arc centré en $A$ a pour rayon $AC=4$ cm. Il doit être à $5$ cm de $B$ : l'arc centré en $B$ a pour rayon $BC=5$ cm. Un arc de cercle rassemble exactement les points situés à une distance donnée de son centre.

Non : les deux points sont symétriques par rapport à la droite $(AB)$, et la symétrie axiale conserve les longueurs. Les deux triangles ont les mêmes côtés, ils sont superposables en retournant la feuille. On choisit l'un des deux.

Non. On trace le côté de $8$ cm, puis deux arcs de rayons $3$ cm et $4$ cm centrés à ses extrémités. Ils ne peuvent pas se rencontrer : ensemble, ils ne couvrent que $3+4=7$ cm, moins que les $8$ cm à franchir. Le plus grand côté doit être plus petit que la somme des deux autres.

Ici $3+5=8$ : les deux arcs se touchent en un seul point, situé SUR le segment de $8$ cm. Les trois sommets sont alignés, on obtient un triangle aplati, qui ressemble à un segment. Ce n'est pas un vrai triangle.

Si le troisième côté est le plus grand, il doit rester sous $5+7=12$ cm : au plus $11$ cm. Si c'est le côté de $7$ cm le plus grand, il faut $5+x$ plus grand que $7$, donc $x$ plus grand que $2$ : au moins $3$ cm. Le troisième côté mesure entre $3$ et $11$ cm. Avec $2$ cm ou $12$ cm, le triangle serait aplati.

Le Nord et l'Est sont séparés par un angle droit : $90°$. Le Nord-Est partage cet angle en deux angles égaux : $90\div 2=45°$.

Un demi-tour correspond à un angle plat, $180°$ : il regarde vers le Sud. Le Nord et le Sud sont alignés avec le centre de la rose.

Du Nord-Est à l'Est : $45°$ ; de l'Est au Sud : $90°$. Au total $45+90=135°$. Cet angle est OBTUS, puisqu'il est compris entre $90°$ et $180°$.

En tournant dans le sens des aiguilles d'une montre, on passe du Nord-Ouest au Nord, $45°$, puis du Nord au Nord-Est, encore $45°$ : $45+45=90°$. Le bateau suit la direction Nord-Est. Le piège est de tourner dans l'autre sens, ce qui mènerait au Sud-Ouest.

Un angle aigu mesure moins de $90°$. Seules deux directions sont à moins de $90°$ du Nord : le Nord-Est et le Nord-Ouest, à $45°$ chacune. L'Est et l'Ouest sont à $90°$ : angle droit, pas aigu.

$4{,}2\times 2{,}5=10{,}5$ m².

Fenêtre : $1{,}2\times 1=1{,}2$ m². Porte : $0{,}8\times 2=1{,}6$ m².

On retire les ouvertures : $10{,}5-(1{,}2+1{,}6)=10{,}5-2{,}8=7{,}7$ m². Calculer l'aire d'une figure « trouée » par soustraction est souvent plus simple qu'un découpage.

Deux couches, c'est deux fois la surface : $2\times 7{,}7=15{,}4$ m². Un litre couvre $5$ m², donc il faut $15{,}4\div 5=3{,}08$ L. L'oubli de la deuxième couche donnerait $1{,}54$ L seulement.

Un pot de $2{,}5$ L ne suffit pas, puisque $2{,}5<3{,}08$. Deux pots font $5$ L, c'est assez. Il faut donc $2$ pots, pour $2\times 24=48$ dollars. On ne peut pas acheter $3{,}08\div 2{,}5=1{,}232$ pot : on arrondit au nombre de pots SUPÉRIEUR.

Le rayon est la moitié du diamètre : $70\div 2=35$ cm.

$P=2\times\pi\times R\approx 2\times 3{,}14\times 35=219{,}8$ cm. Plus rapide avec le diamètre : $P=\pi\times D\approx 3{,}14\times 70=219{,}8$ cm.

$100\times 219{,}8=21\,980$ cm, soit $219{,}8$ m. En cent tours, on ne fait qu'un peu plus de deux cents mètres.

$1$ km $=100\,000$ cm, et $100\,000\div 219{,}8\approx 454{,}96$. La roue fait environ $455$ tours. On convertit d'abord dans la même unité, sinon on divise des kilomètres par des centimètres.

Il trouve $439{,}6$ cm, le double du bon résultat. Il a mis le DIAMÈTRE à la place du rayon dans la formule $2\times\pi\times R$ : le facteur $2$ est alors compté deux fois. Contrôle de bon sens : le périmètre d'un cercle vaut un peu plus de trois fois son diamètre, soit à peine plus de $210$ cm ici, jamais $440$ cm.

C'est le CERCLE de centre $A$ et de rayon $3$ cm. Le cercle est exactement l'ensemble des points situés à une distance donnée du centre ; les points à MOINS de $3$ cm forment l'intérieur, le disque.

Le trésor est sur le cercle de centre $A$ et de rayon $3$ cm, et sur celui de centre $B$ et de rayon $4$ cm. Comme $3+4=7$ dépasse $5$, et que $4-3=1$ est plus petit que $5$, les deux cercles se coupent en DEUX points, symétriques par rapport à $(AB)$. Deux endroits possibles.