Sixième, programme français à Montréal • Exercices corrigés
La géométrie de Sixième se corrige presque toujours sur la même chose : l'élève a bien vu la figure, mais il écrit « la droite mesure cm », il oublie la moitié de la définition de la médiatrice, et il convertit m en cm.
Cette fiche laisse le cours dans le cahier et rassemble les gestes qui rapportent des points : choisir la bonne notation, citer la propriété avant de conclure, coder la figure, et appliquer le carré du facteur aux aires.
Le fil du chapitre
En Sixième, les points ne se perdent presque jamais sur la figure : ils se perdent sur la NOTATION, sur la propriété qu'on ne cite pas, et sur l'unité d'aire qu'on convertit comme une longueur.
Une phrase qui mélange les trois, comme « la droite mesure cm », coûte le point de notation même quand la figure est juste. Le crochet dit qu'on s'arrête, la parenthèse dit qu'on continue.
En Sixième, on ne démontre pas encore, mais on JUSTIFIE : citer la propriété rapporte le point, mesurer sur le dessin ne rapporte rien et coûte parfois le point de méthode.
Le parallélogramme est le piège de la liste : il a un centre de symétrie, mais aucun axe. Le rectangle en a deux, ses médianes, jamais ses diagonales.
Deux figures peuvent avoir le même périmètre et des aires très différentes. Un énoncé qui parle de clôture demande un périmètre, un énoncé qui parle de gazon, de peinture ou de carrelage demande une aire.
Les erreurs ci-dessous sont celles que je corrige le plus souvent en séance. Chacune coûte des points sur une copie, même quand le raisonnement est juste.
Ce qu'il ne faut pas écrire
« La droite mesure cm. »
Ce qu'il faut écrire
« Le segment a pour longueur cm. »
Pourquoi : Une droite n'a pas de longueur, elle est illimitée. Le correcteur lit la notation avant la figure : c'est le premier signal de sérieux.
Ce qu'il ne faut pas écrire
« La médiatrice de est la droite qui passe par le milieu de . »
Ce qu'il faut écrire
« La médiatrice de est la droite perpendiculaire à ET passant par son milieu. »
Pourquoi : Une infinité de droites passent par le milieu d'un segment. La perpendicularité est ce qui rend la médiatrice unique, donc constructible.
Ce qu'il ne faut pas écrire
« L'angle », alors que le sommet est .
Ce qu'il faut écrire
« L'angle : la lettre du milieu est le sommet. »
Pourquoi : Le nom d'un angle désigne deux demi-droites issues d'un même point. Changer la lettre du milieu change complètement l'angle désigné.
Ce qu'il ne faut pas écrire
« Le rectangle a axes de symétrie, comme le carré : ses côtés et ses diagonales. »
Ce qu'il faut écrire
« Le rectangle a exactement axes de symétrie, les droites qui joignent les milieux de deux côtés opposés. »
Pourquoi : Plier un rectangle non carré le long d'une diagonale ne superpose pas les deux moitiés. Le test se fait par pliage mental, pas par symétrie apparente.
Ce qu'il ne faut pas écrire
« Le périmètre d'un rectangle de cm sur cm est cm. »
Ce qu'il faut écrire
« L'AIRE vaut cm ; le PÉRIMÈTRE vaut cm. »
Pourquoi : L'unité trahit toujours l'erreur : un périmètre s'exprime en cm, une aire en cm. Lire l'unité de la réponse avant de la recopier évite la moitié des erreurs du chapitre.
Ce qu'il ne faut pas écrire
« m cm, puisque m cm. »
Ce qu'il faut écrire
« m cm : le facteur est au CARRÉ pour une aire. »
Pourquoi : Une aire se mesure dans les deux directions à la fois. Multiplier la longueur par multiplie l'aire par , et le volume par .
Ce qu'il ne faut pas écrire
« Les côtés de l'angle droit mesurent cm et cm, donc l'aire est cm. »
Ce qu'il faut écrire
« L'aire est la moitié de celle du rectangle : cm. »
Pourquoi : Le triangle rectangle est exactement la moitié du rectangle construit sur ses deux côtés de l'angle droit. Le dessin de ce rectangle au brouillon rend l'oubli impossible.
Ce qu'il ne faut pas écrire
« Le cercle a cm de diamètre, donc son périmètre est cm. »
Ce qu'il faut écrire
« Le rayon vaut cm, donc le périmètre est cm. »
Pourquoi : La formule est écrite avec le rayon. Quand l'énoncé donne le diamètre, on écrit d'abord sur une ligne à part, avant toute autre chose.
Ce qu'il ne faut pas écrire
« Les droites sont parallèles parce qu'on le voit bien sur le dessin. »
Ce qu'il faut écrire
« et sont toutes deux perpendiculaires à , donc elles sont parallèles entre elles. »
Pourquoi : Une figure n'est jamais une preuve : elle peut être mal tracée, et l'écart de deux degrés ne se voit pas. C'est la première année où le barème sépare la réponse de sa justification.
Ce qu'il ne faut pas écrire
« Après une symétrie axiale, la figure est retournée, donc son aire change. »
Ce qu'il faut écrire
« La symétrie axiale conserve les longueurs, les angles et les aires : la figure image est superposable à la figure de départ. »
Pourquoi : Le retournement change l'orientation, pas les mesures. C'est ce qui autorise à calculer sur la figure d'origine plutôt que sur son image.
On regarde ce que l'énoncé DONNE, et ce qu'il demande de conclure.
Si deux droites sont perpendiculaires à une même troisième → conclure qu'elles sont parallèles entre elles
Exemple : et , donc
Si deux droites sont parallèles et une troisième est perpendiculaire à l'une → conclure qu'elle est perpendiculaire à l'autre
Exemple : et , donc
Si un point est à égale distance des deux extrémités d'un segment → il est sur la médiatrice de ce segment
Exemple : , donc appartient à la médiatrice de
Si l'énoncé demande de tracer, pas de justifier → citer quand même l'outil utilisé, équerre ou compas, et coder la figure
Exemple : l'angle droit se code par un petit carré, les longueurs égales par des marques identiques
le codage rapporte des points au même titre qu'une phrase
Aucune de ces branches n'autorise à mesurer sur le dessin. Si aucune propriété ne s'applique, c'est que l'on a oublié une donnée de l'énoncé : la relire avant de continuer.
On lit le mot de l'énoncé qui dit ce qu'on mesure.
Si clôture, bordure, ruban, tour, contour → c'est un PÉRIMÈTRE, donc une longueur, en cm ou en m
Exemple : rectangle m sur m : m
Si gazon, peinture, carrelage, surface, moquette → c'est une AIRE, en cm ou en m
Exemple : m
Si contenance, remplissage, litres → c'est un VOLUME : dm L
Exemple : un aquarium de cm contient L
Si la figure est composée de plusieurs morceaux → découper en rectangles et en triangles rectangles, puis additionner ou soustraire les aires
Exemple : jardin moins terrasse : m
L'unité se décide AVANT le calcul, pas après : elle interdit déjà la moitié des erreurs. Et quand les données ne sont pas dans la même unité, on convertit d'abord, sur une ligne à part.
Le correcteur coche des étapes. Les voici dans l'ordre, avec la phrase de conclusion qu'il attend mot pour mot.
Quand l'utiliser : L'énoncé dit « justifier », « expliquer pourquoi » ou « que peut-on dire de ».
Phrase de conclusion
« Je sais que et . Or deux droites perpendiculaires à une même droite sont parallèles entre elles. Donc . »
Le piège : Sauter la deuxième ligne, celle de la propriété : c'est elle qui porte le point, la conclusion seule n'en rapporte aucun.
Barème : 0,5 point les données, 1 point la propriété citée, 0,5 point la conclusion écrite avec les notations.
Quand l'utiliser : La figure est un assemblage : un jardin avec une terrasse, une pièce en L, un rectangle amputé d'un triangle.
Phrase de conclusion
« L'aire du jardin est m, celle de la terrasse m ; la pelouse couvre donc m. »
Le piège : Soustraire aussi le côté de la terrasse au périmètre : la clôture fait toujours le tour du jardin entier.
Barème : 1 point par aire calculée, 1 point l'opération finale, 0,5 point la phrase avec l'unité.
Cinq minutes de vérification récupèrent plus de points qu'un exercice de plus commencé à la hâte.
Lire l'unité de la réponse
Une longueur se termine par cm ou m, une aire par cm ou m, un volume par cm ou L. Si l'unité ne correspond pas à la question, la formule est fausse.
Une clôture annoncée en m signale qu'on a calculé l'aire au lieu du périmètre.
L'ordre de grandeur sur la figure
Comparer le résultat à une longueur connue du dessin. Une diagonale ne peut pas être plus courte qu'un côté, une partie ne peut pas dépasser le tout.
Une pelouse de m dans un jardin de m : la soustraction a été faite à l'envers.
Le pliage mental pour un axe de symétrie
Plier la figure par la pensée le long de l'axe proposé et regarder si les deux moitiés se superposent exactement.
La diagonale d'un rectangle non carré : les deux moitiés ne se superposent pas, ce n'est donc pas un axe.
Le facteur au carré pour les conversions d'aire
Vérifier qu'une conversion d'aire porte deux fois plus de zéros que la conversion de longueur correspondante.
m cm, donc m cm : quatre zéros, pas deux.
Un jardin rectangulaire mesure m de long et m de large. Dans un coin se trouve une terrasse carrée de m de côté.
On veut clôturer tout le tour du jardin, puis engazonner la partie qui n'est pas occupée par la terrasse. La clôture coûte dollars le mètre.
Étape 1
Clôture : m.
Pourquoi
Le mot « tour » désigne le périmètre. La terrasse est à l'intérieur : elle ne change rien au contour, et c'est là que la moitié des copies retire m.
Étape 2
Coût de la clôture : dollars.
Pourquoi
Le prix est proportionnel à la longueur, donc on multiplie par le prix au mètre. L'unité du coefficient, dollar par mètre, indique le sens du calcul.
Étape 3
Aire du jardin : m.
Pourquoi
On change de grandeur, donc d'unité : le carré apparaît parce qu'on multiplie deux longueurs.
Étape 4
Aire de la terrasse : m, donc pelouse m.
Pourquoi
Une aire retirée se soustrait à l'aire totale. Le résultat doit rester inférieur à , ce qui se contrôle d'un coup d'œil.
Étape 5
Contrôle : , et m de clôture pour un jardin de m sur m est cohérent.
Pourquoi
L'addition inverse valide la soustraction, et l'ordre de grandeur valide le périmètre : un contour de m autour d'un rectangle de m de long est plausible.
Conclusion rédigée
« La clôture mesure m et coûte dollars ; la pelouse couvre m. »
L'erreur classique sur cet exercice : Retirer le côté de la terrasse au périmètre et annoncer m de clôture : la terrasse est à l'intérieur du jardin, elle n'entame pas son contour.
La droite passe par les deux points et ne s'arrête jamais ; on l'écrit avec des parenthèses. Le segment est la portion comprise entre les deux points, on l'écrit avec des crochets. La longueur s'écrit sans symbole autour des lettres : c'est un nombre, et c'est la seule des trois qui peut suivre le mot mesure.
La médiatrice d'un segment est la droite qui est perpendiculaire à ce segment et qui passe par son milieu. Les deux conditions sont nécessaires : une infinité de droites passent par le milieu, une seule est en plus perpendiculaire. On peut aussi la définir comme l'ensemble des points situés à égale distance des deux extrémités.
Deux : les droites qui joignent les milieux de deux côtés opposés. Les diagonales n'en sont pas, car en pliant le rectangle le long d'une diagonale les deux moitiés ne se superposent pas. Le carré, lui, en a quatre, et le parallélogramme quelconque aucun, même s'il possède un centre de symétrie.
Parce qu'une aire se mesure dans deux directions à la fois. Un carré d'un mètre de côté mesure cent centimètres de long et cent de large, donc il contient cent fois cent petits carrés d'un centimètre carré, soit dix mille. Pour les aires on applique le carré du facteur, et pour les volumes son cube.
On lit le mot qui dit ce qu'on mesure. Clôture, bordure, ruban et contour désignent un périmètre, donc une longueur en mètres. Gazon, peinture, carrelage et surface désignent une aire, donc des mètres carrés. L'unité de la réponse se décide avant le calcul et empêche la confusion.
