Sixième, programme français à Montréal • Fiche de révision
Fiche de révision : géométrie et grandeurs en Sixième
La géométrie de Sixième se corrige presque toujours sur la même chose : l'élève a bien vu la figure, mais il écrit « la droite [AB] mesure 5 cm », il oublie la moitié de la définition de la médiatrice, et il convertit 1 m2 en 100 cm2.
Cette fiche laisse le cours dans le cahier et rassemble les gestes qui rapportent des points : choisir la bonne notation, citer la propriété avant de conclure, coder la figure, et appliquer le carré du facteur aux aires.
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Le fil du chapitre
En Sixième, les points ne se perdent presque jamais sur la figure : ils se perdent sur la NOTATION, sur la propriété qu'on ne cite pas, et sur l'unité d'aire qu'on convertit comme une longueur.
•(AB) est une DROITE : elle passe par A et B et ne s'arrête nulle part.
•[AB] est un SEGMENT : la portion comprise entre A et B, extrémités comprises.
•AB est une LONGUEUR : c'est un nombre, il se compare et se calcule, mais il ne se trace pas.
•[AB) est une demi-droite : elle part de A, passe par B et continue.
Le même couple de points donne trois objets : une droite qui déborde, un segment qui s'arrête, et une longueur qui n'est qu'un nombre.
Une phrase qui mélange les trois, comme « la droite [AB] mesure 5 cm », coûte le point de notation même quand la figure est juste. Le crochet dit qu'on s'arrête, la parenthèse dit qu'on continue.
Les propriétés qui décident, à citer telles quelles
•Deux droites perpendiculaires à une même troisième sont PARALLÈLES entre elles.
•Si deux droites sont parallèles, toute perpendiculaire à l'une est perpendiculaire à l'autre.
•Par un point donné, il passe une seule perpendiculaire et une seule parallèle à une droite donnée.
•La médiatrice d'un segment est perpendiculaire à ce segment ET passe par son milieu : deux conditions, jamais une seule.
(d1) et (d2) sont toutes deux perpendiculaires à (d) : la propriété dit qu'elles sont parallèles, sans rien mesurer.
En Sixième, on ne démontre pas encore, mais on JUSTIFIE : citer la propriété rapporte le point, mesurer sur le dessin ne rapporte rien et coûte parfois le point de méthode.
Construire un triangle dont on connaît les trois côtés
•On trace d'abord un côté, par exemple [AB] avec AB=6 cm.
•On trace l'arc de centre A et de rayon AC=4 cm, puis l'arc de centre B et de rayon BC=5 cm : C est à leur intersection.
•Le triangle n'existe que si le plus grand côté est plus petit que la somme des deux autres : avec 3 cm, 4 cm et 8 cm, les arcs ne se rencontrent pas, puisque 3+4=7<8.
Le sommet C est à 4 cm de A ET à 5 cm de B : il est sur les deux arcs à la fois, donc à leur intersection.
Les deux arcs se coupent de part et d'autre de (AB) : les deux triangles obtenus sont symétriques, donc superposables. On en garde un seul.
La symétrie axiale et les axes des figures usuelles
•La symétrie axiale conserve les longueurs, les angles, les aires et l'alignement : la figure obtenue est superposable à celle de départ.
•Un point situé SUR l'axe est son propre symétrique.
•Dans le nom AOB, la lettre du MILIEU est le sommet de l'angle.
Les axes en vert pointillé : deux pour le rectangle (pas ses diagonales), deux pour le losange (ses diagonales), un pour l'isocèle, aucun pour le parallélogramme.
Le parallélogramme est le piège de la liste : il a un centre de symétrie, mais aucun axe. Le rectangle en a deux, ses médianes, jamais ses diagonales.
Périmètre, aire, volume : trois grandeurs, trois unités
•Le périmètre est une longueur, en cm ; l'aire est une surface, en cm2 ; le volume est en cm3.
•Triangle rectangle : l'aire est la MOITIÉ du rectangle correspondant.
•1 m2=10000 cm2 et 1 dm3=1000 cm3=1 L : le facteur est au carré pour les aires, au cube pour les volumes.
Deux contours de 20 cm : la bande de 9 cm sur 1 cm enferme 9 carreaux, le carré de 5 cm en enferme 25. Le périmètre ne décide pas de l'aire.
Deux figures peuvent avoir le même périmètre et des aires très différentes. Un énoncé qui parle de clôture demande un périmètre, un énoncé qui parle de gazon, de peinture ou de carrelage demande une aire.
Les pièges qui coûtent des points
Les erreurs ci-dessous sont celles que je corrige le plus souvent en séance. Chacune coûte des points sur une copie, même quand le raisonnement est juste.
1.Mélanger droite, segment et longueur
0,5 point par phrase, et cela se répète sur toute la copie
Ce qu'il ne faut pas écrire
« La droite [AB] mesure 5 cm. »
Ce qu'il faut écrire
« Le segment [AB] a pour longueur AB=5 cm. »
Pourquoi : Une droite n'a pas de longueur, elle est illimitée. Le correcteur lit la notation avant la figure : c'est le premier signal de sérieux.
2.Définir la médiatrice avec une seule condition
1 point de définition, et la construction qui suit est fausse
Ce qu'il ne faut pas écrire
« La médiatrice de [AB] est la droite qui passe par le milieu de [AB]. »
Ce qu'il faut écrire
« La médiatrice de [AB] est la droite perpendiculaire à [AB] ET passant par son milieu. »
À gauche, une droite qui passe bien par le milieu M mais n'est pas perpendiculaire : ce n'est pas la médiatrice. À droite, les deux conditions sont réunies.
Pourquoi : Une infinité de droites passent par le milieu d'un segment. La perpendicularité est ce qui rend la médiatrice unique, donc constructible.
3.Nommer un angle sans mettre le sommet au milieu
0,5 point, et une mesure reportée sur le mauvais angle
Ce qu'il ne faut pas écrire
« L'angle OAB », alors que le sommet est O.
Ce qu'il faut écrire
« L'angle AOB : la lettre du milieu est le sommet. »
Mêmes trois lettres, deux angles différents : AOB a son sommet en O (en vert), OAB en A (en rouge).
Pourquoi : Le nom d'un angle désigne deux demi-droites issues d'un même point. Changer la lettre du milieu change complètement l'angle désigné.
4.Croire que le rectangle a quatre axes de symétrie
1 point, et souvent deux lignes du tableau à compléter
Ce qu'il ne faut pas écrire
« Le rectangle a 4 axes de symétrie, comme le carré : ses côtés et ses diagonales. »
Ce qu'il faut écrire
« Le rectangle a exactement 2 axes de symétrie, les droites qui joignent les milieux de deux côtés opposés. »
Plié sur sa diagonale, le triangle ABC retombe en pointillé rouge, hors du triangle ACD : la diagonale n'est pas un axe. Les deux axes sont en vert.
Pourquoi : Plier un rectangle non carré le long d'une diagonale ne superpose pas les deux moitiés. Le test se fait par pliage mental, pas par symétrie apparente.
5.Confondre périmètre et aire
2 points, et l'unité fausse en prime
Ce qu'il ne faut pas écrire
« Le périmètre d'un rectangle de 5 cm sur 3 cm est 15 cm. »
Ce qu'il faut écrire
« L'AIRE vaut 5×3=15 cm2 ; le PÉRIMÈTRE vaut 2×(5+3)=16 cm. »
L'aire compte les carreaux À L'INTÉRIEUR (15 cm2), le périmètre mesure le contour orange (16 cm) : deux nombres, deux unités.
Pourquoi : L'unité trahit toujours l'erreur : un périmètre s'exprime en cm, une aire en cm2. Lire l'unité de la réponse avant de la recopier évite la moitié des erreurs du chapitre.
6.Convertir une aire comme une longueur
2 points, et un résultat cent fois trop petit
Ce qu'il ne faut pas écrire
« 1 m2=100 cm2, puisque 1 m =100 cm. »
Ce qu'il faut écrire
« 1 m2=100×100=10000 cm2 : le facteur est au CARRÉ pour une aire. »
Un carré de 1 dm de côté contient dix rangées de dix carreaux de 1 cm2 : 100 carreaux, pas 10.
Pourquoi : Une aire se mesure dans les deux directions à la fois. Multiplier la longueur par 100 multiplie l'aire par 100×100, et le volume par 100×100×100.
7.Oublier la moitié dans l'aire d'un triangle rectangle
1,5 point, et un résultat deux fois trop grand
Ce qu'il ne faut pas écrire
« Les côtés de l'angle droit mesurent 6 cm et 4 cm, donc l'aire est 24 cm2. »
Ce qu'il faut écrire
« L'aire est la moitié de celle du rectangle : 26×4=12 cm2. »
Le rectangle de 6 cm sur 4 cm (24 cm2) se coupe en deux triangles égaux : le triangle rectangle vert n'en prend que la moitié, 12 cm2.
Pourquoi : Le triangle rectangle est exactement la moitié du rectangle construit sur ses deux côtés de l'angle droit. Le dessin de ce rectangle au brouillon rend l'oubli impossible.
8.Prendre le diamètre pour le rayon dans le périmètre du cercle
1,5 point, et un résultat deux fois trop grand
Ce qu'il ne faut pas écrire
« Le cercle a 10 cm de diamètre, donc son périmètre est 2×π×10≈62,8 cm. »
Ce qu'il faut écrire
« Le rayon vaut 5 cm, donc le périmètre est 2×π×5≈31,4 cm. »
Le diamètre (rouge) traverse tout le cercle, le rayon (vert) va du centre au bord : R=2D=5 cm, et c'est R qui entre dans 2×π×R.
Pourquoi : La formule est écrite avec le rayon. Quand l'énoncé donne le diamètre, on écrit d'abord R=2D sur une ligne à part, avant toute autre chose.
9.Mesurer sur la figure au lieu de citer la propriété
1 point de justification, même quand la conclusion est bonne
Ce qu'il ne faut pas écrire
« Les droites sont parallèles parce qu'on le voit bien sur le dessin. »
Ce qu'il faut écrire
« (d1) et (d2) sont toutes deux perpendiculaires à (d), donc elles sont parallèles entre elles. »
Pourquoi : Une figure n'est jamais une preuve : elle peut être mal tracée, et l'écart de deux degrés ne se voit pas. C'est la première année où le barème sépare la réponse de sa justification.
10.Croire que la symétrie change les mesures
1 point, et toutes les questions de calcul qui suivent
Ce qu'il ne faut pas écrire
« Après une symétrie axiale, la figure est retournée, donc son aire change. »
Ce qu'il faut écrire
« La symétrie axiale conserve les longueurs, les angles et les aires : la figure image est superposable à la figure de départ. »
Le triangle bleu est retourné, mais chaque côté garde sa longueur (mêmes codages) et l'angle en A se retrouve en A′ : l'aire ne change pas.
Pourquoi : Le retournement change l'orientation, pas les mesures. C'est ce qui autorise à calculer sur la figure d'origine plutôt que sur son image.
Quelle méthode choisir
Quelle propriété citer pour justifier
On regarde ce que l'énoncé DONNE, et ce qu'il demande de conclure.
Les trois configurations de l'arbre : deux perpendiculaires à une même droite, une perpendiculaire à deux parallèles, un point à égale distance de A et de B.
Si deux droites sont perpendiculaires à une même troisième → conclure qu'elles sont parallèles entre elles
Exemple : (d1)⊥(d) et (d2)⊥(d), donc (d1)∥(d2)
Si deux droites sont parallèles et une troisième est perpendiculaire à l'une → conclure qu'elle est perpendiculaire à l'autre
Exemple : (d1)∥(d2) et (d)⊥(d1), donc (d)⊥(d2)
Si un point est à égale distance des deux extrémités d'un segment → il est sur la médiatrice de ce segment
Exemple : MA=MB, donc M appartient à la médiatrice de [AB]
Si l'énoncé demande de tracer, pas de justifier → citer quand même l'outil utilisé, équerre ou compas, et coder la figure
Exemple : l'angle droit se code par un petit carré, les longueurs égales par des marques identiques
le codage rapporte des points au même titre qu'une phrase
Aucune de ces branches n'autorise à mesurer sur le dessin. Si aucune propriété ne s'applique, c'est que l'on a oublié une donnée de l'énoncé : la relire avant de continuer.
Quelle grandeur, quelle formule, quelle unité
On lit le mot de l'énoncé qui dit ce qu'on mesure.
Le mot de l'énoncé choisit la grandeur : un contour se mesure en m, une surface en m2, une contenance en m3 ou en litres.
Si clôture, bordure, ruban, tour, contour → c'est un PÉRIMÈTRE, donc une longueur, en cm ou en m
Exemple : rectangle 12 m sur 8 m : 2×(12+8)=40 m
Si gazon, peinture, carrelage, surface, moquette → c'est une AIRE, en cm2 ou en m2
Exemple : 12×8=96 m2
Si contenance, remplissage, litres → c'est un VOLUME : 1 dm3=1 L
Exemple : un aquarium de 40×25×30 cm contient 30 L
Si la figure est composée de plusieurs morceaux → découper en rectangles et en triangles rectangles, puis additionner ou soustraire les aires
Exemple : jardin moins terrasse : 96−9=87 m2
L'unité se décide AVANT le calcul, pas après : elle interdit déjà la moitié des erreurs. Et quand les données ne sont pas dans la même unité, on convertit d'abord, sur une ligne à part.
La rédaction attendue
Le correcteur coche des étapes. Les voici dans l'ordre, avec la phrase de conclusion qu'il attend mot pour mot.
Justifier en trois temps : je sais que, or, donc
Quand l'utiliser : L'énoncé dit « justifier », « expliquer pourquoi » ou « que peut-on dire de ».
1Écrire les données utilisées, avec leurs notations : « Je sais que (d1)⊥(d) et (d2)⊥(d). »
2Citer la propriété du cours en entier, sans la résumer : « Or, si deux droites sont perpendiculaires à une même droite, alors elles sont parallèles. »
3Conclure sur la figure de l'énoncé, avec les bonnes notations : « Donc (d1)∥(d2). »
4Coder la figure pour rendre la justification visible.
Phrase de conclusion
« Je sais que (d1)⊥(d) et (d2)⊥(d). Or deux droites perpendiculaires à une même droite sont parallèles entre elles. Donc (d1)∥(d2). »
Le piège : Sauter la deuxième ligne, celle de la propriété : c'est elle qui porte le point, la conclusion seule n'en rapporte aucun.
Barème : 0,5 point les données, 1 point la propriété citée, 0,5 point la conclusion écrite avec les notations.
Calculer l'aire d'une figure composée
Quand l'utiliser : La figure est un assemblage : un jardin avec une terrasse, une pièce en L, un rectangle amputé d'un triangle.
1Découper la figure au crayon et nommer chaque morceau.
2Vérifier que toutes les longueurs sont dans la MÊME unité, et convertir sinon, sur une ligne à part.
3Calculer l'aire de chaque morceau séparément, avec son unité.
4Additionner ou soustraire, puis conclure par une phrase avec l'unité.
Phrase de conclusion
« L'aire du jardin est 12×8=96 m2, celle de la terrasse 3×3=9 m2 ; la pelouse couvre donc 96−9=87 m2. »
Le piège : Soustraire aussi le côté de la terrasse au périmètre : la clôture fait toujours le tour du jardin entier.
Barème : 1 point par aire calculée, 1 point l'opération finale, 0,5 point la phrase avec l'unité.
Vérifier avant de rendre
Cinq minutes de vérification récupèrent plus de points qu'un exercice de plus commencé à la hâte.
Lire l'unité de la réponse
Une longueur se termine par cm ou m, une aire par cm2 ou m2, un volume par cm3 ou L. Si l'unité ne correspond pas à la question, la formule est fausse.
Une clôture annoncée en m2 signale qu'on a calculé l'aire au lieu du périmètre.
L'ordre de grandeur sur la figure
Comparer le résultat à une longueur connue du dessin. Une diagonale ne peut pas être plus courte qu'un côté, une partie ne peut pas dépasser le tout.
Une pelouse de 110 m2 dans un jardin de 96 m2 : la soustraction a été faite à l'envers.
Le pliage mental pour un axe de symétrie
Plier la figure par la pensée le long de l'axe proposé et regarder si les deux moitiés se superposent exactement.
La diagonale d'un rectangle non carré : les deux moitiés ne se superposent pas, ce n'est donc pas un axe.
Le facteur au carré pour les conversions d'aire
Vérifier qu'une conversion d'aire porte deux fois plus de zéros que la conversion de longueur correspondante.
1 m =100 cm, donc 1 m2=10000 cm2 : quatre zéros, pas deux.
L'exercice type décortiqué
Le jardin à clôturer et à engazonner
Un jardin rectangulaire mesure 12 m de long et 8 m de large. Dans un coin se trouve une terrasse carrée de 3 m de côté.
On veut clôturer tout le tour du jardin, puis engazonner la partie qui n'est pas occupée par la terrasse. La clôture coûte 14 dollars le mètre.
La clôture suit le contour du rectangle entier ; la pelouse est l'aire du jardin diminuée de celle de la terrasse.
Étape 1
Clôture : 2×(12+8)=40 m.
Pourquoi
Le mot « tour » désigne le périmètre. La terrasse est à l'intérieur : elle ne change rien au contour, et c'est là que la moitié des copies retire 3 m.
Étape 2
Coût de la clôture : 40×14=560 dollars.
Pourquoi
Le prix est proportionnel à la longueur, donc on multiplie par le prix au mètre. L'unité du coefficient, dollar par mètre, indique le sens du calcul.
Étape 3
Aire du jardin : 12×8=96 m2.
Pourquoi
On change de grandeur, donc d'unité : le carré apparaît parce qu'on multiplie deux longueurs.
Étape 4
Aire de la terrasse : 3×3=9 m2, donc pelouse 96−9=87 m2.
Pourquoi
Une aire retirée se soustrait à l'aire totale. Le résultat doit rester inférieur à 96, ce qui se contrôle d'un coup d'œil.
Étape 5
Contrôle : 87+9=96, et 40 m de clôture pour un jardin de 12 m sur 8 m est cohérent.
Pourquoi
L'addition inverse valide la soustraction, et l'ordre de grandeur valide le périmètre : un contour de 40 m autour d'un rectangle de 12 m de long est plausible.
Conclusion rédigée
« La clôture mesure 40 m et coûte 560 dollars ; la pelouse couvre 87 m2. »
L'erreur classique sur cet exercice : Retirer le côté de la terrasse au périmètre et annoncer 37 m de clôture : la terrasse est à l'intérieur du jardin, elle n'entame pas son contour.
À savoir par cœur
•(AB) droite, [AB] segment, AB longueur : le crochet s'arrête, la parenthèse continue, la lettre nue est un nombre.
•Deux droites perpendiculaires à une même droite sont PARALLÈLES entre elles.
•La médiatrice : perpendiculaire au segment ET passant par son milieu, les deux à la fois.
•Rectangle : périmètre 2×(L+ℓ), aire L×ℓ. Triangle rectangle : la moitié du rectangle.
•1 m2=10000 cm2, 1 dm3=1000 cm3=1 L : carré pour les aires, cube pour les volumes.
Questions fréquentes
Quelle différence entre AB, le segment AB et la droite AB ?
La droite passe par les deux points et ne s'arrête jamais ; on l'écrit avec des parenthèses. Le segment est la portion comprise entre les deux points, on l'écrit avec des crochets. La longueur s'écrit sans symbole autour des lettres : c'est un nombre, et c'est la seule des trois qui peut suivre le mot mesure.
Quelle est la définition complète de la médiatrice ?
La médiatrice d'un segment est la droite qui est perpendiculaire à ce segment et qui passe par son milieu. Les deux conditions sont nécessaires : une infinité de droites passent par le milieu, une seule est en plus perpendiculaire. On peut aussi la définir comme l'ensemble des points situés à égale distance des deux extrémités.
Combien d'axes de symétrie a un rectangle ?
Deux : les droites qui joignent les milieux de deux côtés opposés. Les diagonales n'en sont pas, car en pliant le rectangle le long d'une diagonale les deux moitiés ne se superposent pas. Le carré, lui, en a quatre, et le parallélogramme quelconque aucun, même s'il possède un centre de symétrie.
Pourquoi un mètre carré vaut dix mille centimètres carrés ?
Parce qu'une aire se mesure dans deux directions à la fois. Un carré d'un mètre de côté mesure cent centimètres de long et cent de large, donc il contient cent fois cent petits carrés d'un centimètre carré, soit dix mille. Pour les aires on applique le carré du facteur, et pour les volumes son cube.
Comment savoir si un problème demande un périmètre ou une aire ?
On lit le mot qui dit ce qu'on mesure. Clôture, bordure, ruban et contour désignent un périmètre, donc une longueur en mètres. Gazon, peinture, carrelage et surface désignent une aire, donc des mètres carrés. L'unité de la réponse se décide avant le calcul et empêche la confusion.
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Exercices corrigés : Géométrie et grandeurs
Une méthode se prouve sur une copie, pas sur une fiche. La série du même chapitre reprend chacun de ces pièges dans un exercice, avec le corrigé rédigé étape par étape.
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La géométrie de sixième pose problème à Montréal ?
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