Exercices corrigés : les nombres décimaux (Sixième)

1) Le chiffre des dixièmes est $4$, celui des centièmes est $0$, celui des millièmes est $5$. On lit la partie décimale de gauche à droite : premier rang les dixièmes, deuxième rang les centièmes, troisième rang les millièmes. Le $0$ des centièmes n'est pas inutile, il tient la place : sans lui, le $5$ glisserait au rang des centièmes et le nombre changerait complètement.

2) $30{,}405=3\times 10+0\times 1+4\times 0{,}1+0\times 0{,}01+5\times 0{,}001$, ce qui s'écrit aussi $30+\dfrac{4}{10}+\dfrac{5}{1000}$. Chaque chiffre est multiplié par la valeur de son rang, et la somme redonne le nombre de départ.

3) « douze unités et six centièmes », que l'on lit aussi « douze virgule zéro six ». On ne dit pas « douze virgule six », qui désignerait $12{,}6$ : ce nombre est dix fois plus grand dans sa partie décimale.

4) $42{,}07$. Le mot CENTIÈMES impose deux chiffres après la virgule : le $7$ doit occuper le deuxième rang, donc on écrit un $0$ au rang des dixièmes. Écrire $42{,}7$ serait quarante-deux unités et sept DIXIÈMES, soit dix fois plus.

5) Le nombre de dixièmes est $583$. C'est la question qui sépare le CHIFFRE du NOMBRE. Le chiffre des dixièmes est le symbole écrit à ce rang, ici $3$. Le nombre de dixièmes compte combien de dixièmes contient $58{,}3$ en tout : chaque unité en contient $10$, donc $58$ unités en contiennent $580$, auxquels s'ajoutent les $3$ dixièmes déjà écrits, soit $580+3=583$. Le calcul $58{,}3\times 10=583$ le confirme.

6) OUI, $7{,}40=7{,}4$ : le zéro final ne représente aucun centième, on peut l'écrire ou l'effacer sans changer le nombre. NON, $7{,}04\neq 7{,}4$ : ici le zéro est ENTRE la virgule et le $4$, il occupe le rang des dixièmes et repousse le $4$ au rang des centièmes. $7{,}4$ vaut sept unités et quatre dixièmes, $7{,}04$ sept unités et quatre centièmes, soit dix fois moins de partie décimale. Un zéro se supprime seulement à la FIN de la partie décimale.

1) $A$ est une graduation après $3$, donc un dixième après $3$ : son abscisse est $3{,}1$. $C$ est neuf graduations après $3$, son abscisse est $3{,}9$. On compte toujours les graduations à partir de l'entier écrit à gauche, jamais à partir du bord de la feuille.

2) $B$ est exactement au MILIEU de la deuxième et de la troisième graduation, c'est-à-dire au milieu de $3{,}2$ et $3{,}3$. Un demi-dixième vaut cinq centièmes, donc l'abscisse de $B$ est $3{,}25$. On le vérifie avec le milieu de deux nombres, qui est leur somme partagée en deux : $6{,}5$ partagé en deux donne bien $3{,}25$.

3) La droite du zoom va de $3{,}50$ à $3{,}60$ en dix parts : chaque graduation y vaut un CENTIÈME. $D$ est quatre graduations après $3{,}50$, son abscisse est $3{,}54$. $E$ en est à huit graduations, son abscisse est $3{,}58$.

4) Le point $D$ vaut $3{,}54$ : sur la première droite il se situe entre les graduations $3{,}5$ et $3{,}6$, plus près de $3{,}5$. C'est tout l'intérêt du zoom. Sur la première droite, $D$ et $E$ seraient deux points presque confondus, impossibles à distinguer à l'œil, alors que le zoom les sépare de quatre graduations entières.

5) $3{,}547$ est compris entre $3{,}54$ et $3{,}55$, donc entre la quatrième et la cinquième graduation du zoom, aux sept dixièmes de cet intervalle, c'est-à-dire nettement plus près de $3{,}55$. Pour le placer exactement, il faudrait un second zoom, sur l'intervalle allant de $3{,}54$ à $3{,}55$, où chaque graduation vaudrait un millième. On peut ainsi zoomer indéfiniment.

6) Il y en a une INFINITÉ. On trouve déjà les neuf centièmes $3{,}51$ à $3{,}59$, mais entre deux d'entre eux se glissent encore des millièmes, puis des dix-millièmes, sans que cela s'arrête jamais. C'est la grande différence avec les nombres entiers : entre $3$ et $4$ il n'y a aucun entier, alors qu'entre deux décimaux distincts il y a toujours d'autres décimaux, à commencer par leur milieu.

1) $7{,}9>7{,}15$ : les parties entières sont égales, on compare donc les dixièmes, $9$ contre $1$, et $9>1$. Le nombre de chiffres écrits ne joue aucun rôle. $0{,}4=0{,}40$ : le zéro final n'ajoute aucun centième. $12{,}3=12{,}300$ pour la même raison.

2) On complète toutes les parties décimales à trois chiffres, ce qui ne change aucun nombre mais rend la comparaison immédiate : $5{,}080$ ; $5{,}800$ ; $5{,}088$ ; $5{,}800$ ; $5{,}100$. L'ordre croissant est donc $5{,}08<5{,}088<5{,}1<5{,}8=5{,}80$. Attention, $5{,}8$ et $5{,}80$ sont ÉGAUX : entre eux il faut écrire un signe $=$ et non un signe $<$. La figure du corrigé montre le rangement sur une droite graduée, avec un zoom sur l'intervalle allant de $5{,}00$ à $5{,}10$, seul endroit où $5{,}08$ et $5{,}088$ se distinguent.

3) Entre deux entiers : $14<14{,}732<15$. Entre deux dixièmes : $14{,}7<14{,}732<14{,}8$. Entre deux centièmes : $14{,}73<14{,}732<14{,}74$. À chaque étape on garde les chiffres jusqu'au rang demandé pour la borne du bas, et on ajoute une unité à ce rang pour la borne du haut.

4) Par exemple $2{,}31$, $2{,}35$ et $2{,}39$. On pourrait aussi donner $2{,}301$ ou $2{,}3999$ : il y en a une infinité. La méthode sûre consiste à ajouter un rang, ici les centièmes, puis à y choisir n'importe quel chiffre non nul.

5) L'élève compare les parties décimales comme si c'étaient deux nombres entiers, $15$ contre $9$. Mais $7{,}15$ signifie $7$ unités et $15$ CENTIÈMES, alors que $7{,}9$ signifie $7$ unités et $9$ DIXIÈMES, c'est-à-dire $90$ centièmes. La comparaison correcte porte donc sur $15$ centièmes contre $90$ centièmes, et donne $7{,}15<7{,}9$. Avoir plus de chiffres après la virgule ne rend jamais un nombre plus grand.

6) Le chiffre cherché est celui des dixièmes, et le nombre obtenu doit rester sous $3{,}42$. Avec $4$, on obtiendrait $3{,}47$, qui dépasse $3{,}42$ : trop grand. Il faut donc un chiffre des dixièmes strictement inférieur à $4$, c'est-à-dire $0$, $1$, $2$ ou $3$, par exemple $3{,}37<3{,}42$. Dès que les dixièmes diffèrent, la comparaison est jouée et les centièmes ne servent plus à rien : c'est pour cela que $3{,}37$, pourtant terminé par un $7$, reste plus petit que $3{,}42$.

1) On aligne les virgules et on complète $47{,}8$ en $47{,}80$ pour avoir le même nombre de rangs : $47{,}80+6{,}95=54{,}75$. Ordre de grandeur : environ $48+7=55$, on est bien autour de $55$.

2) On écrit $23$ sous la forme $23{,}00$, sinon l'alignement est impossible : $23{,}00-8{,}47=14{,}53$. Vérification par l'opération inverse : $14{,}53+8{,}47=23$, exactement.

3) Il manque $2{,}6$, car $7{,}4+2{,}6=10$. On peut le trouver en deux temps : de $7{,}4$ à $8$ il faut $0{,}6$, puis de $8$ à $10$ il faut $2$, soit $2{,}6$ en tout. C'est la technique du complément, celle qu'on utilise pour rendre la monnaie.

4) Ordre de grandeur : $4{,}25$ est proche de $4$ et $17{,}9$ est proche de $18$, donc le résultat est proche de $22$. Le calcul exact donne $4{,}25+17{,}90=22{,}15$, ce qui est bien voisin de $22$.

5) C'est impossible parce que la somme de deux nombres positifs dépasse toujours chacun d'eux : le résultat doit être supérieur à $17{,}9$, or $6{,}04$ lui est inférieur. L'ordre de grandeur $22$ le confirme. L'erreur vient de l'alignement : l'élève a aligné les derniers chiffres au lieu des virgules, ce qui revient à additionner $4{,}25$ et $1{,}79$, et donne précisément $6{,}04$. Aligner les virgules n'est pas une règle de présentation, c'est ce qui garantit qu'on ajoute les dixièmes avec les dixièmes et les centièmes avec les centièmes.

6) Le plus rapide est de regrouper les deux dernières opérations : retirer $3{,}75$ puis ajouter $1{,}25$ revient à retirer $2{,}5$ en tout, et $12{,}5-2{,}5=10$. Le calcul dans l'ordre donne évidemment la même chose : $12{,}5-3{,}75=8{,}75$, puis $8{,}75+1{,}25=10$. Regrouper est permis ici parce qu'on manipule une addition et une soustraction, jamais une multiplication mélangée.

1) $3{,}7\times 100=370$ ; $45{,}2\div 10=4{,}52$ ; $0{,}08\times 1000=80$ ; $6\div 100=0{,}06$. Dans le dernier cas il faut créer deux rangs décimaux, donc écrire un zéro aux dixièmes : $0{,}06$ et non $0{,}6$.

2) $1$ m vaut $100$ cm, donc $2{,}45$ m $=2{,}45\times 100=245$ cm. $1$ kg vaut $1000$ g, donc $780$ g $=780\div 1000=0{,}78$ kg. Le sens du calcul se contrôle par le bon sens : il y a BEAUCOUP de centimètres dans un mètre, donc le nombre doit grandir ; il y a moins d'un kilogramme dans $780$ grammes, donc le nombre doit diminuer et rester sous $1$.

3) $2{,}5\times 0{,}4=1$. Méthode : on calcule d'abord $25\times 4=100$ en oubliant les virgules, puis on compte les chiffres après la virgule dans les deux facteurs, ici $1+1=2$, et on en place autant dans le résultat : $100$ devient $1{,}00$, c'est-à-dire $1$. L'ordre de grandeur confirme, car $2{,}5$ multiplié par un peu moins d'un demi donne environ $1$.

4) $3\times 3=9$, et il y a $1+1=2$ chiffres après la virgule au total, donc $0{,}3\times 0{,}3=0{,}09$ et non $0{,}9$. On peut le comprendre autrement : trois dixièmes de trois dixièmes, cela fait neuf CENTIÈMES, puisqu'un dixième de dixième est un centième.

5) Multiplier par $0{,}5$, c'est prendre la moitié : $18\times 0{,}5=9$. Diviser par $0{,}5$, c'est chercher combien de demis tiennent dans $18$ : il y en a deux par unité, donc $18\div 0{,}5=36$. Diviser par un nombre inférieur à $1$ AUGMENTE le résultat, ce qui surprend souvent mais se vérifie ici sans poser aucune opération.

6) C'est le DIMINUER, car $0{,}25$ est inférieur à $1$ : multiplier par $0{,}25$ revient à prendre le quart, par exemple $40\times 0{,}25=10$. La règle apprise à l'école primaire, « multiplier agrandit », n'est vraie que pour des facteurs supérieurs à $1$ ; avec les décimaux elle tombe. Le repère à retenir est le facteur $1$ : au-dessus de $1$ le produit augmente, en dessous il diminue, et avec $1$ il ne change rien.

1) $247=8\times 30+7$ : le quotient est $30$ et le reste est $7$. Le reste doit toujours être strictement inférieur au diviseur, ici $7<8$, ce qui est correct. Si l'on trouvait un reste supérieur ou égal à $8$, c'est que le quotient n'aurait pas été poussé assez loin.

2) On continue en abaissant des zéros après la virgule : $247\div 8=30{,}875$. La division s'arrête d'elle-même, le reste devient nul. Vérification : $30{,}875\times 8=247$. Remarquez le lien avec la question 1 : c'est le reste $7$ partagé entre $8$ qui donne $0{,}875$, et $30+0{,}875=30{,}875$.

3) $10\div 3=3{,}3333\ldots$ : le chiffre $3$ se répète sans fin, la division ne s'arrête JAMAIS. Ce quotient n'est pas un nombre décimal. On en donne donc une valeur approchée : au centième, $10\div 3\approx 3{,}33$. Il faut écrire le symbole $\approx$ et non $=$, car $3{,}33\times 3=9{,}99$, et non $10$.

4) On multiplie le dividende ET le diviseur par $10$, ce qui ne change pas le quotient : $12{,}6\div 0{,}4=126\div 4=31{,}5$. Vérification : $31{,}5\times 0{,}4=12{,}6$. On ne divise jamais par un nombre à virgule, on commence toujours par rendre le diviseur entier.

5) $9{,}6\div 8=1{,}2$ : chaque morceau mesure $1{,}2$ m, soit $1$ m et $20$ cm. Contrôle : $1{,}2\times 8=9{,}6$.

6) Il faut la réponse de la question 1. Un bonbon ne se coupe pas en $0{,}875$ de bonbon : chaque enfant en reçoit $30$, et il en reste $7$ qu'on ne peut pas distribuer équitablement. C'est la SITUATION qui décide du type de division, pas la calculatrice. Avec la corde de la question 5, au contraire, une longueur peut parfaitement prendre une valeur décimale, donc la division décimale y a un sens.

1) À l'unité : le chiffre des dixièmes est $4$, c'est moins que $5$, donc on garde $12$. Au dixième : le chiffre suivant est $8$, donc on monte, $12{,}5$. Au centième : le chiffre suivant est $6$, donc on monte encore, $12{,}49$. Chaque arrondi se décide en regardant UN SEUL chiffre, celui qui suit immédiatement le rang demandé.

2) La troncature au dixième donne $12{,}4$ : on coupe après le premier chiffre décimal, sans rien regarder. L'arrondi au dixième donne $12{,}5$, parce que $12{,}4863$ est plus proche de $12{,}5$ que de $12{,}4$. Les deux diffèrent donc ici. Une troncature ne dépasse jamais le nombre de départ, alors qu'un arrondi peut le dépasser.

3) Au centième : $2{,}449$ est entre $2{,}44$ et $2{,}45$, et le chiffre suivant est $9$, donc l'arrondi est $2{,}45$. Au dixième : la figure montre que $2{,}449$ se situe JUSTE AVANT le milieu $2{,}45$ de l'intervalle, il est donc plus proche de $2{,}4$ que de $2{,}5$, et l'arrondi au dixième vaut $2{,}4$.

4) L'erreur est d'arrondir DEUX FOIS de suite. Le premier arrondi a poussé $2{,}449$ jusqu'à $2{,}45$, c'est-à-dire exactement sur le milieu, et le second est alors monté à $2{,}5$. Mais le nombre de départ, lui, était situé en dessous de ce milieu, comme le montre la figure. Un arrondi se calcule toujours à partir du nombre INITIAL, en regardant le chiffre du rang qui suit immédiatement celui qu'on demande, ici le $4$ des centièmes : la réponse est donc $2{,}4$.

5) Le chiffre des dixièmes est $9$, donc on monte : $3{,}999$ s'arrondit à $4$. Cela surprend parce que la partie entière change, mais c'est bien la valeur la plus proche : $3{,}999$ est à un millième de $4$ et à $999$ millièmes de $3$.

6) Le chiffre qui suit les centièmes est $6$, donc on monte : la caisse affiche $7{,}99$ dollars. L'écart avec le prix réel vaut $0{,}004$ dollar, soit moins d'un demi-centime, ce qui est invisible sur un seul article mais représenterait $4$ dollars sur mille kilogrammes vendus.

1) FAUX. L'affirmation compare les parties décimales comme deux entiers. Or $7{,}15$ vaut $7$ unités et $15$ centièmes, tandis que $7{,}9$ vaut $7$ unités et $9$ dixièmes, c'est-à-dire $90$ centièmes. La comparaison correcte est $7{,}15<7{,}9$. On compare toujours RANG PAR RANG, en commençant par les dixièmes.

2) FAUX. L'affirmation oublie de compter les chiffres placés après la virgule. $3\times 3=9$, et les deux facteurs comportent deux chiffres décimaux en tout, donc le résultat en comporte deux aussi : $0{,}3\times 0{,}3=0{,}09$. Autrement dit, un dixième de dixième est un centième, pas un dixième.

3) FAUX. Multiplier par un nombre inférieur à $1$ diminue : $40\times 0{,}25=10$, qui est plus petit que $40$. L'énoncé correct est : multiplier par un nombre supérieur à $1$ agrandit, multiplier par $1$ ne change rien, et multiplier par un nombre compris entre $0$ et $1$ diminue.

4) FAUX. Un zéro ne se supprime que s'il est à la FIN de la partie décimale, car il n'y représente aucun centième : $5{,}70=5{,}7$, cela est vrai. Mais dans $5{,}07$ le zéro occupe le rang des dixièmes, il tient la place et repousse le $7$ au rang des centièmes. On a donc $5{,}70=5{,}7$ d'un côté, et de l'autre $5{,}07$, dont la partie décimale est dix fois plus petite : $5{,}7\neq 5{,}07$.

5) FAUX. Il y a $2{,}31$, $2{,}32$, $2{,}35$, mais aussi $2{,}301$ ou $2{,}3456$, et une infinité d'autres. La propriété citée est vraie pour les nombres ENTIERS, puisqu'entre $2$ et $3$ il n'y a effectivement aucun entier, mais elle tombe pour les décimaux : entre deux décimaux distincts on peut toujours en glisser un autre, à commencer par leur milieu, ici $2{,}35$.

1) On arrondit chaque ligne : les pommes, environ $2{,}5\times 3=7{,}5$, disons $8$ ; le pain, $3\times 1{,}25\approx 4$ ; le fromage, un peu moins d'un demi-kilogramme à environ $18$, donc environ $7$ ; le jus, $6\times 2\approx 12$. Le total attendu tourne autour de $31$ dollars. Cette estimation ne sert pas à répondre, elle sert à contrôler la suite.

2) Pommes : $2{,}5\times 3{,}40=8{,}50$ dollars. Pain : $3\times 1{,}25=3{,}75$ dollars. Fromage : $0{,}4\times 18{,}50=7{,}40$ dollars. Jus : $6\times 2{,}15=12{,}90$ dollars. Pour le fromage, le plus simple est de calculer $4\times 18{,}5=74$, puis de diviser par $10$, ce qui évite de poser une multiplication de deux décimaux.

3) Total : $8{,}50+3{,}75+7{,}40+12{,}90=32{,}55$ dollars. L'estimation annonçait environ $31$ dollars : l'écart d'un dollar et demi est normal pour une estimation, et surtout aucun chiffre du résultat n'est aberrant. Si l'on avait trouvé $325{,}50$ ou $3{,}25$, l'ordre de grandeur aurait immédiatement signalé une erreur de virgule.

4) Deux billets de $50$ font $100$ dollars, donc on rend $100-32{,}55=67{,}45$ dollars. Par complément : de $32{,}55$ à $33$ il y a $0{,}45$, puis de $33$ à $100$ il y a $67$, soit $67{,}45$ en tout.

5) Le fromage coûte $7{,}40$ dollars sur ce ticket, ce n'est donc PAS l'article le moins cher, puisque le pain n'en coûte que $3{,}75$. En revanche son prix au kilogramme, $18{,}50$ dollars, est de loin le plus élevé des quatre. Il faut distinguer le prix PAYÉ, qui dépend de la quantité achetée, et le prix UNITAIRE, seul capable de comparer deux produits entre eux. Ici on a acheté peu de fromage, mais du fromage cher.

6) Chaque baguette coûte $1{,}25$ dollar, et l'on cherche combien de fois $1{,}25$ tient dans $10$ : $10\div 1{,}25=8$. On peut donc acheter exactement $8$ baguettes, et il ne reste rien. Contrôle immédiat : $8\times 1{,}25=10$. Comme une baguette ne se vend pas en morceaux, c'est bien une division de type euclidien qu'il fallait interpréter ici, même si elle tombe juste.

1) C'est en mars qu'il a le plus plu, avec $15{,}2$ mm, et en juin qu'il a le moins plu, avec $6{,}4$ mm. Sur un diagramme en barres, la comparaison se lit directement sur la hauteur des barres, à condition que toutes partent du même niveau zéro, ce qui est le cas ici.

2) Ordre décroissant : $15{,}2>12{,}5>8{,}0>6{,}4$, soit mars, mai, avril, juin. Le $8{,}0$ d'avril ne doit pas induire en erreur : son zéro final n'ajoute rien, $8{,}0$ vaut simplement $8$, qui est plus grand que $6{,}4$ et plus petit que $12{,}5$.

3) Total : $15{,}2+8{,}0+12{,}5+6{,}4=42{,}1$ mm. Comme $1$ cm vaut $10$ mm, on divise par $10$ : $42{,}1$ mm $=4{,}21$ cm. Une estimation rapide, $15+8+13+6=42$, confirme le résultat.

4) L'écart est une différence : $15{,}2-6{,}4=8{,}8$ mm. Il est donc tombé $8{,}8$ mm de plus en mars qu'en juin. Un écart s'obtient toujours en retranchant la plus petite valeur à la plus grande, ce qui donne un résultat positif.

5) La moitié de la pluie de mars vaut $15{,}2\div 2=7{,}6$ mm. Or il est tombé $6{,}4$ mm en juin, et $6{,}4<7{,}6$ : l'affirmation est donc VRAIE. Il manque même $7{,}6-6{,}4=1{,}2$ mm à juin pour atteindre cette moitié. Remarquez qu'on ne pouvait pas trancher à l'œil sur le diagramme : la barre de juin fait un peu moins de la moitié de celle de mars, et « un peu moins » ne se prouve pas par un dessin, seulement par un calcul.

6) « $2{,}5$ fois moins qu'en mai » signifie qu'on divise la hauteur de mai par $2{,}5$ : $12{,}5\div 2{,}5=5$ mm. Contrôle : $5\times 2{,}5=12{,}5$, c'est bien la hauteur de mai. Juillet serait alors le mois le plus sec des cinq, puisque $5<6{,}4$.

1) $\dfrac{347}{100}=3{,}47$ : $347$ centièmes, c'est $300$ centièmes, soit $3$ unités, plus $47$ centièmes. $\dfrac{9}{1000}=0{,}009$ : neuf millièmes, le $9$ doit occuper le troisième rang après la virgule, donc deux zéros tiennent la place des dixièmes et des centièmes. $\dfrac{52}{10}=5{,}2$ : $52$ dixièmes font $5$ unités et $2$ dixièmes.

2) $6+\dfrac{3}{10}+\dfrac{8}{1000}=6{,}308$. Il n'y a aucun centième : on écrit un $0$ à ce rang, sinon le $8$ glisserait aux centièmes et l'on obtiendrait $6{,}38$, un autre nombre.

3) $0{,}125=\dfrac{125}{1000}$ : le dernier chiffre est au rang des millièmes, le dénominateur est donc $1000$. $4{,}06=\dfrac{406}{100}$ : le dernier chiffre est aux centièmes, et $4{,}06$ contient $406$ centièmes en tout.

4) $\dfrac{7}{10}+\dfrac{7}{100}=0{,}7+0{,}07=0{,}77$. On n'additionne surtout pas les numérateurs et les dénominateurs, ce qui donnerait $\dfrac{14}{110}$, un nombre plus petit que $\dfrac{7}{10}$ seul. Et $\dfrac{70}{100}=0{,}70=0{,}7$ : soixante-dix centièmes valent sept dixièmes.

5) Non. $0{,}300=0{,}3=\dfrac{3}{10}$, trois DIXIÈMES, alors que $\dfrac{3}{100}$ vaut trois CENTIÈMES, c'est-à-dire $0{,}03$. Le nombre de l'élève est dix fois trop grand : il a placé le $3$ au premier rang au lieu du deuxième. Les zéros ajoutés à la fin ne changent rien, ce sont ceux placés AVANT le $3$ qui comptent.

1) Le chiffre des centièmes est le double de $4$, soit $8$. Le nombre a $4$ unités, $0$ dixième et $8$ centièmes : c'est $4{,}08$. Le zéro des dixièmes doit s'écrire, sinon on lit $4{,}8$, qui a $8$ DIXIÈMES.

2) $1\,257$ centièmes, c'est $1\,200$ centièmes, soit $12$ unités, plus $57$ centièmes : le nombre est $12{,}57$. Il est bien compris entre $12$ et $13$, et le contrôle $12{,}57\times 100=1\,257$ confirme.

3) Un nombre s'arrondit à $8{,}3$ au dixième s'il est plus proche de $8{,}3$ que de $8{,}2$ et de $8{,}4$. Avec deux chiffres après la virgule, on regarde le chiffre des centièmes : de $8{,}25$ à $8{,}29$ on monte à $8{,}3$, de $8{,}30$ à $8{,}34$ on reste à $8{,}3$. Le plus petit est $8{,}25$, le plus grand est $8{,}34$. Attention, $8{,}35$ ne convient pas : son chiffre des centièmes est $5$, il s'arrondit déjà à $8{,}4$.

4) Le milieu de deux nombres est leur somme partagée en deux : $0{,}9+1{,}02=1{,}92$, puis $1{,}92\div 2=0{,}96$. Contrôle : de $0{,}9$ à $0{,}96$ il y a $0{,}06$, et de $0{,}96$ à $1{,}02$ il y a aussi $0{,}06$. Le milieu est bien à égale distance des deux.

5) Pour retrouver le nombre, on défait la multiplication par $100$ en divisant par $100$ : $7\div 100=0{,}07$. Les chiffres se décalent de deux rangs vers la droite, il faut donc écrire un zéro aux dixièmes. Contrôle : $0{,}07\times 100=7$.

1) En natation, la première est celle qui a le temps le plus PETIT. On complète tous les temps à deux chiffres après la virgule : $31{,}08$ ; $30{,}90$ ; $31{,}10$ ; $30{,}95$ ; $30{,}89$. Ordre croissant : $30{,}89<30{,}90<30{,}95<31{,}08<31{,}10$, soit Zoé, Léa, Nour, Inès, Maya. Le piège est Léa : $30{,}9$ a moins de chiffres que $30{,}95$, mais $30{,}9=30{,}90$, qui est plus petit que $30{,}95$.

2) $31{,}10-30{,}89=0{,}21$ s : un peu plus de deux dixièmes de seconde entre la première et la dernière.

3) $30{,}90-30{,}89=0{,}01$ s. Un seul centième de seconde sépare Zoé de Léa, moins qu'un clignement d'œil : c'est pour cela que les chronomètres de compétition mesurent au centième.

4) $30{,}89+30{,}90+30{,}95+31{,}08=123{,}82$ s. Une minute vaut $60$ s, et $123{,}82=120+3{,}82$ : le relais dure $2$ min $3{,}82$ s. On ne peut pas écrire « $1$ min $23{,}82$ s » : les secondes ne sont pas des centièmes de minute.

5) Le record vaut $2\times 60+4=124$ s. Or $123{,}82<124$ : le relais bat le record, de $124-123{,}82=0{,}18$ s.

1) $6\times 0{,}25=1{,}5$ L. Une petite bouteille contient un quart de litre, six en contiennent un litre et demi, autant que la grande bouteille. On ne confond pas avec $6+0{,}25$.