Sixième, programme français à Montréal • Exercices corrigés
Le chapitre des décimaux paraît facile jusqu'au premier contrôle : l'élève sait lire , mais il le range devant parce que est plus grand que . L'erreur n'est pas un manque de soin, c'est une lecture d'entier appliquée à un décimal.
Cette fiche ne recopie pas le cours, vous l'avez déjà dans le cahier. Elle rassemble les gestes qui font gagner ou perdre les points en contrôle : comparer rang par rang, aligner les virgules, placer la virgule d'un produit, arrondir à partir du nombre de départ.
Le fil du chapitre
Un décimal ne se lit pas comme un entier écrit avec une virgule au milieu : ce qui décide de tout, c'est le RANG de chaque chiffre, jamais le nombre de chiffres écrits.
On peut toujours ajouter des zéros à la fin d'un décimal sans le changer. C'est ce qui permet de mettre deux nombres au même nombre de rangs avant de les comparer, et c'est le geste à faire au brouillon.
« Combien de dixièmes » se traduit par une multiplication par , « combien de centièmes » par une multiplication par . La question commence par « combien de », donc la réponse est un compte, pas un chiffre.
Ces quatre lignes suffisent à contrôler presque tous les résultats du chapitre : avant d'écrire, on se demande si le résultat doit être plus grand ou plus petit que le nombre de départ.
Les erreurs ci-dessous sont celles que je corrige le plus souvent en séance. Chacune coûte des points sur une copie, même quand le raisonnement est juste.
Ce qu'il ne faut pas écrire
« parce que est plus grand que . »
Ce qu'il faut écrire
« Les parties entières sont égales. Au rang des dixièmes, , donc . »
Pourquoi : L'élève compare les parties décimales comme deux entiers. Or compte des centièmes et compte des dixièmes : ce ne sont pas les mêmes objets, et on ne compare que des rangs de même nom.
Ce qu'il ne faut pas écrire
« , le zéro ne sert à rien. »
Ce qu'il faut écrire
« a dixième et centièmes, a dixièmes : . »
Pourquoi : Seul un zéro placé APRÈS le dernier chiffre significatif est inutile. Un zéro intercalé tient une place, exactement comme le zéro de que personne n'aurait l'idée de supprimer.
Ce qu'il ne faut pas écrire
« , car et . »
Ce qu'il faut écrire
« On écrit , virgule sous virgule, et on trouve . »
Pourquoi : Additionner « et » revient à additionner dixièmes et centièmes comme s'ils étaient de même nature. Aligner les virgules, c'est exactement mettre chaque rang au-dessus de son semblable.
Ce qu'il ne faut pas écrire
« . »
Ce qu'il faut écrire
« , et il y a chiffres après la virgule, donc . »
Pourquoi : Les deux facteurs sont plus petits que , donc le produit doit être plus petit que chacun d'eux. est plus grand que : le résultat était impossible avant même d'être calculé.
Ce qu'il ne faut pas écrire
« , ça fait plus que puisqu'on multiplie. »
Ce qu'il faut écrire
« Multiplier par , c'est prendre la moitié : . Et , car il y a demis dans . »
Pourquoi : La règle apprise sur les entiers ne survit pas aux décimaux. C'est le contrôle de cohérence le plus rentable du chapitre : on décide du sens du résultat AVANT de calculer.
Ce qu'il ne faut pas écrire
« . »
Ce qu'il faut écrire
« On décale la virgule d'un rang vers la droite : . »
Pourquoi : « Ajouter un zéro » est une recette valable pour les entiers seulement. Sur un décimal, elle ne change rien du tout, puisque le zéro final est inutile.
Ce qu'il ne faut pas écrire
« arrondi au centième donne , donc au dixième . »
Ce qu'il faut écrire
« On repart de : le chiffre des centièmes est , inférieur à , donc l'arrondi au dixième est . »
Pourquoi : Un arrondi est une valeur approchée : la réutiliser comme donnée empile les approximations. On arrondit toujours à partir du nombre de départ.
Ce qu'il ne faut pas écrire
« Le nombre de dixièmes de est . »
Ce qu'il faut écrire
« Le CHIFFRE des dixièmes est ; le NOMBRE de dixièmes est . »
Pourquoi : La question « combien de dixièmes » demande un compte, pas la lecture d'un symbole. Un dixième est une unité de mesure comme le centimètre.
Ce qu'il ne faut pas écrire
« Entre et il n'y a aucun nombre, ils se suivent. »
Ce qu'il faut écrire
« Il y en a une infinité, à commencer par leur milieu : il suffit d'écrire un rang de plus. »
Pourquoi : Les décimaux ne se suivent pas comme les entiers. C'est la propriété qui sépare les deux ensembles, et elle tombe régulièrement en question de raisonnement.
On regarde les deux écritures, en commençant par la partie entière.
Si les parties entières sont différentes → c'est fini, la plus grande partie entière gagne
Exemple :
aucun chiffre de la partie décimale ne peut rattraper une unité
Si les parties entières sont égales → on complète avec des zéros pour avoir autant de rangs, puis on compare rang par rang, de gauche à droite
Exemple : contre : au rang des dixièmes,
on s'arrête au premier rang où les chiffres diffèrent
Si on demande d'intercaler un nombre entre les deux → on prend le milieu, ou on ajoute simplement un rang
Exemple : entre et : , ou
le milieu est la demi-somme, il marche toujours
Si on demande un encadrement au dixième → on écrit les deux décimaux du rang demandé qui entourent le nombre
Exemple :
un encadrement est une phrase à deux inégalités, pas un seul nombre
Aucune branche ne demande de calculer : tout se décide en regardant les écritures. Si l'on se surprend à poser une opération pour comparer, c'est qu'on a sauté l'étape des zéros de complément.
On regarde l'opération et la forme des nombres, avant de poser quoi que ce soit.
Si multiplication par , ou → décaler la virgule vers la DROITE d'autant de rangs qu'il y a de zéros, en complétant par des zéros si nécessaire
Exemple :
Si division par , ou → décaler la virgule vers la GAUCHE
Exemple :
Si produit de deux décimaux → calculer sans les virgules, puis en placer autant que la somme des deux
Exemple : : , deux rangs, donc
Si division par un décimal → multiplier les DEUX nombres par ou pour rendre le diviseur entier
Exemple :
Chacune de ces règles se contrôle en dix secondes par un ordre de grandeur. Une règle appliquée à l'envers donne un résultat dix ou cent fois trop grand, ce qui se voit immédiatement.
Le correcteur coche des étapes. Les voici dans l'ordre, avec la phrase de conclusion qu'il attend mot pour mot.
Quand l'utiliser : L'énoncé dit « encadrer au dixième », « donner l'arrondi au centième » ou « donner une valeur approchée ».
Phrase de conclusion
« ; le chiffre des centièmes est , donc l'arrondi de au dixième est . »
Le piège : Repartir d'un arrondi déjà calculé au lieu du nombre de départ.
Barème : 1 point l'encadrement écrit avec les deux inégalités, 1 point l'arrondi, 0,5 point si la justification par le rang suivant est écrite.
Quand l'utiliser : Le problème parle d'argent, de masse, de longueur ou de durée.
Phrase de conclusion
« La cliente paie dollars, elle reçoit donc dollars de monnaie. »
Le piège : Répondre par un nombre nu, sans phrase et sans unité : le correcteur retire le point de conclusion même quand le calcul est juste.
Barème : 1 point par calcul correct, 1 point la phrase de conclusion avec l'unité.
Cinq minutes de vérification récupèrent plus de points qu'un exercice de plus commencé à la hâte.
L'ordre de grandeur, en arrondissant tout à l'entier
Remplacer chaque nombre par l'entier le plus proche et refaire l'opération de tête. Le résultat doit être voisin.
vaut environ : un total de est plausible, un total de ne l'est pas.
Le sens du résultat
Avant de valider un produit ou un quotient, se demander si le résultat doit être plus grand ou plus petit que le nombre de départ.
doit être plus petit que ; si l'on a écrit , la virgule est mal placée.
Compter les chiffres après la virgule
Dans un produit, compter les rangs des deux facteurs et vérifier que le résultat en a exactement la somme.
: deux rangs plus zéro rang, donc deux rangs. Un résultat écrit trahit une virgule oubliée.
L'opération inverse
Une soustraction se vérifie par une addition, une division par une multiplication. C'est la vérification la plus sûre et la plus négligée.
se contrôle par .
Une cliente achète kg de tomates à dollars le kilogramme, un paquet de riz à dollars et trois yaourts à dollar l'unité.
Elle paie avec un billet de dollars. Combien reçoit-elle de monnaie ?
Étape 1
Tomates : dollars.
Pourquoi
Multiplier par , c'est ajouter la moitié : plus . Le contrôle mental est immédiat et évite la virgule mal placée.
Étape 2
Yaourts : dollars.
Pourquoi
Un seul rang après la virgule chez le facteur décimal, donc un seul rang au résultat. Écrire ou se repère aussitôt par l'ordre de grandeur.
Étape 3
Total : dollars.
Pourquoi
Les trois nombres ont déjà deux rangs : les virgules s'alignent sans complément. C'est l'étape où l'addition des parties décimales entre elles ferait perdre deux points.
Étape 4
Monnaie : dollars.
Pourquoi
On écrit avant de poser la soustraction. Sans ces deux zéros, la retenue n'a nulle part où se faire et le résultat sort faux.
Étape 5
Contrôle : , et l'ordre de grandeur donne dollars de courses.
Pourquoi
L'opération inverse valide la soustraction, l'ordre de grandeur valide le total. Deux contrôles indépendants, vingt secondes.
Conclusion rédigée
« Les courses coûtent dollars, la cliente reçoit donc dollars de monnaie. »
L'erreur classique sur cet exercice : Poser sans écrire , et répondre : la retenue du rang des centièmes est perdue en route.
On compare d'abord les parties entières : la plus grande gagne, sans regarder la suite. Si elles sont égales, on complète les parties décimales avec des zéros pour qu'elles aient autant de chiffres, puis on compare rang par rang de gauche à droite. On s'arrête au premier rang où les chiffres diffèrent.
Parce que le zéro est intercalé, pas final. Dans 7,04 il y a zéro dixième et quatre centièmes ; dans 7,4 il y a quatre dixièmes. Le zéro tient la place des dixièmes et repousse le 4 d'un rang, ce qui rend le nombre dix fois plus petit. Seul un zéro écrit après le dernier chiffre, comme dans 7,40, peut être supprimé.
Le chiffre des dixièmes est le symbole écrit juste après la virgule. Le nombre de dixièmes compte tous les dixièmes du nombre, ceux de la partie entière compris : on l'obtient en multipliant par dix. Dans 58,3 le chiffre des dixièmes est 3, mais le nombre de dixièmes est 583.
On regarde le chiffre du rang juste après celui demandé, ici le chiffre des centièmes. S'il vaut moins que cinq, on garde le chiffre des dixièmes tel quel ; s'il vaut cinq ou plus, on l'augmente de un. On part toujours du nombre initial, jamais d'un arrondi déjà calculé.
Oui, une infinité. Il suffit d'écrire un rang de plus : 3,41, 3,45, 3,48 sont tous compris entre les deux. Le milieu, 3,45, marche toujours et s'obtient en faisant la demi-somme. Les décimaux ne se suivent pas comme les entiers, et c'est exactement ce que teste la question d'intercalation.
