Exercices corrigés : calculs numériques et priorités (Cinquième)

1) La multiplication d'abord : $3\times 4=12$, puis $5+12=17$. Calculer de gauche à droite donnerait $8\times 4=32$, ce qui est faux. C'est l'erreur la plus fréquente de tout le chapitre.

2) La division d'abord : $6\div 2=3$, puis $20-3=17$.

3) Les deux multiplications d'abord, puis l'addition : $10+12=22$. On peut souligner les produits au brouillon avant de commencer, cela évite les oublis.

4) Seul le produit est prioritaire : $2\times 3=6$, le calcul devient $7+6-4$. Il reste des additions et des soustractions, de même priorité, donc on va de gauche à droite : $13-4=9$.

5) Les deux divisions ont la MÊME priorité, donc on calcule de gauche à droite : $36\div 6=6$, puis $6\div 3=2$. Commencer par la droite donnerait $6\div 3=2$ puis $36\div 2=18$, un résultat faux. La division n'est pas associative, contrairement à la multiplication.

6) Deux soustractions de même priorité, donc de gauche à droite : $100-20=80$, puis $80-30=50$. Ici encore l'ordre compte : en commençant par la droite on trouverait $100-(-10)$, c'est-à-dire $110$. La règle de gauche à droite n'est pas une convention décorative, elle change le résultat.

1) La parenthèse d'abord : $5+3=8$, puis $8\times 4=32$.

2) La parenthèse, puis la multiplication, puis la soustraction : $6+2=8$, puis $8\times 2=16$, puis $20-16=4$. Attention à l'ordre : la parenthèse est prioritaire mais elle ne dispense pas de faire ensuite la multiplication avant la soustraction.

3) $7-2=5$, puis $3\times 5=15$, puis $15+4=19$.

4) Les deux parenthèses d'abord, chacune de son côté : $12+8=20$ et $10-6=4$, puis $20\div 4=5$.

5) On part de la parenthèse la plus intérieure : $4-1=3$. Le calcul devient $2\times\left[5+3\times 3\right]$. À l'intérieur du crochet, la multiplication est prioritaire : $3\times 3=9$, puis $5+9=14$. Enfin $2\times 14=28$. On progresse de l'intérieur vers l'extérieur, jamais l'inverse.

6) Le premier vaut $17$ et le second $32$ : les mêmes nombres, les mêmes opérations, et deux résultats presque deux fois différents. Les parenthèses ne sont donc pas une décoration, elles CHANGENT le calcul en forçant l'addition à passer avant la multiplication. C'est aussi la raison pour laquelle on écrit des parenthèses même quand elles semblent inutiles : elles suppriment toute ambiguïté pour le lecteur.

1) La barre de fraction demande de terminer le numérateur AVANT de diviser : $12+8=20$, puis $\dfrac{20}{4}=5$. Écrire $12+8\div 4$ serait un calcul complètement différent, qui vaudrait $14$.

2) Même principe au dénominateur : $2+3=5$, puis $\dfrac{30}{5}=6$.

3) On termine les deux produits : $\dfrac{28}{14}=2$. On pouvait aussi simplifier directement le facteur $7$ présent en haut et en bas, ce qui laisse $\dfrac{4}{2}=2$ ✓. Simplifier avant de multiplier est souvent plus rapide et donne des nombres plus petits.

4) Chaque fraction se calcule séparément, puis on soustrait : $5-3=2$.

5) Le nombre $3$ s'écrit $\dfrac{15}{5}$, donc $3+\dfrac{2}{5}=\dfrac{15}{5}+\dfrac{2}{5}=\dfrac{17}{5}$. La méthode générale est de transformer l'entier en fraction de MÊME dénominateur.

6) Le numérateur vaut $12$, le dénominateur $4$, donc le quotient vaut $3$. Quant à la simplification, elle est interdite ici pour une raison précise : simplifier consiste à diviser le numérateur ENTIER et le dénominateur ENTIER par un même nombre, or le numérateur est une SOMME, $8+4$, et non un produit. On ne peut pas diviser seulement l'un de ses termes. Écrire $\dfrac{8+4}{6-2}=\dfrac{8+1}{6-2}$ en simplifiant le $4$ par le $4$ n'a aucun sens. La règle à retenir est celle-ci : on ne simplifie que des FACTEURS, jamais des termes d'une somme. Il faut donc d'abord effectuer la somme et la différence, puis simplifier si c'est possible.

1) Les dénominateurs sont déjà égaux : on additionne les numérateurs et on GARDE le dénominateur, $\dfrac{2+3}{7}=\dfrac{5}{7}$. Écrire $\dfrac{5}{14}$ en additionnant aussi les dénominateurs est l'erreur classique, et elle se détecte au bon sens : deux septièmes plus trois septièmes font forcément plus qu'un demi.

2) Comme $6$ est un multiple de $3$, il suffit de transformer la première fraction : $\dfrac{2}{3}=\dfrac{4}{6}$, donc la somme vaut $\dfrac{4}{6}+\dfrac{1}{6}=\dfrac{5}{6}$. La figure du corrigé montre le calcul sur une droite graduée en sixièmes : on part de $\dfrac{4}{6}$ et l'on avance d'un sixième.

3) Le dénominateur commun est $8$ : $\dfrac{3}{4}=\dfrac{6}{8}$, donc la somme vaut $\dfrac{6}{8}+\dfrac{5}{8}=\dfrac{11}{8}$. Le résultat dépasse $1$, ce qui est normal puisque $\dfrac{3}{4}$ et $\dfrac{5}{8}$ valent chacun plus d'un demi.

4) Dénominateurs égaux : $\dfrac{7-2}{5}=\dfrac{5}{5}=1$. Pensez toujours à simplifier le résultat, et à reconnaître qu'une fraction dont le numérateur égale le dénominateur vaut exactement $1$.

5) Aucun des deux dénominateurs n'est multiple de l'autre. Le plus petit commun multiple de $6$ et $4$ est $12$ : $\dfrac{5}{6}=\dfrac{10}{12}$ et $\dfrac{1}{4}=\dfrac{3}{12}$, donc la différence vaut $\dfrac{7}{12}$. On pourrait prendre $24$ comme dénominateur commun, ce qui donnerait $\dfrac{14}{24}$, exact mais à simplifier ensuite : chercher le PLUS PETIT commun multiple évite ce travail supplémentaire.

6) On écrit l'entier en fraction de dénominateur $4$ : $2=\dfrac{8}{4}$, donc $2+\dfrac{3}{4}=\dfrac{8}{4}+\dfrac{3}{4}=\dfrac{11}{4}$. Un contrôle décimal est instructif : $\dfrac{11}{4}=2{,}75$, et l'on retrouve bien deux unités plus trois quarts ✓. Prendre l'habitude de ce contrôle décimal permet de repérer immédiatement une erreur de dénominateur.

1) On multiplie en ligne : $\dfrac{2\times 5}{3\times 7}=\dfrac{10}{21}$. Cette fraction est irréductible, car $10$ et $21$ n'ont aucun diviseur commun autre que $1$.

2) Le grand carré représente l'unité et il est découpé en $3$ colonnes et $7$ lignes, donc en $21$ cases identiques. Le rectangle en trait plein occupe $2$ colonnes sur $3$ et $5$ lignes sur $7$, soit $2\times 5=10$ cases. Il représente donc $\dfrac{10}{21}$ du carré, exactement le résultat de la question 1. C'est la justification visuelle de la règle de multiplication : le numérateur compte les cases prises, le dénominateur les cases en tout. On comprend du même coup pourquoi le produit de deux fractions plus petites que $1$ est plus petit que chacune d'elles, ce qui surprend souvent : multiplier peut DIMINUER.

3) En ligne, $\dfrac{3\times 8}{4\times 9}=\dfrac{24}{36}$, qui se simplifie par $12$ pour donner $\dfrac{2}{3}$. Il est plus efficace de simplifier AVANT de multiplier : le $3$ se simplifie avec le $9$ pour donner $1$ et $3$, le $8$ avec le $4$ pour donner $2$ et $1$, et il reste $\dfrac{1\times 2}{1\times 3}=\dfrac{2}{3}$ ✓, avec des nombres bien plus petits.

4) On écrit l'entier comme une fraction de dénominateur $1$ : $\dfrac{5}{6}\times\dfrac{3}{1}=\dfrac{15}{6}$, qui se simplifie par $3$ en $\dfrac{5}{2}$. On peut aussi simplifier tout de suite le $3$ avec le $6$ : $\dfrac{5}{2}$ ✓.

5) Pour $\dfrac{42}{56}$, on cherche un diviseur commun : $14$ convient, et l'on obtient $\dfrac{3}{4}$. Si l'on n'avait vu que $2$, on aurait obtenu $\dfrac{21}{28}$, exact mais non terminé, puis $7$ aurait achevé le travail : simplifier en plusieurs étapes est parfaitement valable. Pour $\dfrac{120}{45}$, le diviseur commun est $15$, ce qui donne $\dfrac{8}{3}$, une fraction supérieure à $1$ et irréductible.

6) Prendre une fraction d'un nombre, c'est multiplier : $\dfrac{2}{3}\times 45=\dfrac{2\times 45}{3}=\dfrac{90}{3}=30$. Il est plus simple de diviser d'abord : le tiers de $45$ vaut $15$, donc les deux tiers valent $2\times 15=30$ ✓. Cette seconde façon se fait de tête et devrait devenir un réflexe.

1) On décompose $102=100+2$, puis on distribue : $7\times 102=7\times 100+7\times 2=700+14=714$. Les deux produits sont immédiats, alors que la multiplication posée demanderait du papier.

2) Il est plus économique de décomposer $99=100-1$ : $12\times 99=12\times 100-12\times 1=1\,200-12=1\,188$. Retenez ce réflexe : pour un nombre proche d'une dizaine ou d'une centaine ronde, on décompose avec une SOUSTRACTION.

3) On lit la distributivité dans l'autre sens, en factorisant par le facteur commun $25$ : $25\times 18+25\times 22=25\times(18+22)=25\times 40=1\,000$. Faire les deux produits séparément donnerait $450+550$, exact mais bien plus long.

4) Même mouvement, avec $4{,}5$ en facteur commun : $4{,}5\times(8+2)=4{,}5\times 10=45$. Multiplier par $10$ est immédiat, ce qui est tout l'intérêt de reconnaître que les deux nombres se complètent à une dizaine ronde.

5) La distributivité vaut aussi pour la soustraction : $15\times(6-2)=15\times 4=60$.

6) On décompose $101=100+1$ : $101\times 37=100\times 37+1\times 37=3\,700+37=3\,737$. La méthode générale est celle-ci : on cherche à remplacer un des deux facteurs par une somme ou une différence dont les termes sont FACILES à multiplier, typiquement une puissance de dix et un petit nombre. Le choix de la décomposition est libre, et c'est justement ce qui fait l'intérêt de l'exercice : $101\times 37$ pourrait aussi se lire $101\times(40-3)=4\,040-303=3\,737$ ✓, ce qui marche mais demande plus d'efforts. Bien décomposer, c'est choisir la décomposition qui rend les deux produits triviaux.

1) On met au même dénominateur, $5\times 7=35$ : $\dfrac{3}{5}=\dfrac{21}{35}$ et $\dfrac{4}{7}=\dfrac{20}{35}$. Comme $21>20$, on conclut $\dfrac{3}{5}>\dfrac{4}{7}$.

2) Dénominateur commun $24$ : $\dfrac{5}{6}=\dfrac{20}{24}$ et $\dfrac{7}{8}=\dfrac{21}{24}$, donc $\dfrac{5}{6}<\dfrac{7}{8}$. Les deux fractions sont très proches, et seule la mise au même dénominateur permet de trancher.

3) Le plus petit commun multiple de $2$, $5$, $9$ et $12$ est $180$. On obtient $\dfrac{1}{2}=\dfrac{90}{180}$, $\dfrac{3}{5}=\dfrac{108}{180}$, $\dfrac{4}{9}=\dfrac{80}{180}$ et $\dfrac{7}{12}=\dfrac{105}{180}$. L'ordre croissant est donc $\dfrac{4}{9}<\dfrac{1}{2}<\dfrac{7}{12}<\dfrac{3}{5}$. La figure du corrigé place les quatre fractions sur une droite graduée, ce qui rend l'ordre visible d'un coup d'œil.

4) C'est $\dfrac{7}{5}$, et on le voit sans aucun calcul : son numérateur est plus GRAND que son dénominateur, donc elle vaut plus qu'une unité entière. À l'inverse $\dfrac{4}{9}$ a un numérateur plus petit que son dénominateur, elle vaut donc moins que $1$. Comparer une fraction à $1$ est le contrôle le plus rapide qui existe, et il suffit souvent à conclure.

5) Le plus simple est de convertir la fraction en décimal : $\dfrac{2}{3}\approx 0{,}667$, ce qui est plus petit que $0{,}7$. On peut aussi tout écrire en fractions : $0{,}7=\dfrac{7}{10}$, et au dénominateur commun $30$ on compare $\dfrac{20}{30}$ à $\dfrac{21}{30}$ ✓ même conclusion.

6) Le raisonnement est faux, et il est instructif de comprendre POURQUOI. L'élève compare séparément les numérateurs et les dénominateurs, comme si ces deux comparaisons pouvaient se combiner, alors qu'elles jouent en sens contraires : un numérateur plus grand augmente la fraction, mais un dénominateur plus grand la DIMINUE. Les deux effets se compensent d'une manière qu'on ne peut pas devinerand qu'il faut calculer. Le calcul tranche : $\dfrac{3}{4}=\dfrac{9}{12}$ et $\dfrac{5}{6}=\dfrac{10}{12}$, donc $\dfrac{3}{4}$ est en réalité plus PETIT. Un contre-exemple encore plus frappant termine la discussion : $\dfrac{1}{2}$ et $\dfrac{2}{100}$ vérifient aussi $1<2$ et $2<100$, et pourtant la première est vingt-cinq fois plus grande.

1) FAUX. L'affirmation calcule de gauche à droite, $5+3=8$ puis $8\times 4=32$, en ignorant la priorité de la multiplication. Le calcul correct commence par $3\times 4=12$, ce qui donne $5+12=17$. La valeur $32$ serait celle de $(5+3)\times 4$, une expression différente.

2) FAUX. L'affirmation additionne aussi les dénominateurs. Or on additionne les numérateurs et l'on GARDE le dénominateur commun : $\dfrac{2+1}{3}=\dfrac{3}{3}=1$. Un contrôle de bon sens suffisait : deux tiers plus un tiers font un entier, alors que $\dfrac{3}{6}$ vaut un demi.

3) FAUX. L'affirmation calcule de droite à gauche, $6\div 3=2$ puis $36\div 2=18$. Deux divisions ayant la même priorité, on va de gauche à droite : $36\div 6=6$ puis $6\div 3=2$. Le résultat correct est $2$.

4) FAUX. Le raisonnement compare séparément numérateurs et dénominateurs, ce qui n'est pas valable puisque les deux jouent en sens contraires. Au dénominateur commun $12$, on obtient $\dfrac{9}{12}$ contre $\dfrac{10}{12}$, donc $\dfrac{3}{4}<\dfrac{5}{6}$ : l'inégalité est même inversée.

5) FAUX, et c'est l'erreur la plus coûteuse des cinq. La barre de fraction joue exactement le rôle de parenthèses autour du numérateur et autour du dénominateur : $\dfrac{12+8}{4}$ signifie $(12+8)\div 4$, donc $20\div 4=5$. L'expression $12+\dfrac{8}{4}$, qui vaut bien $14$, s'écrit tout autrement, avec la barre sous le seul $8$. Le repère à retenir est visuel : ce qui est écrit AU-DESSUS de la barre forme un bloc à calculer entièrement avant de diviser, et de même pour ce qui est en dessous.

1) Chaque article coûte sa quantité multipliée par son prix unitaire, et l'on additionne les trois lignes : $3\times 1{,}20+2\times 3{,}50+8{,}90$. Aucune parenthèse n'est nécessaire, puisque les multiplications sont prioritaires et se font donc naturellement avant les additions. C'est un bon exemple du fait que la règle des priorités est faite pour coller au sens : elle traduit exactement le raisonnement du caissier.

2) $3\times 1{,}20=3{,}60$, $2\times 3{,}50=7{,}00$, et l'on ajoute $8{,}90$. Le total vaut $3{,}60+7{,}00+8{,}90=19{,}50$ dollars.

3) La monnaie rendue est la différence : $20-19{,}50=0{,}50$ dollar.

4) Les yaourts coûtent $4\times 0{,}45=1{,}80$ dollar, donc le nouveau total vaut $19{,}50+1{,}80=21{,}30$ dollars.

5) Non, le billet ne suffit plus, puisque $21{,}30$ dépasse $20$. Il manque $21{,}30-20=1{,}30$ dollar.

6) L'expression proposée multiplie la somme des quantités par la somme des prix, ce qui mélange des articles qui n'ont rien à voir : elle facture des baguettes au prix du fromage. Numériquement elle donne $6\times 13{,}60=81{,}60$ dollars, plus de quatre fois le vrai total, ce qui suffit à la rejeter. L'erreur de fond est de croire que la distributivité permet de regrouper n'importe quoi : $3\times 1{,}20+2\times 3{,}50$ ne se factorise PAS, parce que les deux produits n'ont aucun facteur commun. On ne peut factoriser que lorsqu'un même facteur apparaît dans chaque terme, comme dans $25\times 18+25\times 22$ où le $25$ est commun.

1) On prend les $\dfrac{2}{5}$ de $30$. Le cinquième de $30$ vaut $6$, donc les deux cinquièmes valent $2\times 6=12$ élèves.

2) Le tiers de $30$ vaut $10$ élèves.

3) Il reste $30-12-10=8$ élèves.

4) Ces $8$ élèves sur $30$ représentent la fraction $\dfrac{8}{30}$, qui se simplifie par $2$ en $\dfrac{4}{15}$.

5) On additionne les trois fractions, au dénominateur commun $15$ : $\dfrac{2}{5}=\dfrac{6}{15}$, $\dfrac{1}{3}=\dfrac{5}{15}$ et $\dfrac{4}{15}$ reste inchangée. La somme vaut $\dfrac{6+5+4}{15}=\dfrac{15}{15}=1$ ✓. C'est bien ce qu'on attendait : les trois groupes se partagent la classe entière, donc leurs fractions doivent totaliser exactement une unité. Ce contrôle est précieux, car il détecte toute erreur sur l'un des trois effectifs.

6) Les proportions étant les mêmes, on prend encore les $\dfrac{2}{5}$, mais de $45$ cette fois : le cinquième de $45$ vaut $9$, donc les deux cinquièmes valent $18$ élèves. Il faut noter que le NOMBRE de footballeurs change, passant de $12$ à $18$, alors que la FRACTION ne change pas : c'est toute la différence entre une proportion et un effectif. La figure du corrigé montre la classe de $30$ comme une barre découpée en trois parts, et l'on voit que la part du football est un peu plus grande que celle de la natation, ce que les fractions $\dfrac{6}{15}$ et $\dfrac{5}{15}$ confirment.