Cinquième, programme français à Montréal • Fiche de révision

Fiche de révision : calculs numériques et priorités (Cinquième)

Cette fiche de révision couvre les priorités opératoires et le calcul sur les fractions en classe de cinquième du programme français, tels qu'ils sont évalués dans les contrôles du Lycée Marie de France et du Collège Stanislas à Montréal, et dans tout le réseau AEFE.

Elle ne redit pas le cours, que vous avez déjà : elle dit ce qui fait perdre des points sur ce chapitre, et le geste précis qui évite chaque perte. Le fil est toujours le même : regarder la STRUCTURE de l'expression avant d'écrire le premier signe égal.

Mis à jour le 16 octobre 2026

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Le fil du chapitre

Une expression ne se lit pas de gauche à droite comme une phrase : c'est sa STRUCTURE qui décide de l'ordre des calculs, et la barre de fraction est une paire de parenthèses invisibles.

Ce chapitre fait partie de Mathématiques en Cinquième

Pour s'entraîner Les exercices corrigés de ce chapitre, 16 exercices

Avant ce chapitre

Cette fiche suppose ces notions acquises. Si une méthode ci-dessous reste opaque, c'est presque toujours l'une d'elles qui manque, pas la fiche.

Les nombres décimaux Sixième Exercices

L'essentiel

Ce qui décide de l'ordre : la structure, pas la lecture

• Sans parenthèses, on fait d'abord TOUTES les multiplications et divisions, puis les additions et soustractions : $3+4\times 5=3+20=23$ .
• À priorité égale, on calcule de GAUCHE À DROITE : $36\div 6\div 3=6\div 3=2$ , et non $18$ .
• Les parenthèses passent avant tout, en commençant par les plus intérieures : $5\times(3+(8-6))=5\times 5=25$ .
• La barre de fraction est une paire de parenthèses invisibles, en haut ET en bas : $\frac{12+8}{4}$ signifie $(12+8)\div 4=5$ .

La même suite de symboles, deux structures : à gauche le

+

est tout en haut de l'arbre, donc il se calcule EN DERNIER ; à droite les parenthèses le descendent d'un étage et il passe en premier.

Une seule opération par ligne. Les points perdus en cinquième ne viennent presque jamais du calcul lui-même, ils viennent de deux calculs faits sur la même ligne.

Les quatre gestes sur les fractions

• Somme ou différence : même dénominateur OBLIGATOIRE, puis on n'opère que sur les numérateurs. $\frac{3}{6}+\frac{2}{6}=\frac{5}{6}$ , et le $6$ se recopie.
• Produit : numérateurs entre eux, dénominateurs entre eux. Aucun dénominateur commun n'est nécessaire, et on simplifie AVANT de multiplier.
• Simplification : on ne barre que des FACTEURS, c'est-à-dire des nombres multipliés. Dans une somme, rien ne se barre.
• Comparaison : même dénominateur, puis on compare les numérateurs. Comparer séparément les numérateurs et les dénominateurs ne prouve rien.

Écrire les deux fractions transformées sur une ligne AVANT d'additionner rapporte le demi-point de méthode, même si la suite se trompe.

La distributivité, l'outil du calcul mental

• $k(a+b)=ka+kb$ : le facteur multiplie TOUS les termes de la parenthèse, sans exception.
• Lue à l'endroit, elle développe : $4\times 103=4\times(100+3)=400+12=412$ .
• Lue à l'envers, elle factorise : $17\times 8+17\times 2=17\times(8+2)=17\times 10=170$ .
• Un signe $-$ devant une parenthèse change le signe de TOUS les termes : $20-(6+4)=20-10=10$ .

Un énoncé qui dit « calculer astucieusement » ou « de tête » attend explicitement cette lecture : le calcul posé donne le bon résultat mais ne rapporte pas les points de méthode.

Les pièges qui coûtent des points

Les erreurs ci-dessous sont celles que je corrige le plus souvent en séance. Chacune coûte des points sur une copie, même quand le raisonnement est juste.

1. Calculer de gauche à droite comme on lit une phrase

2 points, et l'exercice entier quand ce calcul sert de résultat intermédiaire

Ce qu'il ne faut pas écrire

« $3+4\times 5=7\times 5=35$ »

Ce qu'il faut écrire

« $3+4\times 5=3+20=23$ : la multiplication passe avant l'addition. »

Pourquoi : C'est l'erreur numéro un du chapitre. Elle vient de l'habitude de lire, pas d'un manque de connaissance : l'élève connaît la règle et ne la regarde pas.

2. Croire que la règle des priorités tranche entre $\div$ et $\times$

1 point, et un résultat neuf fois trop grand

Ce qu'il ne faut pas écrire

« $36\div 6\div 3=36\div 2=18$ »

Ce qu'il faut écrire

« $36\div 6\div 3=6\div 3=2$ : à priorité égale, on calcule de gauche à droite. »

Pourquoi : La multiplication et la division ont la MÊME priorité, comme l'addition et la soustraction. Ce qui départage alors, c'est uniquement la position de gauche à droite.

3. Recopier une fraction en ligne sans mettre les parenthèses

toute la question, parce que le résultat n'a plus rien à voir

Ce qu'il ne faut pas écrire

« $\frac{12+8}{4}=12+8\div 4=12+2=14$ »

Ce qu'il faut écrire

« $\frac{12+8}{4}=\frac{20}{4}=5$ : la barre de fraction groupe tout le numérateur. »

À gauche la barre groupe le

12+8

et le résultat vaut

5

; à droite le signe

\div

ne groupe rien, seul le

8\div 4

est prioritaire et le résultat vaut

14

Pourquoi : La barre de fraction est le seul signe du programme qui groupe sans être visible. C'est aussi l'erreur la plus fréquente sur calculatrice, où les parenthèses doivent être tapées à la main.

4. Additionner les dénominateurs comme les numérateurs

2 points, et le résultat est plus petit que chacune des deux fractions

Ce qu'il ne faut pas écrire

« $\frac{1}{2}+\frac{1}{3}=\frac{2}{5}$ »

Ce qu'il faut écrire

« $\frac{1}{2}+\frac{1}{3}=\frac{3}{6}+\frac{2}{6}=\frac{5}{6}$ : le dénominateur commun se recopie, il ne s'additionne pas. »

Sur des sixièmes,

\frac{3}{6}+\frac{2}{6}=\frac{5}{6}

(vert). Le résultat faux

\frac{2}{5}

(rouge) n'atteint même pas le pointillé de

\frac{1}{2}

Pourquoi : Le dénominateur dit la TAILLE des parts, le numérateur dit combien on en prend. On n'additionne que ce qui se compte, donc les numérateurs.

5. Barrer un nombre qui est un terme d'une somme, pas un facteur

2 points, et la même erreur coûtera la moitié du chapitre de calcul littéral

Ce qu'il ne faut pas écrire

« $\frac{3+5}{3+7}=\frac{5}{7}$ »

Ce qu'il faut écrire

« $\frac{3+5}{3+7}=\frac{8}{10}=\frac{4}{5}$ : on ne simplifie que des facteurs. »

Les deux quotients ne tombent pas au même endroit :

\frac{3\times 5}{3\times 7}

est bien le point

\frac{5}{7}

, alors que

\frac{3+5}{3+7}

est le point

\frac{4}{5}

, plus loin à droite.

Pourquoi : Simplifier, c'est diviser le numérateur ET le dénominateur en entier par un même nombre. Un terme d'une somme n'est pas le numérateur en entier, donc il ne se divise pas tout seul.

6. Comparer deux fractions numérateur contre numérateur

1 point par comparaison, et tout un rangement quand il y a trois fractions

Ce qu'il ne faut pas écrire

« $\frac{3}{5}<\frac{4}{9}$ car $3<4$ et $5<9$ »

Ce qu'il faut écrire

« $\frac{3}{5}=\frac{27}{45}$ et $\frac{4}{9}=\frac{20}{45}$ , donc $\frac{3}{5}>\frac{4}{9}$ . »

Sur la même unité,

\frac{3}{5}

va plus loin que

\frac{4}{9}

, alors que

3<4

5<9

: on compare au même dénominateur, pas chiffre à chiffre.

Pourquoi : Deux fractions ne se comparent que si les parts ont la même taille. Tant que les dénominateurs diffèrent, aucune comparaison de numérateurs ne veut dire quoi que ce soit.

7. Distribuer le facteur sur un seul terme de la parenthèse

2 points, et c'est l'erreur qui reviendra sur

3(x+2)

en quatrième

Ce qu'il ne faut pas écrire

« $4\times(25+3)=4\times 25+3=103$ »

Ce qu'il faut écrire

« $4\times(25+3)=4\times 25+4\times 3=100+12=112$ . »

Le facteur

4

couvre les deux morceaux de la largeur :

100+12=112

. Oublier la bande verte donne

103

Pourquoi : Le facteur multiplie le CONTENU de la parenthèse, qui vaut $28$ en entier. Oublier un terme, c'est multiplier autre chose que ce qui est écrit.

8. Enlever une parenthèse précédée d'un signe moins sans changer les signes

1,5 point, et le double quand la parenthèse contient trois termes

Ce qu'il ne faut pas écrire

« $20-(6+4)=20-6+4=18$ »

Ce qu'il faut écrire

« $20-(6+4)=20-10=10$ : le $-$ s'applique à TOUT le contenu de la parenthèse. »

On enlève les DEUX morceaux de la parenthèse,

6

4

: il reste

10

. Écrire

20-6+4

remettrait le morceau de

4

Pourquoi : Soustraire une somme, c'est soustraire chacun de ses termes. Le plus sûr en cinquième est de calculer la parenthèse AVANT de la faire disparaître.

Quelle méthode choisir

Dans quel ordre attaquer une expression ?

On regarde l'écriture, pas les nombres : quels signes de groupement sont présents, et quelles opérations restent.

Si il y a des parenthèses → calculer d'abord la plus INTÉRIEURE, et la faire disparaître avant de regarder le reste

Exemple : $5\times(3+(8-6))=5\times(3+2)=5\times 5=25$

un signe $-$ devant la parenthèse ne change rien à l'ordre, il change les signes quand on l'ouvre
Si il y a une barre de fraction → calculer tout le numérateur, puis tout le dénominateur, et diviser en dernier

Exemple : $\frac{7+5}{2\times 3}=\frac{12}{6}=2$

sur la calculatrice, taper les parenthèses que la barre sous-entend : $(7+5)\div(2\times 3)$
Si plus aucun groupement, et des $\times$ ou $\div$ mêlés à des $+$ ou $-$ → faire toutes les multiplications et divisions, puis seulement les additions et soustractions

Exemple : $7+3\times 4-2=7+12-2=17$
Si il ne reste que des opérations de même priorité → calculer de GAUCHE À DROITE, une opération par ligne

Exemple : $48\div 4\times 3=12\times 3=36$

c'est la branche que tout le monde oublie : $48\div(4\times 3)$ vaudrait $4$

Si aucune branche ne s'applique, c'est qu'il ne reste qu'un seul calcul : on l'écrit et on encadre. Une expression entière ne se calcule jamais sur une seule ligne.

Quel geste sur deux fractions ?

On regarde le signe entre les deux fractions, puis la relation entre leurs dénominateurs.

Si le signe est $\times$ → ne surtout pas chercher de dénominateur commun : simplifier en croix, puis multiplier ligne par ligne

Exemple : $\frac{3}{4}\times\frac{8}{9}=\frac{3\times 8}{4\times 9}=\frac{2}{3}$

simplifier avant de multiplier évite d'avoir à simplifier $\frac{24}{36}$ ensuite
Si le signe est $+$ ou $-$ , et un dénominateur est multiple de l'autre → ne transformer QUE la fraction à corriger

Exemple : $\frac{1}{4}+\frac{5}{12}=\frac{3}{12}+\frac{5}{12}=\frac{8}{12}=\frac{2}{3}$

$12$ est un multiple de $4$ , donc $12$ est le dénominateur commun, inutile d'aller à $48$
Si le signe est $+$ ou $-$ , et les dénominateurs n'ont aucun multiple évident → prendre leur produit comme dénominateur commun, quitte à simplifier à la fin

Exemple : $\frac{2}{3}+\frac{1}{5}=\frac{10}{15}+\frac{3}{15}=\frac{13}{15}$
Si la question dit « comparer », « ranger » ou « placer » → mettre au même dénominateur, puis comparer les seuls numérateurs

Exemple : $\frac{3}{5}=\frac{27}{45}$ et $\frac{4}{9}=\frac{20}{45}$ , donc $\frac{3}{5}>\frac{4}{9}$

avec le même numérateur, on peut aller plus vite : la plus grande est celle qui a le PLUS PETIT dénominateur

Un entier s'écrit toujours en fraction quand il gêne : $2=\frac{2}{1}=\frac{6}{3}$ , on choisit le dénominateur dont on a besoin.

La rédaction attendue

Le correcteur coche des étapes. Les voici dans l'ordre, avec la phrase de conclusion qu'il attend mot pour mot.

Calculer une expression en détaillant les étapes

Quand l'utiliser : L'énoncé dit « calculer en détaillant les étapes », « calculer en indiquant les calculs intermédiaires », ou donne un nom à l'expression ( $A=\ldots$ ).

1 Recopier l'expression telle quelle, avec son nom : $A=\frac{18-2\times 4}{5}-\frac{3}{4}\times\frac{8}{9}$ .
2 Repérer à voix haute la structure : ici une DIFFÉRENCE de deux blocs, donc la soustraction se fera en dernier.
3 Entourer au crayon le calcul prioritaire, celui qui part en premier, avant d'écrire quoi que ce soit.
4 Une seule opération par ligne, chaque ligne commençant par $A=$ et les $=$ alignés les uns sous les autres.
5 Encadrer le résultat final, sous forme de fraction IRRÉDUCTIBLE.

Phrase de conclusion

« Donc $A=\frac{4}{3}$ . »

Le piège : Faire deux calculs sur la même ligne. C'est là, et presque uniquement là, que les signes se perdent.

Barème : 1 point pour le résultat, 1 point pour les étapes intermédiaires : une copie qui n'écrit que le résultat perd la moitié des points, même juste.

Additionner deux fractions et rendre le résultat irréductible

Quand l'utiliser : Un $+$ ou un $-$ sépare deux fractions de dénominateurs différents.

1 Chercher un dénominateur commun : le plus petit multiple commun aux deux, à défaut leur produit.
2 Écrire les DEUX fractions transformées sur une même ligne, avant d'additriquer quoi que ce soit : $\frac{1}{4}+\frac{5}{12}=\frac{3}{12}+\frac{5}{12}$ .
3 Additionner les numérateurs seulement, et recopier le dénominateur : $\frac{8}{12}$ .
4 Chercher un diviseur commun au numérateur et au dénominateur, et simplifier : $\frac{8}{12}=\frac{2}{3}$ .

Phrase de conclusion

« $\frac{1}{4}+\frac{5}{12}=\frac{3}{12}+\frac{5}{12}=\frac{8}{12}=\frac{2}{3}$ . »

Le piège : Sauter la ligne des deux fractions transformées et écrire directement $\frac{8}{12}$ : c'est exactement le demi-point de méthode que le correcteur cherche.

Barème : 0,5 point pour le dénominateur commun affiché, 0,5 pour la somme, 0,5 pour la simplification finale.

Vérifier avant de rendre

Cinq minutes de vérification récupèrent plus de points qu'un exercice de plus commencé à la hâte.

L'ordre de grandeur, en arrondissant tout

Remplacer chaque nombre par un nombre rond et refaire le calcul de tête. Le résultat doit être du même ordre que celui de la copie.

$\frac{18-2\times 4}{5}$ vaut à peu près $\frac{10}{5}=2$ : une copie qui annonce $14$ a oublié que la barre groupe.
La calculatrice, avec les parenthèses tapées à la main

Retaper l'expression en ajoutant soi-même les parenthèses que la barre de fraction sous-entend, en haut ET en bas.

Sur TI comme sur Casio, $\frac{7+5}{2\times 3}$ se tape $(7+5)\div(2\times 3)$ et affiche $2$ ; tapé sans parenthèses il affiche $8$ .
L'encadrement d'une somme de fractions

Une somme de deux fractions positives est toujours PLUS GRANDE que chacune des deux. Un résultat plus petit signale les dénominateurs additionnés.

$\frac{1}{2}+\frac{1}{3}$ doit dépasser $\frac{1}{2}$ : $\frac{2}{5}$ est plus petit, donc faux, alors que $\frac{5}{6}$ passe le test.
Le résultat est-il irréductible ?

Regarder si le numérateur et le dénominateur sont tous les deux pairs, tous les deux dans la table de $3$ , ou finissent tous les deux par $0$ ou $5$ .

$\frac{8}{12}$ n'est pas une réponse finale : les deux sont pairs, et même divisibles par $4$ , donc la réponse est $\frac{2}{3}$ .

L'exercice type décortiqué

Un calcul qui réunit les trois pièges du chapitre

Calculer, en détaillant les étapes, et donner le résultat sous forme de fraction irréductible :

$A=\frac{18-2\times 4}{5}-\frac{3}{4}\times\frac{8}{9}$

Étape 1

$A$ est une DIFFÉRENCE de deux blocs : $\frac{18-2\times 4}{5}$ d'une part, $\frac{3}{4}\times\frac{8}{9}$ d'autre part. La soustraction se fera donc en dernier.

Pourquoi

Nommer la structure avant de calculer, c'est ce qui empêche d'attaquer par le $18-2$ qui saute aux yeux. Cette phrase ne coûte rien et oriente tout le reste.

Étape 2

Premier bloc, la barre groupe : $18-2\times 4=18-8=10$ , puis $\frac{10}{5}=2$ .

Pourquoi

Le numérateur se calcule EN ENTIER avant la division, et à l'intérieur du numérateur la multiplication passe encore avant la soustraction. Deux priorités emboîtées dans la même ligne.

Étape 3

Deuxième bloc, produit de fractions : $\frac{3}{4}\times\frac{8}{9}=\frac{3\times 8}{4\times 9}$ , on simplifie $3$ avec $9$ et $8$ avec $4$ , il reste $\frac{1\times 2}{1\times 3}=\frac{2}{3}$ .

Pourquoi

Simplifier AVANT de multiplier évite de manipuler $\frac{24}{36}$ , où le diviseur commun $12$ ne se voit plus. Aucun dénominateur commun n'intervient ici : c'est un produit.

Étape 4

Soustraction finale : $2$ s'écrit $\frac{6}{3}$ , donc $A=\frac{6}{3}-\frac{2}{3}=\frac{4}{3}$ .

Pourquoi

L'entier doit devenir une fraction de même dénominateur que l'autre terme. C'est là que la copie qui a bien travaillé jusqu'ici écrit parfois $2-\frac{2}{3}=\frac{0}{3}$ .

Étape 5

Vérification : $\frac{4}{3}\approx 1{,}33$ , et en décimaux $2-0{,}67\approx 1{,}33$ . Le numérateur $4$ et le dénominateur $3$ n'ont aucun diviseur commun.

Pourquoi

Deux contrôles en une ligne : la valeur approchée confirme le calcul, l'absence de diviseur commun confirme que la fraction est bien irréductible, ce que l'énoncé exigeait.

Conclusion rédigée

« Donc $A=\frac{4}{3}$ , et cette fraction est irréductible. »

L'erreur classique sur cet exercice : Commencer par $18-2=16$ puis multiplier par $4$ : on obtient $\frac{64}{5}$ , un nombre plus grand que $12$ alors que le calcul entier ne peut pas dépasser $\frac{18}{5}$ . L'ordre de grandeur suffit à le voir.

À savoir par cœur

• Sans parenthèses : $\times$ et $\div$ d'abord, puis $+$ et $-$ . À priorité égale, de GAUCHE À DROITE.
• La barre de fraction est une double parenthèse : $\frac{a+b}{c+d}$ signifie $(a+b)\div(c+d)$ .
• $\frac{a}{b}+\frac{c}{b}=\frac{a+c}{b}$ : le dénominateur se RECOPIE, il ne s'additionne jamais.
• $\frac{a}{b}\times\frac{c}{d}=\frac{a\times c}{b\times d}$ : aucun dénominateur commun nécessaire, on simplifie avant de multiplier.
• On ne simplifie que des FACTEURS. Dans une somme, aucun nombre ne se barre.
• Comparer deux fractions : même dénominateur, puis comparer les seuls numérateurs.
• $k(a+b)=ka+kb$ et $a-(b+c)=a-b-c$ : le facteur, comme le signe moins, s'applique à TOUS les termes.

Questions fréquentes

Dans quel ordre faire les calculs en cinquième ?

D'abord ce qui est entre parenthèses, en commençant par les parenthèses les plus intérieures. Ensuite les multiplications et les divisions. Enfin les additions et les soustractions. Quand deux opérations ont la même priorité, on calcule de gauche à droite : trente-six divisé par six divisé par trois donne deux, et non dix-huit.

Est-ce que la barre de fraction remplace des parenthèses ?

Oui, et des deux côtés. Tout le numérateur se calcule d'abord, tout le dénominateur ensuite, et la division vient en dernier. Douze plus huit, le tout divisé par quatre, vaut cinq et non quatorze. Quand vous recopiez une fraction sur la calculatrice, tapez ces parenthèses vous-même, la machine ne les devine pas.

Comment additionner deux fractions de dénominateurs différents ?

Vous cherchez un dénominateur commun, le plus petit multiple commun aux deux, ou à défaut leur produit. Vous transformez les deux fractions et vous les écrivez toutes les deux sur une même ligne, puis vous additionnez les numérateurs seulement. Le dénominateur se recopie, il ne s'additionne jamais.

Peut-on simplifier une fraction quand il y a une addition ?

Non. On ne simplifie que des facteurs, c'est-à-dire des nombres multipliés. Dans trois fois cinq sur trois fois sept, les deux trois se barrent et il reste cinq septièmes. Dans trois plus cinq sur trois plus sept, ils ne se barrent pas : le résultat est huit sur dix, soit quatre cinquièmes.

Pourquoi faut-il détailler les étapes d'un calcul ?

Parce que le barème donne souvent autant de points aux étapes qu'au résultat. Une copie qui écrit seulement le résultat juste perd la moitié des points, et une copie qui détaille garde les points de méthode même si elle se trompe à la dernière ligne. La règle : une opération par ligne.

Passer à la pratique

Exercices corrigés : Calculs numériques et priorités

Une méthode se prouve sur une copie, pas sur une fiche. La série du même chapitre reprend chacun de ces pièges dans un exercice, avec le corrigé rédigé étape par étape.

16 exercices corrigés
160 points
205 minutes

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Le calcul littéral

© Ahmed Squalli Houssaini. Fiche publiée sur www.letuteurscientifique.ca/fiches/5eme-calculs-priorites. Libre pour l'usage personnel et en classe ; sa republication ailleurs demande une autorisation écrite (mentions légales).

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Fiche de révision : calculs numériques et priorités (Cinquième)

L'essentiel

Ce qui décide de l'ordre : la structure, pas la lecture

Les quatre gestes sur les fractions

La distributivité, l'outil du calcul mental

Les pièges qui coûtent des points

1. Calculer de gauche à droite comme on lit une phrase

2. Croire que la règle des priorités tranche entre ÷\div÷ et ×\times×

3. Recopier une fraction en ligne sans mettre les parenthèses

4. Additionner les dénominateurs comme les numérateurs

5. Barrer un nombre qui est un terme d'une somme, pas un facteur

6. Comparer deux fractions numérateur contre numérateur

7. Distribuer le facteur sur un seul terme de la parenthèse

8. Enlever une parenthèse précédée d'un signe moins sans changer les signes

Quelle méthode choisir

Dans quel ordre attaquer une expression ?

Quel geste sur deux fractions ?

La rédaction attendue

Calculer une expression en détaillant les étapes

Additionner deux fractions et rendre le résultat irréductible

Vérifier avant de rendre

L'exercice type décortiqué

Un calcul qui réunit les trois pièges du chapitre

À savoir par cœur

Questions fréquentes

Dans quel ordre faire les calculs en cinquième ?

Est-ce que la barre de fraction remplace des parenthèses ?

Comment additionner deux fractions de dénominateurs différents ?

Peut-on simplifier une fraction quand il y a une addition ?

Pourquoi faut-il détailler les étapes d'un calcul ?

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