Cinquième, programme français à Montréal • Exercices corrigés
Cette fiche de révision couvre les priorités opératoires et le calcul sur les fractions en classe de cinquième du programme français, tels qu'ils sont évalués dans les contrôles du Lycée Marie de France et du Collège Stanislas à Montréal, et dans tout le réseau AEFE.
Elle ne redit pas le cours, que vous avez déjà : elle dit ce qui fait perdre des points sur ce chapitre, et le geste précis qui évite chaque perte. Le fil est toujours le même : regarder la STRUCTURE de l'expression avant d'écrire le premier signe égal.
Le fil du chapitre
Une expression ne se lit pas de gauche à droite comme une phrase : c'est sa STRUCTURE qui décide de l'ordre des calculs, et la barre de fraction est une paire de parenthèses invisibles.
Une seule opération par ligne. Les points perdus en cinquième ne viennent presque jamais du calcul lui-même, ils viennent de deux calculs faits sur la même ligne.
Écrire les deux fractions transformées sur une ligne AVANT d'additionner rapporte le demi-point de méthode, même si la suite se trompe.
Un énoncé qui dit « calculer astucieusement » ou « de tête » attend explicitement cette lecture : le calcul posé donne le bon résultat mais ne rapporte pas les points de méthode.
Les erreurs ci-dessous sont celles que je corrige le plus souvent en séance. Chacune coûte des points sur une copie, même quand le raisonnement est juste.
Ce qu'il ne faut pas écrire
« »
Ce qu'il faut écrire
« : la multiplication passe avant l'addition. »
Pourquoi : C'est l'erreur numéro un du chapitre. Elle vient de l'habitude de lire, pas d'un manque de connaissance : l'élève connaît la règle et ne la regarde pas.
Ce qu'il ne faut pas écrire
« »
Ce qu'il faut écrire
« : à priorité égale, on calcule de gauche à droite. »
Pourquoi : La multiplication et la division ont la MÊME priorité, comme l'addition et la soustraction. Ce qui départage alors, c'est uniquement la position de gauche à droite.
Ce qu'il ne faut pas écrire
« »
Ce qu'il faut écrire
« : la barre de fraction groupe tout le numérateur. »
Pourquoi : La barre de fraction est le seul signe du programme qui groupe sans être visible. C'est aussi l'erreur la plus fréquente sur calculatrice, où les parenthèses doivent être tapées à la main.
Ce qu'il ne faut pas écrire
« »
Ce qu'il faut écrire
« : le dénominateur commun se recopie, il ne s'additionne pas. »
Pourquoi : Le dénominateur dit la TAILLE des parts, le numérateur dit combien on en prend. On n'additionne que ce qui se compte, donc les numérateurs.
Ce qu'il ne faut pas écrire
« »
Ce qu'il faut écrire
« : on ne simplifie que des facteurs. »
Pourquoi : Simplifier, c'est diviser le numérateur ET le dénominateur en entier par un même nombre. Un terme d'une somme n'est pas le numérateur en entier, donc il ne se divise pas tout seul.
Ce qu'il ne faut pas écrire
« car et »
Ce qu'il faut écrire
« et , donc . »
Pourquoi : Deux fractions ne se comparent que si les parts ont la même taille. Tant que les dénominateurs diffèrent, aucune comparaison de numérateurs ne veut dire quoi que ce soit.
Ce qu'il ne faut pas écrire
« »
Ce qu'il faut écrire
« . »
Pourquoi : Le facteur multiplie le CONTENU de la parenthèse, qui vaut en entier. Oublier un terme, c'est multiplier autre chose que ce qui est écrit.
Ce qu'il ne faut pas écrire
« »
Ce qu'il faut écrire
« : le s'applique à TOUT le contenu de la parenthèse. »
Pourquoi : Soustraire une somme, c'est soustraire chacun de ses termes. Le plus sûr en cinquième est de calculer la parenthèse AVANT de la faire disparaître.
On regarde l'écriture, pas les nombres : quels signes de groupement sont présents, et quelles opérations restent.
Si il y a des parenthèses → calculer d'abord la plus INTÉRIEURE, et la faire disparaître avant de regarder le reste
Exemple :
un signe devant la parenthèse ne change rien à l'ordre, il change les signes quand on l'ouvre
Si il y a une barre de fraction → calculer tout le numérateur, puis tout le dénominateur, et diviser en dernier
Exemple :
sur la calculatrice, taper les parenthèses que la barre sous-entend :
Si plus aucun groupement, et des ou mêlés à des ou → faire toutes les multiplications et divisions, puis seulement les additions et soustractions
Exemple :
Si il ne reste que des opérations de même priorité → calculer de GAUCHE À DROITE, une opération par ligne
Exemple :
c'est la branche que tout le monde oublie : vaudrait
Si aucune branche ne s'applique, c'est qu'il ne reste qu'un seul calcul : on l'écrit et on encadre. Une expression entière ne se calcule jamais sur une seule ligne.
On regarde le signe entre les deux fractions, puis la relation entre leurs dénominateurs.
Si le signe est → ne surtout pas chercher de dénominateur commun : simplifier en croix, puis multiplier ligne par ligne
Exemple :
simplifier avant de multiplier évite d'avoir à simplifier ensuite
Si le signe est ou , et un dénominateur est multiple de l'autre → ne transformer QUE la fraction à corriger
Exemple :
est un multiple de , donc est le dénominateur commun, inutile d'aller à
Si le signe est ou , et les dénominateurs n'ont aucun multiple évident → prendre leur produit comme dénominateur commun, quitte à simplifier à la fin
Exemple :
Si la question dit « comparer », « ranger » ou « placer » → mettre au même dénominateur, puis comparer les seuls numérateurs
Exemple : et , donc
avec le même numérateur, on peut aller plus vite : la plus grande est celle qui a le PLUS PETIT dénominateur
Un entier s'écrit toujours en fraction quand il gêne : , on choisit le dénominateur dont on a besoin.
Le correcteur coche des étapes. Les voici dans l'ordre, avec la phrase de conclusion qu'il attend mot pour mot.
Quand l'utiliser : L'énoncé dit « calculer en détaillant les étapes », « calculer en indiquant les calculs intermédiaires », ou donne un nom à l'expression ().
Phrase de conclusion
« Donc . »
Le piège : Faire deux calculs sur la même ligne. C'est là, et presque uniquement là, que les signes se perdent.
Barème : 1 point pour le résultat, 1 point pour les étapes intermédiaires : une copie qui n'écrit que le résultat perd la moitié des points, même juste.
Quand l'utiliser : Un ou un sépare deux fractions de dénominateurs différents.
Phrase de conclusion
« . »
Le piège : Sauter la ligne des deux fractions transformées et écrire directement : c'est exactement le demi-point de méthode que le correcteur cherche.
Barème : 0,5 point pour le dénominateur commun affiché, 0,5 pour la somme, 0,5 pour la simplification finale.
Cinq minutes de vérification récupèrent plus de points qu'un exercice de plus commencé à la hâte.
L'ordre de grandeur, en arrondissant tout
Remplacer chaque nombre par un nombre rond et refaire le calcul de tête. Le résultat doit être du même ordre que celui de la copie.
vaut à peu près : une copie qui annonce a oublié que la barre groupe.
La calculatrice, avec les parenthèses tapées à la main
Retaper l'expression en ajoutant soi-même les parenthèses que la barre de fraction sous-entend, en haut ET en bas.
Sur TI comme sur Casio, se tape et affiche ; tapé sans parenthèses il affiche .
L'encadrement d'une somme de fractions
Une somme de deux fractions positives est toujours PLUS GRANDE que chacune des deux. Un résultat plus petit signale les dénominateurs additionnés.
doit dépasser : est plus petit, donc faux, alors que passe le test.
Le résultat est-il irréductible ?
Regarder si le numérateur et le dénominateur sont tous les deux pairs, tous les deux dans la table de , ou finissent tous les deux par ou .
n'est pas une réponse finale : les deux sont pairs, et même divisibles par , donc la réponse est .
Calculer, en détaillant les étapes, et donner le résultat sous forme de fraction irréductible :
Étape 1
est une DIFFÉRENCE de deux blocs : d'une part, d'autre part. La soustraction se fera donc en dernier.
Pourquoi
Nommer la structure avant de calculer, c'est ce qui empêche d'attaquer par le qui saute aux yeux. Cette phrase ne coûte rien et oriente tout le reste.
Étape 2
Premier bloc, la barre groupe : , puis .
Pourquoi
Le numérateur se calcule EN ENTIER avant la division, et à l'intérieur du numérateur la multiplication passe encore avant la soustraction. Deux priorités emboîtées dans la même ligne.
Étape 3
Deuxième bloc, produit de fractions : , on simplifie avec et avec , il reste .
Pourquoi
Simplifier AVANT de multiplier évite de manipuler , où le diviseur commun ne se voit plus. Aucun dénominateur commun n'intervient ici : c'est un produit.
Étape 4
Soustraction finale : s'écrit , donc .
Pourquoi
L'entier doit devenir une fraction de même dénominateur que l'autre terme. C'est là que la copie qui a bien travaillé jusqu'ici écrit parfois .
Étape 5
Vérification : , et en décimaux . Le numérateur et le dénominateur n'ont aucun diviseur commun.
Pourquoi
Deux contrôles en une ligne : la valeur approchée confirme le calcul, l'absence de diviseur commun confirme que la fraction est bien irréductible, ce que l'énoncé exigeait.
Conclusion rédigée
« Donc , et cette fraction est irréductible. »
L'erreur classique sur cet exercice : Commencer par puis multiplier par : on obtient , un nombre plus grand que alors que le calcul entier ne peut pas dépasser . L'ordre de grandeur suffit à le voir.
D'abord ce qui est entre parenthèses, en commençant par les parenthèses les plus intérieures. Ensuite les multiplications et les divisions. Enfin les additions et les soustractions. Quand deux opérations ont la même priorité, on calcule de gauche à droite : trente-six divisé par six divisé par trois donne deux, et non dix-huit.
Oui, et des deux côtés. Tout le numérateur se calcule d'abord, tout le dénominateur ensuite, et la division vient en dernier. Douze plus huit, le tout divisé par quatre, vaut cinq et non quatorze. Quand vous recopiez une fraction sur la calculatrice, tapez ces parenthèses vous-même, la machine ne les devine pas.
Vous cherchez un dénominateur commun, le plus petit multiple commun aux deux, ou à défaut leur produit. Vous transformez les deux fractions et vous les écrivez toutes les deux sur une même ligne, puis vous additionnez les numérateurs seulement. Le dénominateur se recopie, il ne s'additionne jamais.
Non. On ne simplifie que des facteurs, c'est-à-dire des nombres multipliés. Dans trois fois cinq sur trois fois sept, les deux trois se barrent et il reste cinq septièmes. Dans trois plus cinq sur trois plus sept, ils ne se barrent pas : le résultat est huit sur dix, soit quatre cinquièmes.
Parce que le barème donne souvent autant de points aux étapes qu'au résultat. Une copie qui écrit seulement le résultat juste perd la moitié des points, et une copie qui détaille garde les points de méthode même si elle se trompe à la dernière ligne. La règle : une opération par ligne.
