Cinquième, programme français à Montréal • Exercices corrigés
Cette fiche de révision couvre les fractions en classe de cinquième du programme français : fractions égales, simplification, comparaison, somme et produit, et fraction d'une quantité, tels qu'ils sont évalués au Lycée Marie de France, au Collège Stanislas à Montréal et dans tout le réseau AEFE.
Elle ne redit pas le cours, que vous avez déjà : elle dit ce qui fait perdre des points sur ce chapitre, et le geste précis qui évite chaque perte. Le fil est toujours le même : une fraction est un point sur la droite graduée, et ce point tranche toutes les questions.
Le fil du chapitre
Une fraction est UN nombre, pas deux nombres empilés : tout ce qu'on lui fait doit se faire en haut ET en bas, et toute affirmation à son sujet doit se vérifier par sa place sur la droite graduée.
La forme finale attendue est toujours la fraction IRRÉDUCTIBLE. Rendre au lieu de coûte un demi-point à chaque question, sur toute la copie.
Sur une droite graduée, la plus grande est simplement celle qui est le plus à DROITE. C'est la seule justification qu'un correcteur accepte sans calcul.
Diviser d'abord par le dénominateur donne presque toujours des nombres entiers, donc un calcul mental. Multiplier d'abord donne , puis une division : deux fois plus de risques d'erreur.
Les erreurs ci-dessous sont celles que je corrige le plus souvent en séance. Chacune coûte des points sur une copie, même quand le raisonnement est juste.
Ce qu'il ne faut pas écrire
« , j'ai ajouté partout. »
Ce qu'il faut écrire
« On MULTIPLIE en haut et en bas : . Ajouter donne , qui est un autre nombre. »
Pourquoi : Une fraction est un quotient. Un quotient ne change pas quand on multiplie les deux termes, il change quand on leur ajoute quelque chose : et .
Ce qu'il ne faut pas écrire
« car . »
Ce qu'il faut écrire
« À numérateur égal, la plus grande est celle qui a le plus PETIT dénominateur, donc . »
Pourquoi : Le dénominateur ne compte pas les parts prises, il dit leur TAILLE. Plus on partage, plus les parts sont petites : trois septièmes de gâteau font moins que trois quarts.
Ce qu'il ne faut pas écrire
« de : . »
Ce qu'il faut écrire
« de : . On divise par le DÉNOMINATEUR, qui dit en combien de parts on coupe. »
Pourquoi : Le dénominateur découpe, le numérateur compte les parts prises. Inverser les deux donne un résultat plus grand que le tout, ce qui est impossible dès que la fraction est inférieure à .
Ce qu'il ne faut pas écrire
« en barrant les . »
Ce qu'il faut écrire
« et n'ont aucun diviseur commun : est déjà irréductible. »
Pourquoi : Simplifier, c'est DIVISER le numérateur et le dénominateur par un même nombre. Un chiffre n'est pas un diviseur : n'est pas divisible par « en enlevant le ».
Ce qu'il ne faut pas écrire
« n'a pas de sens, on ne peut pas prendre parts sur . »
Ce qu'il faut écrire
« : il suffit de deux gâteaux. »
Pourquoi : La fraction est un quotient, pas un partage d'un seul objet. Cette confusion bloque ensuite tout le repérage au-delà de et toutes les vitesses en quatrième.
Ce qu'il ne faut pas écrire
« Entre et je vois traits, donc chaque trait vaut . »
Ce qu'il faut écrire
« On compte les INTERVALLES : traits intérieurs découpent en intervalles, et chaque intervalle vaut . »
Pourquoi : C'est la même confusion que le nombre de piquets d'une clôture. Le dénominateur compte les MORCEAUX, jamais les traits qui les séparent.
Ce qu'il ne faut pas écrire
« est plus grand que , puisqu'on multiplie. »
Ce qu'il faut écrire
« Multiplier par , c'est prendre les trois quarts : , donc le résultat DIMINUE. »
Pourquoi : La règle « multiplier agrandit » n'était vraie que pour les entiers. Avec une fraction inférieure à , multiplier diminue ; c'est ce que fait une réduction de prix.
Ce qu'il ne faut pas écrire
« La moitié des deux tiers, c'est . »
Ce qu'il faut écrire
« Le mot « de » se traduit par : . »
Pourquoi : Une fraction d'une fraction est toujours PLUS PETITE que chacune des deux. Un résultat supérieur à suffit à signaler que l'opération choisie est la mauvaise.
On regarde d'abord les deux dénominateurs, puis les deux numérateurs. La méthode se décide sur ce qui est écrit, pas sur la taille apparente des nombres.
Si les dénominateurs sont égaux → comparer directement les numérateurs
Exemple :
Si les numérateurs sont égaux → la plus grande est celle qui a le PLUS PETIT dénominateur
Exemple :
c'est la seule branche où la règle des entiers s'inverse, donc la seule qu'il faut apprendre par cœur
Si un dénominateur est multiple de l'autre → ne transformer que la fraction à corriger, puis comparer les numérateurs
Exemple :
Si les dénominateurs n'ont aucun rapport visible → produits en croix, ou dénominateur commun égal à leur produit
Exemple : et : contre , donc
le produit en croix compare, il ne calcule pas : on n'écrit jamais
Avant toute méthode, essayez le repère : chaque fraction est-elle au-dessus ou au-dessous de , de ? Quand les deux tombent de part et d'autre, la comparaison est finie en une ligne.
Le mot qui accompagne la fraction décide de l'opération. On souligne ce mot avant d'écrire quoi que ce soit.
Si « les DE » une quantité → diviser par , puis multiplier par
Exemple : les de élèves : élèves
Si « quelle fraction représente », « quelle proportion » → écrire la fraction , puis simplifier
Exemple : filles sur élèves :
le tout va TOUJOURS au dénominateur, même quand l'énoncé le donne en dernier
Si « il reste », « le reste du », « le complément » → soustraire à , en écrivant avec le bon dénominateur
Exemple : il a mangé , il reste
Si deux fractions s'enchaînent (« la moitié des deux tiers ») → les multiplier, jamais les additionner
Exemple :
Si aucune branche ne s'applique, c'est que l'énoncé demande une somme ou une différence de fractions : dénominateur commun, puis numérateurs seulement.
Le correcteur coche des étapes. Les voici dans l'ordre, avec la phrase de conclusion qu'il attend mot pour mot.
Quand l'utiliser : L'énoncé dit « montrer que », « vérifier que » ou « justifier que » deux fractions sont égales.
Phrase de conclusion
« et . Les produits en croix sont égaux, donc . »
Le piège : Écrire dès la première ligne et s'arrêter là. L'égalité à démontrer ne peut pas servir de preuve d'elle-même.
Barème : 1 point pour les deux produits calculés et affichés, 1 point pour la conclusion rédigée avec le mot « donc ».
Quand l'utiliser : L'énoncé donne un TOUT chiffré et une fraction de ce tout : « les trois quarts des élèves », « la moitié du budget ».
Phrase de conclusion
« Les des élèves représentent élèves. »
Le piège : Répondre « » et rien d'autre. La phrase-réponse avec l'unité est un point à part entière du barème dans presque tous les problèmes de cinquième.
Barème : 1 point pour le calcul posé, 1 point pour la phrase-réponse avec l'unité.
Cinq minutes de vérification récupèrent plus de points qu'un exercice de plus commencé à la hâte.
De quel côté de tombe la réponse ?
Comparer numérateur et dénominateur avant tout calcul : si le numérateur est plus petit, la fraction est inférieure à , et le résultat d'une fraction d'une quantité doit rester sous le tout.
de ne peut pas valoir : , donc la réponse est forcément inférieure à .
Le décimal de contrôle
Convertir chaque fraction en nombre décimal avec la calculatrice. Deux fractions égales donnent le même décimal, et une comparaison se tranche en deux touches.
et : égales. : ce n'est donc pas la même fraction.
Le repère
Regarder si le numérateur dépasse la moitié du dénominateur. Cela suffit à situer la fraction et à repérer un rangement absurde.
est sous car , et est au-dessus car : le rangement est déjà fait.
La réponse est-elle irréductible ?
Vérifier si le numérateur et le dénominateur sont tous les deux pairs, tous les deux dans la table de , ou finissent tous les deux par ou .
n'est pas une réponse finale : les deux sont divisibles par , donc la réponse est .
Un jardin partagé mesure mètres carrés. On plante des légumes sur les du jardin et des fleurs sur du jardin. Le reste est laissé en pelouse.
Calculer l'aire des légumes, l'aire des fleurs, puis la fraction et l'aire de la pelouse.
Étape 1
Le tout est mètres carrés. Légumes : mètres carrés.
Pourquoi
On divise par le dénominateur en premier : est un entier, alors que obligerait à diviser un grand nombre ensuite.
Étape 2
Fleurs : mètres carrés.
Pourquoi
Avec un numérateur égal à , il n'y a plus qu'une division. Écrire quand même montre au correcteur qu'on a reconnu la même opération que juste avant.
Étape 3
Fraction occupée : .
Pourquoi
est un multiple de , donc seule la seconde fraction se transforme. Écrire les deux fractions sur la même ligne avant d'additionner est le geste noté ici.
Étape 4
Pelouse : du jardin, soit mètres carrés.
Pourquoi
Le doit s'écrire avant la soustraction : c'est exactement l'étape que les copies sautent, et c'est elle qui rapporte le demi-point de méthode.
Étape 5
Vérification : , et .
Pourquoi
Les trois aires doivent rendre le jardin entier, et les trois fractions doivent rendre . Deux contrôles indépendants qui coûtent une ligne et attrapent toute erreur de dénominateur.
Conclusion rédigée
« Les légumes occupent mètres carrés, les fleurs mètres carrés, et la pelouse du jardin, soit mètres carrés. »
L'erreur classique sur cet exercice : Additionner en ajoutant les dénominateurs. La pelouse ferait alors mètres carrés, soit plus que les légumes, alors que l'énoncé décrit clairement l'inverse.
Par les produits en croix. Vous multipliez le numérateur de la première par le dénominateur de la seconde, puis le dénominateur de la première par le numérateur de la seconde. Si les deux résultats sont égaux, les fractions le sont. Trois quarts et quinze vingtièmes donnent soixante des deux côtés.
Vous les mettez au même dénominateur, puis vous comparez les seuls numérateurs. Deux raccourcis servent souvent : à numérateur égal, la plus grande est celle du plus petit dénominateur ; et il suffit parfois de situer chaque fraction par rapport à un demi.
Vous divisez par le dénominateur, puis vous multipliez par le numérateur. Les trois quarts de soixante font soixante divisé par quatre, ce qui donne quinze, puis quinze fois trois, ce qui donne quarante-cinq. Diviser en premier laisse des nombres entiers et permet le calcul mental.
Oui, dès que le numérateur dépasse le dénominateur. Sept quarts valent un et trois quarts, c'est-à-dire un virgule soixante-quinze. Cela se lit très bien sur une droite graduée : le point se place simplement après le nombre un, trois graduations plus loin.
Parce que la forme attendue est la fraction irréductible, celle dont le numérateur et le dénominateur n'ont plus aucun diviseur commun. Rendre dix-huit vingt-quatrièmes au lieu de trois quarts coûte souvent un demi-point par question, ce qui finit par peser sur toute la copie.
