Exercices corrigés : les quatre opérations sur les fractions (Quatrième)

1) $\dfrac{3}{4}=\dfrac{6}{8}$, donc $A=\dfrac{5}{8}-\dfrac{6}{8}=-\dfrac{1}{8}$. Le résultat est négatif, ce qui était prévisible : $\dfrac{3}{4}$ est plus grand que $\dfrac{5}{8}$.

2) $-\dfrac{2}{3}=-\dfrac{4}{6}$. $B=-\dfrac{4}{6}+\dfrac{5}{6}=\dfrac{1}{6}$.

3) On simplifie avant de multiplier : $7$ se retrouve dans $14=2\times 7$, et $5$ dans $15=3\times 5$ et $10=2\times 5$. $C=\dfrac{7\times 3\times 5}{2\times 5\times 2\times 7}=\dfrac{3}{4}$. Multiplier d'abord donne $\dfrac{105}{140}$, qu'il faut ensuite simplifier par $35$.

4) Diviser par $\dfrac{3}{8}$, c'est multiplier par son inverse $\dfrac{8}{3}$. Signes contraires : résultat négatif. $D=-\dfrac{9\times 8}{4\times 3}=-\dfrac{3\times 3\times 4\times 2}{4\times 3}=-6$. Le piège est de multiplier par $\dfrac{3}{8}$ au lieu de son inverse, ce qui donnerait $-\dfrac{27}{32}$.

5) Le produit d'abord : $\dfrac{2}{5}\times\dfrac{5}{6}=\dfrac{2\times 5}{5\times 2\times 3}=\dfrac{1}{3}$. Puis $E=1-\dfrac{1}{3}=\dfrac{3}{3}-\dfrac{1}{3}=\dfrac{2}{3}$. Faire $1-\dfrac{2}{5}$ en premier donnerait $\dfrac{3}{5}\times\dfrac{5}{6}=\dfrac{1}{2}$, faux.

6) La parenthèse : $\dfrac{3}{6}+\dfrac{2}{6}=\dfrac{5}{6}$. Puis $F=\dfrac{5}{6}\times\dfrac{6}{5}=1$ : deux fractions inverses l'une de l'autre ont pour produit $1$.

7) La parenthèse : $\dfrac{1}{2}=\dfrac{4}{8}$, donc $\dfrac{4}{8}-\dfrac{1}{8}=\dfrac{3}{8}$. Puis $G=\dfrac{3}{4}\times\dfrac{8}{3}=\dfrac{8}{4}=2$. Diviser par un nombre plus petit que $1$ AGRANDIT : $2$ est bien plus grand que $\dfrac{3}{4}$.

8) La première parenthèse : $\dfrac{5}{6}-\dfrac{9}{6}=-\dfrac{4}{6}=-\dfrac{2}{3}$. On divise ensuite par $-\dfrac{4}{9}$ : deux négatifs, résultat positif, et on multiplie par l'inverse $\dfrac{9}{4}$. $H=\dfrac{2}{3}\times\dfrac{9}{4}=\dfrac{2\times 3\times 3}{3\times 2\times 2}=\dfrac{3}{2}$.

1) $42$ et $56$ ont pour plus grand diviseur commun $14$ : $\dfrac{42}{56}=\dfrac{3}{4}$. Pour $\dfrac{75}{45}$, le plus grand diviseur commun est $15$ : $\dfrac{75}{45}=\dfrac{5}{3}$. Une fraction irréductible n'est pas forcément inférieure à $1$, et il ne faut pas la transformer en $1\dfrac{2}{3}$, écriture qui n'est plus employée au collège.

2) $42=6\times 7$, donc on multiplie aussi le numérateur par $7$ : $\dfrac{5}{6}=\dfrac{35}{42}$. Pour la seconde, $63=9\times 7$, donc on DIVISE $28$ par $7$ : $\dfrac{4}{9}=\dfrac{28}{63}$. On regarde toujours d'abord ce qui a été fait au dénominateur, jamais l'inverse.

3) C'est $12$. Sur les bandes, une graduation des quarts et une graduation des sixièmes tombent au même endroit uniquement aux douzièmes : chaque quart vaut trois douzièmes et chaque sixième en vaut deux. Le dénominateur commun est le plus petit multiple commun de $4$ et $6$, et non leur produit $24$, qui conviendrait aussi mais alourdirait les calculs.

4) $\dfrac{3}{4}=\dfrac{9}{12}$ (on multiplie par $3$) et $\dfrac{5}{6}=\dfrac{10}{12}$ (on multiplie par $2$). On lit au passage que $\dfrac{5}{6}$ est la plus grande des deux.

5) Pour $8$ et $12$ : les multiples de $12$ sont $12$, $24$, et $24$ est divisible par $8$, donc c'est $24$. Pour $9$ et $15$ : $9=3\times 3$ et $15=3\times 5$, le plus petit multiple commun est $3\times 3\times 5=45$.

6) Oui. $24=8\times 3$ et $21=7\times 3$, donc $\dfrac{21}{24}=\dfrac{7}{8}$. On peut aussi vérifier par les produits en croix : $7\times 24=168$ et $8\times 21=168$. Deux écritures différentes peuvent désigner le même nombre, et c'est précisément ce qui rend possible le dénominateur commun.

1) Dénominateur commun $12$ : $\dfrac{3}{4}=\dfrac{9}{12}$ et $\dfrac{5}{6}=\dfrac{10}{12}$, donc la somme vaut $\dfrac{19}{12}$. Elle dépasse $1$, ce qui est cohérent puisque les deux fractions valent chacune plus d'un demi. Le résultat est irréductible, $19$ étant premier.

2) Dénominateur commun $30$ : $\dfrac{7}{10}=\dfrac{21}{30}$ et $\dfrac{2}{15}=\dfrac{4}{30}$, donc la différence vaut $\dfrac{17}{30}$. Contrôle décimal : $0{,}7-0{,}133=0{,}566$ et $\dfrac{17}{30}\approx 0{,}567$.

3) On écrit $2=\dfrac{16}{8}$, donc $2-\dfrac{5}{8}=\dfrac{16}{8}-\dfrac{5}{8}=\dfrac{11}{8}$. Un entier s'écrit toujours en fraction avec le dénominateur dont on a besoin.

4) Dénominateur commun $18$ : $\dfrac{15}{18}+\dfrac{14}{18}-\dfrac{9}{18}=\dfrac{20}{18}=\dfrac{10}{9}$. On simplifie à la fin, une seule fois. Contrôle décimal : $0{,}833+0{,}778-0{,}5=1{,}111$ et $\dfrac{10}{9}\approx 1{,}111$.

5) La bonne réponse est $\dfrac{6}{7}$. Les deux parts ont déjà la même taille, des septièmes, donc le dénominateur ne bouge PAS : on compte simplement six septièmes. Doubler aussi le dénominateur reviendrait à couper les parts en deux en même temps qu'on les compte, ce qui redonne le nombre de départ : $\dfrac{6}{14}=\dfrac{3}{7}$, la fraction de départ et non son double.

6) $\dfrac{2}{5}=0{,}4$ est plus petit que $\dfrac{1}{2}$. Or on part de $\dfrac{1}{2}$ et on AJOUTE un nombre positif : la somme doit obligatoirement dépasser $\dfrac{1}{2}$. La réponse $\dfrac{2}{5}$ est donc impossible avant tout calcul. La vraie valeur est $\dfrac{3}{6}+\dfrac{2}{6}=\dfrac{5}{6}$. Ce réflexe d'encadrement rapide attrape presque toutes les erreurs d'addition de fractions.

1) Le $2$ du second numérateur et le $4$ du premier dénominateur se simplifient par $2$ : il reste $\dfrac{3}{2}\times\dfrac{1}{5}=\dfrac{3}{10}$. En multipliant d'abord on aurait obtenu $\dfrac{6}{20}$, qu'il faut ensuite simplifier : même résultat, plus de travail et un risque d'oubli.

2) On croise les simplifications : $14$ avec $21$ par $7$, puis $25$ avec $15$ par $5$. Il reste $\dfrac{2}{3}\times\dfrac{5}{3}=\dfrac{10}{9}$. Sans simplifier, on aurait eu $\dfrac{350}{315}$, un calcul beaucoup plus lourd pour le même résultat.

3) $12=\dfrac{12}{1}$, donc $\dfrac{5}{8}\times 12=\dfrac{60}{8}=\dfrac{15}{2}=7{,}5$. On peut aussi simplifier tout de suite $12$ et $8$ par $4$ : $\dfrac{5}{2}\times 3=\dfrac{15}{2}$.

4) Prendre les $\dfrac{3}{5}$ de $30$, c'est calculer $\dfrac{3}{5}\times 30=\dfrac{90}{5}=18$. Il y a $18$ filles, donc $12$ garçons. Contrôle : $\dfrac{12}{30}=\dfrac{2}{5}$, la fraction complémentaire de $\dfrac{3}{5}$.

5) $\dfrac{2}{3}\times\dfrac{3}{4}=\dfrac{6}{12}=\dfrac{1}{2}$ litre. Le mot DES signale toujours une multiplication : une fraction d'une fraction est une fraction.

6) Parce que $\dfrac{2}{3}$ est inférieur à $1$ : on prend seulement une partie de $\dfrac{3}{4}$, donc on obtient moins que $\dfrac{3}{4}$. Effectivement $\dfrac{1}{2}<\dfrac{3}{4}$. La règle générale : multiplier par une fraction inférieure à $1$ diminue, multiplier par une fraction supérieure à $1$ augmente. C'est ce qui rend fausse l'idée que multiplier fait toujours grandir.

1) L'inverse de $\dfrac{4}{7}$ est $\dfrac{7}{4}$, celui de $5=\dfrac{5}{1}$ est $\dfrac{1}{5}$, celui de $\dfrac{1}{3}$ est $3$. Deux nombres inverses ont pour produit $1$ ; à ne pas confondre avec deux nombres opposés, dont la somme est nulle.

2) $\dfrac{3}{5}\div\dfrac{9}{10}=\dfrac{3}{5}\times\dfrac{10}{9}$. On simplifie $10$ avec $5$ et $3$ avec $9$ : il reste $\dfrac{1}{1}\times\dfrac{2}{3}=\dfrac{2}{3}$. Le résultat est inférieur à $1$, ce qui est normal : $\dfrac{9}{10}$ est plus grand que $\dfrac{3}{5}=\dfrac{6}{10}$.

3) $14=\dfrac{14}{1}$, donc $\dfrac{7}{12}\div 14=\dfrac{7}{12}\times\dfrac{1}{14}=\dfrac{7}{168}=\dfrac{1}{24}$. Diviser par un entier plus grand que $1$ diminue bien le nombre.

4) $6\div\dfrac{3}{8}=6\times\dfrac{8}{3}=\dfrac{48}{3}=16$. Le résultat AUGMENTE, et c'est logique : on demande combien de fois $\dfrac{3}{8}$ tient dans $6$, or $\dfrac{3}{8}$ est bien plus petit que $1$.

5) Une fraction de fractions se lit comme une division : $\dfrac{2}{3}\div\dfrac{8}{9}=\dfrac{2}{3}\times\dfrac{9}{8}=\dfrac{18}{24}=\dfrac{3}{4}$. La grande barre est celle de la division principale ; c'est elle qui sépare le dividende du diviseur.

6) On cherche combien de fois $\dfrac{5}{8}$ tient dans $\dfrac{15}{4}$ : $\dfrac{15}{4}\div\dfrac{5}{8}=\dfrac{15}{4}\times\dfrac{8}{5}=\dfrac{120}{20}=6$. On obtient $6$ morceaux exactement, sans chute. Contrôle par les décimaux : $3{,}75\div 0{,}625=6$.

1) La multiplication passe en premier : $\dfrac{1}{4}\times\dfrac{8}{5}=\dfrac{2}{5}$. Puis $\dfrac{2}{3}+\dfrac{2}{5}=\dfrac{10}{15}+\dfrac{6}{15}=\dfrac{16}{15}$.

2) La parenthèse passe en premier : $\dfrac{2}{3}+\dfrac{1}{4}=\dfrac{8}{12}+\dfrac{3}{12}=\dfrac{11}{12}$. Puis $\dfrac{11}{12}\times\dfrac{8}{5}=\dfrac{88}{60}=\dfrac{22}{15}$. Comparez avec la question 1 : les mêmes nombres, deux résultats différents, $\dfrac{16}{15}$ et $\dfrac{22}{15}$.

3) La division d'abord : $\dfrac{1}{2}\div\dfrac{3}{4}=\dfrac{1}{2}\times\dfrac{4}{3}=\dfrac{2}{3}$. Puis $\dfrac{5}{6}-\dfrac{2}{3}=\dfrac{5}{6}-\dfrac{4}{6}=\dfrac{1}{6}$.

4) On calcule le numérateur en entier : $\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3}=\dfrac{5}{6}$. Le quotient vaut donc $\dfrac{5}{6}\div\dfrac{5}{6}=1$. Un nombre divisé par lui-même vaut $1$, et il n'y avait rien de plus à calculer une fois le numérateur reconnu.

5) La puissance d'abord : $\left(\dfrac{3}{4}\right)^{2}=\dfrac{9}{16}$, le carré portant sur le numérateur ET le dénominateur. Puis $\dfrac{9}{16}-\dfrac{2}{16}=\dfrac{7}{16}$.

6) Le produit d'abord, en simplifiant $7$ avec $14$ et $3$ avec $9$ : $\dfrac{7}{9}\times\dfrac{3}{14}=\dfrac{1}{6}$. Puis $\dfrac{1}{6}+\dfrac{5}{6}=1$. Un résultat entier au bout d'un calcul de fractions n'a rien d'anormal, et c'est ici un bon signe que les simplifications ont été bien menées.

1) Dénominateur commun $24$ : $\dfrac{5}{8}=\dfrac{15}{24}$ et $\dfrac{7}{12}=\dfrac{14}{24}$, donc $\dfrac{5}{8}>\dfrac{7}{12}$. Comparer les numérateurs $5$ et $7$ tels quels conduirait à la conclusion inverse, et c'est l'erreur la plus fréquente du chapitre.

2) On écrit tout en douzièmes : $\dfrac{7}{12}$, $\dfrac{2}{3}=\dfrac{8}{12}$, $\dfrac{3}{4}=\dfrac{9}{12}$, $\dfrac{5}{6}=\dfrac{10}{12}$. L'ordre croissant est donc $\dfrac{7}{12}<\dfrac{2}{3}<\dfrac{3}{4}<\dfrac{5}{6}$.

3) Les quatre fractions se placent sur la septième, la huitième, la neuvième et la dixième graduation après $0$, toutes entre $\dfrac{1}{2}$ et $1$, donc dans le premier intervalle. Une fois le dénominateur commun trouvé, placer revient à compter des graduations.

4) $\dfrac{29}{12}=\dfrac{24}{12}+\dfrac{5}{12}=2+\dfrac{5}{12}$, donc $2<\dfrac{29}{12}<3$. Le point se place cinq graduations après $2$.

5) En douzièmes, $\dfrac{1}{3}=\dfrac{4}{12}$ et $\dfrac{1}{2}=\dfrac{6}{12}$ : la fraction $\dfrac{5}{12}$ convient. La méthode générale consiste à affiner le dénominateur commun jusqu'à libérer une place entre les deux.

6) Chacune est à une petite distance de $1$ : $\dfrac{99}{100}=1-\dfrac{1}{100}$ et $\dfrac{100}{101}=1-\dfrac{1}{101}$. Comme $\dfrac{1}{101}<\dfrac{1}{100}$, on retranche MOINS à $\dfrac{100}{101}$, donc $\dfrac{100}{101}>\dfrac{99}{100}$. Le produit en croix confirme : $99\times 101=9999$ et $100\times 100=10000$.

1) $x=\dfrac{9}{10}-\dfrac{2}{5}=\dfrac{9}{10}-\dfrac{4}{10}=\dfrac{5}{10}=\dfrac{1}{2}$. Vérification : $\dfrac{2}{5}+\dfrac{1}{2}=\dfrac{4}{10}+\dfrac{5}{10}=\dfrac{9}{10}$.

2) $x=\dfrac{1}{4}+\dfrac{3}{8}=\dfrac{2}{8}+\dfrac{3}{8}=\dfrac{5}{8}$. Vérification : $\dfrac{5}{8}-\dfrac{3}{8}=\dfrac{2}{8}=\dfrac{1}{4}$.

3) On divise par $\dfrac{3}{7}$, c'est-à-dire qu'on multiplie par $\dfrac{7}{3}$ : $x=\dfrac{9}{14}\times\dfrac{7}{3}=\dfrac{63}{42}=\dfrac{3}{2}$. Vérification : $\dfrac{3}{7}\times\dfrac{3}{2}=\dfrac{9}{14}$.

4) $x$ est DIVISÉ par $\dfrac{2}{3}$, donc on multiplie le résultat par $\dfrac{2}{3}$ : $x=\dfrac{6}{5}\times\dfrac{2}{3}=\dfrac{12}{15}=\dfrac{4}{5}$. Vérification : $\dfrac{4}{5}\div\dfrac{2}{3}=\dfrac{4}{5}\times\dfrac{3}{2}=\dfrac{6}{5}$.

5) Ici $x$ est le DIVISEUR, la situation est différente de la question 4 : $x=\dfrac{5}{6}\div\dfrac{10}{9}=\dfrac{5}{6}\times\dfrac{9}{10}=\dfrac{45}{60}=\dfrac{3}{4}$. Vérification : $\dfrac{5}{6}\div\dfrac{3}{4}=\dfrac{5}{6}\times\dfrac{4}{3}=\dfrac{20}{18}=\dfrac{10}{9}$.

6) Notons les deux fractions $\dfrac{a}{5}$ et $\dfrac{b}{5}$. Leur somme vaut $\dfrac{a+b}{5}=1$, donc $a+b=5$. Leur produit vaut $\dfrac{ab}{25}=\dfrac{4}{25}$, donc $ab=4$. Les deux entiers cherchés sont $1$ et $4$ : les fractions sont $\dfrac{1}{5}$ et $\dfrac{4}{5}$. Vérification : $\dfrac{1}{5}+\dfrac{4}{5}=1$ et $\dfrac{1}{5}\times\dfrac{4}{5}=\dfrac{4}{25}$. Le couple $2$ et $3$ donne bien la somme $5$, mais un produit de $6$, donc il ne convient pas.

1) FAUX. Numérateurs et dénominateurs ont été additionnés séparément. Dénominateur commun $15$ : $\dfrac{10}{15}+\dfrac{12}{15}=\dfrac{22}{15}$. Un contrôle immédiat suffisait à rejeter $\dfrac{6}{8}$ : ce nombre est inférieur à $1$, alors que $\dfrac{4}{5}$ vaut déjà presque $1$ et qu'on lui ajoute encore $\dfrac{2}{3}$. Énoncé correct : $\dfrac{2}{3}+\dfrac{4}{5}=\dfrac{22}{15}$.

2) FAUX. Le dénominateur commun sert à l'addition et à la soustraction, jamais à la multiplication : $\dfrac{3}{4}\times\dfrac{2}{5}=\dfrac{6}{20}=\dfrac{3}{10}$ directement. Énoncé correct : pour multiplier, on multiplie les numérateurs entre eux et les dénominateurs entre eux, après avoir simplifié en croix.

3) FAUX. Cela dépend de la fraction. $6\times\dfrac{5}{3}=10$, qui est PLUS GRAND que $6$, car $\dfrac{5}{3}$ dépasse $1$. Énoncé correct au point 6.

4) FAUX. C'est le DIVISEUR qui se retourne, pas le dividende : $\dfrac{a}{b}\div\dfrac{c}{d}=\dfrac{a}{b}\times\dfrac{d}{c}$. Contre-exemple chiffré : $\dfrac{1}{2}\div\dfrac{1}{4}=2$, alors que la formule proposée donnerait $\dfrac{2}{1}\times\dfrac{1}{4}=\dfrac{1}{2}$, un résultat quatre fois trop petit.

5) FAUX. On ne simplifie que des FACTEURS, jamais les termes d'une somme. Ici il faut d'abord calculer le numérateur : $\dfrac{3+5}{5}=\dfrac{8}{5}$. La simplification serait légitime dans $\dfrac{3\times 5}{5}$, qui vaut bien $3$. Énoncé correct : $\dfrac{3+5}{5}=\dfrac{8}{5}=1{,}6$.

6) Un produit $n\times\dfrac{a}{b}$, avec $n$ positif, est plus petit que $n$ exactement lorsque $\dfrac{a}{b}<1$ ; il lui est égal si $\dfrac{a}{b}=1$ et plus grand si $\dfrac{a}{b}>1$.

1) $24\times 15=360$ mètres carrés.

2) $\dfrac{2}{5}\times 360=\dfrac{720}{5}=144$ mètres carrés. On peut aussi diviser par $5$ puis multiplier par $2$ : $360\div 5=72$ et $72\times 2=144$.

3) Le reste vaut $360-144=216$ mètres carrés. Le verger en occupe le tiers : $\dfrac{1}{3}\times 216=72$ mètres carrés. Toute la difficulté de la question est là : le tiers porte sur le RESTE, pas sur le terrain.

4) La pelouse occupe $360-144-72=144$ mètres carrés, soit $\dfrac{144}{360}=\dfrac{2}{5}$ du terrain. Elle a donc exactement la même aire que le potager, ce qui n'était pas visible au départ.

5) La pelouse compte $144\div 12=12$ portions de $12$ mètres carrés, donc il faut $12\times\dfrac{3}{4}=9$ kilogrammes de graines. Contrôle : $9\div\dfrac{3}{4}=12$, on retrouve bien les douze portions.

6) C'est faux. Le verger occupe le tiers du RESTE, et le reste vaut $\dfrac{3}{5}$ du terrain. Sa part est donc $\dfrac{1}{3}\times\dfrac{3}{5}=\dfrac{1}{5}$ du terrain, ce que confirme le calcul direct $\dfrac{72}{360}=\dfrac{1}{5}$. Le tiers du terrain vaudrait $120$ mètres carrés, soit $48$ mètres carrés de plus que la réalité : une fraction ne veut rien dire tant qu'on n'a pas nommé la quantité sur laquelle elle porte.

1) $\dfrac{7}{8}-\dfrac{5}{8}=\dfrac{2}{8}=\dfrac{1}{4}$. Les $180$ litres représentent le quart de la capacité. Les dénominateurs étant déjà identiques, il n'y avait rien à réduire.

2) Si le quart vaut $180$ litres, la capacité vaut $180\times 4=720$ litres. Autrement dit on divise par la fraction : $180\div\dfrac{1}{4}=180\times 4=720$.

3) $\dfrac{5}{8}\times 720=\dfrac{3600}{8}=450$ litres. Contrôle : $450+180=630$ et $\dfrac{7}{8}\times 720=630$. Les deux chemins concordent.

4) Le contenu est de $630$ litres. On en soutire $\dfrac{2}{5}\times 630=252$ litres, il reste donc $630-252=378$ litres. On pouvait aller plus vite : il reste les $\dfrac{3}{5}$, soit $\dfrac{3}{5}\times 630=378$ litres.

5) $\dfrac{378}{720}$. On simplifie par $18$ : $\dfrac{21}{40}$. Le réservoir est donc à un peu plus de la moitié, ce que confirme la valeur décimale $0{,}525$.

6) Les $\dfrac{9}{10}$ de la capacité valent $\dfrac{9}{10}\times 720=648$ litres. Il faut donc ajouter $648-378=270$ litres. Erreur à éviter : soustraire les fractions $\dfrac{9}{10}-\dfrac{21}{40}=\dfrac{15}{40}=\dfrac{3}{8}$ puis oublier de repasser aux litres ; $\dfrac{3}{8}\times 720=270$ litres, le même résultat, mais seule la seconde étape répond à la question posée.