Exercice 1 : Huit calculs de fractions à la main

Calculez chaque expression à la main et donnez le résultat sous forme de fraction irréductible (ou d'entier). Les priorités sont les mêmes qu'avec les entiers, et le signe se décide à part.

1) $A=\dfrac{5}{8}-\dfrac{3}{4}$
2) $B=-\dfrac{2}{3}+\dfrac{5}{6}$
3) $C=\dfrac{7}{10}\times\dfrac{15}{14}$
4) $D=-\dfrac{9}{4}\div\dfrac{3}{8}$
5) $E=1-\dfrac{2}{5}\times\dfrac{5}{6}$
6) $F=\left(\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3}\right)\times\dfrac{6}{5}$
7) $G=\dfrac{3}{4}\div\left(\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{8}\right)$
8) $H=\left(\dfrac{5}{6}-\dfrac{3}{2}\right)\div\left(-\dfrac{4}{9}\right)$

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Réponses

1) $A=-\dfrac{1}{8}$
2) $B=\dfrac{1}{6}$
3) $C=\dfrac{3}{4}$
4) $D=-6$
5) $E=\dfrac{2}{3}$
6) $F=1$
7) $G=2$
8) $H=\dfrac{3}{2}$

1)

$\dfrac{3}{4}=\dfrac{6}{8}$ , donc $A=\dfrac{5}{8}-\dfrac{6}{8}=-\dfrac{1}{8}$ . Le résultat est négatif, ce qui était prévisible : $\dfrac{3}{4}$ est plus grand que $\dfrac{5}{8}$ .

2)

$-\dfrac{2}{3}=-\dfrac{4}{6}$ . $B=-\dfrac{4}{6}+\dfrac{5}{6}=\dfrac{1}{6}$ .

3)

On simplifie avant de multiplier : $7$ se retrouve dans $14=2\times 7$ , et $5$ dans $15=3\times 5$ et $10=2\times 5$ . $C=\dfrac{7\times 3\times 5}{2\times 5\times 2\times 7}=\dfrac{3}{4}$ . Multiplier d'abord donne $\dfrac{105}{140}$ , qu'il faut ensuite simplifier par $35$ .

4)

Diviser par $\dfrac{3}{8}$ , c'est multiplier par son inverse $\dfrac{8}{3}$ . Signes contraires : résultat négatif. $D=-\dfrac{9\times 8}{4\times 3}=-\dfrac{3\times 3\times 4\times 2}{4\times 3}=-6$ . Le piège est de multiplier par $\dfrac{3}{8}$ au lieu de son inverse, ce qui donnerait $-\dfrac{27}{32}$ .

5)

Le produit d'abord : $\dfrac{2}{5}\times\dfrac{5}{6}=\dfrac{2\times 5}{5\times 2\times 3}=\dfrac{1}{3}$ . Puis $E=1-\dfrac{1}{3}=\dfrac{3}{3}-\dfrac{1}{3}=\dfrac{2}{3}$ . Faire $1-\dfrac{2}{5}$ en premier donnerait $\dfrac{3}{5}\times\dfrac{5}{6}=\dfrac{1}{2}$ , faux.

6)

La parenthèse : $\dfrac{3}{6}+\dfrac{2}{6}=\dfrac{5}{6}$ . Puis $F=\dfrac{5}{6}\times\dfrac{6}{5}=1$ : deux fractions inverses l'une de l'autre ont pour produit $1$ .

7)

La parenthèse : $\dfrac{1}{2}=\dfrac{4}{8}$ , donc $\dfrac{4}{8}-\dfrac{1}{8}=\dfrac{3}{8}$ . Puis $G=\dfrac{3}{4}\times\dfrac{8}{3}=\dfrac{8}{4}=2$ . Diviser par un nombre plus petit que $1$ AGRANDIT : $2$ est bien plus grand que $\dfrac{3}{4}$ .

8)

La première parenthèse : $\dfrac{5}{6}-\dfrac{9}{6}=-\dfrac{4}{6}=-\dfrac{2}{3}$ . On divise ensuite par $-\dfrac{4}{9}$ : deux négatifs, résultat positif, et on multiplie par l'inverse $\dfrac{9}{4}$ . $H=\dfrac{2}{3}\times\dfrac{9}{4}=\dfrac{2\times 3\times 3}{3\times 2\times 2}=\dfrac{3}{2}$ .

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Exercice 2 : Simplifier et trouver le dénominateur commun

Les trois bandes ci-dessous ont exactement la même longueur. Elles sont coupées en quarts, en sixièmes et en douzièmes.

1) Simplifiez $\dfrac{42}{56}$ puis $\dfrac{75}{45}$ jusqu'à la fraction irréductible.
2) Complétez : $\dfrac{5}{6}=\dfrac{\ldots}{42}$ et $\dfrac{\ldots}{9}=\dfrac{28}{63}$ .
3) À l'aide des bandes, donnez le plus petit dénominateur commun à $4$ et $6$ , et expliquez ce qu'on voit.
4) Écrivez $\dfrac{3}{4}$ et $\dfrac{5}{6}$ avec ce dénominateur commun.
5) Trouvez le plus petit dénominateur commun à $8$ et $12$ , puis à $9$ et $15$ .
6) Les écritures $\dfrac{7}{8}$ et $\dfrac{21}{24}$ désignent-elles le même nombre ?

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Réponses

1) $\frac{3}{4}$ et $\frac{5}{3}$
2) 35 et 4
3) 12, pas 24
4) $\frac{9}{12}$ et $\frac{10}{12}$
5) 24 et 45
6) Oui : $7\times 24=8\times 21$

1)

$42$ et $56$ ont pour plus grand diviseur commun $14$ : $\dfrac{42}{56}=\dfrac{3}{4}$ . Pour $\dfrac{75}{45}$ , le plus grand diviseur commun est $15$ : $\dfrac{75}{45}=\dfrac{5}{3}$ . Une fraction irréductible n'est pas forcément inférieure à $1$ , et il ne faut pas la transformer en $1\dfrac{2}{3}$ , écriture qui n'est plus employée au collège.

2)

$42=6\times 7$ , donc on multiplie aussi le numérateur par $7$ : $\dfrac{5}{6}=\dfrac{35}{42}$ . Pour la seconde, $63=9\times 7$ , donc on DIVISE $28$ par $7$ : $\dfrac{4}{9}=\dfrac{28}{63}$ . On regarde toujours d'abord ce qui a été fait au dénominateur, jamais l'inverse.

3)

C'est $12$ . Sur les bandes, une graduation des quarts et une graduation des sixièmes tombent au même endroit uniquement aux douzièmes : chaque quart vaut trois douzièmes et chaque sixième en vaut deux. Le dénominateur commun est le plus petit multiple commun de $4$ et $6$ , et non leur produit $24$ , qui conviendrait aussi mais alourdirait les calculs.

4)

$\dfrac{3}{4}=\dfrac{9}{12}$ (on multiplie par $3$ ) et $\dfrac{5}{6}=\dfrac{10}{12}$ (on multiplie par $2$ ). On lit au passage que $\dfrac{5}{6}$ est la plus grande des deux.

5)

Pour $8$ et $12$ : les multiples de $12$ sont $12$ , $24$ , et $24$ est divisible par $8$ , donc c'est $24$ . Pour $9$ et $15$ : $9=3\times 3$ et $15=3\times 5$ , le plus petit multiple commun est $3\times 3\times 5=45$ .

6)

Oui. $24=8\times 3$ et $21=7\times 3$ , donc $\dfrac{21}{24}=\dfrac{7}{8}$ . On peut aussi vérifier par les produits en croix : $7\times 24=168$ et $8\times 21=168$ . Deux écritures différentes peuvent désigner le même nombre, et c'est précisément ce qui rend possible le dénominateur commun.

Exercice 3 : Additionner et soustraire

On ne peut ajouter que des parts de même taille. Tout le travail consiste donc à rendre les dénominateurs identiques, puis à oublier le dénominateur.

1) Calculez $\dfrac{3}{4}+\dfrac{5}{6}$ .
2) Calculez $\dfrac{7}{10}-\dfrac{2}{15}$ .
3) Calculez $2-\dfrac{5}{8}$ .
4) Calculez $\dfrac{5}{6}+\dfrac{7}{9}-\dfrac{1}{2}$ .
5) Un élève répond $\dfrac{6}{14}$ à la question $\dfrac{3}{7}+\dfrac{3}{7}$ . Corrigez et expliquez.
6) Montrez, sans terminer le calcul, que $\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3}$ ne peut pas valoir $\dfrac{2}{5}$ .

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Réponses

1) $\frac{19}{12}$
2) $\frac{17}{30}$
3) $\frac{11}{8}$
4) $\frac{10}{9}$
5) $\frac{6}{7}$ : le dénominateur ne bouge pas
6) Somme $>\frac{1}{2}$ ; vraie valeur $\frac{5}{6}$

1)

Dénominateur commun $12$ : $\dfrac{3}{4}=\dfrac{9}{12}$ et $\dfrac{5}{6}=\dfrac{10}{12}$ , donc la somme vaut $\dfrac{19}{12}$ . Elle dépasse $1$ , ce qui est cohérent puisque les deux fractions valent chacune plus d'un demi. Le résultat est irréductible, $19$ étant premier.

2)

Dénominateur commun $30$ : $\dfrac{7}{10}=\dfrac{21}{30}$ et $\dfrac{2}{15}=\dfrac{4}{30}$ , donc la différence vaut $\dfrac{17}{30}$ . Contrôle décimal : $0{,}7-0{,}133=0{,}566$ et $\dfrac{17}{30}\approx 0{,}567$ .

3)

On écrit $2=\dfrac{16}{8}$ , donc $2-\dfrac{5}{8}=\dfrac{16}{8}-\dfrac{5}{8}=\dfrac{11}{8}$ . Un entier s'écrit toujours en fraction avec le dénominateur dont on a besoin.

4)

Dénominateur commun $18$ : $\dfrac{15}{18}+\dfrac{14}{18}-\dfrac{9}{18}=\dfrac{20}{18}=\dfrac{10}{9}$ . On simplifie à la fin, une seule fois. Contrôle décimal : $0{,}833+0{,}778-0{,}5=1{,}111$ et $\dfrac{10}{9}\approx 1{,}111$ .

5)

La bonne réponse est $\dfrac{6}{7}$ . Les deux parts ont déjà la même taille, des septièmes, donc le dénominateur ne bouge PAS : on compte simplement six septièmes. Doubler aussi le dénominateur reviendrait à couper les parts en deux en même temps qu'on les compte, ce qui redonne le nombre de départ : $\dfrac{6}{14}=\dfrac{3}{7}$ , la fraction de départ et non son double.

6)

$\dfrac{2}{5}=0{,}4$ est plus petit que $\dfrac{1}{2}$ . Or on part de $\dfrac{1}{2}$ et on AJOUTE un nombre positif : la somme doit obligatoirement dépasser $\dfrac{1}{2}$ . La réponse $\dfrac{2}{5}$ est donc impossible avant tout calcul. La vraie valeur est $\dfrac{3}{6}+\dfrac{2}{6}=\dfrac{5}{6}$ . Ce réflexe d'encadrement rapide attrape presque toutes les erreurs d'addition de fractions.

Exercice 4 : Multiplier, et simplifier avant de calculer

Multiplier deux fractions revient à redécouper des parts en parts. Les dénominateurs se multiplient donc entre eux, et il n'y a aucun dénominateur commun à chercher.

1) Calculez $\dfrac{3}{4}\times\dfrac{2}{5}$ en simplifiant AVANT de multiplier.
2) Calculez $\dfrac{14}{15}\times\dfrac{25}{21}$ .
3) Calculez $\dfrac{5}{8}\times 12$ .
4) Une classe compte $30$ élèves et les $\dfrac{3}{5}$ sont des filles. Combien de filles ?
5) Calculez les $\dfrac{2}{3}$ des $\dfrac{3}{4}$ d'un litre.
6) Expliquez pourquoi $\dfrac{2}{3}\times\dfrac{3}{4}$ est plus petit que $\dfrac{3}{4}$ .

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Réponses

1) $\frac{3}{10}$
2) $\frac{10}{9}$
3) $\frac{15}{2}=7{,}5$
4) 18 filles
5) $\frac{1}{2}$ litre
6) $\frac{2}{3}<1$ : on prend une partie

1)

Le $2$ du second numérateur et le $4$ du premier dénominateur se simplifient par $2$ : il reste $\dfrac{3}{2}\times\dfrac{1}{5}=\dfrac{3}{10}$ . En multipliant d'abord on aurait obtenu $\dfrac{6}{20}$ , qu'il faut ensuite simplifier : même résultat, plus de travail et un risque d'oubli.

2)

On croise les simplifications : $14$ avec $21$ par $7$ , puis $25$ avec $15$ par $5$ . Il reste $\dfrac{2}{3}\times\dfrac{5}{3}=\dfrac{10}{9}$ . Sans simplifier, on aurait eu $\dfrac{350}{315}$ , un calcul beaucoup plus lourd pour le même résultat.

3)

$12=\dfrac{12}{1}$ , donc $\dfrac{5}{8}\times 12=\dfrac{60}{8}=\dfrac{15}{2}=7{,}5$ . On peut aussi simplifier tout de suite $12$ et $8$ par $4$ : $\dfrac{5}{2}\times 3=\dfrac{15}{2}$ .

4)

Prendre les $\dfrac{3}{5}$ de $30$ , c'est calculer $\dfrac{3}{5}\times 30=\dfrac{90}{5}=18$ . Il y a $18$ filles, donc $12$ garçons. Contrôle : $\dfrac{12}{30}=\dfrac{2}{5}$ , la fraction complémentaire de $\dfrac{3}{5}$ .

5)

$\dfrac{2}{3}\times\dfrac{3}{4}=\dfrac{6}{12}=\dfrac{1}{2}$ litre. Le mot DES signale toujours une multiplication : une fraction d'une fraction est une fraction.

6)

Parce que $\dfrac{2}{3}$ est inférieur à $1$ : on prend seulement une partie de $\dfrac{3}{4}$ , donc on obtient moins que $\dfrac{3}{4}$ . Effectivement $\dfrac{1}{2}<\dfrac{3}{4}$ . La règle générale : multiplier par une fraction inférieure à $1$ diminue, multiplier par une fraction supérieure à $1$ augmente. C'est ce qui rend fausse l'idée que multiplier fait toujours grandir.

Exercice 5 : Diviser : multiplier par l'inverse

Diviser par une fraction, c'est chercher combien de fois elle tient dans le nombre. Le calcul se ramène toujours à une multiplication par l'inverse du DIVISEUR.

1) Donnez l'inverse de $\dfrac{4}{7}$ , celui de $5$ et celui de $\dfrac{1}{3}$ .
2) Calculez $\dfrac{3}{5}\div\dfrac{9}{10}$ .
3) Calculez $\dfrac{7}{12}\div 14$ .
4) Calculez $6\div\dfrac{3}{8}$ .
5) Calculez $\dfrac{\frac{2}{3}}{\frac{8}{9}}$ .
6) Un ruban de $\dfrac{15}{4}$ mètre est coupé en morceaux de $\dfrac{5}{8}$ mètre. Combien de morceaux obtient-on ?

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Réponses

1) $\frac{7}{4}$ ; $\frac{1}{5}$ ; 3
2) $\frac{2}{3}$
3) $\frac{1}{24}$
4) 16
5) $\frac{3}{4}$
6) 6 morceaux

1)

L'inverse de $\dfrac{4}{7}$ est $\dfrac{7}{4}$ , celui de $5=\dfrac{5}{1}$ est $\dfrac{1}{5}$ , celui de $\dfrac{1}{3}$ est $3$ . Deux nombres inverses ont pour produit $1$ ; à ne pas confondre avec deux nombres opposés, dont la somme est nulle.

2)

$\dfrac{3}{5}\div\dfrac{9}{10}=\dfrac{3}{5}\times\dfrac{10}{9}$ . On simplifie $10$ avec $5$ et $3$ avec $9$ : il reste $\dfrac{1}{1}\times\dfrac{2}{3}=\dfrac{2}{3}$ . Le résultat est inférieur à $1$ , ce qui est normal : $\dfrac{9}{10}$ est plus grand que $\dfrac{3}{5}=\dfrac{6}{10}$ .

3)

$14=\dfrac{14}{1}$ , donc $\dfrac{7}{12}\div 14=\dfrac{7}{12}\times\dfrac{1}{14}=\dfrac{7}{168}=\dfrac{1}{24}$ . Diviser par un entier plus grand que $1$ diminue bien le nombre.

4)

$6\div\dfrac{3}{8}=6\times\dfrac{8}{3}=\dfrac{48}{3}=16$ . Le résultat AUGMENTE, et c'est logique : on demande combien de fois $\dfrac{3}{8}$ tient dans $6$ , or $\dfrac{3}{8}$ est bien plus petit que $1$ .

5)

Une fraction de fractions se lit comme une division : $\dfrac{2}{3}\div\dfrac{8}{9}=\dfrac{2}{3}\times\dfrac{9}{8}=\dfrac{18}{24}=\dfrac{3}{4}$ . La grande barre est celle de la division principale ; c'est elle qui sépare le dividende du diviseur.

6)

On cherche combien de fois $\dfrac{5}{8}$ tient dans $\dfrac{15}{4}$ : $\dfrac{15}{4}\div\dfrac{5}{8}=\dfrac{15}{4}\times\dfrac{8}{5}=\dfrac{120}{20}=6$ . On obtient $6$ morceaux exactement, sans chute. Contrôle par les décimaux : $3{,}75\div 0{,}625=6$ .

Exercice 6 : Enchaînements et priorités

Les priorités opératoires ne changent pas parce que les nombres sont des fractions. La seule nouveauté est la barre de fraction, qui joue le rôle d'une parenthèse.

1) Calculez $\dfrac{2}{3}+\dfrac{1}{4}\times\dfrac{8}{5}$ .
2) Calculez $\left(\dfrac{2}{3}+\dfrac{1}{4}\right)\times\dfrac{8}{5}$ .
3) Calculez $\dfrac{5}{6}-\dfrac{1}{2}\div\dfrac{3}{4}$ .
4) Calculez $\dfrac{\frac{1}{2}+\frac{1}{3}}{\frac{5}{6}}$ .
5) Calculez $\left(\dfrac{3}{4}\right)^{2}-\dfrac{1}{8}$ .
6) Calculez $\dfrac{7}{9}\times\dfrac{3}{14}+\dfrac{5}{6}$ .

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Réponses

1) $\frac{16}{15}$
2) $\frac{22}{15}$
3) $\frac{1}{6}$
4) 1
5) $\frac{7}{16}$
6) 1

1)

La multiplication passe en premier : $\dfrac{1}{4}\times\dfrac{8}{5}=\dfrac{2}{5}$ . Puis $\dfrac{2}{3}+\dfrac{2}{5}=\dfrac{10}{15}+\dfrac{6}{15}=\dfrac{16}{15}$ .

2)

La parenthèse passe en premier : $\dfrac{2}{3}+\dfrac{1}{4}=\dfrac{8}{12}+\dfrac{3}{12}=\dfrac{11}{12}$ . Puis $\dfrac{11}{12}\times\dfrac{8}{5}=\dfrac{88}{60}=\dfrac{22}{15}$ . Comparez avec la question 1 : les mêmes nombres, deux résultats différents, $\dfrac{16}{15}$ et $\dfrac{22}{15}$ .

3)

La division d'abord : $\dfrac{1}{2}\div\dfrac{3}{4}=\dfrac{1}{2}\times\dfrac{4}{3}=\dfrac{2}{3}$ . Puis $\dfrac{5}{6}-\dfrac{2}{3}=\dfrac{5}{6}-\dfrac{4}{6}=\dfrac{1}{6}$ .

4)

On calcule le numérateur en entier : $\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3}=\dfrac{5}{6}$ . Le quotient vaut donc $\dfrac{5}{6}\div\dfrac{5}{6}=1$ . Un nombre divisé par lui-même vaut $1$ , et il n'y avait rien de plus à calculer une fois le numérateur reconnu.

5)

La puissance d'abord : $\left(\dfrac{3}{4}\right)^{2}=\dfrac{9}{16}$ , le carré portant sur le numérateur ET le dénominateur. Puis $\dfrac{9}{16}-\dfrac{2}{16}=\dfrac{7}{16}$ .

6)

Le produit d'abord, en simplifiant $7$ avec $14$ et $3$ avec $9$ : $\dfrac{7}{9}\times\dfrac{3}{14}=\dfrac{1}{6}$ . Puis $\dfrac{1}{6}+\dfrac{5}{6}=1$ . Un résultat entier au bout d'un calcul de fractions n'a rien d'anormal, et c'est ici un bon signe que les simplifications ont été bien menées.

Exercice 7 : Comparer, ranger et placer

La droite ci-dessous est graduée de $0$ à $2$ et partagée en douzièmes. Seuls les entiers sont étiquetés.

1) Comparez $\dfrac{5}{8}$ et $\dfrac{7}{12}$ .
2) Rangez dans l'ordre croissant $\dfrac{3}{4}$ , $\dfrac{5}{6}$ , $\dfrac{2}{3}$ et $\dfrac{7}{12}$ .
3) Placez ces quatre fractions sur la droite graduée.
4) Encadrez $\dfrac{29}{12}$ entre deux entiers consécutifs, puis placez-le.
5) Donnez une fraction strictement comprise entre $\dfrac{1}{3}$ et $\dfrac{1}{2}$ .
6) Comparez $\dfrac{99}{100}$ et $\dfrac{100}{101}$ sans calculatrice.

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Réponses

1) $\frac{5}{8}>\frac{7}{12}$
2) $\frac{7}{12}<\frac{2}{3}<\frac{3}{4}<\frac{5}{6}$
3) 7e, 8e, 9e, 10e graduations
4) Entre 2 et 3, 5 graduations après 2
5) $\frac{5}{12}$ par exemple
6) $\frac{100}{101}>\frac{99}{100}$

1)

Dénominateur commun $24$ : $\dfrac{5}{8}=\dfrac{15}{24}$ et $\dfrac{7}{12}=\dfrac{14}{24}$ , donc $\dfrac{5}{8}>\dfrac{7}{12}$ . Comparer les numérateurs $5$ et $7$ tels quels conduirait à la conclusion inverse, et c'est l'erreur la plus fréquente du chapitre.

2)

On écrit tout en douzièmes : $\dfrac{7}{12}$ , $\dfrac{2}{3}=\dfrac{8}{12}$ , $\dfrac{3}{4}=\dfrac{9}{12}$ , $\dfrac{5}{6}=\dfrac{10}{12}$ . L'ordre croissant est donc $\dfrac{7}{12}<\dfrac{2}{3}<\dfrac{3}{4}<\dfrac{5}{6}$ .

3)

Les quatre fractions se placent sur la septième, la huitième, la neuvième et la dixième graduation après $0$ , toutes entre $\dfrac{1}{2}$ et $1$ , donc dans le premier intervalle. Une fois le dénominateur commun trouvé, placer revient à compter des graduations.

4)

$\dfrac{29}{12}=\dfrac{24}{12}+\dfrac{5}{12}=2+\dfrac{5}{12}$ , donc $2<\dfrac{29}{12}<3$ . Le point se place cinq graduations après $2$ .

5)

En douzièmes, $\dfrac{1}{3}=\dfrac{4}{12}$ et $\dfrac{1}{2}=\dfrac{6}{12}$ : la fraction $\dfrac{5}{12}$ convient. La méthode générale consiste à affiner le dénominateur commun jusqu'à libérer une place entre les deux.

6)

Chacune est à une petite distance de $1$ : $\dfrac{99}{100}=1-\dfrac{1}{100}$ et $\dfrac{100}{101}=1-\dfrac{1}{101}$ . Comme $\dfrac{1}{101}<\dfrac{1}{100}$ , on retranche MOINS à $\dfrac{100}{101}$ , donc $\dfrac{100}{101}>\dfrac{99}{100}$ . Le produit en croix confirme : $99\times 101=9999$ et $100\times 100=10000$ .

Exercice 8 : Le nombre manquant

Chaque question cache un nombre. On identifie d'abord l'opération qui l'entoure, puis on applique celle qui la défait.

1) Trouvez $x$ tel que $\dfrac{2}{5}+x=\dfrac{9}{10}$ .
2) Trouvez $x$ tel que $x-\dfrac{3}{8}=\dfrac{1}{4}$ .
3) Trouvez $x$ tel que $\dfrac{3}{7}\times x=\dfrac{9}{14}$ .
4) Trouvez $x$ tel que $x\div\dfrac{2}{3}=\dfrac{6}{5}$ .
5) Trouvez $x$ tel que $\dfrac{5}{6}\div x=\dfrac{10}{9}$ .
6) Trouvez deux fractions de dénominateur $5$ dont la somme vaut $1$ et le produit $\dfrac{4}{25}$ .

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Réponses

1) $\frac{1}{2}$
2) $\frac{5}{8}$
3) $\frac{3}{2}$
4) $\frac{4}{5}$
5) $\frac{3}{4}$
6) $\frac{1}{5}$ et $\frac{4}{5}$

1)

$x=\dfrac{9}{10}-\dfrac{2}{5}=\dfrac{9}{10}-\dfrac{4}{10}=\dfrac{5}{10}=\dfrac{1}{2}$ . Vérification : $\dfrac{2}{5}+\dfrac{1}{2}=\dfrac{4}{10}+\dfrac{5}{10}=\dfrac{9}{10}$ .

2)

$x=\dfrac{1}{4}+\dfrac{3}{8}=\dfrac{2}{8}+\dfrac{3}{8}=\dfrac{5}{8}$ . Vérification : $\dfrac{5}{8}-\dfrac{3}{8}=\dfrac{2}{8}=\dfrac{1}{4}$ .

3)

On divise par $\dfrac{3}{7}$ , c'est-à-dire qu'on multiplie par $\dfrac{7}{3}$ : $x=\dfrac{9}{14}\times\dfrac{7}{3}=\dfrac{63}{42}=\dfrac{3}{2}$ . Vérification : $\dfrac{3}{7}\times\dfrac{3}{2}=\dfrac{9}{14}$ .

4)

$x$ est DIVISÉ par $\dfrac{2}{3}$ , donc on multiplie le résultat par $\dfrac{2}{3}$ : $x=\dfrac{6}{5}\times\dfrac{2}{3}=\dfrac{12}{15}=\dfrac{4}{5}$ . Vérification : $\dfrac{4}{5}\div\dfrac{2}{3}=\dfrac{4}{5}\times\dfrac{3}{2}=\dfrac{6}{5}$ .

5)

Ici $x$ est le DIVISEUR, la situation est différente de la question 4 : $x=\dfrac{5}{6}\div\dfrac{10}{9}=\dfrac{5}{6}\times\dfrac{9}{10}=\dfrac{45}{60}=\dfrac{3}{4}$ . Vérification : $\dfrac{5}{6}\div\dfrac{3}{4}=\dfrac{5}{6}\times\dfrac{4}{3}=\dfrac{20}{18}=\dfrac{10}{9}$ .

6)

Notons les deux fractions $\dfrac{a}{5}$ et $\dfrac{b}{5}$ . Leur somme vaut $\dfrac{a+b}{5}=1$ , donc $a+b=5$ . Leur produit vaut $\dfrac{ab}{25}=\dfrac{4}{25}$ , donc $ab=4$ . Les deux entiers cherchés sont $1$ et $4$ : les fractions sont $\dfrac{1}{5}$ et $\dfrac{4}{5}$ . Vérification : $\dfrac{1}{5}+\dfrac{4}{5}=1$ et $\dfrac{1}{5}\times\dfrac{4}{5}=\dfrac{4}{25}$ . Le couple $2$ et $3$ donne bien la somme $5$ , mais un produit de $6$ , donc il ne convient pas.

Exercice 9 : Cinq affirmations à corriger

Chacune des cinq affirmations suivantes est FAUSSE. Dites pourquoi et donnez l'énoncé correct.

1) « $\dfrac{2}{3}+\dfrac{4}{5}=\dfrac{6}{8}$ . »
2) « Pour multiplier deux fractions, il faut d'abord les mettre au même dénominateur. »
3) « Multiplier un nombre par une fraction le rend toujours plus petit. »
4) « $\dfrac{a}{b}\div\dfrac{c}{d}=\dfrac{b}{a}\times\dfrac{c}{d}$ . »
5) « Dans $\dfrac{3+5}{5}$ , on simplifie les deux $5$ , ce qui donne $3$ . »
6) Reprenez l'affirmation 3 et énoncez précisément dans quel cas un produit est plus petit que le nombre de départ.

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Réponses

1) $\frac{22}{15}$
2) Pas de dénominateur commun
3) $6\times\frac{5}{3}=10>6$
4) Seul le diviseur se retourne
5) $\frac{8}{5}$
6) Plus petit si $\frac{a}{b}<1$

1)

FAUX. Numérateurs et dénominateurs ont été additionnés séparément. Dénominateur commun $15$ : $\dfrac{10}{15}+\dfrac{12}{15}=\dfrac{22}{15}$ . Un contrôle immédiat suffisait à rejeter $\dfrac{6}{8}$ : ce nombre est inférieur à $1$ , alors que $\dfrac{4}{5}$ vaut déjà presque $1$ et qu'on lui ajoute encore $\dfrac{2}{3}$ . Énoncé correct : $\dfrac{2}{3}+\dfrac{4}{5}=\dfrac{22}{15}$ .

2)

FAUX. Le dénominateur commun sert à l'addition et à la soustraction, jamais à la multiplication : $\dfrac{3}{4}\times\dfrac{2}{5}=\dfrac{6}{20}=\dfrac{3}{10}$ directement. Énoncé correct : pour multiplier, on multiplie les numérateurs entre eux et les dénominateurs entre eux, après avoir simplifié en croix.

3)

FAUX. Cela dépend de la fraction. $6\times\dfrac{5}{3}=10$ , qui est PLUS GRAND que $6$ , car $\dfrac{5}{3}$ dépasse $1$ . Énoncé correct au point 6.

4)

FAUX. C'est le DIVISEUR qui se retourne, pas le dividende : $\dfrac{a}{b}\div\dfrac{c}{d}=\dfrac{a}{b}\times\dfrac{d}{c}$ . Contre-exemple chiffré : $\dfrac{1}{2}\div\dfrac{1}{4}=2$ , alors que la formule proposée donnerait $\dfrac{2}{1}\times\dfrac{1}{4}=\dfrac{1}{2}$ , un résultat quatre fois trop petit.

5)

FAUX. On ne simplifie que des FACTEURS, jamais les termes d'une somme. Ici il faut d'abord calculer le numérateur : $\dfrac{3+5}{5}=\dfrac{8}{5}$ . La simplification serait légitime dans $\dfrac{3\times 5}{5}$ , qui vaut bien $3$ . Énoncé correct : $\dfrac{3+5}{5}=\dfrac{8}{5}=1{,}6$ .

6)

Un produit $n\times\dfrac{a}{b}$ , avec $n$ positif, est plus petit que $n$ exactement lorsque $\dfrac{a}{b}<1$ ; il lui est égal si $\dfrac{a}{b}=1$ et plus grand si $\dfrac{a}{b}>1$ .

Exercice 10 : Le partage d'un terrain

Un terrain rectangulaire mesure $24$ mètres sur $15$ mètres. Le propriétaire consacre les $\dfrac{2}{5}$ de sa surface au potager. Il installe ensuite un verger sur le tiers de ce qui RESTE, et sème le reste en pelouse.

1) Calculez l'aire totale du terrain.
2) Calculez l'aire du potager.
3) Calculez l'aire du verger.
4) Calculez l'aire de la pelouse, puis la fraction du terrain qu'elle occupe.
5) La pelouse demande $\dfrac{3}{4}$ de kilogramme de graines pour $12$ mètres carrés. Quelle masse de graines faut-il ?
6) Un élève annonce que le verger occupe le tiers du terrain. Corrigez et dites quelle fraction du terrain il occupe réellement.

Voir la correction

Réponses

1) 360 m²
2) 144 m²
3) 72 m²
4) 144 m², $\frac{2}{5}$
5) 9 kg
6) $\frac{1}{5}$ du terrain

1)

$24\times 15=360$ mètres carrés.

2)

$\dfrac{2}{5}\times 360=\dfrac{720}{5}=144$ mètres carrés. On peut aussi diviser par $5$ puis multiplier par $2$ : $360\div 5=72$ et $72\times 2=144$ .

3)

Le reste vaut $360-144=216$ mètres carrés. Le verger en occupe le tiers : $\dfrac{1}{3}\times 216=72$ mètres carrés. Toute la difficulté de la question est là : le tiers porte sur le RESTE, pas sur le terrain.

4)

La pelouse occupe $360-144-72=144$ mètres carrés, soit $\dfrac{144}{360}=\dfrac{2}{5}$ du terrain. Elle a donc exactement la même aire que le potager, ce qui n'était pas visible au départ.

5)

La pelouse compte $144\div 12=12$ portions de $12$ mètres carrés, donc il faut $12\times\dfrac{3}{4}=9$ kilogrammes de graines. Contrôle : $9\div\dfrac{3}{4}=12$ , on retrouve bien les douze portions.

6)

C'est faux. Le verger occupe le tiers du RESTE, et le reste vaut $\dfrac{3}{5}$ du terrain. Sa part est donc $\dfrac{1}{3}\times\dfrac{3}{5}=\dfrac{1}{5}$ du terrain, ce que confirme le calcul direct $\dfrac{72}{360}=\dfrac{1}{5}$ . Le tiers du terrain vaudrait $120$ mètres carrés, soit $48$ mètres carrés de plus que la réalité : une fraction ne veut rien dire tant qu'on n'a pas nommé la quantité sur laquelle elle porte.

Exercice 11 : Le réservoir d'eau

Un réservoir est rempli aux $\dfrac{5}{8}$ de sa capacité, comme le montre le schéma. On y verse $180$ litres et il atteint alors les $\dfrac{7}{8}$ de sa capacité.

1) Quelle fraction de la capacité représentent les $180$ litres versés ?
2) Quelle est la capacité du réservoir ?
3) Quel volume d'eau contenait-il au départ ?
4) On soutire ensuite les $\dfrac{2}{5}$ du contenu. Quel volume reste-t-il ?
5) Quelle fraction de la capacité ce volume représente-t-il ?
6) Combien de litres faut-il encore ajouter pour atteindre les $\dfrac{9}{10}$ de la capacité ?

Voir la correction

Réponses

1) $\frac{1}{4}$
2) 720 L
3) 450 L
4) 378 L
5) $\frac{21}{40}$
6) 270 L

1)

$\dfrac{7}{8}-\dfrac{5}{8}=\dfrac{2}{8}=\dfrac{1}{4}$ . Les $180$ litres représentent le quart de la capacité. Les dénominateurs étant déjà identiques, il n'y avait rien à réduire.

2)

Si le quart vaut $180$ litres, la capacité vaut $180\times 4=720$ litres. Autrement dit on divise par la fraction : $180\div\dfrac{1}{4}=180\times 4=720$ .

3)

$\dfrac{5}{8}\times 720=\dfrac{3600}{8}=450$ litres. Contrôle : $450+180=630$ et $\dfrac{7}{8}\times 720=630$ . Les deux chemins concordent.

4)

Le contenu est de $630$ litres. On en soutire $\dfrac{2}{5}\times 630=252$ litres, il reste donc $630-252=378$ litres. On pouvait aller plus vite : il reste les $\dfrac{3}{5}$ , soit $\dfrac{3}{5}\times 630=378$ litres.

5)

$\dfrac{378}{720}$ . On simplifie par $18$ : $\dfrac{21}{40}$ . Le réservoir est donc à un peu plus de la moitié, ce que confirme la valeur décimale $0{,}525$ .

6)

Les $\dfrac{9}{10}$ de la capacité valent $\dfrac{9}{10}\times 720=648$ litres. Il faut donc ajouter $648-378=270$ litres. Erreur à éviter : soustraire les fractions $\dfrac{9}{10}-\dfrac{21}{40}=\dfrac{15}{40}=\dfrac{3}{8}$ puis oublier de repasser aux litres ; $\dfrac{3}{8}\times 720=270$ litres, le même résultat, mais seule la seconde étape répond à la question posée.

Exercice 12 : Calculer astucieusement avec la distributivité

La distributivité $k\times a+k\times b=k\times(a+b)$ reste vraie quand $k$ est une fraction. Lue de droite à gauche ou de gauche à droite, elle transforme un calcul pénible en calcul de tête.

1) Calculez $\dfrac{7}{9}\times 13+\dfrac{7}{9}\times 5$ en factorisant.
2) Calculez $\dfrac{5}{6}\times\dfrac{3}{7}+\dfrac{5}{6}\times\dfrac{4}{7}$ .
3) Calculez $\dfrac{11}{4}\times 17-\dfrac{11}{4}\times 13$ .
4) Calculez $12\times\left(\dfrac{3}{4}-\dfrac{1}{6}\right)$ en développant.
5) Un élève écrit $\dfrac{2}{3}\times 5+\dfrac{2}{3}=\dfrac{2}{3}\times 5$ . Corrigez son calcul et donnez le résultat.

Voir la correction

Réponses

1) 14
2) $\frac{5}{6}$
3) 11
4) 7
5) 4, pas $\frac{10}{3}$

1)

Le facteur commun est $\dfrac{7}{9}$ : $\dfrac{7}{9}\times(13+5)=\dfrac{7}{9}\times 18=7\times 2=14$ . Sans factoriser, il aurait fallu calculer $\dfrac{91}{9}+\dfrac{35}{9}=\dfrac{126}{9}$ , puis simplifier.

2)

$\dfrac{5}{6}\times\left(\dfrac{3}{7}+\dfrac{4}{7}\right)=\dfrac{5}{6}\times 1=\dfrac{5}{6}$ . Les deux fractions entre parenthèses ont été choisies pour faire $1$ : c'est ce qu'il faut repérer avant de calculer.

3)

$\dfrac{11}{4}\times(17-13)=\dfrac{11}{4}\times 4=11$ . La factorisation vaut aussi pour une différence.

4)

On distribue $12$ : $12\times\dfrac{3}{4}-12\times\dfrac{1}{6}=9-2=7$ . Développer est ici plus rapide que réduire la parenthèse au dénominateur $12$ , qui donne pourtant le même résultat : $12\times\dfrac{7}{12}=7$ .

5)

Le second terme $\dfrac{2}{3}$ vaut $\dfrac{2}{3}\times 1$ : il ne disparaît pas quand on factorise. $\dfrac{2}{3}\times 5+\dfrac{2}{3}\times 1=\dfrac{2}{3}\times(5+1)=\dfrac{2}{3}\times 6=4$ . Le calcul de l'élève donnait $\dfrac{10}{3}$ , il manquait $\dfrac{2}{3}$ .

Le fil : avant de calculer une somme de produits, on cherche le facteur commun ; quand un terme semble seul, c'est qu'il est multiplié par $1$ .

Exercice 13 : Les fractions égyptiennes

Les scribes égyptiens n'utilisaient que des fractions de numérateur $1$ , dites unitaires. Toute autre fraction s'écrivait comme une somme de fractions unitaires toutes différentes, par exemple $\dfrac{3}{4}=\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{4}$ .

1) Calculez $\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3}$ .
2) Calculez $\dfrac{1}{3}-\dfrac{1}{4}$ , puis $\dfrac{1}{4}-\dfrac{1}{5}$ .
3) Déduisez de la question 2 la valeur de $\dfrac{1}{12}+\dfrac{1}{20}$ , sans chercher de dénominateur commun à $12$ et $20$ .
4) La méthode de Fibonacci retire à chaque étape la plus grande fraction unitaire possible. Appliquez-la à $\dfrac{7}{12}$ .
5) Appliquez la même méthode à $\dfrac{4}{5}$ .

Voir la correction

Réponses

1) $\frac{5}{6}$
2) $\frac{1}{12}$ et $\frac{1}{20}$
3) $\frac{2}{15}$
4) $\frac{1}{2}+\frac{1}{12}$
5) $\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{20}$

1)

$\dfrac{3}{6}+\dfrac{2}{6}=\dfrac{5}{6}$ . C'est la décomposition égyptienne de $\dfrac{5}{6}$ .

2)

$\dfrac{1}{3}-\dfrac{1}{4}=\dfrac{4}{12}-\dfrac{3}{12}=\dfrac{1}{12}$ et $\dfrac{1}{4}-\dfrac{1}{5}=\dfrac{5}{20}-\dfrac{4}{20}=\dfrac{1}{20}$ . La différence de deux fractions unitaires consécutives est encore une fraction unitaire, de dénominateur le produit des deux : $3\times 4=12$ et $4\times 5=20$ .

3)

$\dfrac{1}{12}+\dfrac{1}{20}=\left(\dfrac{1}{3}-\dfrac{1}{4}\right)+\left(\dfrac{1}{4}-\dfrac{1}{5}\right)=\dfrac{1}{3}-\dfrac{1}{5}=\dfrac{5}{15}-\dfrac{3}{15}=\dfrac{2}{15}$ . Les deux $\dfrac{1}{4}$ s'éliminent. Contrôle par le dénominateur commun $60$ : $\dfrac{5}{60}+\dfrac{3}{60}=\dfrac{8}{60}=\dfrac{2}{15}$ .

4)

La plus grande fraction unitaire inférieure ou égale à $\dfrac{7}{12}$ est $\dfrac{1}{2}=\dfrac{6}{12}$ . Il reste $\dfrac{7}{12}-\dfrac{6}{12}=\dfrac{1}{12}$ , qui est unitaire : $\dfrac{7}{12}=\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{12}$ . Une décomposition n'est pas unique : $\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{4}=\dfrac{7}{12}$ convient aussi, mais ce n'est pas celle que donne la méthode.

5)

On retire $\dfrac{1}{2}$ : il reste $\dfrac{4}{5}-\dfrac{1}{2}=\dfrac{3}{10}$ . Comme $\dfrac{1}{3}>\dfrac{3}{10}$ mais $\dfrac{1}{4}<\dfrac{3}{10}$ , on retire $\dfrac{1}{4}$ : il reste $\dfrac{6}{20}-\dfrac{5}{20}=\dfrac{1}{20}$ . Donc $\dfrac{4}{5}=\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{20}$ .

Le fil : chaque étape est une soustraction de fractions, et comparer à une fraction unitaire décide de la suivante.

Exercice 14 : Les durées en fractions d'heure

Une heure compte $60$ minutes. Une durée en minutes s'écrit donc comme une fraction d'heure de dénominateur $60$ , que l'on simplifie ensuite.

1) Écrivez $45$ minutes, puis $20$ minutes, sous forme de fraction d'heure irréductible.
2) Combien de minutes représentent $\dfrac{5}{6}$ d'heure ? Et $\dfrac{7}{12}$ d'heure ?
3) Un élève affirme que $1$ h $20$ min vaut $1{,}20$ h. Corrigez en donnant la durée en fraction d'heure irréductible.
4) Un entraînement enchaîne $\dfrac{3}{4}$ h de course, $\dfrac{1}{3}$ h d'étirements et $\dfrac{1}{6}$ h de retour au calme. Donnez la durée totale en fraction d'heure, puis en heures et minutes.
5) Quelle fraction d'une journée représentent $8$ heures de sommeil ? Et $45$ minutes de trajet ?

Voir la correction

Réponses

1) $\frac{3}{4}$ h et $\frac{1}{3}$ h
2) 50 min et 35 min
3) $\frac{4}{3}$ h, pas $1{,}20$ h
4) $\frac{5}{4}$ h = 1 h 15 min
5) $\frac{1}{3}$ et $\frac{1}{32}$

1)

$\dfrac{45}{60}=\dfrac{3}{4}$ d'heure et $\dfrac{20}{60}=\dfrac{1}{3}$ d'heure.

2)

$\dfrac{5}{6}\times 60=50$ minutes et $\dfrac{7}{12}\times 60=35$ minutes. On multiplie par $60$ , comme pour toute fraction d'une quantité.

3)

$20$ minutes font $\dfrac{1}{3}$ d'heure, pas $20$ centièmes d'heure. Donc $1$ h $20$ min $=1+\dfrac{1}{3}=\dfrac{4}{3}$ h, soit environ $1{,}33$ h. L'écriture $1{,}20$ h vaut en réalité $1$ h $12$ min, puisque $0{,}2\times 60=12$ .

4)

Dénominateur commun $12$ : $\dfrac{9}{12}+\dfrac{4}{12}+\dfrac{2}{12}=\dfrac{15}{12}=\dfrac{5}{4}$ h. Or $\dfrac{5}{4}=1+\dfrac{1}{4}$ , et $\dfrac{1}{4}$ d'heure vaut $15$ minutes : l'entraînement dure $1$ h $15$ min.

5)

Une journée compte $24$ heures : $\dfrac{8}{24}=\dfrac{1}{3}$ . Elle compte $24\times 60=1\,440$ minutes : $\dfrac{45}{1\,440}=\dfrac{1}{32}$ . On convertit toujours dans la même unité avant de former la fraction.

Le fil : les minutes ne sont pas des centièmes d'heure ; on passe par la fraction de dénominateur $60$ .

Exercice 15 : Problème : la balle qui rebondit

On lâche une balle d'une hauteur de $125$ centimètres. À chaque rebond, elle remonte aux $\dfrac{3}{5}$ de la hauteur d'où elle vient de tomber.

La figure ci-dessous représente la situation.

1) À quelle hauteur remonte-t-elle après le premier rebond ? Après le deuxième ?
2) À quelle hauteur remonte-t-elle après le troisième rebond ?
3) Quelle fraction de la hauteur de départ la balle atteint-elle après le deuxième rebond ? Après le troisième ?
4) Quelle distance verticale totale la balle a-t-elle parcourue au moment où elle touche le sol pour la troisième fois ?
5) Après quel rebond la balle remonte-t-elle pour la première fois à moins de $10$ centimètres ?

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Réponses

1) 75 cm puis 45 cm
2) 27 cm
3) $\frac{9}{25}$ et $\frac{27}{125}$
4) 365 cm
5) Au cinquième rebond

1)

$\dfrac{3}{5}\times 125=75$ centimètres, puis $\dfrac{3}{5}\times 75=45$ centimètres. Chaque hauteur se calcule à partir de la PRÉCÉDENTE, pas de la hauteur de départ.

2)

$\dfrac{3}{5}\times 45=27$ centimètres.

3)

Après deux rebonds : $\dfrac{3}{5}\times\dfrac{3}{5}=\dfrac{9}{25}$ de la hauteur de départ, et l'on vérifie $\dfrac{9}{25}\times 125=45$ . Après trois rebonds : $\dfrac{27}{125}$ , et $\dfrac{27}{125}\times 125=27$ . Prendre les trois cinquièmes des trois cinquièmes, c'est multiplier les fractions.

4)

La balle tombe de $125$ cm et touche le sol une première fois ; elle monte de $75$ cm, redescend de $75$ cm et touche le sol une deuxième fois ; elle monte de $45$ cm et redescend de $45$ cm pour le troisième contact. Total : $125+2\times 75+2\times 45=365$ centimètres. Oublier les descentes donnerait $245$ cm.

5)

Les hauteurs successives sont $75$ ; $45$ ; $27$ ; $16{,}2$ ; $9{,}72$ centimètres. C'est après le cinquième rebond que la balle remonte pour la première fois à moins de $10$ centimètres.

Le fil : une fraction d'une fraction se calcule par un produit, et chaque rebond repart du résultat du précédent.

Exercice 16 : Problème : les mesures d'une partition

En musique, la durée d'une note se mesure en fraction de ronde, comme le rappelle le tableau. Un point placé après une note augmente sa durée de la moitié de cette durée. Dans une partition à quatre temps, notée $\dfrac{4}{4}$ , chaque mesure dure exactement une ronde ; à trois temps, notée $\dfrac{3}{4}$ , elle dure $\dfrac{3}{4}$ de ronde.

Note	ronde	blanche	noire	croche	double croche
Durée (en ronde)	1	1/2	1/4	1/8	1/16

1) Quelle est la durée d'une noire pointée ? D'une blanche pointée ?
2) Une mesure à quatre temps contient une blanche, une noire et une croche. Quelle durée manque-t-il pour la compléter ?
3) Combien de doubles croches faut-il pour remplir une mesure à quatre temps ? Combien pour une noire pointée ?
4) Dans une mesure à trois temps, une élève écrit une blanche pointée suivie d'une croche. La mesure est-elle correcte ? Si non, de combien dépasse-t-elle ?
5) Un morceau compte $24$ mesures à trois temps. Quelle est sa durée totale, en rondes ? Combien de noires pointées faudrait-il pour l'écrire entièrement avec cette seule note ?

Voir la correction

Réponses

1) $\frac{3}{8}$ et $\frac{3}{4}$
2) $\frac{1}{8}$ : une croche
3) 16 et 6
4) Non : $\frac{1}{8}$ de trop
5) 18 rondes, 48 noires pointées

1)

Noire pointée : $\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{2}\times\dfrac{1}{4}=\dfrac{2}{8}+\dfrac{1}{8}=\dfrac{3}{8}$ de ronde. Blanche pointée : $\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{4}=\dfrac{3}{4}$ de ronde. Le point ajoute la moitié de LA NOTE, pas une demi-ronde.

2)

$\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{8}=\dfrac{4}{8}+\dfrac{2}{8}+\dfrac{1}{8}=\dfrac{7}{8}$ . Il manque $1-\dfrac{7}{8}=\dfrac{1}{8}$ de ronde, soit une croche.

3)

$1\div\dfrac{1}{16}=16$ doubles croches dans une ronde. Pour une noire pointée : $\dfrac{3}{8}\div\dfrac{1}{16}=\dfrac{3}{8}\times 16=6$ doubles croches.

4)

$\dfrac{3}{4}+\dfrac{1}{8}=\dfrac{6}{8}+\dfrac{1}{8}=\dfrac{7}{8}$ , alors que la mesure ne dure que $\dfrac{3}{4}=\dfrac{6}{8}$ . La mesure est fausse : elle dépasse de $\dfrac{1}{8}$ de ronde, la croche de trop. La blanche pointée remplit à elle seule une mesure à trois temps.

5)

$24\times\dfrac{3}{4}=18$ rondes. Chaque noire pointée dure $\dfrac{3}{8}$ : $18\div\dfrac{3}{8}=18\times\dfrac{8}{3}=48$ noires pointées, soit deux par mesure.

Le fil : remplir une mesure, c'est additionner des fractions ; compter combien de notes y tiennent, c'est diviser.

Exercices corrigés : les quatre opérations sur les fractions (Quatrième)

Rappel de cours

Calculs : calcul pur (/10)

Exercice 1 : Huit calculs de fractions à la main

Partie A : les bases (/50)

Exercice 2 : Simplifier et trouver le dénominateur commun

Exercice 3 : Additionner et soustraire

Exercice 4 : Multiplier, et simplifier avant de calculer

Exercice 5 : Diviser : multiplier par l'inverse

Exercice 6 : Enchaînements et priorités

Partie B : problèmes et raisonnement (/50)

Exercice 7 : Comparer, ranger et placer

Exercice 8 : Le nombre manquant

Exercice 9 : Cinq affirmations à corriger

Exercice 10 : Le partage d'un terrain

Exercice 11 : Le réservoir d'eau

Partie C : les classiques (/50)

Exercice 12 : Calculer astucieusement avec la distributivité

Exercice 13 : Les fractions égyptiennes

Exercice 14 : Les durées en fractions d'heure

Exercice 15 : Problème : la balle qui rebondit

Exercice 16 : Problème : les mesures d'une partition

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Voir aussi

Votre enfant additionne les dénominateurs ?