Quatrième, programme français à Montréal • Exercices corrigés
Les fractions sont le chapitre où l'élève sait tout et se trompe quand même : chaque règle est connue isolément, mais elles se ressemblent assez pour être échangées. Additionner exige un dénominateur commun, multiplier l'interdit, diviser retourne une seule des deux fractions.
Cette fiche range les huit confusions dans l'ordre où elles apparaissent en contrôle, avec la ligne exacte à écrire et le nombre de points que chacune coûte.
Le fil du chapitre
Une fraction n'est pas deux nombres empilés, c'est un seul nombre. Tout le chapitre se joue donc sur une question posée avant le moindre calcul : cette opération réclame-t-elle un dénominateur commun, ou l'interdit-elle ?
Écrire le facteur de transformation au-dessus de chaque flèche, comme et , rapporte souvent un demi-point et supprime les erreurs de numérateur.
Le mot « inverse » n'a rien à voir avec le mot « opposé », et un énoncé de contrôle utilise volontiers les deux dans la même question pour les séparer.
Un résultat non simplifié coûte rarement plus d'un demi-point, mais une simplification illégitime coûte toute la question : dans le doute, ne pas simplifier.
Cette ligne sert de vérification universelle : un résultat plus grand que le nombre de départ après une multiplication par est faux, sans qu'il soit besoin de refaire le calcul.
On contrôle la position par deux repères : la fraction est-elle avant ou après , avant ou après ?
Les erreurs ci-dessous sont celles que je corrige le plus souvent en séance. Chacune coûte des points sur une copie, même quand le raisonnement est juste.
Ce qu'il ne faut pas écrire
« . »
Ce qu'il faut écrire
« : on met au même dénominateur, puis on n'ajoute QUE les numérateurs. »
Pourquoi : Ajouter les dénominateurs revient à changer la taille des parts en cours de route. Une moitié et un tiers ne sont pas des parts de la même taille tant qu'on ne les a pas recoupées.
Ce qu'il ne faut pas écrire
« . »
Ce qu'il faut écrire
« : pour multiplier, on ne met jamais au même dénominateur. »
Pourquoi : Le réflexe du dénominateur commun est juste pour l'addition et se transporte tout seul. Il n'est pas seulement inutile ici : en gardant un seul dénominateur au résultat, il fausse tout.
Ce qu'il ne faut pas écrire
« , je barre les deux . »
Ce qu'il faut écrire
« : on ne simplifie que des FACTEURS. Le du haut est un terme d'une somme, il n'est pas en facteur. »
Pourquoi : Barrer, c'est diviser en haut et en bas par le même nombre. Ici cela ne diviserait qu'un seul des deux termes du numérateur, donc pas le numérateur entier.
Ce qu'il ne faut pas écrire
« . »
Ce qu'il faut écrire
« : seul le diviseur se retourne. »
Pourquoi : La règle se retient comme « on retourne », sans préciser quoi. Souligner le diviseur avant d'écrire la ligne suivante suffit à ne retourner que lui.
Ce qu'il ne faut pas écrire
« L'inverse de est . »
Ce qu'il faut écrire
« L'inverse de est , car leur produit vaut . C'est qui est son opposé, car leur somme vaut . »
Pourquoi : Les deux mots désignent bien une transformation qui annule quelque chose, mais pas la même opération : l'un annule le produit, l'autre la somme.
Ce qu'il ne faut pas écrire
« multiplié par donne , puisqu'une multiplication agrandit. »
Ce qu'il faut écrire
« : multiplier par une fraction plus petite que DIMINUE. C'est qui agrandit. »
Pourquoi : Multiplier agrandit tant qu'on multiplie par des entiers. Dès que le facteur passe en dessous de , le sens de l'opération s'inverse, et c'est le premier vrai choc du chapitre.
Ce qu'il ne faut pas écrire
« . »
Ce qu'il faut écrire
« : le produit passe avant la somme, même écrit à droite. »
Pourquoi : Les fractions occupent tellement l'attention que les priorités s'oublient. Souligner le produit avant de commencer coûte deux secondes et sauve la question.
Ce qu'il ne faut pas écrire
« car . »
Ce qu'il faut écrire
« et , donc : la comparaison n'est valable qu'au même dénominateur. »
Pourquoi : La conclusion peut tomber juste par hasard, comme ici, ce qui entretient la méthode. Le correcteur note la justification, pas la chance.
On regarde le SIGNE de l'opération, pas les nombres. Il décide seul.
Si l'opération est ou → dénominateur commun obligatoire, puis on n'opère que sur les numérateurs
Exemple :
chercher le plus petit multiple commun, pas le produit : et non
Si l'opération est → multiplier les numérateurs entre eux et les dénominateurs entre eux, après simplification croisée
Exemple :
Si l'opération est → retourner le DIVISEUR seul, puis appliquer la branche précédente
Exemple :
Si il faut comparer ou ranger → même dénominateur, ou produit en croix, jamais une comparaison des numérateurs seuls
Exemple : contre : et , donc est la plus grande
Si l'expression contient une lettre ou une parenthèse, aucune de ces branches ne s'applique tant que la parenthèse n'est pas réduite à une seule fraction.
On souligne l'opération la plus prioritaire qui reste, on l'exécute seule, on réécrit l'expression entière.
Si il reste une parenthèse → la réduire à une seule fraction avant tout le reste
Exemple : commence par
Si il reste un produit ou un quotient → l'exécuter avant toute somme, même s'il est écrit à droite
Exemple : commence par
Si un produit va être posé → simplifier en croisant AVANT de multiplier
Exemple :
c'est la seule façon de ne jamais écrire un produit à quatre chiffres
Si il ne reste que des sommes et des différences → mettre tout au même dénominateur en une seule fois, pas deux à deux
Exemple :
À la toute fin seulement, on regarde si le résultat se simplifie et on l'écrit sous forme irréductible : jamais avant, sinon on simplifie une fraction qui va encore changer.
Le correcteur coche des étapes. Les voici dans l'ordre, avec la phrase de conclusion qu'il attend mot pour mot.
Quand l'utiliser : L'énoncé demande une somme ou une différence de fractions qui n'ont pas le même dénominateur.
Phrase de conclusion
« Donc , fraction irréductible car est premier. »
Le piège : Sauter la ligne où les facteurs et apparaissent. C'est là que le numérateur se trompe, et c'est aussi la ligne que le barème paie.
Barème : 0,5 point pour le dénominateur commun, 1 point pour les deux fractions transformées, 0,5 pour le résultat.
Quand l'utiliser : L'énoncé comporte un signe de division entre deux fractions, ou une fraction dont le numérateur ou le dénominateur est lui-même une fraction.
Phrase de conclusion
« Donc . »
Le piège : Retourner les deux fractions. Souligner le diviseur avant d'écrire quoi que ce soit rend l'erreur impossible.
Barème : 1 point pour la ligne de transformation en multiplication, 1 point pour le résultat simplifié.
Cinq minutes de vérification récupèrent plus de points qu'un exercice de plus commencé à la hâte.
La valeur décimale approchée
Remplacer chaque fraction par sa valeur décimale à la calculatrice et refaire le calcul en décimal. Les deux résultats doivent coïncider.
donne environ , et : la réponse tient. Un l'aurait immédiatement démentie.
Comparer le résultat à un demi et à un
Situer chaque fraction et le résultat par rapport à et à . Une somme de deux fractions plus grandes qu'un demi doit dépasser .
doit tomber entre et : la réponse , plus petite qu'un demi, est fausse sans autre calcul.
La substitution inverse sur une division
Multiplier le quotient trouvé par le diviseur : on doit retomber exactement sur le dividende de départ.
Pour , le contrôle donne , qui est bien le dividende.
Le sens de l'opération
Après une multiplication par une fraction plus petite que , le résultat doit être plus PETIT que le nombre de départ. Après une division par cette même fraction, plus GRAND.
doit être inférieur à : un signale que la multiplication et la division ont été échangées.
Calculer .
Calculer ensuite , et donner les deux résultats sous forme irréductible.
Étape 1
Dans , le produit passe en premier : .
Pourquoi
Rien dans l'écriture ne signale la priorité, et la soustraction est écrite à gauche : c'est exactement pour cela qu'elle attire l'œil. Souligner le produit avant de commencer est le geste qui sauve la question.
Étape 2
Simplifier en croisant avant de multiplier : avec donne et ; avec donne et . Il reste .
Pourquoi
Sans cette étape, il faudrait calculer puis chercher son irréductible. Simplifier d'abord garde tous les nombres en dessous de dix et supprime la deuxième source d'erreur.
Étape 3
.
Pourquoi
Les deux dénominateurs sont déjà égaux, donc on soustrait les numérateurs seuls et on garde le . La simplification finale par vient en dernier, une fois le résultat stabilisé.
Étape 4
Dans , la parenthèse d'abord : le plus petit multiple commun de et est , donc .
Pourquoi
Le plus petit multiple commun, et non le produit : les nombres restent deux fois plus petits et la simplification finale devient presque toujours inutile.
Étape 5
Diviser, c'est multiplier par l'inverse du DIVISEUR : .
Pourquoi
Le diviseur est , et lui seul se retourne. La fraction de gauche, qui vient de la parenthèse, reste telle quelle : c'est le dividende.
Étape 6
Simplifier en croisant : avec donne , et avec donne et . Donc .
Pourquoi
Deux simplifications croisées font disparaître tous les nombres à deux chiffres. Le résultat sort directement sous forme irréductible, sans étape supplémentaire.
Étape 7
Vérification : , qui est bien la parenthèse de départ.
Pourquoi
La substitution inverse contrôle en une ligne l'endroit le plus fragile du calcul, celui où une fraction a été retournée. Si le produit ne redonne pas le dividende, c'est que les deux ont été retournées.
Conclusion rédigée
« Donc et , toutes deux irréductibles. »
L'erreur classique sur cet exercice : Commencer par , parce que la soustraction est écrite en premier. La parenthèse de est justement là pour dire que dans elle n'existe pas : les deux expressions sont faites pour être comparées.
Parce qu'on ne peut additionner que des parts de même taille. Une moitié et un tiers ne sont pas des morceaux comparables : il faut d'abord recouper la barre en sixièmes, où la moitié vaut trois sixièmes et le tiers deux sixièmes. On ajoute alors cinq parts identiques.
Non, jamais. Pour multiplier, on multiplie les numérateurs entre eux et les dénominateurs entre eux, un point c'est tout. Chercher un dénominateur commun ne fausse pas le calcul en soi, mais fabrique des nombres énormes et pousse à garder un seul dénominateur au résultat, ce qui est faux.
Le diviseur seul, c'est-à-dire la fraction écrite après le signe de division. La première ne bouge pas. Deux tiers divisé par quatre cinquièmes devient deux tiers multiplié par cinq quarts, ce qui donne cinq sixièmes. Retourner les deux fractions est l'erreur la plus courante du chapitre.
L'inverse retourne la fraction : celui de trois quarts est quatre tiers, et leur produit vaut un. L'opposé change le signe : celui de trois quarts est moins trois quarts, et leur somme vaut zéro. Les deux mots se ressemblent mais ne servent pas dans les mêmes calculs.
Parce que multiplier par une fraction inférieure à un revient à en prendre une partie. Les trois quarts de douze font neuf, donc moins que douze. C'est diviser par trois quarts qui donne seize, donc plus. Le sens de l'opération dépend de la position de la fraction par rapport à un.
© Ahmed Squalli Houssaini. Fiche publiée sur www.letuteurscientifique.ca/fiches/4eme-fractions-operations. Libre pour l'usage personnel et en classe ; sa republication ailleurs demande une autorisation écrite (mentions légales).
