Exercices corrigés : les ensembles de nombres, les intervalles et la valeur absolue (Seconde, programme français)

1) $-3\notin\mathbb{N}$ car $\mathbb{N}$ ne contient que les entiers positifs ; $-3\in\mathbb{Z}$ ; $\frac{7}{2}=3{,}5\in\mathbb{D}$ car cette écriture décimale s'arrête ; $\frac{1}{3}\notin\mathbb{D}$ car $0{,}333\ldots$ ne s'arrête jamais, en revanche $\frac{1}{3}\in\mathbb{Q}$ ; $\sqrt{2}\notin\mathbb{Q}$, c'est démontré à l'exercice 6.

2) $\frac{45}{15}=3$. La barre de fraction n'interdit rien : le nombre est l'entier $3$, donc $\frac{45}{15}\in\mathbb{N}$. Répondre $\mathbb{Q}$ n'est pas faux, mais la question demande le PLUS PETIT ensemble.

3) $\sqrt{50}=\sqrt{25\times 2}=5\sqrt{2}$, donc $\sqrt{50}-\sqrt{2}=5\sqrt{2}-\sqrt{2}=4\sqrt{2}$. Ce nombre est irrationnel : s'il était rationnel, $\sqrt{2}=\frac{1}{4}\times 4\sqrt{2}$ le serait aussi, ce qui est faux. Le plus petit ensemble est donc $\mathbb{R}$. Vérification décimale : $4\sqrt{2}\approx 5{,}657$.

4) C'est la différence de deux carrés : $(2+\sqrt{3})(2-\sqrt{3})=2^2-(\sqrt{3})^2=4-3=1$. Donc le nombre vaut $1$ et $1\in\mathbb{N}$. Le piège est de conclure « il y a un radical, donc c'est irrationnel » : deux irrationnels peuvent avoir un produit entier.

5) $\frac{\sqrt{18}}{\sqrt{2}}=\sqrt{\frac{18}{2}}=\sqrt{9}=3$, donc $\frac{\sqrt{18}}{\sqrt{2}}\in\mathbb{N}$. La règle utilisée est $\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}=\sqrt{\frac{a}{b}}$, valable pour $a\ge 0$ et $b>0$.

6) $-1\in\mathbb{Z}$ et $-1\notin\mathbb{N}$ ; $0{,}5\in\mathbb{D}$ et $0{,}5\notin\mathbb{Z}$ ; $\frac{1}{3}\in\mathbb{Q}$ et $\frac{1}{3}\notin\mathbb{D}$ ; $\sqrt{2}\in\mathbb{R}$ et $\sqrt{2}\notin\mathbb{Q}$. Ces quatre exemples prouvent que les quatre inclusions sont STRICTES : à chaque étage, l'ensemble grandit vraiment. Une réponse sans exemple ne vaut aucun point, car c'est l'exemple qui démontre.

1) $-3<x\le 4$ s'écrit $]-3\ ;\ 4]$ : crochet ouvert à gauche parce que l'inégalité est stricte, crochet fermé à droite parce qu'elle est large. $x\ge 2$ s'écrit $[2\ ;\ +\infty[$ et $x<5$ s'écrit $]-\infty\ ;\ 5[$. Le crochet est TOUJOURS ouvert du côté de l'infini : $+\infty$ n'est pas un nombre, il ne peut pas appartenir à un ensemble de nombres.

2) $[-1\ ;\ 3[$ se traduit par $-1\le x<3$ et $]-\infty\ ;\ 0]$ par $x\le 0$.

3) $I\cap J$ est l'ensemble des $x$ qui vérifient les DEUX conditions à la fois : $-3<x\le 4$ et $1\le x<7$. On garde la borne gauche la plus grande, $1$, et la borne droite la plus petite, $4$, chacune avec le crochet de l'intervalle dont elle vient : $I\cap J=[1\ ;\ 4]$. Contrôle sur la figure : c'est la zone où les deux traits se superposent.

4) Les deux intervalles se chevauchent, donc leur réunion est d'un seul morceau : on garde la borne gauche la plus petite et la borne droite la plus grande, soit $I\cup J=]-3\ ;\ 7[$. Attention, cette règle ne vaut QUE parce qu'il y a chevauchement : $[0\ ;\ 1]\cup[5\ ;\ 6]$ ne se recolle pas.

5) $x\le 2$ et $x\ge 2$ obligent $x=2$ : l'intersection est $\{2\}$, l'ensemble réduit au seul nombre $2$. Ce n'est pas l'ensemble vide, c'est l'erreur la plus fréquente ici ; ce n'est pas non plus un intervalle d'amplitude non nulle. On peut aussi l'écrire $[2\ ;\ 2]$.

6) $\mathbb{R}$ privé de $3$ vaut $]-\infty\ ;\ 3[\ \cup\ ]3\ ;\ +\infty[$. Les deux crochets autour de $3$ sont ouverts, sinon $3$ reviendrait par une porte ou par l'autre. Cette écriture est celle du domaine de définition de $x\mapsto\frac{1}{x-3}$ : elle servira toute l'année.

1) $|-7|=7$. $|3-11|=|-8|=8$ et $|11-3|=|8|=8$ : les deux sont égaux, car la distance de $3$ à $11$ ne dépend pas du sens de lecture. $|\sqrt{2}-1{,}5|=1{,}5-\sqrt{2}$ puisque $\sqrt{2}\approx 1{,}414<1{,}5$ : on enlève les barres en changeant le signe quand le contenu est négatif. Numériquement, cela vaut environ $0{,}0858$.

2) $|x-3|=5$ se lit « $x$ est à la distance $5$ du nombre $3$ ». Il y a deux points à distance $5$ de $3$, un de chaque côté : $x=3+5=8$ et $x=3-5=-2$. L'ensemble des solutions est $\{-2\ ;\ 8\}$.

3) $|x-3|\le 5$ se lit « $x$ est à une distance d'AU PLUS $5$ du nombre $3$ » : c'est le segment entre les deux points précédents, donc $x\in[-2\ ;\ 8]$. Le centre $3$ et le rayon $5$ se lisent directement dans l'écriture, sans aucun calcul de cas.

4) On écrit d'abord $x+2=x-(-2)$, donc $|x+2|$ est la distance de $x$ à $-2$, et non à $2$. La condition $|x+2|<1$ donne $-3<x<-1$, soit $x\in]-3\ ;\ -1[$, crochets ouverts parce que l'inégalité est stricte. Confondre $-2$ et $2$ ici coûte tout l'exercice.

5) Le centre est le milieu des bornes : $a=\frac{1+9}{2}=5$. Le rayon est la demi-longueur : $r=\frac{9-1}{2}=4$. Donc $[1\ ;\ 9]$ s'écrit $|x-5|\le 4$. Vérification aux bornes : $|1-5|=4$ et $|9-5|=4$, les deux extrémités sont bien à la distance annoncée.

6) Cette réunion est l'ensemble des $x$ situés à plus de $4$ du centre $\frac{-1+7}{2}=3$, donc elle s'écrit $|x-3|>4$. On retient la règle : $|x-a|\le r$ donne un segment d'un seul morceau, $|x-a|>r$ donne les deux morceaux qui restent. Le sens de l'inégalité décide de la FORME de la réponse, pas seulement de ses bornes.

1) $1{,}4<\sqrt{2}<1{,}5$, puis $1{,}41<\sqrt{2}<1{,}42$, puis $1{,}414<\sqrt{2}<1{,}415$. Chaque ligne se contrôle en élevant au carré : $1{,}41^2=1{,}9881<2$ et $1{,}42^2=2{,}0164>2$, donc $\sqrt{2}$ est bien entre les deux. C'est le seul contrôle valable, puisqu'on n'a pas le droit d'invoquer l'affichage de la machine.

2) L'amplitude est la différence des bornes, ici $10^{-3}=0{,}001$. C'est exactement ce que veut dire « à $10^{-3}$ près ».

3) L'arrondi au centième de $0{,}4567$ est $0{,}46$, car le chiffre suivant est $6\ge 5$ : on monte. La troncature au centième est $0{,}45$ : on coupe sans regarder la suite. Les deux diffèrent, et une copie qui écrit « arrondi » en ayant tronqué perd le point.

4) Le produit vaut $12{,}3\times 4{,}5=55{,}35$, mais chaque mesure n'a que trois et deux chiffres significatifs. Annoncer $55{,}35$ cm$^2$ prétendrait connaître le centième de cm$^2$ à partir de mesures au millimètre. On écrit $55$ cm$^2$, deux chiffres significatifs, comme la mesure la moins précise.

5) On additionne les encadrements membre à membre, ce qui est toujours permis : $1{,}41+1{,}73<\sqrt{2}+\sqrt{3}<1{,}42+1{,}74$, soit $3{,}14<\sqrt{2}+\sqrt{3}<3{,}16$. Les incertitudes s'ajoutent : partis de deux encadrements à $0{,}01$ près, on arrive à $0{,}02$ près. La vraie valeur est environ $3{,}1463$.

6) Les quatre bornes sont strictement positives, donc on peut multiplier les encadrements membre à membre : $1{,}41\times 1{,}73<\sqrt{6}<1{,}42\times 1{,}74$, c'est-à-dire $2{,}4393<\sqrt{6}<2{,}4708$. La valeur $2{,}4495$ est bien dedans. Cette règle exige la positivité : avec des nombres négatifs, multiplier deux encadrements membre à membre est faux.

1) Oui. $\frac{7}{40}$ est déjà irréductible et $40=2^3\times 5$ : le dénominateur ne contient que des $2$ et des $5$. On peut donc le compléter en une puissance de $10$ : $\frac{7}{40}=\frac{7\times 25}{1000}=\frac{175}{1000}=0{,}175$.

2) Non. $\frac{5}{12}$ est irréductible et $12=2^2\times 3$ : le facteur $3$ ne disparaîtra jamais, car aucune puissance de $10$ n'est divisible par $3$. L'écriture décimale $0{,}41666\ldots$ ne s'arrête pas. La règle générale : une fraction irréductible est décimale si et seulement si son dénominateur s'écrit $2^a\times 5^b$.

3) Oui, et c'est le piège de l'exercice. En lisant $56=2^3\times 7$ on conclurait « non » à cause du $7$. Or il faut d'abord rendre la fraction IRRÉDUCTIBLE : $\frac{21}{56}=\frac{3\times 7}{8\times 7}=\frac{3}{8}$, dénominateur $8=2^3$, donc $\frac{21}{56}=0{,}375$. La règle ne s'applique qu'après simplification.

4) Le motif « $27$ » a deux chiffres, on multiplie donc par $100$ : $100x=27{,}272727\ldots$ En soustrayant $x=0{,}272727\ldots$, les parties décimales infinies s'effacent exactement et il reste $99x=27$, d'où $x=\frac{27}{99}=\frac{3}{11}$ après division par $9$.

5) Ici un chiffre ne se répète pas ($1$) et un chiffre se répète ($6$). On décale des deux façons : $10y=1{,}666\ldots$ et $100y=16{,}666\ldots$ La différence donne $90y=15$, donc $y=\frac{15}{90}=\frac{1}{6}$. Multiplier seulement par $10$ n'aurait rien effacé.

6) Le développement décimal d'un rationnel est toujours périodique à partir d'un certain rang, éventuellement avec la période « $0$ » quand le nombre est décimal. Réciproquement, un développement périodique se remet en fraction par la méthode des questions 4 et 5, donc représente un rationnel. Celui de $\sqrt{2}$ n'est pas périodique, puisque $\sqrt{2}$ n'est pas rationnel : c'est ce que démontre l'exercice 6.

1) Si $n$ est impair, il s'écrit $n=2k+1$ avec $k$ entier. Alors $n^2=4k^2+4k+1=2(2k^2+2k)+1$, qui est impair puisque $2k^2+2k$ est entier. On vient de démontrer « $n$ impair $\Rightarrow n^2$ impair » ; sa contraposée dit « $n^2$ pair $\Rightarrow n$ pair », et une implication et sa contraposée sont vraies ensemble. C'est cette contraposée qui servira deux fois ci-dessous.

2) De $\sqrt{2}=\frac{p}{q}$ on tire $2=\frac{p^2}{q^2}$ en élevant au carré, puis $p^2=2q^2$ en multipliant par $q^2$. Donc $p^2$ est le double d'un entier : $p^2$ est pair. D'après la question 1, $p$ est pair.

3) On écrit $p=2k$. Alors $p^2=4k^2$, et l'égalité $p^2=2q^2$ devient $4k^2=2q^2$, soit $q^2=2k^2$. Donc $q^2$ est pair, donc $q$ est pair. Or $p$ et $q$ sont tous les deux pairs : la fraction $\frac{p}{q}$ se simplifiait par $2$, ce qui contredit l'hypothèse « irréductible ».

4) « Supposons $\sqrt{2}$ rationnel. Il s'écrit alors $\frac{p}{q}$ sous forme irréductible, et l'on démontre que $p$ et $q$ sont tous deux pairs, ce qui contredit l'irréductibilité. L'hypothèse est donc fausse : $\sqrt{2}$ est irrationnel. » La contradiction doit être NOMMÉE, sinon la rédaction ne vaut rien.

5) Supposons $\frac{1}{3}$ décimal. Il s'écrit alors $\frac{a}{10^n}$ avec $a$ entier et $n$ entier positif, donc $10^n=3a$ : $10^n$ serait divisible par $3$. Or $10^n=2^n\times 5^n$ ne contient aucun facteur $3$, et $3$ est premier. Contradiction, donc $\frac{1}{3}$ n'est pas décimal.

6) Non, et il faut dire où cela casse. L'étape qui tombe est la question 1 transposée à $4$ : « $p^2$ divisible par $4\Rightarrow p$ divisible par $4$ » est FAUSSE, le contre-exemple $p=2$ suffit puisque $p^2=4$. La démonstration de la question 1 utilise que $2$ est PREMIER ; elle ne se recopie pas telle quelle. Et heureusement : $\sqrt{4}=2$ est bien rationnel.

1) On teste $0$, $0{,}1$, ..., jusqu'à $1{,}4$ dont le carré $1{,}96$ est encore inférieur à $2$, puis $1{,}5$ dont le carré $2{,}25$ dépasse : la boucle s'arrête avec $k=15$ et la fonction rend $\frac{14}{10}=1{,}4$. L'encadrement est $1{,}4<\sqrt{2}<1{,}5$.

2) La boucle s'arrête au premier $k$ tel que $\left(\frac{k}{10}\right)^2\ge 2$, c'est-à-dire $k=15$ : elle a fait $15$ tours, de $k=0$ à $k=14$. Pour $n=2$, le premier dépassement est $k=142$ car $1{,}41^2=1{,}9881<2$ et $1{,}42^2=2{,}0164>2$ : $142$ tours. Le coût est multiplié par $10$ à chaque décimale gagnée, ce qui explique qu'on préfère la dichotomie pour un grand $n$.

3) Parce que $\sqrt{2}$ est précisément le nombre qu'on cherche : écrire le test avec $\sqrt{2}$ reviendrait à supposer connu ce que l'algorithme doit produire. Élever au carré remplace une comparaison avec un irrationnel par une comparaison avec l'entier $2$, ce qui est licite car les deux membres sont positifs et la fonction carré est croissante sur $[0\ ;\ +\infty[$.

4) Il suffit de remplacer le $2$ du test par $5$. Rien d'autre ne change : le pas, le compteur et la valeur rendue sont indépendants du nombre visé. Pour $n=1$ on obtiendrait $2{,}2<\sqrt{5}<2{,}3$, puisque $2{,}2^2=4{,}84<5$ et $2{,}3^2=5{,}29>5$.

5) L'ajout répété de $0{,}1$ accumule les erreurs d'arrondi, car $0{,}1$ n'a pas d'écriture binaire finie dans la machine : après quatorze additions, $x$ ne vaut pas exactement $1{,}4$ mais une valeur voisine, et le résultat peut dépendre du nombre de tours. La version avec un compteur ENTIER $k$ divisé une seule fois à la fin ne fait qu'une division, donc qu'un seul arrondi. C'est la même leçon que dans tout le chapitre : l'écriture exacte d'abord, la valeur approchée à la fin.

6) Parce que la suite des $\frac{k}{10^n}$ croît sans borne : leurs carrés aussi, donc ils finissent par dépasser $2$. Une boucle « tant que » qui ne progresserait pas vers sa condition d'arrêt tournerait indéfiniment ; ici $k$ augmente de $1$ à chaque tour, ce qui garantit l'arrêt.

1) FAUX. Un décimal est un nombre dont l'écriture décimale s'ARRÊTE. $0{,}333\ldots$ et $\pi=3{,}14159\ldots$ s'écrivent avec une virgule sans être décimaux. Énoncé correct : un nombre est décimal lorsqu'il s'écrit $\frac{a}{10^n}$ avec $a$ entier, autrement dit lorsque son écriture décimale a un nombre fini de chiffres après la virgule.

2) FAUX. C'est vrai seulement pour $x\ge 0$. Pour $x=-5$, $|-5|=5$ et non $-5$. Énoncé correct : $|x|=x$ si $x\ge 0$ et $|x|=-x$ si $x<0$ ; dans tous les cas $|x|\ge 0$. Écrire $|x|=-x$ ne signifie pas que le résultat est négatif : si $x=-5$, alors $-x=5$.

3) FAUX. Un intervalle contient tous les nombres compris entre deux de ses éléments. Ici $2$ et $7$ appartiennent à la réunion, mais $6$, qui est entre les deux, n'y appartient pas. Énoncé correct : cette réunion n'est pas un intervalle, elle est en deux morceaux ; une réunion de deux intervalles n'est un intervalle que s'ils se chevauchent ou se touchent.

4) FAUX. La calculatrice affiche une valeur APPROCHÉE, arrondie à dix chiffres. Le carré du nombre affiché vaut $1{,}999999998\ldots$ et non $2$. Énoncé correct : $1{,}414213562$ est un décimal proche de $\sqrt{2}$, mais $\sqrt{2}$ est irrationnel, donc pas même rationnel. Le bon symbole est $\approx$, pas $=$.

5) FAUX. Il manque la moitié de la condition. $x=-100$ vérifie $x\le 8$, mais $|-100-3|=103$ n'est pas inférieur à $5$. Énoncé correct : $|x-3|\le 5$ équivaut à $-2\le x\le 8$, c'est-à-dire $x\in[-2\ ;\ 8]$. Une valeur absolue inférieure à un nombre donne TOUJOURS un encadrement à deux bornes.

1) $|d-12{,}50|\le 0{,}04$ signifie que $d$ est à une distance d'au plus $0{,}04$ de $12{,}50$ : $d\in[12{,}46\ ;\ 12{,}54]$. Les deux bornes sont incluses, l'inégalité étant large ; une pièce à exactement $12{,}54$ passe.