Maths Seconde, programme français • Exercices corrigés à Montréal

Fiche de révision : ensembles de nombres, intervalles et valeur absolue (Seconde)

Cette fiche de révision couvre les ensembles de nombres, les intervalles et la valeur absolue en classe de Seconde du programme français, tels qu'ils sont évalués au Lycée Marie de France et au Collège Stanislas à Montréal.

Elle ne redit pas le cours, que vous avez déjà : elle dit ce qui fait perdre des points sur ce chapitre, et le geste précis qui évite chaque perte. Le fil est toujours le même : c'est l'écriture qui décide, jamais l'affichage de la calculatrice.

Le fil du chapitre

Dans ce chapitre, c'est l'ÉCRITURE qui décide, jamais l'affichage : un nombre est décimal parce qu'on sait l'écrire avec un nombre fini de chiffres, une borne est incluse à cause du crochet écrit, et un ensemble de solutions se lit sur un centre et un rayon.

Ce chapitre fait partie de Mathématiques en Seconde

Avant ce chapitre

Cette fiche suppose ces notions acquises. Si une méthode ci-dessous reste opaque, c'est presque toujours l'une d'elles qui manque, pas la fiche.

Remonter plus loin : la chaîne complète (7 chapitres) ↓

Le chemin de remédiation, du plus ancien au plus proche. Un élève qui reprend ce chapitre de zéro le reprend dans cet ordre.

1Les nombres décimauxSixième
2Fractions et proportionnalitéSixième
3Les fractionsCinquième
4Les nombres relatifsCinquième
5Multiplication et division de relatifsQuatrième
6Opérations sur les fractionsQuatrième
7Puissances et écriture scientifiqueQuatrième

Notions couvertes

Ensembles de nombres
Nombre décimal
Nombre rationnel
Nombre irrationnel
Intervalle de R
Réunion et intersection d'intervalles
Valeur absolue
Distance entre deux réels
Encadrement décimal
Arrondi et troncature
Raisonnement par l'absurde
Chiffres significatifs

L'essentiel

Les cinq ensembles, et l'habitant propre de chacun

• $\mathbb{N}\subset\mathbb{Z}\subset\mathbb{D}\subset\mathbb{Q}\subset\mathbb{R}$ , et les quatre inclusions sont STRICTES : à chaque étage il existe un nombre nouveau.
• $\mathbb{N}$ : les entiers positifs. $\mathbb{Z}$ : les entiers relatifs, l'habitant nouveau est $-5$ .
• $\mathbb{D}$ : les décimaux, c'est-à-dire les $\frac{a}{10^n}$ avec $a$ entier ; l'habitant nouveau est $1{,}75$ .
• $\mathbb{Q}$ : les quotients d'entiers ; l'habitant nouveau est $\frac{1}{3}$ , dont l'écriture décimale ne s'arrête jamais.
• $\mathbb{R}$ : tous les nombres de la droite graduée ; les habitants nouveaux sont $\sqrt{2}$ et $\pi$ , qui ne sont quotients de rien.
• Un nombre appartient au PLUS PETIT ensemble dans lequel on sait l'écrire, et cela se décide après calcul : $\frac{45}{15}=3$ est un entier naturel.

Chaque anneau porte les nombres qui sont dans le grand ensemble et PAS dans le petit : c'est ce qui rend les quatre inclusions strictes.

En contrôle, « donner le plus petit ensemble » vaut zéro si vous répondez $\mathbb{R}$ : c'est vrai pour tout le monde, donc cela ne répond pas à la question.

Trois écritures du même ensemble de solutions

• Inégalité : $-2\le x\le 8$ . Intervalle : $x\in[-2\ ;\ 8]$ . Distance : $|x-3|\le 5$ . Les trois disent exactement la même chose.
• Passage de la distance à l'intervalle : $|x-a|\le r$ équivaut à $x\in[a-r\ ;\ a+r]$ . Le centre est $a$ , le rayon est $r$ .
• Passage de l'intervalle à la distance : $[m\ ;\ M]$ s'écrit $|x-a|\le r$ avec $a=\frac{m+M}{2}$ (le milieu) et $r=\frac{M-m}{2}$ (la demi-longueur).
• Crochet fermé pour une inégalité large, ouvert pour une inégalité stricte, et TOUJOURS ouvert du côté de $+\infty$ et de $-\infty$ .
• $\cap$ demande les deux conditions à la fois : on garde la plus grande borne gauche et la plus petite borne droite.
• $\cup$ ne se recolle en un seul intervalle que si les deux morceaux se chevauchent ou se touchent.

Savoir passer d'une écriture à l'autre dans les deux sens est la compétence notée du chapitre : les énoncés donnent l'une et demandent l'autre.

Décimal ou non : le test se fait après simplification

• Une fraction IRRÉDUCTIBLE est décimale si et seulement si son dénominateur s'écrit $2^a\times 5^b$ .
• $\frac{7}{40}$ : $40=2^3\times 5$ , donc décimal, $\frac{7}{40}=0{,}175$ .
• $\frac{5}{12}$ : $12=2^2\times 3$ , le facteur $3$ ne disparaîtra jamais d'une puissance de $10$ , donc non décimal.
• Tout rationnel a un développement décimal périodique à partir d'un certain rang ; réciproquement, un développement périodique se remet en fraction par décalage.
• $0{,}2727\ldots$ : on pose $x=0{,}2727\ldots$ , alors $100x-x=27$ donc $x=\frac{27}{99}=\frac{3}{11}$ .

La périodicité est la frontière entre $\mathbb{Q}$ et $\mathbb{R}$ : $\sqrt{2}$ et $\pi$ n'ont pas de période, c'est pour cela qu'ils ne sont quotients d'aucun couple d'entiers.

Les pièges qui coûtent des points

Les erreurs ci-dessous sont celles que je corrige le plus souvent en séance. Chacune coûte des points sur une copie, même quand le raisonnement est juste.

1. Ne garder qu'une seule borne en résolvant une inéquation avec valeur absolue

toute la question, 3 points

Ce qu'il ne faut pas écrire

« $|x-3|\le 5$ donc $x-3\le 5$ , donc $x\le 8$ . »

Ce qu'il faut écrire

« $|x-3|\le 5$ signifie que $x$ est à une distance d'au plus $5$ du nombre $3$ , donc $-2\le x\le 8$ , c'est-à-dire $x\in[-2\ ;\ 8]$ . »

La réponse fausse va jusqu'à l'infini à gauche : elle accepte

-7

, qui est pourtant à

10

du centre

3

. La bonne réponse est un segment centré.

Pourquoi : Une valeur absolue enlevée sans précaution ne garde que le cas positif. Le contre-exemple se fabrique en cinq secondes : $-7$ vérifie $x\le 8$ alors que $|-7-3|=10$ .

2. Prendre l'affichage de la calculatrice pour le nombre

1 point, et souvent la question de démonstration qui suit

Ce qu'il ne faut pas écrire

« La calculatrice donne $\sqrt{2}=1{,}414213562$ , donc $\sqrt{2}$ est un nombre décimal. »

Ce qu'il faut écrire

« $1{,}414213562$ est une valeur approchée : son carré vaut $1{,}999999998\ldots$ et non $2$ . On écrit $\sqrt{2}\approx 1{,}414$ , jamais avec un signe $=$ . »

Pourquoi : La machine ne sait afficher que des décimaux : elle ne peut donc jamais prouver qu'un nombre en est un. C'est le fil de tout le chapitre.

3. Tester le dénominateur avant d'avoir rendu la fraction irréductible

2 points

Ce qu'il ne faut pas écrire

« $\frac{21}{56}$ : $56=2^3\times 7$ , il y a un facteur $7$ , donc ce n'est pas un nombre décimal. »

Ce qu'il faut écrire

« $\frac{21}{56}=\frac{3\times 7}{8\times 7}=\frac{3}{8}$ , et $8=2^3$ : la fraction EST décimale, $\frac{21}{56}=0{,}375$ . »

Pourquoi : La règle du dénominateur ne parle que de la forme irréductible. Le réflexe à installer : simplifier d'abord, décomposer ensuite.

4. Lire $|x+2|$ comme la distance de $x$ à $2$

toute la question

Ce qu'il ne faut pas écrire

« $|x+2|<1$ : $x$ est à moins de $1$ de $2$ , donc $1<x<3$ . »

Ce qu'il faut écrire

« $|x+2|=|x-(-2)|$ : $x$ est à moins de $1$ de $-2$ , donc $-3<x<-1$ . »

Pourquoi : Le centre est le nombre qu'on SOUSTRAIT. Réécrire systématiquement le $+$ en $-(-\ldots)$ avant de lire coûte trois secondes et supprime l'erreur.

5. Recoller deux intervalles qui ne se touchent pas

2 points

Ce qu'il ne faut pas écrire

« $[2\ ;\ 5]\cup[7\ ;\ 9]=[2\ ;\ 9]$ . »

Ce qu'il faut écrire

« Les deux intervalles sont disjoints : la réunion reste en deux morceaux et s'écrit $[2\ ;\ 5]\cup[7\ ;\ 9]$ . Ce n'est pas un intervalle, car $6$ est entre deux éléments sans y appartenir. »

Le trou en

6

se voit :

2

9

appartiennent à la réunion,

6

non. Une réunion ne se recolle que si les morceaux se chevauchent ou se touchent.

Pourquoi : Un intervalle contient tout ce qui est entre deux de ses éléments : c'est sa définition, et c'est le seul test à faire.

6. Fermer le crochet du côté de l'infini

0,5 point par question, donc plusieurs points sur une copie

Ce qu'il ne faut pas écrire

« $x\ge 2$ donc $x\in[2\ ;\ +\infty]$ . »

Ce qu'il faut écrire

« $x\ge 2$ donc $x\in[2\ ;\ +\infty[$ : le crochet est toujours ouvert du côté de l'infini. »

Pourquoi : $+\infty$ n'est pas un nombre : il ne peut appartenir à aucun ensemble de nombres. Le crochet fermé affirmerait le contraire.

7. Croire que $|x|=-x$ donne un résultat négatif

1 point, et la définition perdue pour l'année

Ce qu'il ne faut pas écrire

« $|x|=-x$ est impossible : une valeur absolue ne peut pas être négative. »

Ce qu'il faut écrire

« Si $x<0$ , alors $-x>0$ : par exemple $|-5|=-(-5)=5$ . L'écriture $|x|=-x$ est la bonne pour $x<0$ . »

Pourquoi : $-x$ n'est pas « un nombre négatif », c'est l'opposé de $x$ . La confusion resurgit en Première dans les études de signe.

8. Multiplier deux encadrements sans vérifier le signe des bornes

2 points

Ce qu'il ne faut pas écrire

« $-3<x<2$ et $-1<y<4$ , donc $3<xy<8$ . »

Ce qu'il faut écrire

« Les bornes ne sont pas toutes positives : on calcule les quatre produits $(-3)(-1)=3$ , $(-3)(4)=-12$ , $2\times(-1)=-2$ , $2\times 4=8$ , puis on prend le plus petit et le plus grand : $-12<xy<8$ . »

Pourquoi : La multiplication membre à membre n'est licite que si toutes les bornes sont positives. L'addition, elle, est toujours licite : $-4<x+y<6$ .

9. Conclure « il y a un radical, donc c'est irrationnel »

1 point, et la même erreur sur $\frac{\sqrt{18}}{\sqrt{2}}$

Ce qu'il ne faut pas écrire

« $(2+\sqrt{3})(2-\sqrt{3})$ contient des racines carrées, donc c'est un nombre irrationnel. »

Ce qu'il faut écrire

« On calcule d'abord : $(2+\sqrt{3})(2-\sqrt{3})=4-3=1$ , donc ce nombre appartient à $\mathbb{N}$ . »

Pourquoi : La nature d'un nombre se lit sur sa valeur, pas sur son écriture de départ. Deux irrationnels peuvent parfaitement avoir un produit entier.

Quelle méthode choisir

De quel ensemble ce nombre est-il le plus petit habitant ?

L'écriture du nombre APRÈS calcul et après simplification de la fraction.

Si l'écriture décimale s'arrête, ou fraction irréductible de dénominateur $2^a\times 5^b$ → décimal : il est dans $\mathbb{D}$ , et dans $\mathbb{Z}$ ou $\mathbb{N}$ s'il n'y a pas de virgule

Exemple : $\frac{7}{40}=0{,}175$

décomposer le dénominateur, jamais le numérateur
Si fraction irréductible dont le dénominateur a un facteur premier autre que $2$ et $5$ → rationnel non décimal : dans $\mathbb{Q}$ , pas dans $\mathbb{D}$

Exemple : $\frac{5}{12}=0{,}41666\ldots$

le développement est périodique à partir d'un certain rang
Si développement décimal illimité et PÉRIODIQUE → rationnel : le remettre en fraction par décalage

Exemple : $0{,}2727\ldots=\frac{27}{99}=\frac{3}{11}$

on multiplie par $10^k$ où $k$ est la longueur de la période
Si racine carrée d'un entier qui n'est pas un carré parfait, ou $\pi$ , ou un multiple non nul de l'un des deux → irrationnel : dans $\mathbb{R}$ seulement

Exemple : $4\sqrt{2}$ , car $\sqrt{2}$ ne l'est pas

se démontre par l'absurde, voir le bloc rédaction
Si l'écriture contient des radicaux mais se simplifie → calculer AVANT de conclure, la réponse est souvent entière

Exemple : $\frac{\sqrt{18}}{\sqrt{2}}=\sqrt{9}=3$

identités remarquables et $\frac{\sqrt a}{\sqrt b}=\sqrt{\frac a b}$

Aucune branche ne se lit sur l'écriture donnée par l'énoncé : toutes se lisent sur l'écriture obtenue après simplification. C'est l'unique difficulté de cet arbre.

Valeur absolue : quelle FORME aura la réponse ?

Le sens de l'inégalité, une fois le centre $a$ et le rayon $r$ identifiés dans $|x-a|$ .

Même centre

3

, même rayon

5

: l'inégalité large donne un seul morceau avec des points pleins, l'inégalité stricte inversée en donne deux avec des points vides.

Si $|x-a|=r$ avec $r>0$ → DEUX nombres, $a-r$ et $a+r$

Exemple : $|x-3|=5$ donne $x=-2$ ou $x=8$

réponse écrite en ensemble : $\{-2\ ;\ 8\}$
Si $|x-a|\le r$ ou $|x-a|<r$ → UN intervalle, $[a-r\ ;\ a+r]$ ou $]a-r\ ;\ a+r[$

Exemple : $|x-3|\le 5$ donne $[-2\ ;\ 8]$

le crochet suit le sens : large donc fermé
Si $|x-a|\ge r$ ou $|x-a|>r$ → DEUX morceaux, une demi-droite de chaque côté

Exemple : $|x-3|>5$ donne $]-\infty\ ;\ -2[\ \cup\ ]8\ ;\ +\infty[$

les crochets du milieu sont l'inverse de ceux du cas large
Si $|x-a|\le r$ avec $r<0$ → aucune solution, l'ensemble est vide

Exemple : $|x-3|\le -1$ n'a pas de solution

une distance n'est jamais négative
Si on part d'un intervalle $[m\ ;\ M]$ et l'on veut la valeur absolue → centre $a=\frac{m+M}{2}$ , rayon $r=\frac{M-m}{2}$

Exemple : $[1\ ;\ 9]$ donne $|x-5|\le 4$

impossible si les deux crochets ne sont pas de même type

La rédaction attendue

Le correcteur coche des étapes. Les voici dans l'ordre, avec la phrase de conclusion qu'il attend mot pour mot.

Démontrer qu'un nombre est irrationnel

Quand l'utiliser : L'énoncé dit « démontrer que $\sqrt{2}$ n'est pas rationnel », ou « que $\frac{1}{3}$ n'est pas décimal ». Un « ne pas » appelle presque toujours un raisonnement par l'absurde.

1 Annoncer le raisonnement : « Supposons par l'absurde que $\sqrt{2}$ est rationnel. » Cette phrase vaut un point à elle seule.
2 Poser l'écriture avec ses hypothèses complètes : « il existe alors des entiers $p$ et $q$ , avec $q\ne 0$ , tels que $\sqrt{2}=\frac{p}{q}$ , la fraction étant IRRÉDUCTIBLE. » L'irréductibilité est ce qui produira la contradiction.
3 Élever au carré et chasser le dénominateur : $2=\frac{p^2}{q^2}$ donc $p^2=2q^2$ .
4 Utiliser le lemme démontré à part : $p^2$ est pair, donc $p$ est pair (par contraposée de « $n$ impair $\Rightarrow n^2$ impair »).
5 Reporter $p=2k$ : $4k^2=2q^2$ donc $q^2=2k^2$ , donc $q$ est pair pour la même raison.
6 NOMMER la contradiction : « $p$ et $q$ sont tous deux pairs, donc la fraction se simplifie par $2$ , ce qui contredit l'hypothèse d'irréductibilité. »

Phrase de conclusion

« L'hypothèse de départ est donc fausse : $\sqrt{2}$ n'est pas un nombre rationnel. »

Le piège : Sauter le lemme « $n^2$ pair $\Rightarrow n$ pair » et l'écrire comme une évidence. C'est justement l'étape qui utilise que $2$ est premier, et sans elle la démonstration prouverait aussi que $\sqrt{4}$ est irrationnel, ce qui est faux.

Barème : 1 point pour l'hypothèse d'absurde, 1 pour l'irréductibilité annoncée, 2 pour les deux passages par le lemme, 1 pour la contradiction nommée.

Résoudre une inéquation avec valeur absolue

Quand l'utiliser : Dès qu'une inéquation contient $|\ldots|$ en Seconde. La disjonction de cas n'est pas nécessaire : la lecture en distance va deux fois plus vite et se trompe deux fois moins.

1 Réécrire l'expression sous la forme $|x-a|$ : « $|x+2|=|x-(-2)|$ », de sorte que le centre soit visible.
2 Nommer le centre et le rayon : « le centre est $-2$ , le rayon est $1$ ».
3 Traduire en phrase : « $x$ est à une distance strictement inférieure à $1$ du nombre $-2$ ».
4 Écrire l'encadrement : $-2-1<x<-2+1$ , soit $-3<x<-1$ .
5 Conclure en intervalle, avec les crochets qui correspondent au sens de l'inégalité.
6 Vérifier avec un témoin de chaque zone : $x=-2$ convient, $x=0$ ne convient pas.

Phrase de conclusion

« L'ensemble des solutions est $S=]-3\ ;\ -1[$ . »

Le piège : Écrire l'ensemble des solutions sans le nommer $S$ et sans crochets, sous la forme d'une simple inégalité. La consigne « résoudre » attend un ENSEMBLE.

Barème : 1 point pour le centre et le rayon, 2 pour l'encadrement, 1 pour l'écriture en intervalle avec les bons crochets.

Vérifier avant de rendre

Cinq minutes de vérification récupèrent plus de points qu'un exercice de plus commencé à la hâte.

Réinjecter les bornes dans l'énoncé

Prenez chaque borne de votre réponse et calculez la distance annoncée. Pour $|x-3|\le 5$ et la réponse $[-2\ ;\ 8]$ : $|-2-3|=5$ et $|8-3|=5$ . Les deux doivent donner exactement le rayon.

Si une borne donne $10$ au lieu de $5$ , vous avez additionné au lieu de soustraire le rayon.
Compter les morceaux avant de rendre

Une inégalité $\le$ ou $<$ sur une valeur absolue donne UN morceau, une inégalité $\ge$ ou $>$ en donne DEUX. Regardez votre réponse : le nombre de morceaux doit correspondre au sens de l'inégalité.

Deux morceaux en réponse à $|x-3|\le 5$ : la valeur absolue a été distribuée au lieu d'être lue en distance.
Relire tous les crochets d'infini

Passez sur la copie en cherchant $\infty$ : aucun crochet ne doit être fermé de ce côté. C'est un contrôle de dix secondes qui rapporte souvent un point entier sur un devoir.

$[2\ ;\ +\infty]$ est faux, $[2\ ;\ +\infty[$ est juste.
Contrôler un encadrement en élevant au carré

Pour vérifier $1{,}41<\sqrt{2}<1{,}42$ sans faire confiance à l'écran : $1{,}41^2=1{,}9881$ est plus petit que $2$ et $1{,}42^2=2{,}0164$ est plus grand. La fonction carré étant croissante sur les positifs, l'encadrement est prouvé.

Si les deux carrés tombent du même côté de $2$ , l'encadrement est faux, même si l'écran affiche le bon nombre.
Faire afficher la fraction, pas sa valeur approchée

Pour décider si une fraction est décimale, entrez-la en mode fraction puis convertissez : si l'écriture s'arrête avant le bord de l'écran, c'est un décimal. Si elle remplit l'écran, regardez la décomposition du dénominateur, pas l'écran.

$\frac{1}{7}$ remplit l'écran sans que cela prouve quoi que ce soit : $\frac{1}{7}$ est rationnel, donc périodique.

L'exercice type décortiqué

Deux conditions à la fois : $|x-4|\le 6$ et $|x+1|>2$

Déterminer l'ensemble $S$ des réels $x$ vérifiant simultanément $|x-4|\le 6$ et $|x+1|>2$ , puis l'écrire en intervalles.

Cet exercice concentre les quatre pièges du chapitre : le centre caché derrière un $+$ , le sens de l'inégalité qui décide de la forme, l'intersection, et les crochets.

La condition 1 est un segment, la condition 2 est en deux morceaux : ce qui reste est l'intersection, un seul intervalle dont la borne gauche est ouverte et la borne droite fermée.

Étape 1

$|x-4|\le 6$ : centre $4$ , rayon $6$ , donc $4-6\le x\le 4+6$ , soit $x\in[-2\ ;\ 10]$ .

Pourquoi

L'inégalité est large et dans le sens $\le$ : la réponse sera d'un seul morceau, avec des crochets fermés. Décider de la FORME avant de calculer évite de se relire trois fois.

Étape 2

$|x+1|=|x-(-1)|$ : le centre est $-1$ , pas $1$ . Le rayon est $2$ .

Pourquoi

C'est la seule étape où l'on perd des points sans s'en apercevoir. La réécriture explicite du $+$ en $-(-1)$ est ce qui la sécurise.

Étape 3

$|x-(-1)|>2$ : la distance dépasse le rayon, donc $x<-1-2$ ou $x>-1+2$ , soit $x<-3$ ou $x>1$ .

Pourquoi

Le sens $>$ impose deux morceaux. Écrire « ou » et non « et » : aucun réel n'est à la fois à gauche de $-3$ et à droite de $1$ .

Étape 4

Intersection avec $[-2\ ;\ 10]$ : la partie $x<-3$ ne rencontre pas $[-2\ ;\ 10]$ , elle disparaît.

Pourquoi

Un morceau qui s'évanouit à l'intersection est normal et doit être dit, pas effacé en silence : le correcteur veut voir que les deux morceaux ont été examinés.

Étape 5

Il reste $[-2\ ;\ 10]\cap\ ]1\ ;\ +\infty[\ =\ ]1\ ;\ 10]$ .

Pourquoi

Borne gauche la plus grande, borne droite la plus petite, et chaque crochet vient de l'intervalle qui a fourni la borne : $1$ était exclu, il reste exclu.

Étape 6

Témoins : $x=0$ vérifie la première condition mais pas la seconde, car $|0+1|=1$ n'est pas $>2$ ; $x=2$ vérifie les deux ; $x=11$ ne vérifie pas la première.

Pourquoi

Un témoin par zone suffit à valider les bornes. C'est plus rapide que de refaire le calcul et cela teste autre chose.

Étape 7

L'ensemble $]1\ ;\ 10]$ ne peut PAS s'écrire sous la forme $|x-a|\le r$ .

Pourquoi

Les deux crochets sont de types différents : une écriture en distance impose la même nature aux deux bornes. Savoir dire qu'une écriture est impossible fait partie du chapitre.

Conclusion rédigée

« L'ensemble des solutions est $S=\ ]1\ ;\ 10]$ . »

L'erreur classique sur cet exercice : Traiter la seconde condition comme un intervalle, en écrivant $-3<x<1$ au lieu de « $x<-3$ ou $x>1$ ». On obtient alors $[-2\ ;\ 1[$ , qui est exactement le complémentaire de la bonne réponse dans $[-2\ ;\ 10]$ : le correcteur voit immédiatement que le sens de l'inégalité a été inversé.

À savoir par cœur

• $\mathbb{N}\subset\mathbb{Z}\subset\mathbb{D}\subset\mathbb{Q}\subset\mathbb{R}$ , les quatre inclusions étant STRICTES.
• Décimal veut dire « écriture décimale FINIE », c'est-à-dire de la forme $\frac{a}{10^n}$ avec $a$ entier.
• Une fraction IRRÉDUCTIBLE est décimale si et seulement si son dénominateur s'écrit $2^a\times 5^b$ .
• Rationnel équivaut à développement décimal périodique ; $\sqrt{2}$ et $\pi$ n'en ont pas.
• $|a-b|$ est la distance de $a$ à $b$ , donc $|a-b|=|b-a|$ et $|x|\ge 0$ toujours.
• $|x-a|\le r$ équivaut à $x\in[a-r\ ;\ a+r]$ : UN morceau. $|x-a|>r$ en donne DEUX.
• $[m\ ;\ M]$ s'écrit $|x-a|\le r$ avec $a=\frac{m+M}{2}$ et $r=\frac{M-m}{2}$ .
• Le crochet est toujours ouvert du côté de $+\infty$ et de $-\infty$ .
• On additionne deux encadrements sans condition ; on ne les multiplie membre à membre que si toutes les bornes sont positives.
• Arrondir n'est pas tronquer : $0{,}4567$ donne $0{,}46$ et $0{,}45$ .

Questions fréquentes

Comment savoir si une fraction est un nombre décimal ?

Rendez d'abord la fraction irréductible, puis décomposez son dénominateur en facteurs premiers. Si vous n'y trouvez que des 2 et des 5, la fraction est décimale et son écriture s'arrête. Dès qu'un autre facteur premier apparaît, comme 3 ou 7, elle ne l'est pas. Vingt et un cinquante-sixièmes vaut trois huitièmes, donc zéro virgule 375 : le test se fait après simplification.

Quelle est la différence entre un nombre rationnel et un nombre irrationnel ?

Un nombre rationnel est un quotient de deux entiers, et son écriture décimale finit toujours par se répéter, périodiquement. Un nombre irrationnel n'est le quotient d'aucun couple d'entiers et son écriture ne se répète jamais. La racine de 2 et pi sont irrationnels ; un tiers est rationnel, même si son écriture ne s'arrête pas.

Comment résoudre une inéquation avec une valeur absolue en seconde ?

Lisez la valeur absolue comme une distance. Mettez l'expression sous la forme x moins a pour voir le centre a, puis le nombre à droite est le rayon. Une inégalité inférieure donne un seul intervalle, centré en a et de demi-longueur le rayon. Une inégalité supérieure donne deux demi-droites, une de chaque côté. Aucune disjonction de cas n'est nécessaire.

Pourquoi le crochet est-il toujours ouvert devant l'infini ?

Parce que l'infini n'est pas un nombre : ce n'est pas un élément de l'ensemble des réels, donc il ne peut appartenir à aucun intervalle. Un crochet fermé signifie « cette borne fait partie de l'ensemble », ce qui n'aurait aucun sens ici. On écrit donc toujours crochet ouvert devant plus l'infini et derrière moins l'infini.

Comment passer d'un intervalle à une écriture avec valeur absolue ?

Calculez le centre, qui est le milieu des deux bornes, donc leur somme divisée par deux. Calculez ensuite le rayon, qui est la demi-longueur, donc la différence des bornes divisée par deux. L'intervalle de 1 à 9 a pour centre 5 et pour rayon 4, il s'écrit donc valeur absolue de x moins 5 inférieure ou égale à 4.

Est-ce que la racine de 2 est un nombre décimal ?

Non, et elle n'est même pas rationnelle. La calculatrice affiche 1,414213562, mais ce nombre est seulement une valeur approchée : son carré vaut 1,999999998 et non 2. On démontre par l'absurde que la racine de 2 ne peut pas s'écrire comme un quotient de deux entiers, donc son écriture décimale ne s'arrête ni ne se répète.

Passer à la pratique

Exercices corrigés : Ensembles de nombres et intervalles

Une méthode se prouve sur une copie, pas sur une fiche. La série du même chapitre reprend chacun de ces pièges dans un exercice, avec le corrigé rédigé étape par étape.

16 exercices corrigés
160 points
240 minutes

Faire les exercices

Fiche précédente Les trois identités remarquables Fiche suivante Division euclidienne, restes et nombres premiers

Ce chapitre resservira dans

Les chapitres qui le réclament en amont, plus tard dans l'année ou dans les années suivantes.

Inéquations et inégalités

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Fiche de révision : ensembles de nombres, intervalles et valeur absolue (Seconde)

L'essentiel

Les cinq ensembles, et l'habitant propre de chacun

Trois écritures du même ensemble de solutions

Décimal ou non : le test se fait après simplification

Les pièges qui coûtent des points

1. Ne garder qu'une seule borne en résolvant une inéquation avec valeur absolue

2. Prendre l'affichage de la calculatrice pour le nombre

3. Tester le dénominateur avant d'avoir rendu la fraction irréductible

4. Lire ∣x+2∣|x+2|∣x+2∣ comme la distance de xxx à 222

5. Recoller deux intervalles qui ne se touchent pas

6. Fermer le crochet du côté de l'infini

7. Croire que ∣x∣=−x|x|=-x∣x∣=−x donne un résultat négatif

8. Multiplier deux encadrements sans vérifier le signe des bornes

9. Conclure « il y a un radical, donc c'est irrationnel »

Quelle méthode choisir

De quel ensemble ce nombre est-il le plus petit habitant ?

Valeur absolue : quelle FORME aura la réponse ?

La rédaction attendue

Démontrer qu'un nombre est irrationnel

Résoudre une inéquation avec valeur absolue

Vérifier avant de rendre

L'exercice type décortiqué

Deux conditions à la fois : ∣x−4∣≤6|x-4|\le 6∣x−4∣≤6 et ∣x+1∣>2|x+1|>2∣x+1∣>2

À savoir par cœur

Questions fréquentes

Comment savoir si une fraction est un nombre décimal ?

Quelle est la différence entre un nombre rationnel et un nombre irrationnel ?

Comment résoudre une inéquation avec une valeur absolue en seconde ?

Pourquoi le crochet est-il toujours ouvert devant l'infini ?

Comment passer d'un intervalle à une écriture avec valeur absolue ?

Est-ce que la racine de 2 est un nombre décimal ?

Exercices corrigés : Ensembles de nombres et intervalles

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4. Lire $|x+2|$ comme la distance de $x$ à $2$

7. Croire que $|x|=-x$ donne un résultat négatif

Deux conditions à la fois : $|x-4|\le 6$ et $|x+1|>2$