Seconde, programme français à Montréal • Calcul

Fiche de révision : division euclidienne, restes et nombres premiers

Q: Pourquoi le reste ne peut-il pas être négatif ?

Parce que la condition fait partie de la définition, au même titre que l'égalité. Le but de la division euclidienne est de ranger chaque entier dans une case, et il y a exactement autant de cases que le diviseur en indique, numérotées de zéro au diviseur moins un. Si on autorisait les restes négatifs, un même nombre tomberait dans deux cases différentes et l'unicité disparaîtrait. Quand le dividende est négatif, on descend donc le quotient d'une unité, ce qui remonte le reste dans le bon intervalle.

Q: À quoi sert de calculer sur les restes plutôt que sur les nombres ?

À répondre à des questions qu'aucune calculatrice ne peut afficher. Le chiffre des unités de sept élevé à la puissance deux mille vingt-six se trouve en trois lignes, alors que le nombre lui-même compte plus de mille sept cents chiffres. Le principe est simple : pour connaître le reste d'une somme ou d'un produit, il suffit des restes des termes, donc de nombres à un seul chiffre. C'est la première fois de la scolarité qu'on calcule sur des classes de nombres au lieu des nombres eux-mêmes.

Q: Faut-il vraiment démontrer les critères de divisibilité ?

Oui, et c'est une nouveauté de la Seconde. Le collège les donne comme des recettes, le lycée demande de savoir d'où ils viennent. La démonstration tient en deux lignes et repose sur un seul fait : toutes les puissances de dix laissent le même reste dans la division par neuf, à savoir un. Le critère par onze se démontre de la même façon, sauf que les puissances de dix y valent alternativement un et moins un, ce qui explique l'alternance des signes.

Q: Jusqu'où faut-il tester pour savoir si un nombre est premier ?

Jusqu'à sa racine carrée, et seulement parmi les nombres premiers. La raison est que si le nombre se décompose en un produit de deux facteurs, le plus petit des deux est nécessairement inférieur ou égal à la racine carrée : sinon, leur produit dépasserait le nombre. Ne rien trouver jusque-là prouve donc qu'il n'y a rien à trouver au-delà. En évaluation, il faut écrire cette justification et encadrer la racine par deux carrés connus, car c'est elle qui rapporte les points.

Q: La démonstration d'Euclide dit-elle que le produit plus un est premier ?

Non, et c'est l'erreur la plus répandue sur cette démonstration. Le produit des six premiers nombres premiers, augmenté de un, vaut trente mille trente et un, qui se factorise en cinquante-neuf fois cinq cent neuf : il n'est donc pas premier. Ce que l'argument utilise est beaucoup plus modeste : ce nombre laisse le reste un dans la division par chacun des premiers de la liste, donc aucun d'eux ne le divise, donc ses facteurs premiers sont tous absents de la liste. Cela suffit à conclure qu'aucune liste finie n'est complète.

Q: Ce chapitre reprend-il le programme de Troisième ?

Non, il le prolonge. Le collège installe le vocabulaire, le plus grand diviseur commun, l'algorithme d'Euclide et les fractions irréductibles, et ces notions restent supposées connues sans être retravaillées ici. La Seconde ajoute la division euclidienne prise pour elle-même avec son unicité, le calcul sur les restes, les critères démontrés au lieu d'être récités, et les premiers résultats de théorie des nombres. Le changement de posture compte autant que le contenu : on cesse de chercher pour commencer à déduire.

Cette fiche de révision accompagne le chapitre d'arithmétique du programme de Seconde : division euclidienne, calculs sur les restes, critères de divisibilité, décomposition en facteurs premiers et nombres premiers.

Elle ne redit pas le cours. Elle dit ce qui coûte des points en évaluation, ce que le correcteur attend exactement, et les contrôles à faire avant de rendre la copie.

Le fil du chapitre

En Troisième on CHERCHE les diviseurs, en Seconde on les DÉDUIT. Deux théorèmes d'unicité font tout le travail : celui du couple quotient-reste, qui interdit un reste négatif, et celui de la décomposition en facteurs premiers, qui permet de compter les diviseurs sans en écrire un seul.

Ce chapitre fait partie de Mathématiques en Seconde

Avant ce chapitre

Cette fiche suppose ces notions acquises. Si une méthode ci-dessous reste opaque, c'est presque toujours l'une d'elles qui manque, pas la fiche.

PGCD, Euclide et fractions irréductiblesTroisième Fiche

Remonter plus loin : la chaîne complète (3 chapitres) ↓

Le chemin de remédiation, du plus ancien au plus proche. Un élève qui reprend ce chapitre de zéro le reprend dans cet ordre.

1Multiples, diviseurs et divisibilitéSixième
2Multiples, diviseurs et nombres premiersQuatrième
3PGCD, Euclide et fractions irréductiblesTroisième

Notions couvertes

Division euclidienne
Unicité du reste
Calcul sur les restes
Cycle des chiffres des unités
Critère de divisibilité
Décomposition en facteurs premiers
Nombre de diviseurs
Test de primalité
Infinité des nombres premiers
Changement de base

L'essentiel

La division euclidienne, et la condition qui ne se négocie pas

• Pour $a$ entier et $b$ entier strictement positif, il existe un UNIQUE couple $(q\,;r)$ tel que $a=bq+r$ avec $0\leqslant r<b$ . Les deux mots importants sont « unique » et « et ».
• La condition $0\leqslant r<b$ fait partie de la définition. Une égalité $a=bq+r$ avec un reste hors de cet intervalle est vraie, mais ce n'est PAS la division euclidienne.
• Quand $a$ est négatif, le quotient descend d'un cran : $-17=5\times(-4)+3$ , et non $5\times(-3)-2$ . Le reste reste positif, c'est le quotient qui absorbe le signe.
• Le quotient est la partie entière de $\dfrac{a}{b}$ , c'est-à-dire l'arrondi PAR DÉFAUT, jamais la troncature affichée par la calculatrice sur un nombre négatif.
• L'unicité se démontre en une ligne : si $bq+r=bq'+r'$ , alors $b(q-q')=r'-r$ est un multiple de $b$ de valeur absolue inférieure à $b$ , donc nul.

Le quotient est le multiple de GAUCHE, celui que

a

vient de dépasser, et le reste est la distance qui les sépare.

Calculer sur les restes au lieu des nombres

• Le reste d'une SOMME par $n$ est le reste de la somme des restes. Le reste d'un PRODUIT est le reste du produit des restes. C'est ce qui permet de ne jamais écrire le grand nombre.
• Si la valeur obtenue atteint ou dépasse $n$ , il faut RÉDUIRE ENCORE : modulo $5$ , $3+4$ donne $2$ , pas $7$ .
• Le chiffre des unités est le reste par $10$ . Les puissances successives d'un entier ont donc des unités qui forment un CYCLE, de longueur au plus $10$ .
• Pour placer un exposant dans un cycle de longueur $L$ , on calcule son reste par $L$ . Un reste NUL désigne la DERNIÈRE position du cycle, jamais la première.
• Le cycle existe toujours : chaque terme ne dépend que du précédent, et il n'y a qu'un nombre fini de valeurs possibles, donc l'une se répète et tout se répète après elle.

L'unicité de la décomposition, et ce qu'elle permet

• Tout entier supérieur ou égal à $2$ s'écrit comme un produit de nombres premiers, et cette écriture est UNIQUE à l'ordre près. Le programme l'admet, mais demande de s'en servir.
• Conséquence directe : si $2^{a}\times 3^{b}=2^{c}\times 3^{d}$ , alors $a=c$ et $b=d$ . C'est l'argument qui prouve qu'un entier n'est pas un carré, ni un cube.
• NOMBRE DE DIVISEURS : si $n=p^{\alpha}q^{\beta}\cdots$ , alors $n$ a $(\alpha+1)(\beta+1)\cdots$ diviseurs. Chaque « plus un » correspond à l'exposant $0$ , c'est-à-dire au cas où le premier n'apparaît pas.
• TEST DE PRIMALITÉ : si $n=ab$ avec $1<a\leqslant b$ , alors $a^{2}\leqslant ab=n$ , donc $a\leqslant\sqrt{n}$ . Chercher un diviseur jusqu'à $\sqrt{n}$ suffit, et parmi les seuls nombres premiers.
• IL EXISTE UNE INFINITÉ DE NOMBRES PREMIERS : si la liste $p_{1},\ldots,p_{k}$ était complète, $N=p_{1}\cdots p_{k}+1$ aurait un facteur premier absent de la liste, puisque chaque $p_{i}$ y laisse le reste $1$ .

Les pièges qui coûtent des points

Les erreurs ci-dessous sont celles que je corrige le plus souvent en séance. Chacune coûte des points sur une copie, même quand le raisonnement est juste.

1. Écrire un reste négatif

toute la question, et toutes celles qui s'appuient dessus

Ce qu'il ne faut pas écrire

$-17=5\times(-3)-2$ , donc $q=-3$ et $r=-2$

Ce qu'il faut écrire

$-17=5\times(-4)+3$ , donc $q=-4$ et $r=3$

Pourquoi : La condition $0\leqslant r<b$ est dans la définition, pas dans les conventions d'écriture. Un reste négatif n'est pas un reste. Le réflexe qui sauve : une fois le couple trouvé, on relit la condition à voix basse, et si le reste est négatif on descend le quotient d'une unité, ce qui ajoute $b$ au reste.

2. Confondre le quotient et l'affichage de la calculatrice

toute la question, et l'erreur est invisible sur les nombres positifs

Ce qu'il ne faut pas écrire

$\dfrac{-17}{5}=-3{,}4$ , donc le quotient est $-3$

Ce qu'il faut écrire

Le quotient est la partie entière, donc l'arrondi PAR DÉFAUT, soit $-4$

Le multiple de gauche est

-20

, donc

q=-4

et le reste est la distance de

-20

-17

, soit

3

Pourquoi : Pour un dividende positif, troncature et partie entière coïncident, et l'habitude se prend sans dommage. Elle se retourne dès le premier nombre négatif. Retenir que le quotient est le multiple de GAUCHE sur la droite graduée règle le problème dans les deux cas.

3. Lire un reste nul comme la première position d'un cycle

toute la question, alors que tout le raisonnement était juste

Ce qu'il ne faut pas écrire

Le cycle vaut $3$ , $9$ , $7$ , $1$ ; $100$ a pour reste $0$ par $4$ , donc l'unité est $3$

Ce qu'il faut écrire

Un reste $0$ désigne la DERNIÈRE position, donc l'unité est $1$

Pourquoi : Le premier terme du cycle correspond à l'exposant $1$ , dont le reste par $4$ vaut $1$ . Le quatrième terme correspond à l'exposant $4$ , dont le reste vaut $0$ . Le contrôle qui attrape l'erreur : vérifier sur un petit exposant du cycle, ici $3^{4}=81$ , qui finit bien par $1$ .

4. Commencer la somme alternée par la gauche

1 à 2 points, et une conclusion fausse une fois sur deux

Ce qu'il ne faut pas écrire

Pour $91\,927$ : $9-1+9-2+7$

Ce qu'il faut écrire

On part des UNITÉS : $7-2+9-1+9=22$

Pourquoi : Le critère vient de ce que $10^{k}$ se comporte comme $(-1)^{k}$ , et l'exposant $k$ se compte à partir du chiffre des unités, qui est celui de $10^{0}$ . Sur un nombre à nombre pair de chiffres, partir de la gauche donne l'opposé : le verdict de divisibilité reste juste par accident, mais le RESTE annoncé est faux.

5. Oublier les « plus un » dans le nombre de diviseurs

toute la question, et l'écart entre $6$ et $24$ ne passe pas inaperçu

Ce qu'il ne faut pas écrire

$360=2^{3}\times 3^{2}\times 5$ a $3\times 2\times 1=6$ diviseurs

Ce qu'il faut écrire

$(3+1)(2+1)(1+1)=24$ diviseurs

Pourquoi : Un diviseur s'écrit $2^{i}3^{j}5^{k}$ avec $i$ allant de $0$ à $3$ : cela fait QUATRE valeurs, pas trois, car l'exposant $0$ est permis et correspond aux diviseurs impairs. Oublier le « plus un », c'est oublier que $9$ divise $360$ sans contenir aucun $2$ .

6. Tester la primalité jusqu'à $n-1$

rarement des points directement, mais la question devient infaisable en temps limité

Ce qu'il ne faut pas écrire

Pour savoir si $211$ est premier, essayer tous les entiers de $2$ à $210$

Ce qu'il faut écrire

Essayer les nombres premiers jusqu'à $\sqrt{211}$ , soit jusqu'à $13$

Pourquoi : Si $n$ n'est pas premier, il s'écrit $ab$ avec $1<a\leqslant b$ , et alors $a^{2}\leqslant n$ , donc $a\leqslant\sqrt{n}$ : le plus petit diviseur est forcément sous la racine. Six divisions au lieu de deux cent neuf, et il faut écrire la justification, car c'est elle qui est évaluée.

7. Énoncer la démonstration d'Euclide en affirmant que $N$ est premier

toute la démonstration, car l'affirmation est fausse

Ce qu'il ne faut pas écrire

« Le produit des nombres premiers, augmenté de $1$ , est un nouveau nombre premier »

Ce qu'il faut écrire

« Ce nombre a un facteur premier ABSENT de la liste », ce qui suffit

Pourquoi : Contre-exemple : $2\times 3\times 5\times 7\times 11\times 13+1=30\,031=59\times 509$ , qui n'est pas premier. L'argument n'a jamais eu besoin de cette affirmation : il lui suffit que chaque premier de la liste laisse le reste $1$ , donc ne divise pas $N$ , donc que le facteur premier de $N$ soit nouveau.

8. Lire les restes d'un changement de base dans l'ordre d'apparition

toute la question, le nombre obtenu n'ayant aucun rapport

Ce qu'il ne faut pas écrire

$44$ donne les restes $0$ , $0$ , $1$ , $1$ , $0$ , $1$ , donc $001101$

Ce qu'il faut écrire

On lit DE BAS EN HAUT : $101100$

Pourquoi : Le premier reste obtenu est celui des unités, donc le chiffre de DROITE ; le dernier est le chiffre de poids fort, donc celui de gauche. La vérification en recalculant la valeur décimale attrape l'erreur à coup sûr et coûte dix secondes.

Quelle méthode choisir

Quelle méthode, selon la question posée

Une question d'arithmétique en Seconde

Si On demande un quotient et un reste, ou une répartition concrète → Division euclidienne, et l'on vérifie $0\leqslant r<b$ avant de conclure

Exemple : $1\,754$ pièces par cartons de $24$ : $73$ cartons pleins et $2$ pièces
Si On demande un reste sur un très grand nombre, une somme ou un produit → On calcule sur les RESTES, sans jamais écrire le grand nombre

Exemple : Reste de $2\,026\times 2\,027$ par $5$ : $1\times 2=2$
Si On demande le chiffre des unités d'une puissance → On établit le cycle, puis on place l'exposant par son reste modulo la longueur

Exemple : $7^{2\,026}$ : cycle $7$ , $9$ , $3$ , $1$ et $2\,026$ a pour reste $2$ , donc $9$
Si On demande de compter ou de caractériser des diviseurs → Décomposition en facteurs premiers, puis formule $(\alpha+1)(\beta+1)\cdots$

Exemple : $360=2^{3}3^{2}5$ donne $4\times 3\times 2=24$ diviseurs
Si On demande si un entier est premier → On teste les premiers jusqu'à $\sqrt{n}$ , et l'on JUSTIFIE cette borne

Exemple : $877$ : on s'arrête à $29$ , car $29^{2}=841$ et $30^{2}=900$

Le tout premier réflexe, avant de choisir : repérer si la question porte sur UN nombre, auquel cas la décomposition tranche, ou sur une FAMILLE de nombres, auquel cas ce sont les restes qui tranchent. Cette lecture évite de décomposer un nombre à sept chiffres pour rien.

La rédaction attendue

Le correcteur coche des étapes. Les voici dans l'ordre, avec la phrase de conclusion qu'il attend mot pour mot.

Rédiger une division euclidienne et son exploitation

Quand l'utiliser : Chaque fois qu'un énoncé demande un quotient, un reste, ou une répartition sans perte

1 Annoncer les deux nombres et le sens : « division euclidienne de $a$ par $b$ ».
2 Donner l'encadrement par deux multiples consécutifs, qui fait apparaître le quotient.
3 Écrire l'égalité complète $a=bq+r$ , avec les valeurs numériques.
4 Vérifier explicitement que $0\leqslant r<b$ : c'est cette ligne qui est attendue.
5 Traduire $q$ et $r$ dans le contexte, en nommant ce que chacun compte.
6 Si la question demande un arrondi par excès, le distinguer du quotient et dire pourquoi.

Phrase de conclusion

« Division euclidienne de $1\,754$ par $24$ : $24\times 73=1\,752$ et $24\times 74=1\,776$ , donc $1\,754=24\times 73+2$ , avec $0\leqslant 2<24$ . Il y a donc $73$ cartons pleins et $2$ pièces restantes, ce qui impose de commander un $74^{\text{e}}$ carton. »

Le piège : Donner $73{,}08$ comme réponse. La division décimale ne répond pas à la question : elle ne dit rien des deux pièces restantes, qui sont précisément l'objet du problème.

Barème : 1 point pour l'encadrement, 2 points pour l'égalité complète, 1 point pour la vérification de la condition sur le reste, 2 points pour l'interprétation de $q$ et de $r$ . Un résultat juste sans l'égalité écrite plafonne à la moitié.

Vérifier avant de rendre

Cinq minutes de vérification récupèrent plus de points qu'un exercice de plus commencé à la hâte.

Le reste est dans le bon intervalle

On relit la condition $0\leqslant r<b$ . Un reste négatif ou supérieur ou égal au diviseur signale une erreur immédiate.

$-17=5\times(-4)+3$ : $0\leqslant 3<5$ , donc le couple est bon.
Reconstituer le dividende

On recalcule $bq+r$ et l'on doit retomber sur $a$ . Ce contrôle coûte cinq secondes et attrape toute erreur de table.

$24\times 73+2=1\,752+2=1\,754$ : c'est bien le nombre de départ.
Recalculer la valeur après un changement de base

On repart des puissances de la base et l'on doit retrouver le nombre initial. C'est le seul contrôle du sens de lecture des restes.

$101100$ en base $2$ vaut $32+8+4=44$ , le nombre de départ.
Recouper le nombre de diviseurs

La formule donne un nombre, la liste doit en contenir exactement autant. Sur un petit entier, on écrit la liste pour contrôler.

$60=2^{2}\times 3\times 5$ donne $3\times 2\times 2=12$ , et la liste compte bien douze nombres.
Le cycle testé sur un petit exposant

Avant d'appliquer un cycle à un exposant énorme, on le vérifie sur un exposant du cycle lui-même, dont on connaît la valeur.

$3^{4}=81$ finit par $1$ , ce qui confirme que le reste $0$ désigne la quatrième position.

L'exercice type décortiqué

Une question de synthèse : compter, décomposer, conclure

Un atelier doit répartir $1\,754$ pièces en paquets identiques, sans reste. Les formats disponibles vont de $10$ à $40$ pièces par paquet.

Montrez qu'aucun format ne convient, puis donnez le nombre total de diviseurs de $1\,754$ .

L'arbre s'arrête en deux branches :

1\,754

n'a que deux facteurs premiers, et c'est cette pauvreté qui interdit tout format intermédiaire.

Étape 1

Un format sans reste est un DIVISEUR de $1\,754$ . On cherche donc les diviseurs, et non les formats un par un.

Pourquoi

Essayer les trente et un formats reviendrait à faire trente et une divisions sans rien apprendre. La décomposition répond à la question générale, et elle donne au passage le compte demandé à la fin.

Étape 2

$1\,754$ est pair : $1\,754=2\times 877$ .

Pourquoi

On commence toujours par le plus petit premier. Une fois le facteur $2$ sorti, le cofacteur $877$ est impair, donc tous les facteurs restants le sont aussi.

Étape 3

Test de $877$ : on s'arrête à $29$ , car $29^{2}=841$ et $30^{2}=900$ , donc $\sqrt{877}$ est entre $29$ et $30$ .

Pourquoi

C'est le résultat du cours : si $877$ n'était pas premier, il aurait un diviseur inférieur ou égal à sa racine carrée. La borne doit être JUSTIFIÉE par l'encadrement des deux carrés, sinon elle n'est pas acceptée.

Étape 4

On essaie $2$ , $3$ , $5$ , $7$ , $11$ , $13$ , $17$ , $19$ , $23$ , $29$ : aucun ne divise $877$ , qui est donc premier.

Pourquoi

Dix divisions suffisent, et seulement sur des nombres premiers : tout diviseur composé aurait été détecté plus tôt par l'un de ses propres facteurs premiers. La somme des chiffres de $877$ vaut $22$ , ce qui écarte $3$ sans division.

Étape 5

La décomposition est $1\,754=2^{1}\times 877^{1}$ , donc le nombre de diviseurs vaut $(1+1)(1+1)=4$ .

Pourquoi

Ces quatre diviseurs sont $1$ , $2$ , $877$ et $1\,754$ . Aucun ne tombe entre $10$ et $40$ : le format demandé n'existe pas, et l'on peut l'affirmer pour TOUS les formats, pas seulement pour ceux qu'on a essayés.

Étape 6

Contrôle : $2\times 877=1\,754$ , et la liste des quatre diviseurs est cohérente avec la formule.

Pourquoi

Un entier de la forme « premier fois premier distinct » a toujours exactement quatre diviseurs. Si la formule avait donné autre chose, c'est que la décomposition était incomplète.

Conclusion rédigée

Aucun format entre $10$ et $40$ pièces ne partage $1\,754$ sans reste, car $1\,754=2\times 877$ avec $877$ premier, et ses quatre seuls diviseurs sont $1$ , $2$ , $877$ et $1\,754$ .

L'erreur classique sur cet exercice : Conclure après avoir essayé quelques formats. Tester $10$ , $12$ , $15$ , $20$ , $24$ et $30$ sans succès ne prouve rien sur les vingt-cinq autres : seule la décomposition permet d'affirmer quelque chose sur TOUS les formats à la fois.

À savoir par cœur

• $a=bq+r$ avec $0\leqslant r<b$ , et le couple est UNIQUE.
• Le reste n'est jamais négatif : c'est le quotient qui descend.
• Le quotient est la partie entière, pas la troncature.
• Reste d'une somme et d'un produit : on calcule sur les restes.
• Chiffre des unités = reste par $10$ , et les puissances cyclent.
• Reste nul dans un cycle = DERNIÈRE position, pas la première.
• Critère par $9$ et par $3$ : somme des chiffres.
• Critère par $11$ : somme alternée, en partant des unités.
• Décomposition en facteurs premiers : elle est UNIQUE.
• Nombre de diviseurs : $(\alpha+1)(\beta+1)\cdots$ , sans oublier les « plus un ».
• Primalité : tester les premiers jusqu'à $\sqrt{n}$ , et justifier la borne.
• Euclide : $N$ a un facteur premier NOUVEAU, il n'est pas forcément premier.

Questions fréquentes

Pourquoi le reste ne peut-il pas être négatif ?

Parce que la condition fait partie de la définition, au même titre que l'égalité. Le but de la division euclidienne est de ranger chaque entier dans une case, et il y a exactement autant de cases que le diviseur en indique, numérotées de zéro au diviseur moins un. Si on autorisait les restes négatifs, un même nombre tomberait dans deux cases différentes et l'unicité disparaîtrait. Quand le dividende est négatif, on descend donc le quotient d'une unité, ce qui remonte le reste dans le bon intervalle.

À quoi sert de calculer sur les restes plutôt que sur les nombres ?

À répondre à des questions qu'aucune calculatrice ne peut afficher. Le chiffre des unités de sept élevé à la puissance deux mille vingt-six se trouve en trois lignes, alors que le nombre lui-même compte plus de mille sept cents chiffres. Le principe est simple : pour connaître le reste d'une somme ou d'un produit, il suffit des restes des termes, donc de nombres à un seul chiffre. C'est la première fois de la scolarité qu'on calcule sur des classes de nombres au lieu des nombres eux-mêmes.

Faut-il vraiment démontrer les critères de divisibilité ?

Oui, et c'est une nouveauté de la Seconde. Le collège les donne comme des recettes, le lycée demande de savoir d'où ils viennent. La démonstration tient en deux lignes et repose sur un seul fait : toutes les puissances de dix laissent le même reste dans la division par neuf, à savoir un. Le critère par onze se démontre de la même façon, sauf que les puissances de dix y valent alternativement un et moins un, ce qui explique l'alternance des signes.

Jusqu'où faut-il tester pour savoir si un nombre est premier ?

Jusqu'à sa racine carrée, et seulement parmi les nombres premiers. La raison est que si le nombre se décompose en un produit de deux facteurs, le plus petit des deux est nécessairement inférieur ou égal à la racine carrée : sinon, leur produit dépasserait le nombre. Ne rien trouver jusque-là prouve donc qu'il n'y a rien à trouver au-delà. En évaluation, il faut écrire cette justification et encadrer la racine par deux carrés connus, car c'est elle qui rapporte les points.

La démonstration d'Euclide dit-elle que le produit plus un est premier ?

Non, et c'est l'erreur la plus répandue sur cette démonstration. Le produit des six premiers nombres premiers, augmenté de un, vaut trente mille trente et un, qui se factorise en cinquante-neuf fois cinq cent neuf : il n'est donc pas premier. Ce que l'argument utilise est beaucoup plus modeste : ce nombre laisse le reste un dans la division par chacun des premiers de la liste, donc aucun d'eux ne le divise, donc ses facteurs premiers sont tous absents de la liste. Cela suffit à conclure qu'aucune liste finie n'est complète.

Ce chapitre reprend-il le programme de Troisième ?

Non, il le prolonge. Le collège installe le vocabulaire, le plus grand diviseur commun, l'algorithme d'Euclide et les fractions irréductibles, et ces notions restent supposées connues sans être retravaillées ici. La Seconde ajoute la division euclidienne prise pour elle-même avec son unicité, le calcul sur les restes, les critères démontrés au lieu d'être récités, et les premiers résultats de théorie des nombres. Le changement de posture compte autant que le contenu : on cesse de chercher pour commencer à déduire.

Passer à la pratique

Exercices corrigés : Division euclidienne, restes et nombres premiers

Une méthode se prouve sur une copie, pas sur une fiche. La série du même chapitre reprend chacun de ces pièges dans un exercice, avec le corrigé rédigé étape par étape.

10 exercices corrigés
100 points
150 minutes

Faire les exercices

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L'arithmétique bloque en Seconde à Montréal ?

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Fiche de révision : division euclidienne, restes et nombres premiers

L'essentiel

La division euclidienne, et la condition qui ne se négocie pas

Calculer sur les restes au lieu des nombres

L'unicité de la décomposition, et ce qu'elle permet

Les pièges qui coûtent des points

1. Écrire un reste négatif

2. Confondre le quotient et l'affichage de la calculatrice

3. Lire un reste nul comme la première position d'un cycle

4. Commencer la somme alternée par la gauche

5. Oublier les « plus un » dans le nombre de diviseurs

6. Tester la primalité jusqu'à n−1n-1n−1

7. Énoncer la démonstration d'Euclide en affirmant que NNN est premier

8. Lire les restes d'un changement de base dans l'ordre d'apparition

Quelle méthode choisir

Quelle méthode, selon la question posée

La rédaction attendue

Rédiger une division euclidienne et son exploitation

Vérifier avant de rendre

L'exercice type décortiqué

Une question de synthèse : compter, décomposer, conclure

À savoir par cœur

Questions fréquentes

Pourquoi le reste ne peut-il pas être négatif ?

À quoi sert de calculer sur les restes plutôt que sur les nombres ?

Faut-il vraiment démontrer les critères de divisibilité ?

Jusqu'où faut-il tester pour savoir si un nombre est premier ?

La démonstration d'Euclide dit-elle que le produit plus un est premier ?

Ce chapitre reprend-il le programme de Troisième ?

Exercices corrigés : Division euclidienne, restes et nombres premiers

Voir aussi

L'arithmétique bloque en Seconde à Montréal ?

6. Tester la primalité jusqu'à $n-1$

7. Énoncer la démonstration d'Euclide en affirmant que $N$ est premier