Fiche de révision : multiples, diviseurs, parité et approfondissements

Le socle du programme 2026 : une définition, deux démonstrations

• • $a$ est un MULTIPLE de $b$, et $b$ un DIVISEUR de $a$, s'il existe un entier $k$ tel que $a=kb$. L'entier $k$ est relatif : $-91=(-13)\times 7$ fait de $-91$ un multiple de $7$.
• • Zéro est multiple de tout entier, car $0=0\times b$. Aucun entier non nul n'est multiple de zéro, car $k\times 0$ vaut toujours $0$.
• • PAIR : $n=2k$. IMPAIR : $n=2k+1$, avec $k$ entier relatif. Pour un négatif, on part du pair juste en dessous : $-7=2\times(-4)+1$.
• • Première démonstration : si $m=ak$ et $n=ak'$, alors $m+n=a(k+k')$, et $k+k'$ est entier. Deux entiers inconnus, deux lettres.
• • Seconde démonstration : si $n=2k+1$, alors $n^{2}=4k^{2}+4k+1=2(2k^{2}+2k)+1$, donc $n^{2}$ est impair.
• • FRACTION IRRÉDUCTIBLE : plus aucun diviseur commun autre que $1$ et $-1$ ; le signe devant, le dénominateur positif : $\frac{-135}{315}=-\frac{3}{7}$.

Démontrer, dans ce chapitre, c'est EXHIBER l'entier k. Une copie qui écrit la forme attendue sans dire que le facteur est un entier perd le point de conclusion.

Approfondissement : la division euclidienne, et la condition qui ne se négocie pas

• • Pour $a$ entier et $b$ entier strictement positif, il existe un UNIQUE couple $(q\,;r)$ tel que $a=bq+r$ avec $0\leqslant r<b$. Les deux mots importants sont « unique » et « et ».
• • La condition $0\leqslant r<b$ fait partie de la définition. Une égalité $a=bq+r$ avec un reste hors de cet intervalle est vraie, mais ce n'est PAS la division euclidienne.
• • Quand $a$ est négatif et n'est pas un multiple de $b$, le quotient descend d'un cran : $-17=5\times(-4)+3$, et non $5\times(-3)-2$. Le reste reste positif, c'est le quotient qui absorbe le signe.
• • Le quotient est la partie entière de $\dfrac{a}{b}$, c'est-à-dire l'arrondi PAR DÉFAUT, jamais la troncature, qui donne $-3$ pour $-3{,}4$.
• • L'unicité se démontre en une ligne : si $bq+r=bq'+r'$, alors $b(q-q')=r'-r$ est un multiple de $b$ de valeur absolue inférieure à $b$, donc nul.

Approfondissement : calculer sur les restes au lieu des nombres

• • Le reste d'une SOMME par $n$ est le reste de la somme des restes. Le reste d'un PRODUIT est le reste du produit des restes. C'est ce qui permet de ne jamais écrire le grand nombre.
• • Si la valeur obtenue atteint ou dépasse $n$, il faut RÉDUIRE ENCORE : modulo $5$, $3+4$ donne $2$, pas $7$.
• • Le chiffre des unités est le reste par $10$. Les puissances successives d'un entier ont donc des unités qui forment un CYCLE, de longueur au plus $10$.
• • Pour placer un exposant dans un cycle de longueur $L$, on calcule son reste par $L$. Un reste NUL désigne la DERNIÈRE position du cycle, jamais la première.
• • Le cycle existe toujours : chaque terme ne dépend que du précédent, et il n'y a qu'un nombre fini de valeurs possibles, donc l'une se répète et tout se répète après elle.

Approfondissement : l'unicité de la décomposition, et ce qu'elle permet

• • Tout entier supérieur ou égal à $2$ s'écrit comme un produit de nombres premiers, et cette écriture est UNIQUE à l'ordre près. Ce théorème est admis ; on s'en sert comme d'un argument.
• • Conséquence directe : si $2^{a}\times 3^{b}=2^{c}\times 3^{d}$, alors $a=c$ et $b=d$. C'est l'argument qui prouve qu'un entier n'est pas un carré, ni un cube.
• • NOMBRE DE DIVISEURS : si $n=p^{\alpha}q^{\beta}\cdots$, alors $n$ a $(\alpha+1)(\beta+1)\cdots$ diviseurs. Chaque « plus un » correspond à l'exposant $0$, c'est-à-dire au cas où le premier n'apparaît pas.
• • TEST DE PRIMALITÉ : si $n=ab$ avec $1<a\leqslant b$, alors $a^{2}\leqslant ab=n$, donc $a\leqslant\sqrt{n}$. Chercher un diviseur jusqu'à $\sqrt{n}$ suffit, et parmi les seuls nombres premiers.
• • IL EXISTE UNE INFINITÉ DE NOMBRES PREMIERS : si la liste $p_{1},\ldots,p_{k}$ était complète, $N=p_{1}\cdots p_{k}+1$ aurait un facteur premier absent de la liste, puisque chaque $p_{i}$ y laisse le reste $1$.