Exercices corrigés : PGCD, nombres premiers et fractions irréductibles (Troisième)

1) $96=2^{5}\times 3$ et $156=2^{2}\times 3\times 13$. Le plus grand diviseur commun prend les facteurs communs à leur plus petite puissance : $2^{2}\times 3=12$. $A=\dfrac{96\div 12}{156\div 12}=\dfrac{8}{13}$. Simplifier par $2$, puis encore par $2$, puis par $3$ marche aussi, mais en trois étapes et avec trois occasions de s'arrêter trop tôt.

2) $126=2\times 3^{2}\times 7$ et $210=2\times 3\times 5\times 7$. Diviseur commun : $2\times 3\times 7=42$. $B=\dfrac{3}{5}$.

3) $12=2^{2}\times 3$ et $18=2\times 3^{2}$. Le plus petit multiple commun prend chaque facteur à sa plus haute puissance : $2^{2}\times 3^{2}=36$. $\dfrac{5}{12}=\dfrac{15}{36}$ et $\dfrac{7}{18}=\dfrac{14}{36}$. $C=\dfrac{29}{36}$, irréductible car $29$ est premier et ne divise pas $36$. Le produit $12\times 18=216$ marcherait aussi, avec des nombres six fois plus gros.

4) $15=3\times 5$ et $24=2^{3}\times 3$. Dénominateur commun : $2^{3}\times 3\times 5=120$. $\dfrac{11}{15}=\dfrac{88}{120}$ et $\dfrac{7}{24}=\dfrac{35}{120}$. $D=\dfrac{53}{120}$, irréductible puisque $53$ est premier.

5) On décompose avant de multiplier : $\dfrac{5\times 7\times 2^{5}}{2^{4}\times 3\times 7^{2}}$. On simplifie $2^{4}$ et un $7$ : $E=\dfrac{5\times 2}{3\times 7}=\dfrac{10}{21}$.

6) On multiplie par l'inverse : $\dfrac{45}{28}\times\dfrac{35}{27}=\dfrac{3^{2}\times 5\times 5\times 7}{2^{2}\times 7\times 3^{3}}$. On simplifie $3^{2}$ et $7$ : $F=\dfrac{25}{2^{2}\times 3}=\dfrac{25}{12}$.

7) $6=2\times 3$, $10=2\times 5$, $15=3\times 5$ : dénominateur commun $2\times 3\times 5=30$. $G=\dfrac{5}{30}+\dfrac{3}{30}+\dfrac{2}{30}=\dfrac{10}{30}=\dfrac{1}{3}$. Le piège final : $\dfrac{10}{30}$ n'est pas irréductible.

8) Tout est déjà décomposé : on simplifie facteur par facteur. $\dfrac{2^{3}}{2^{2}}=2$, $\dfrac{3^{2}}{3^{3}}=\dfrac{1}{3}$, le $5$ reste en haut et le $7$ en bas. $H=\dfrac{2\times 5}{3\times 7}=\dfrac{10}{21}$. Vérification : $\dfrac{360}{756}$ se simplifie bien par $36$ en $\dfrac{10}{21}$, le même résultat qu'à la question 5 par un autre chemin.

1) On teste les entiers à partir de $1$ en notant chaque fois le diviseur PARTENAIRE, ce qui remplit la liste par les deux bouts à la fois : $1\times 84$, $2\times 42$, $3\times 28$, $4\times 21$, $6\times 14$, $7\times 12$. Les diviseurs de $84$ sont donc $1$, $2$, $3$, $4$, $6$, $7$, $12$, $14$, $21$, $28$, $42$ et $84$, soit douze diviseurs. $5$ ne convient pas car $84$ ne se termine ni par $0$ ni par $5$, et $8$ ne convient pas car $84:8=10{,}5$.

2) De la même façon : $1\times 120$, $2\times 60$, $3\times 40$, $4\times 30$, $5\times 24$, $6\times 20$, $8\times 15$, $10\times 12$. Les diviseurs de $120$ sont $1$, $2$, $3$, $4$, $5$, $6$, $8$, $10$, $12$, $15$, $20$, $24$, $30$, $40$, $60$ et $120$, soit seize diviseurs.

3) En comparant les deux listes, les diviseurs communs sont $1$, $2$, $3$, $4$, $6$ et $12$. Le plus grand est $12$. Remarque qui servira toute la série : les six diviseurs communs sont exactement les diviseurs de $12$. Ce n'est pas un hasard, c'est une propriété générale du plus grand diviseur commun.

4) Parce que les diviseurs vont par paires dont le produit vaut $84$ : dès que le plus petit dépasse $\sqrt{84}\approx 9{,}17$, son partenaire est plus petit que lui, donc il a déjà été rencontré. Tester jusqu'à $9$ suffit, ce qui divise le travail par dix.

5) Oui : $1008=12\times 84$. L'égalité EST la justification ; écrire seulement « $1008:84=12$ tombe juste » est accepté, mais l'égalité est préférable parce qu'elle exhibe l'entier $k$ de la définition.

6) $84\times 120=10\,080$ est un multiple commun évident. Il y en a une infinité car tout multiple de $10\,080$ en est un autre : $20\,160$, $30\,240$, et ainsi de suite. C'est une différence de fond avec les diviseurs, qui sont toujours en nombre fini : voilà pourquoi on parle du PLUS GRAND diviseur commun et du PLUS PETIT multiple commun, jamais l'inverse.

7) $84=2\times 42$, $120=2\times 60$ et $1008=2\times 504$ sont pairs ; $91=2\times 45+1$ est impair. Être pair, c'est être un multiple de $2$ : le vocabulaire de la parité n'est qu'un cas particulier de celui des multiples. Pour la somme de deux impairs, on ne teste pas des exemples, on calcule avec des lettres : $(2k+1)+(2k'+1)=2k+2k'+2=2(k+k'+1)$. Comme $k+k'+1$ est un entier, la somme est de la forme $2\times$ entier, donc PAIRE. Vérification sur un cas : $7+9=16$.

8) Soient $m$ et $n$ deux multiples de $a$. Par définition, il existe des entiers $k$ et $k'$ tels que $m=ka$ et $n=k'a$. Alors $m+n=ka+k'a=(k+k')a$, et $k+k'$ est un entier : $m+n$ est donc un multiple de $a$. Cette démonstration en trois lignes est exactement celle qu'attend le programme de seconde, et l'étape notée est « il existe des entiers $k$ et $k'$ tels que », qui traduit l'hypothèse. La réponse à la seconde question est NON, et un contre-exemple suffit à le dire : $2$ et $3$ divisent $6$, mais $2+3=5$ ne divise pas $6$. Diviseur et multiple se comportent différemment vis-à-vis de l'addition, et les confondre est l'erreur que l'affirmation 5 de l'exercice 9 désigne déjà.

1) En suivant l'arbre : $1176=2\times 588=2\times 2\times 294=2\times 2\times 2\times 147$, puis $147=3\times 49=3\times 7\times 7$. Donc $1176=2^3\times 3\times 7^2$. Contrôle obligatoire avant d'aller plus loin : $8\times 3\times 49=8\times 147=1176$.

2) De même $840=2\times 420=2\times 2\times 210=2\times 2\times 2\times 105$, et $105=3\times 35=3\times 5\times 7$. Donc $840=2^3\times 3\times 5\times 7$, et $8\times 3\times 5\times 7=840$.

3) Le plus grand diviseur commun se lit facteur par facteur, en gardant le PLUS PETIT exposant de chaque nombre premier présent dans les DEUX écritures. Pour $2$ : exposant $3$ des deux côtés, on garde $2^3$. Pour $3$ : exposant $1$ des deux côtés, on garde $3$. Pour $5$ : absent de $1176$, donc exposant $0$, on ne le garde pas. Pour $7$ : exposant $2$ d'un côté, $1$ de l'autre, on garde $7^1$. Le plus grand diviseur commun vaut donc $2^3\times 3\times 7=168$.

4) $1176:168=7$ et $840:168=5$. Les deux divisions tombent juste, donc $168$ est bien un diviseur commun. Et il est bien le plus grand : les quotients obtenus, $7$ et $5$, n'ont plus aucun diviseur commun autre que $1$. C'est le test qui distingue un diviseur commun quelconque du plus grand.

5) Sur $1176=2^3\times 3^1\times 7^2$, un diviseur se fabrique en choisissant l'exposant de $2$ parmi $0$, $1$, $2$, $3$, celui de $3$ parmi $0$, $1$, et celui de $7$ parmi $0$, $1$, $2$. Cela fait $4\times 2\times 3=24$ diviseurs. Compter les diviseurs un par un à la main aurait pris plusieurs minutes.

6) Que ce nombre, qui vaut $2^3\times 3\times 5\times 7^2=5880$, est plus GRAND que $1176$ : il ne peut donc diviser ni $1176$ ni $840$. L'élève a pris le plus grand exposant de chaque facteur au lieu du plus petit, et il a en réalité calculé le plus petit multiple commun. Le moyen de ne jamais confondre : un DIVISEUR est plus petit, il prend donc les petits exposants.

1) Première division : $1071=2\times 462+147$, reste $147$. Deuxième : $462=3\times 147+21$, reste $21$. Troisième : $147=7\times 21+0$, reste nul. Le dernier reste NON NUL est $21$, donc le plus grand diviseur commun de $1071$ et $462$ vaut $21$.

2) Les trois égalités sont $1071=462\times 2+147$, $462=147\times 3+21$ et $147=21\times 7+0$. Chacune se vérifie en une seconde : $924+147=1071$, $441+21=462$, $147+0=147$. Écrire l'égalité plutôt que le seul reste est ce qui permet cette vérification, et c'est ce qui est demandé au brevet.

3) $1071:21=51$ et $462:21=22$. Les deux tombent juste. Et $51=3\times 17$ tandis que $22=2\times 11$ : ces deux quotients n'ont aucun facteur commun, ce qui confirme que $21$ était bien le plus GRAND diviseur commun et pas seulement un diviseur commun.

4) $120=1\times 84+36$, puis $84=2\times 36+12$, puis $36=3\times 12+0$. Dernier reste non nul : $12$. C'est bien le nombre trouvé à l'exercice 2 en dressant deux listes de douze et seize diviseurs. Trois lignes ont suffi.

5) Rien de fâcheux : la première division se contente d'échanger les deux nombres. Avec $462$ et $1071$, on écrit $462=0\times 1071+462$, et la ligne suivante est exactement la première ligne du tableau. L'algorithme se remet donc tout seul dans le bon ordre, au prix d'une étape inutile.

6) L'algorithme demande trois divisions. La méthode des listes demanderait de tester tous les entiers jusqu'a $\sqrt{462}\approx 21{,}5$ pour un nombre, autant pour l'autre, puis de croiser les deux listes : une quarantaine de tests contre trois divisions. Sur des nombres à six chiffres, l'écart devient tel que la méthode des listes n'est plus praticable, alors qu'Euclide reste court : c'est pour cela qu'on l'enseigne.

1) Le plus grand diviseur commun de $84$ et $120$ vaut $12$ (exercices 2 et 4). Donc $\dfrac{84}{120}=\dfrac{84:12}{120:12}=\dfrac{7}{10}$. Vérification que la fraction est bien irréductible : $7$ est premier et ne divise pas $10$, donc il n'y a plus de diviseur commun.

2) Le plus grand diviseur commun de $1176$ et $840$ vaut $168$ (exercice 3). Donc $\dfrac{1176}{840}=\dfrac{1176:168}{840:168}=\dfrac{7}{5}$. On peut aussi barrer les facteurs communs sur les décompositions : $\dfrac{2^3\times 3\times 7^2}{2^3\times 3\times 5\times 7}=\dfrac{7}{5}$, ce qui rend la simplification visible d'un coup d'œil.

3) Le plus grand diviseur commun de $462$ et $1071$ vaut $21$ (exercice 4). Donc $\dfrac{462}{1071}=\dfrac{22}{51}$. Comme $22=2\times 11$ et $51=3\times 17$, la fraction est bien irréductible.

4) Il obtient la même fraction : $\dfrac{84}{120}=\dfrac{42}{60}=\dfrac{21}{30}=\dfrac{7}{10}$. Le résultat est identique parce que $2\times 2\times 3=12$ : il a décomposé la division par $12$ en trois divisions. Il a donc fait deux étapes de plus, et surtout il ne pouvait pas savoir à l'avance qu'il fallait s'arrêter la. C'est ce doute, plus que les étapes, qui coûte des points.

5) Il suffit de décomposer les deux nombres : $51=3\times 17$ et $22=2\times 11$. Aucun facteur premier n'est commun, donc le plus grand diviseur commun vaut $1$ et la fraction est irréductible. Sur de petits nombres, la décomposition est plus rapide qu'Euclide.

6) $\dfrac{7}{5}=1{,}4$ exactement, ici. Mais $\dfrac{22}{51}\approx 0{,}43137\ldots$ ne s'écrit avec aucun nombre fini de décimales : toute écriture décimale en serait un arrondi. La forme irréductible, elle, est exacte, tient en trois caractères et permet de poursuivre les calculs sans erreur accumulée. C'est la raison de fond pour laquelle un résultat se rend toujours irréductible.

1) $22=2\times 11$ et $51=3\times 17$ : aucun facteur commun, donc ils sont premiers entre eux. En revanche $91=7\times 13$ et $26=2\times 13$ ont le facteur $13$ en commun, donc leur plus grand diviseur commun vaut $13$ et ils ne sont pas premiers entre eux. Le piège est que $91$ et $26$ n'ont l'air de rien partager : sans décomposition, on conclurait à tort.

2) $22$ et $51$ conviennent, puisque ni l'un ni l'autre n'est premier. Autre exemple simple : $8$ et $9$, ou $4$ et $25$. C'est exactement pour cela que l'expression « premiers ENTRE EUX » comporte deux mots de plus que « premiers » : elle décrit une relation entre deux nombres, pas une propriété de chacun.

3) Soit $d$ un diviseur commun de $n$ et $n+1$. Alors $d$ divise leur différence $(n+1)-n=1$. Or le seul entier positif qui divise $1$ est $1$ lui-même, donc $d=1$. Le plus grand diviseur commun vaut $1$ : deux entiers consécutifs sont toujours premiers entre eux, sans aucune exception.

4) Non. Le même raisonnement donne que tout diviseur commun de $n$ et $n+2$ divise $2$, donc vaut $1$ ou $2$. Si $n$ est impair, le plus grand diviseur commun vaut $1$, comme pour $15$ et $17$. Mais si $n$ est pair, par exemple $n=14$ et $n+2=16$, le plus grand diviseur commun vaut $2$ et les deux nombres ne sont pas premiers entre eux. Un seul exemple ne prouve donc rien, et c'est le message de la question.

5) Si $d$ divise $a$, il existe un entier $k$ tel que $a=k\times d$. Si $d$ divise $b$, il existe un entier $m$ tel que $b=m\times d$. Alors $a-b=k\times d-m\times d=(k-m)\times d$, et $k-m$ est un entier : donc $d$ divise $a-b$. La démonstration tient en trois lignes et sert partout.

6) Dans la division $a=b\times q+r$, on a $r=a-b\times q$. Par la question 5 appliquée à $a$ et à $b\times q$, tout diviseur commun de $a$ et $b$ divise aussi $r$ ; et réciproquement tout diviseur commun de $b$ et $r$ divise $a=b\times q+r$. Les couples $(a,b)$ et $(b,r)$ ont donc exactement les MÊMES diviseurs communs, donc le même plus grand. Comme les restes diminuent strictement, on finit par tomber sur un reste nul, et le dernier reste non nul est le plus grand diviseur commun cherché.

1) Si elle fabrique $p$ pochettes identiques, chacune contient le même nombre d'autocollants, disons $x$, donc $84=p\times x$ et $p$ divise $84$. Le même raisonnement sur les crayons donne que $p$ divise $120$. Le nombre de pochettes est donc un diviseur COMMUN de $84$ et $120$ : c'est la traduction complète de l'énoncé, et elle vaut la moitié des points de la question.

2) Le plus grand diviseur commun de $84$ et $120$ vaut $12$. Elle peut donc faire au maximum $12$ pochettes.

3) Chaque pochette contient $84:12=7$ autocollants et $120:12=10$ crayons.

4) $12\times 7=84$ autocollants et $12\times 10=120$ crayons : tout est distribué, il ne reste rien. Cette vérification n'est pas décorative, elle rattrape une erreur de division.

5) Le nombre de pochettes devient un diviseur commun de $84$, $120$ ET $30$. Or les diviseurs communs de $84$ et $120$ sont $1$, $2$, $3$, $4$, $6$, $12$, et parmi eux ceux qui divisent aussi $30$ sont $1$, $2$, $3$ et $6$. Le maximum tombe donc à $6$ pochettes, contenant chacune $14$ autocollants, $20$ crayons et $5$ gommes. Ajouter du matériel a DIMINUÉ le nombre de paquets : c'est contre-intuitif et c'est exactement ce que l'exercice veut faire remarquer.

6) Sans chercher le maximum, toute taille est possible pourvu que le nombre de pochettes divise à la fois $84$ et $120$, c'est-à-dire pourvu qu'il divise $12$. Les possibilités sont donc $1$, $2$, $3$, $4$, $6$ et $12$ pochettes, et rien d'autre : $5$ ou $8$ pochettes laisseraient un reste. La propriété remarquée à l'exercice 2 sert ici pour de bon.

1) $4{,}08$ m $=408$ cm et $2{,}55$ m $=255$ cm. Si le côté de la dalle mesure $c$ centimètres, il faut un nombre ENTIER de dalles dans la longueur, donc $c$ divise $408$, et un nombre entier dans la largeur, donc $c$ divise $255$. Le côté cherché est le plus grand diviseur commun de $408$ et $255$.

2) $408=1\times 255+153$, puis $255=1\times 153+102$, puis $153=1\times 102+51$, puis $102=2\times 51+0$. Le dernier reste non nul est $51$ : la dalle mesure $51$ cm de côté.

3) Dans la longueur : $408:51=8$ dalles. Dans la largeur : $255:51=5$ dalles. Il en faut donc $8\times 5=40$.

4) L'aire du hall vaut $408\times 255=104\,040$ cm$^2$ et l'aire d'une dalle vaut $51^2=2601$ cm$^2$. Or $104\,040:2601=40$ : le compte est bon. Cette vérification par les aires attrape aussitôt une erreur sur l'une des deux divisions.

5) $25$ ne divise pas $408$ car $408:25=16{,}32$, donc les dalles de $25$ cm ne conviennent pas. En revanche $17$ divise $408$ (car $408=17\times 24$) et divise $255$ (car $255=17\times 15$) : les dalles de $17$ cm conviennent. Ce n'est pas un hasard, $17$ divise $51$, et l'on retrouve la propriété de l'exercice 2 : les côtés possibles sont exactement les diviseurs du plus grand.

6) Avec des dalles de $17$ cm il en faut $24\times 15=360$, contre $40$ avec des dalles de $51$ cm. Neuf fois plus de dalles, donc neuf fois plus de joints à faire et beaucoup plus de temps de pose, pour la même surface couverte. Le facteur $9$ n'est pas un hasard : le côté a été divisé par $3$, donc l'aire de chaque dalle par $3^2$.