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Quatrième, programme français à Montréal • Exercices corrigés

Fiche de révision : multiples, diviseurs et nombres premiers (Quatrième)

C'est le chapitre où l'on cesse de calculer pour commencer à démontrer. Affirmer qu'un nombre est premier n'est pas une impression, c'est une conclusion : elle exige d'avoir testé tous les diviseurs premiers jusqu'à la racine carrée, et de le dire sur la copie.

Cette fiche donne la méthode de recherche par paires, la potence de décomposition, et les huit erreurs qui font perdre des points même quand la réponse finale est juste.

Le fil du chapitre

Un nombre premier ne se reconnaît pas à l'œil, il se prouve. La seule preuve accessible en quatrième est la recherche des diviseurs par paires, arrêtée à la racine carrée du nombre, et tout le reste du chapitre, décomposition et fraction irréductible, en découle.

Ce chapitre fait partie de Mathématiques en Quatrième

Avant ce chapitre

Cette fiche suppose ces notions acquises. Si une méthode ci-dessous reste opaque, c'est presque toujours l'une d'elles qui manque, pas la fiche.

L'essentiel

Multiple, diviseur, divisible : une seule égalité

  • • « bb divise aa », « aa est un multiple de bb » et « aa est divisible par bb » sont trois façons d'écrire la même égalité a=b×ka=b\times k, avec kk entier.
  • • Un multiple de 77 est plus grand que 77 ou nul ; un diviseur de 77 est plus petit que 77 ou égal. Les deux mots ne vont pas dans le même sens.
  • • 00 est multiple de tous les nombres, et 11 divise tous les nombres.
  • • Les diviseurs se cherchent PAR PAIRES en montant depuis 11 : dès que le petit membre rejoint le grand, la liste est complète.
petitproduit = 36grand1362183124966on s'arrête quand les deux membres se rejoignent9 diviseurs en tout
Chaque ligne est une paire dont le produit vaut 3636. On monte de 11 jusqu'à ce que le petit membre rejoigne le grand en 6×66\times 6 : la liste des neuf diviseurs est alors complète, sans en oublier un seul.

Écrire l'égalité 36=4×936=4\times 9 prouve d'un seul coup que 44 et 99 divisent 3636 et que 3636 est un multiple des deux. Une seule ligne pour deux questions.

Les critères de divisibilité, et ce qu'ils ne disent pas

  • • Par 22 si le chiffre des unités est 00, 22, 44, 66 ou 88 ; par 55 s'il est 00 ou 55 ; par 1010 s'il est 00.
  • • Par 33 si la SOMME DES CHIFFRES est un multiple de 33 ; par 99 si cette somme est un multiple de 99.
  • • Par 44 si le nombre formé par les deux derniers chiffres est un multiple de 44 ; par 88 avec les trois derniers.
  • • Aucun critère simple n'existe pour 77 ni pour 1111 au programme : on pose la division.

Un critère qui échoue ne prouve rien d'autre que l'échec de ce critère : 9191 ne passe ni par 22, ni par 33, ni par 55, et pourtant 91=7×1391=7\times 13.

Nombre premier : exactement deux diviseurs

  • • Un nombre premier a exactement DEUX diviseurs distincts, 11 et lui-même.
  • • 11 n'est donc pas premier, car il n'a qu'un seul diviseur ; et 22 est le seul nombre premier pair.
  • • Les premiers jusqu'à 6060 : 22, 33, 55, 77, 1111, 1313, 1717, 1919, 2323, 2929, 3131, 3737, 4141, 4343, 4747, 5353, 5959.
  • • Pour prouver qu'un nombre est premier, il suffit de le tester par les nombres premiers inférieurs à sa racine carrée.

La liste des premiers jusqu'à 6060 se sait par cœur : elle transforme la moitié des questions du chapitre en simple lecture.

La décomposition, carte d'identité du nombre

  • • Tout entier supérieur à 11 s'écrit d'une SEULE façon, à l'ordre près, comme un produit de nombres premiers : 360=23×32×5360=2^{3}\times 3^{2}\times 5.
  • • aa divise bb si et seulement si chaque facteur premier de aa figure dans celui de bb avec un exposant au moins aussi grand.
  • • Le plus grand diviseur commun de deux nombres prend les facteurs communs avec le PLUS PETIT exposant.
  • • Une fraction est irréductible quand les décompositions du numérateur et du dénominateur n'ont aucun facteur premier commun.

La décomposition est un investissement : une fois posée, elle donne la liste des diviseurs, la fraction irréductible et le plus grand diviseur commun sans nouveau calcul.

Les pièges qui coûtent des points

Les erreurs ci-dessous sont celles que je corrige le plus souvent en séance. Chacune coûte des points sur une copie, même quand le raisonnement est juste.

1. Échanger multiple et diviseur

1 point, et la question entière quand l'énoncé demande de lister les multiples

Ce qu'il ne faut pas écrire

« 33 est un multiple de 1212. »

Ce qu'il faut écrire

« 33 est un DIVISEUR de 1212, et 1212 est un MULTIPLE de 33, car 12=3×412=3\times 4. »

Pourquoi : Les deux mots décrivent la même égalité vue des deux bouts. Le repère qui ne trompe pas : un multiple est plus grand, un diviseur est plus petit.

2. Déclarer que 11 est un nombre premier

1 point, et souvent la décomposition entière qui suit

Ce qu'il ne faut pas écrire

« 11 est premier, puisqu'il n'est divisible que par 11 et par lui-même. »

Ce qu'il faut écrire

« 11 n'a qu'UN seul diviseur, donc il n'est pas premier : la définition en exige exactement deux, distincts. »

Pourquoi : Chez 11, « un » et « lui-même » désignent le même nombre. Si 11 était premier, la décomposition d'un entier ne serait plus unique, puisqu'on pourrait y ajouter autant de 11 qu'on veut.

3. Croire premier un nombre impair qui ne finit pas par 55

2 points, et le crible entier de la question

Ce qu'il ne faut pas écrire

« 5151 est premier : il n'est ni pair ni multiple de 55. »

Ce qu'il faut écrire

« 5+1=65+1=6, qui est un multiple de 33, donc 33 divise 5151 : 51=3×1751=3\times 17, il n'est pas premier. »

Pourquoi : Les deux critères les plus visibles sont ceux de 22 et de 55, et ils suffisent rarement. Celui de 33, qui porte sur la somme des chiffres, est le premier qu'on oublie.

4. Combiner deux diviseurs en les multipliant

2 points, et un raisonnement faux qui contamine tout le problème

Ce qu'il ne faut pas écrire

« 1212 est divisible par 44 et par 66, donc il est divisible par 2424. »

Ce qu'il faut écrire

« 1212 n'est pas divisible par 2424 : on ne peut multiplier deux diviseurs que s'ils n'ont AUCUN facteur premier commun, or 44 et 66 partagent le facteur 22. »

Pourquoi : La règle marche pour 22 et 33, donc elle semble générale. La décomposition explique tout : 12=22×312=2^{2}\times 3 ne contient pas 232^{3}, qu'exigerait 2424.

5. Oublier des diviseurs faute de chercher par paires

2 points, et la question suivante qui s'appuie sur la liste

Ce qu'il ne faut pas écrire

« Les diviseurs de 3636 sont 11, 22, 33, 44, 66 et 3636. »

Ce qu'il faut écrire

« 11 et 3636, 22 et 1818, 33 et 1212, 44 et 99, 66 et 66 : les diviseurs de 3636 sont 11, 22, 33, 44, 66, 99, 1212, 1818 et 3636, soit neuf en tout. »

Pourquoi : Chercher les diviseurs dans l'ordre croissant fait oublier les grands, qui arrivent en dernier. Les chercher par paires les fait apparaître deux par deux, et le compte s'arrête tout seul.

6. Déclarer irréductible une fraction qui ne l'est pas

1 point à chaque simplification incomplète, et le problème entier quand la suite s'appuie dessus

Ce qu'il ne faut pas écrire

« 84126=4263\dfrac{84}{126}=\dfrac{42}{63}, et c'est irréductible. »

Ce qu'il faut écrire

« 84=22×3×784=2^{2}\times 3\times 7 et 126=2×32×7126=2\times 3^{2}\times 7 : le facteur commun est 2×3×7=422\times 3\times 7=42, donc 84126=23\dfrac{84}{126}=\dfrac{2}{3}. »

Pourquoi : Simplifier au hasard s'arrête quand on ne voit plus de facteur commun, ce qui arrive bien avant qu'il n'y en ait plus. La décomposition, elle, donne le plus grand diviseur commun du premier coup.

7. Garder des facteurs non premiers dans une décomposition

1,5 point, et toutes les questions qui lisent les exposants

Ce qu'il ne faut pas écrire

« 360=4×9×10360=4\times 9\times 10, voilà sa décomposition. »

Ce qu'il faut écrire

« 44, 99 et 1010 ne sont pas premiers. La décomposition est 360=23×32×5360=2^{3}\times 3^{2}\times 5. »

Pourquoi : L'égalité proposée est vraie, mais ce n'est pas une décomposition en facteurs PREMIERS, et c'est elle seule qui est unique et exploitable pour les diviseurs.

8. Arrêter le test de primalité trop tôt

toute la question, car la conclusion annoncée est fausse

Ce qu'il ne faut pas écrire

« 9191 n'est divisible ni par 22, ni par 33, ni par 55, donc il est premier. »

Ce qu'il faut écrire

« Il faut tester tous les premiers jusqu'à 91≈9,5\sqrt{91}\approx 9{,}5, donc aussi 77 : 91=7×1391=7\times 13, il n'est pas premier. »

024681012235711racine de 91 ≈ 9,5à tester : 2, 3, 5, 7inutile91 = 7 × 13, donc 91 n'est pas premier
Le mur est la racine de 9191 : les seuls premiers à tester sont ceux qui restent à sa gauche, 22, 33, 55 et 77. S'arrêter après 55 laisse passer 77, et donc 91=7×1391=7\times 13.

Pourquoi : Les trois premiers critères sont les seuls qu'on récite sans effort, donc on s'arrête là. La racine carrée est la borne exacte : au-delà, tout diviseur aurait déjà été trouvé en paire.

Quelle méthode choisir

Par quoi tester, et jusqu'où

On regarde le nombre lui-même, chiffre par chiffre, avant de poser la moindre division.

  • Si le chiffre des unités est 00, 22, 44, 66 ou 88 → le nombre est divisible par 22, donc il n'est premier que s'il vaut 22

    Exemple : 364364 est pair, donc non premier

  • Si la somme des chiffres est un multiple de 33 → le nombre est divisible par 33

    Exemple : 5151 donne 5+1=65+1=6, donc 51=3×1751=3\times 17

    si cette somme est même un multiple de 99, le nombre est divisible par 99

  • Si le chiffre des unités est 00 ou 55 → le nombre est divisible par 55

    Exemple : 185=5×37185=5\times 37

  • Si aucun critère ne s'applique → poser les divisions par les premiers successifs, en s'arrêtant à la racine carrée du nombre

    Exemple : pour 9191, tester jusqu'à 9,59{,}5 donc jusqu'à 77 : 91=7×1391=7\times 13

    encadrer la racine par deux carrés connus suffit : 81<91<10081<91<100, donc la racine est entre 99 et 1010

  • Si aucun premier inférieur à la racine ne divise le nombre → le nombre est premier, et on l'écrit comme une conclusion

    Exemple : 9797 résiste à 22, 33, 55 et 77, donc 9797 est premier

Ne jamais conclure « il est premier » sans avoir nommé les diviseurs testés : c'est cette liste que le barème paie, pas la réponse.

Que faire d'une décomposition, une fois posée

On regarde ce que la question demande, et on lit la réponse dans les exposants.

  • Si la question demande si aa divise bb → vérifier que chaque facteur premier de aa est dans bb avec un exposant au moins aussi grand

    Exemple : 12=22×312=2^{2}\times 3 divise 360=23×32×5360=2^{3}\times 3^{2}\times 5

  • Si la question demande le plus grand diviseur commun → garder les facteurs COMMUNS avec le plus PETIT exposant

    Exemple : 84=22×3×784=2^{2}\times 3\times 7 et 360=23×32×5360=2^{3}\times 3^{2}\times 5 donnent 22×3=122^{2}\times 3=12

  • Si la question demande la fraction irréductible → diviser le numérateur et le dénominateur par ce plus grand diviseur commun

    Exemple : 84360=730\dfrac{84}{360}=\dfrac{7}{30}

    le contrôle est immédiat : les décompositions du résultat ne doivent plus partager aucun facteur

  • Si la question parle de lots identiques, de dallage ou de carreaux carrés → c'est le plus grand diviseur commun des dimensions qui est demandé

    Exemple : paver 360360 cm sur 8484 cm demande des carreaux de 1212 cm

Si la question demande au contraire un instant où deux phénomènes coïncident à nouveau, c'est le plus petit multiple commun qu'il faut, et non le plus grand diviseur.

La rédaction attendue

Le correcteur coche des étapes. Les voici dans l'ordre, avec la phrase de conclusion qu'il attend mot pour mot.

Prouver qu'un nombre est premier, ou qu'il ne l'est pas

Quand l'utiliser : L'énoncé demande si un nombre à deux ou trois chiffres est premier, et attend une justification.

  1. 1 Encadrer la racine carrée par deux carrés connus et l'écrire : « 81<97<10081<97<100, donc 97\sqrt{97} est entre 99 et 1010 ».
  2. 2 Lister les nombres premiers à tester : « il suffit de tester 22, 33, 55 et 77 ».
  3. 3 Tester chacun d'eux en citant le critère quand il existe : « 9797 est impair, 9+7=169+7=16 n'est pas multiple de 33, il ne finit ni par 00 ni par 55, et 97=7×13+697=7\times 13+6 ».
  4. 4 Conclure par une phrase, et non par un simple mot.

Phrase de conclusion

« Aucun des nombres premiers inférieurs à 97\sqrt{97} ne divise 9797, donc 9797 est un nombre premier. »

Le piège : Répondre « oui, il est premier » sans la liste des diviseurs testés. Sans elle, la réponse n'est pas une démonstration et ne vaut aucun point de raisonnement.

Barème : 0,5 point pour l'encadrement de la racine, 1 point pour les tests cités, 0,5 pour la phrase de conclusion.

Rendre une fraction irréductible en une seule étape

Quand l'utiliser : L'énoncé demande de simplifier une fraction dont les deux termes dépassent 5050, ou de prouver qu'elle est irréductible.

  1. 1 Décomposer le numérateur et le dénominateur en facteurs premiers, l'un sous l'autre.
  2. 2 Entourer les facteurs communs et prendre chacun avec son plus PETIT exposant : ici 222^{2} et 33.
  3. 3 Écrire le plus grand diviseur commun, puis diviser les deux termes par lui en une seule opération.
  4. 4 Vérifier que les décompositions du résultat n'ont plus aucun facteur premier commun, et le dire.

Phrase de conclusion

« 84=22×3×784=2^{2}\times 3\times 7 et 360=23×32×5360=2^{3}\times 3^{2}\times 5, donc leur plus grand diviseur commun vaut 1212 et 84360=730\dfrac{84}{360}=\dfrac{7}{30}, irréductible. »

Le piège : Simplifier par étapes successives, par 22 puis par 22 puis par 33. Chaque étape est juste, mais on s'arrête presque toujours avant la fin.

Barème : 1 point pour les deux décompositions, 0,5 pour le plus grand diviseur commun, 0,5 pour la fraction irréductible justifiée.

Vérifier avant de rendre

Cinq minutes de vérification récupèrent plus de points qu'un exercice de plus commencé à la hâte.

L'exercice type décortiqué

Le dallage : une décomposition, trois réponses

Une pièce rectangulaire mesure 360360 cm sur 8484 cm. On veut la paver avec des carreaux carrés identiques, sans coupe et sans espace.

Trouver le côté du plus grand carreau possible, le nombre de carreaux nécessaires, puis donner la fraction 84360\dfrac{84}{360} sous forme irréductible.

36021802902453153551360 = 2 × 2 × 2 × 3 × 3 × 5
La potence des divisions successives : on divise toujours par le plus petit nombre premier possible, jusqu'à tomber sur 11. La colonne de droite lue de haut en bas donne 360=23×32×5360=2^{3}\times 3^{2}\times 5.

Étape 1

Décomposer 360360 par divisions successives : 360=23×32×5360=2^{3}\times 3^{2}\times 5.

Pourquoi

La potence force à diviser par le plus petit premier possible à chaque ligne, ce qui garantit que tous les facteurs obtenus sont premiers et qu'aucun n'est oublié.

Étape 2

Décomposer 8484 de la même façon : 84=22×3×784=2^{2}\times 3\times 7.

Pourquoi

Les deux décompositions doivent être écrites l'une sous l'autre : c'est la disposition qui rend les facteurs communs visibles sans effort de mémoire.

Étape 3

Facteurs communs, chacun avec son plus petit exposant : 222^{2} et 33. Leur produit vaut 22×3=122^{2}\times 3=12.

Pourquoi

Le côté du carreau doit diviser les DEUX dimensions, donc chaque facteur premier ne peut y figurer qu'avec l'exposant disponible des deux côtés, c'est-à-dire le plus petit.

Étape 4

Le plus grand carreau mesure donc 1212 cm de côté.

Pourquoi

« Le plus grand carreau qui pave sans coupe » est la formulation concrète du plus grand diviseur commun. Reconnaître cette traduction est la moitié du travail dans un problème de dallage.

Étape 5

Nombre de carreaux : 360÷12=30360\div 12=30 en longueur, 84÷12=784\div 12=7 en largeur, soit 30×7=21030\times 7=210 carreaux.

Pourquoi

On compte les carreaux par ligne et par colonne, jamais en divisant les aires : la division des aires donne le même nombre ici, mais elle est fausse dès que les carreaux ne sont pas carrés.

Étape 6

Fraction irréductible : 84360=84÷12360÷12=730\dfrac{84}{360}=\dfrac{84\div 12}{360\div 12}=\dfrac{7}{30}.

Pourquoi

Diviser par le plus grand diviseur commun donne l'irréductible en une seule étape. Le contrôle est immédiat : 77 est premier et ne divise pas 3030.

Étape 7

Vérification : 12×30=36012\times 30=360 et 12×7=8412\times 7=84.

Pourquoi

Les deux produits ramènent aux dimensions de l'énoncé. Si l'un des deux tombe à côté, c'est que le plus grand diviseur commun a pris un exposant trop grand.

Conclusion rédigée

« Le plus grand carreau mesure 1212 cm de côté, il en faut 210210 pour paver la pièce, et 84360=730\dfrac{84}{360}=\dfrac{7}{30}. »

L'erreur classique sur cet exercice : Prendre 23×32=722^{3}\times 3^{2}=72 comme diviseur commun, en gardant le plus GRAND exposant de chaque facteur. Or 7272 ne divise pas 8484 : un diviseur commun prend toujours le plus petit exposant disponible.

À savoir par cœur

  • • a=b×ka=b\times k : bb divise aa, et aa est un multiple de bb. Le multiple est le plus GRAND des deux.
  • • Critère de 33 : la somme des chiffres est un multiple de 33. Critère de 99 : elle est un multiple de 99.
  • • Un nombre premier a EXACTEMENT deux diviseurs. Donc 11 n'est pas premier, et 22 est le seul premier pair.
  • • On cherche les diviseurs PAR PAIRES et on s'arrête quand les deux membres se rejoignent.
  • • On teste la primalité par les premiers inférieurs à la RACINE CARRÉE, pas au-delà.
  • • 360=23×32×5360=2^{3}\times 3^{2}\times 5 : la décomposition en facteurs premiers est unique.
  • • Plus grand diviseur commun : facteurs communs, plus PETIT exposant. Il donne la fraction irréductible d'un coup.

Questions fréquentes

Quelle différence entre un multiple et un diviseur ?

Les deux mots décrivent la même égalité, vue des deux bouts : douze égale trois fois quatre. Trois est un diviseur de douze, et douze est un multiple de trois. Le repère qui ne trompe jamais : un multiple est plus grand que le nombre de départ, un diviseur est plus petit.

Pourquoi 1 n'est-il pas un nombre premier ?

Parce qu'un nombre premier doit avoir exactement deux diviseurs différents, un et lui-même. Chez le nombre un, ces deux diviseurs sont le même nombre : il n'en a donc qu'un seul. Si on le déclarait premier, la décomposition d'un entier ne serait plus unique.

Jusqu'où faut-il tester pour savoir si un nombre est premier ?

Jusqu'à la racine carrée du nombre, et seulement par les nombres premiers. Pour quatre-vingt-onze, la racine vaut environ neuf virgule cinq : il faut donc tester deux, trois, cinq et sept. Sept divise quatre-vingt-onze, qui vaut sept fois treize et n'est donc pas premier.

Comment trouver tous les diviseurs d'un nombre sans en oublier ?

On les cherche par paires, en montant depuis un. Pour trente-six : un et trente-six, deux et dix-huit, trois et douze, quatre et neuf, six et six. Dès que le petit membre rejoint le grand, la liste est complète. Trente-six a ainsi neuf diviseurs.

Comment rendre une fraction irréductible du premier coup ?

On décompose le numérateur et le dénominateur en facteurs premiers, on garde les facteurs communs avec le plus petit exposant, et on divise les deux termes par leur produit. Pour quatre-vingt-quatre sur trois cent soixante, ce produit vaut douze, et la fraction devient sept sur trente.

Passer à la pratique

Exercices corrigés : Multiples, diviseurs et nombres premiers

Une méthode se prouve sur une copie, pas sur une fiche. La série du même chapitre reprend chacun de ces pièges dans un exercice, avec le corrigé rédigé étape par étape.

  • 15 exercices corrigés
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  • 195 minutes
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