Quatrième, programme français à Montréal • Exercices corrigés

Fiche de révision : puissances et écriture scientifique (Quatrième)

Les puissances arrivent avec quatre règles courtes, faciles à réciter et faciles à appliquer au mauvais endroit. Toutes concernent des produits et des quotients ; aucune ne dit quoi que ce soit d'une addition, et c'est là que les points se perdent.

L'écriture scientifique, elle, se juge sur une seule condition : un chiffre, un seul, non nul, avant la virgule. Cette fiche donne les huit erreurs qui coûtent des points et la ligne exacte à écrire à la place.

Le fil du chapitre

Les règles sur les puissances sont des règles de PRODUIT et de QUOTIENT : aucune ne parle d'une somme, et aucune ne franchit une parenthèse absente. L'écriture scientifique, elle, n'est pas un affichage mais une forme imposée, un seul chiffre non nul avant la virgule.

Ce chapitre fait partie de Mathématiques en Quatrième

Avant ce chapitre

Cette fiche suppose ces notions acquises. Si une méthode ci-dessous reste opaque, c'est presque toujours l'une d'elles qui manque, pas la fiche.

Multiplication et division de relatifs Fiche

Remonter plus loin : la chaîne complète (3 chapitres) ↓

Le chemin de remédiation, du plus ancien au plus proche. Un élève qui reprend ce chapitre de zéro le reprend dans cet ordre.

Notions couvertes

Puissance d'un nombre
Exposant nul
Exposant négatif
Puissances de dix
Règles des exposants
Écriture scientifique
Ordre de grandeur
Préfixes des unités
Comparaison de grands nombres
Priorités opératoires

L'essentiel

Ce que l'exposant compte, et ce que la parenthèse porte

• $a^{n}$ est le produit de $n$ facteurs égaux à $a$ . On a $a^{1}=a$ , et $a^{0}=1$ pour tout $a$ non nul.
• $(-2)^{4}=16$ mais $-2^{4}=-16$ : l'exposant ne porte que sur ce qui le précède immédiatement.
• Une puissance d'un nombre négatif entre parenthèses est positive si l'exposant est PAIR, négative s'il est IMPAIR.
• $10^{n}$ s'écrit avec un $1$ suivi de $n$ zéros ; $10^{-n}=\dfrac{1}{10^{n}}$ , et ce nombre reste POSITIF.

Une seule parenthèse sépare

-16

+16

: les deux écritures se ressemblent, et leurs résultats sont opposés, à trente-deux unités l'un de l'autre.

Un exposant négatif ne donne jamais un nombre négatif : il donne un nombre plus petit que $1$ . C'est la confusion la plus tenace du chapitre.

Les quatre règles, et leur domaine exact

• $a^{m}\times a^{n}=a^{m+n}$ , $\dfrac{a^{m}}{a^{n}}=a^{m-n}$ , $(a^{m})^{n}=a^{m\times n}$ et $(ab)^{n}=a^{n}b^{n}$ .
• Ces quatre règles concernent des PRODUITS et des QUOTIENTS. Aucune ne parle d'une somme : $2^{3}+2^{4}=24$ , qui n'est pas une puissance de $2$ .
• Les trois premières exigent la MÊME base : $2^{3}\times 5^{3}$ ne se simplifie pas en puissance de $2$ , mais en $10^{3}$ par la quatrième règle.
• Un produit ADDITIONNE les exposants, une puissance de puissance les MULTIPLIE : $2^{3}\times 2^{4}=2^{7}$ tandis que $(2^{3})^{4}=2^{12}$ .

Avant d'appliquer une règle, dire à voix basse l'opération et la base. Deux mots suffisent à écarter trois règles sur quatre.

L'écriture scientifique : une forme, pas un affichage

• Écriture scientifique : $a\times 10^{n}$ avec $1\leq a<10$ , donc UN SEUL chiffre non nul avant la virgule.
• Elle est unique : un nombre donné n'a qu'une seule écriture scientifique, ce qui permet de la corriger sans hésiter.
• Après un produit, il faut presque toujours renormaliser : $20\times 10^{4}=2\times 10^{5}$ et $0{,}5\times 10^{-3}=5\times 10^{-4}$ .
• Pour une somme, on ramène d'abord les deux termes à la MÊME puissance de $10$ , puis on additionne les facteurs.

Déplacer la virgule d'un rang vers la gauche augmente l'exposant de $1$ , et inversement. Le produit $a\times 10^{n}$ ne change pas : c'est le contrôle instantané.

Comparer, estimer, changer d'unité

• Deux nombres positifs en écriture scientifique se comparent par l'EXPOSANT d'abord, par le facteur seulement en cas d'égalité des exposants.
• Les préfixes : kilo pour $10^{3}$ , méga pour $10^{6}$ , giga pour $10^{9}$ , milli pour $10^{-3}$ , micro pour $10^{-6}$ , nano pour $10^{-9}$ .
• Un ordre de grandeur se lit dans l'exposant : de $10^{5}$ à $10^{8}$ , il y a un facteur $1\,000$ .
• Pour estimer, on arrondit le facteur à un chiffre et on ne touche jamais à l'exposant.

Sur une copie de contrôle, l'ordre de grandeur vaut souvent autant de points que la valeur exacte, et il se trouve en trois secondes.

Les règles de calcul en tableau

Chaque ligne se lit de gauche à droite : les hypothèses, puis le résultat. Une case rouge n'est pas une réponse, c'est le constat que la forme ne décide rien et l'ordre de transformer l'écriture. Chaque cas est suivi d'un exemple chiffré.

Les quatre règles, vérifiées en calculant les deux côtés

Chaque règle est écrite avec, à droite, le nombre que les deux membres donnent. Une règle dont on n'est pas sûr se retrouve ainsi en dix secondes, sans la chercher dans le cahier.

L'écriture	Ce qu'elle exige	Ce qu'elle devient
$a^{m}\times a^{n}$	la MÊME base	$a^{m+n}$
Exemple : $2^{3}\times 2^{4}=8\times 16=128$ , et $2^{7}=128$ . Les exposants s'AJOUTENT.
$\frac{a^{m}}{a^{n}}$	la MÊME base	$a^{m-n}$
Exemple : $\frac{10^{5}}{10^{2}}=\frac{100\,000}{100}=1000$ , et $10^{3}=1000$ .
$\left(a^{m}\right)^{n}$	rien	$a^{m\times n}$
Exemple : $\left(2^{3}\right)^{4}=8^{4}=4096$ , et $2^{12}=4096$ . Ici les exposants se MULTIPLIENT : c'est la différence avec la première ligne.
$(ab)^{n}$	un PRODUIT dans la parenthèse	$a^{n}b^{n}$
Exemple : $(2\times 5)^{3}=10^{3}=1000$ , et $2^{3}\times 5^{3}=8\times 125=1000$ . C'est la règle qui fabrique une puissance de $10$ .
$10^{-n}$	rien	$\frac{1}{10^{n}}$
Exemple : $10^{-3}=\frac{1}{1000}=0{,}001$ : un exposant négatif donne un nombre PETIT, jamais un nombre négatif.
$a^{m}+a^{n}$	$a^{m+n}$	une somme n'est pas une puissance règle inexistante
Exemple : $2^{3}+2^{4}=8+16=24$ , alors que $2^{7}=128$ . Et $24$ n'est même pas une puissance de $2$ , puisque $2^{4}=16$ et $2^{5}=32$ . Ce qu'il faut faire : On calcule chaque puissance, puis on additionne. Les quatre règles ne parlent que de produits et de quotients.
$-2^{4}$	$(-2)^{4}$	deux résultats opposés règle inexistante
Exemple : $(-2)^{4}=16$ car les quatre facteurs négatifs se compensent deux à deux, mais $-2^{4}=-16$ car l'exposant ne porte que sur le $2$ . Ce qu'il faut faire : On lit ce que la parenthèse contient AVANT de calculer. Sans parenthèse, l'exposant ne porte que sur le nombre qui le précède immédiatement.

Une puissance d'un nombre négatif entre parenthèses est positive si l'exposant est PAIR, négative s'il est IMPAIR : $(-3)^{2}=9$ et $(-3)^{3}=-27$ .

L'écriture scientifique : une seule forme est acceptée

Un nombre écrit $a\times 10^{n}$ n'est en écriture scientifique que si $a$ a UN SEUL chiffre non nul avant la virgule, donc si $1\leq a<10$ . Les autres écritures sont justes mais ne répondent pas à la question posée.

Le nombre	Une écriture	L'écriture SCIENTIFIQUE
$32\,000$	$32\times 10^{3}$	$3{,}2\times 10^{4}$
Exemple : $32\times 10^{3}$ vaut bien $32\,000$ , mais $32$ a deux chiffres avant la virgule : on déplace la virgule d'un rang et on ajoute $1$ à l'exposant.
$0{,}00047$	$47\times 10^{-5}$	$4{,}7\times 10^{-4}$
Exemple : On déplace la virgule de quatre rangs vers la droite, donc l'exposant est $-4$ . Un nombre plus petit que $1$ a toujours un exposant négatif.
$0{,}25\times 10^{6}$	déjà un produit	$2{,}5\times 10^{5}$
Exemple : $0{,}25$ est plus petit que $1$ : on déplace la virgule d'un rang vers la droite et on RETIRE $1$ à l'exposant, ce qui donne $250\,000$ dans les deux cas.
$7$	$7$	$7\times 10^{0}$
Exemple : Un nombre entre $1$ et $10$ est déjà en écriture scientifique, avec l'exposant $0$ . La question paraît piégée, elle ne l'est pas.
$6{,}02\times 10^{23}$	déjà correcte	$6{,}02\times 10^{23}$
Exemple : Le nombre d'Avogadro, tel qu'il s'écrit en physique et en chimie : $602\,000$ milliards de milliards, ce qui explique qu'on ne l'écrive jamais autrement.

L'ordre de grandeur est la puissance de $10$ seule : celui de $3{,}2\times 10^{4}$ est $10^{4}$ . Deux nombres se comparent d'abord par leur ordre de grandeur, et seulement ensuite par leur premier facteur.

Les pièges qui coûtent des points

Les erreurs ci-dessous sont celles que je corrige le plus souvent en séance. Chacune coûte des points sur une copie, même quand le raisonnement est juste.

1. Additionner les exposants dans une somme

2 points, et le même réflexe se reproduit à chaque ligne

Ce qu'il ne faut pas écrire

« $2^{3}+2^{4}=2^{7}$ . »

Ce qu'il faut écrire

« $2^{3}+2^{4}=8+16=24$ , qui n'est pas une puissance de $2$ : la règle des exposants ne vaut que pour un PRODUIT. »

Pourquoi : La règle $a^{m}\times a^{n}=a^{m+n}$ contient une addition d'exposants, ce qui donne l'impression qu'elle traite les sommes. Elle traite des produits, et rien d'autre.

2. Oublier que la parenthèse porte le signe

1,5 point, et le signe de toute l'expression qui suit

Ce qu'il ne faut pas écrire

« $-2^{4}=16$ , car une puissance paire est positive. »

Ce qu'il faut écrire

« $-2^{4}=-(2\times 2\times 2\times 2)=-16$ : l'exposant ne touche que le $2$ . C'est $(-2)^{4}$ qui vaut $16$ . »

Pourquoi : L'exposant est de proximité : il ne s'applique qu'à ce qui le précède immédiatement, c'est-à-dire au chiffre, pas au signe.

3. Croire qu'un exposant négatif donne un nombre négatif

1 point, et un ordre de grandeur absurde dans tout problème de physique

Ce qu'il ne faut pas écrire

« $10^{-3}$ est un nombre négatif. »

Ce qu'il faut écrire

« $10^{-3}=\dfrac{1}{10^{3}}=0{,}001$ : c'est un nombre POSITIF, simplement plus petit que $1$ . »

Pourquoi : Le signe moins ne porte pas sur le nombre mais sur l'exposant, où il signifie « on divise » et non « on retranche ».

4. Multiplier les exposants d'un produit

2 points, et un résultat trente fois trop grand

Ce qu'il ne faut pas écrire

« $2^{3}\times 2^{4}=2^{12}$ . »

Ce qu'il faut écrire

« $2^{3}\times 2^{4}=2^{7}=128$ : on ADDITIONNE les exposants d'un produit. C'est $(2^{3})^{4}$ qui vaut $2^{12}$ . »

Pourquoi : Les deux écritures se ressemblent beaucoup à l'œil. Compter les facteurs répond sans règle : $2^{3}\times 2^{4}$ aligne $3+4$ facteurs, $(2^{3})^{4}$ en aligne $3\times 4$ .

5. Rendre une écriture scientifique non normalisée

1 point à chaque conversion, et souvent quatre par exercice

Ce qu'il ne faut pas écrire

« $4\,300\,000=43\times 10^{5}$ , voilà son écriture scientifique. »

Ce qu'il faut écrire

« $4\,300\,000=4{,}3\times 10^{6}$ : l'écriture scientifique exige UN SEUL chiffre non nul avant la virgule. »

Les trois écritures valent le même nombre, et une seule est scientifique : celle dont le facteur est compris entre

1

10

, ici

4{,}3

Pourquoi : L'égalité proposée est vraie, mais ce n'est pas une écriture scientifique. La consigne porte sur la forme, et c'est la forme qui est notée.

6. Oublier de renormaliser après un produit

1 point, alors que tout le calcul était juste

Ce qu'il ne faut pas écrire

« $(5\times 10^{4})\times(4\times 10^{3})=20\times 10^{7}$ , c'est fini. »

Ce qu'il faut écrire

« $=20\times 10^{7}=2\times 10^{8}$ : le facteur $20$ dépasse $10$ , donc on décale la virgule et on augmente l'exposant de $1$ . »

Pourquoi : Le produit des facteurs sort presque toujours de l'intervalle autorisé. La renormalisation est une étape à part entière, à écrire sur sa propre ligne.

7. Additionner deux écritures scientifiques d'exposants différents

2 points, et un résultat deux fois trop grand

Ce qu'il ne faut pas écrire

« $3\times 10^{5}+4\times 10^{4}=7\times 10^{5}$ . »

Ce qu'il faut écrire

« $3\times 10^{5}+4\times 10^{4}=3\times 10^{5}+0{,}4\times 10^{5}=3{,}4\times 10^{5}$ : on ramène d'abord à la même puissance de $10$ . »

Pourquoi : On additionne les facteurs comme on additionnerait des nombres de même unité, alors que les unités diffèrent d'un facteur $10$ . C'est exactement le problème du dénominateur commun, transposé.

8. Comparer deux nombres par leur facteur

1 point par comparaison, et tout le rangement de la question

Ce qu'il ne faut pas écrire

« $9\times 10^{3}>2\times 10^{5}$ , car $9>2$ . »

Ce qu'il faut écrire

« $9\times 10^{3}=9\,000$ et $2\times 10^{5}=200\,000$ , donc $9\times 10^{3}<2\times 10^{5}$ : l'exposant décide en premier. »

Sur la frise des ordres de grandeur,

9\times 10^{3}

reste coincé sous

10^{4}

pendant que

2\times 10^{5}

dépasse la graduation suivante : le facteur

9

ne rattrape jamais deux rangs d'exposant.

Pourquoi : L'œil lit d'abord le chiffre de gauche, qui est justement celui qui ne décide pas. Le facteur ne tranche que si les deux exposants sont égaux.

Quelle méthode choisir

Quelle règle selon la forme de l'expression

On regarde l'opération qui relie les puissances, puis les bases. Rien d'autre ne décide.

Si un PRODUIT de deux puissances de même base → additionner les exposants

Exemple : $2^{3}\times 2^{4}=2^{7}$
Si un QUOTIENT de deux puissances de même base → soustraire les exposants, celui du haut moins celui du bas

Exemple : $\dfrac{10^{7}}{10^{4}}=10^{3}$

un exposant qui devient négatif est normal et signale un résultat plus petit que $1$
Si une puissance de puissance → multiplier les exposants

Exemple : $(2^{3})^{4}=2^{12}$
Si un produit de bases DIFFÉRENTES au même exposant → regrouper les bases sous un seul exposant

Exemple : $2^{3}\times 5^{3}=(2\times 5)^{3}=10^{3}$
Si une SOMME ou une différence de puissances → aucune règle ne s'applique : on calcule chaque puissance et on additionne

Exemple : $2^{3}+2^{4}=8+16=24$

sauf en écriture scientifique, où l'on ramène d'abord les deux termes à la même puissance de $10$

Si les bases diffèrent ET les exposants aussi, aucune règle n'existe : on calcule les deux puissances séparément.

Normaliser une écriture scientifique

On regarde le facteur écrit devant la puissance de $10$ , et lui seul.

Si le facteur est compris entre $1$ et $10$ → l'écriture est déjà scientifique, on ne touche à rien

Exemple : $4{,}3\times 10^{6}$
Si le facteur est supérieur ou égal à $10$ → décaler la virgule vers la GAUCHE et AUGMENTER l'exposant d'autant de rangs

Exemple : $20\times 10^{7}=2\times 10^{8}$
Si le facteur est plus petit que $1$ → décaler la virgule vers la DROITE et DIMINUER l'exposant d'autant de rangs

Exemple : $0{,}5\times 10^{-3}=5\times 10^{-4}$
Si le nombre est écrit en toutes lettres ou en décimal → compter les rangs de déplacement de la virgule jusqu'au premier chiffre non nul

Exemple : $0{,}00072=7{,}2\times 10^{-4}$

vers la droite l'exposant est négatif, vers la gauche il est positif

Le contrôle est toujours le même : le produit $a\times 10^{n}$ doit rester égal au nombre de départ. Une virgule déplacée sans changer l'exposant le trahit aussitôt.

La rédaction attendue

Le correcteur coche des étapes. Les voici dans l'ordre, avec la phrase de conclusion qu'il attend mot pour mot.

Calculer un produit en écriture scientifique

Quand l'utiliser : L'énoncé demande un produit ou un quotient de deux nombres donnés en écriture scientifique.

1 Séparer les facteurs des puissances de $10$ et l'écrire : $(5\times 10^{4})\times(4\times 10^{3})=(5\times 4)\times(10^{4}\times 10^{3})$ .
2 Calculer le produit des facteurs, puis appliquer la règle des exposants : $20\times 10^{7}$ .
3 Renormaliser sur une ligne à part, en disant pourquoi : « $20$ dépasse $10$ , donc on décale la virgule d'un rang ».
4 Donner le résultat en écriture scientifique, et son ordre de grandeur si l'énoncé le demande.

Phrase de conclusion

« Donc $(5\times 10^{4})\times(4\times 10^{3})=2\times 10^{8}$ . »

Le piège : S'arrêter à $20\times 10^{7}$ . Le calcul est juste mais la forme demandée n'est pas atteinte, et c'est la forme qui est notée.

Barème : 0,5 point pour le regroupement, 1 point pour le calcul, 0,5 pour la renormalisation.

Additionner deux nombres en écriture scientifique

Quand l'utiliser : L'énoncé additionne ou soustrait deux nombres donnés avec des puissances de $10$ différentes.

1 Repérer la PLUS GRANDE des deux puissances de $10$ : ici $10^{5}$ .
2 Réécrire l'autre terme avec cette puissance, en déplaçant sa virgule : $4\times 10^{4}=0{,}4\times 10^{5}$ .
3 Additionner les facteurs seulement, en gardant la puissance commune : $(3+0{,}4)\times 10^{5}$ .
4 Renormaliser si le facteur obtenu sort de l'intervalle entre $1$ et $10$ , puis conclure.

Phrase de conclusion

« Donc $3\times 10^{5}+4\times 10^{4}=3{,}4\times 10^{5}$ . »

Le piège : Additionner directement les facteurs $3$ et $4$ . C'est le même geste faux que d'additionner deux fractions sans dénominateur commun.

Barème : 1 point pour la mise à la même puissance de $10$ , 0,5 pour l'addition, 0,5 pour la forme finale.

Vérifier avant de rendre

Cinq minutes de vérification récupèrent plus de points qu'un exercice de plus commencé à la hâte.

Le produit reste égal au nombre de départ

Après tout déplacement de virgule, recalculer $a\times 10^{n}$ mentalement : le nombre doit être inchangé.

$20\times 10^{7}$ et $2\times 10^{8}$ valent tous deux $200\,000\,000$ . Un $2\times 10^{6}$ trahirait un exposant modifié dans le mauvais sens.
Le compte des facteurs, sans aucune règle

En cas de doute entre additionner et multiplier les exposants, écrire la puissance en toutes lettres et compter les facteurs.

$2^{3}\times 2^{4}$ aligne trois puis quatre facteurs $2$ , donc sept ; $(2^{3})^{4}$ répète quatre fois un paquet de trois, donc douze.
Le signe attendu, annoncé avant le calcul

Avant de calculer une puissance, dire si le résultat sera positif ou négatif : base entre parenthèses ou non, exposant pair ou impair.

$-2^{4}$ doit être négatif car le moins est hors de la puissance ; un $+16$ trouvé ensuite se repère sans relire le calcul.
L'ordre de grandeur du résultat

Arrondir chaque facteur à un chiffre et refaire le calcul de tête : le résultat doit avoir le même exposant, à une unité près.

$(5\times 10^{4})\times(4\times 10^{3})$ vaut environ $20\times 10^{7}$ , soit $10^{8}$ : une réponse en $10^{12}$ signale des exposants multipliés.

L'exercice type décortiqué

Une expression qui traverse toutes les règles

Calculer $A=\dfrac{(5\times 10^{4})\times(4\times 10^{3})}{2\times 10^{-2}}$ et donner le résultat en écriture scientifique.

Calculer ensuite $B=3\times 10^{5}+4\times 10^{4}$ , puis comparer $B$ à $9\times 10^{3}$ .

Étape 1

Numérateur : regrouper les facteurs d'un côté et les puissances de l'autre, $(5\times 4)\times(10^{4}\times 10^{3})=20\times 10^{7}$ .

Pourquoi

Le regroupement est le seul geste qui permet d'appliquer une règle : tant que les facteurs et les puissances sont mélangés, aucune des quatre règles ne s'applique.

Étape 2

Diviser : $\dfrac{20\times 10^{7}}{2\times 10^{-2}}=\dfrac{20}{2}\times\dfrac{10^{7}}{10^{-2}}=10\times 10^{9}$ .

Pourquoi

Pour un quotient, on soustrait les exposants : $7-(-2)=9$ . Retirer un exposant négatif l'AJOUTE, exactement comme pour les nombres relatifs.

Étape 3

Renormaliser : $10\times 10^{9}=1\times 10^{10}$ , donc $A=10^{10}$ .

Pourquoi

Le facteur $10$ n'est pas dans l'intervalle autorisé, qui s'arrête juste avant $10$ . Un rang de virgule vers la gauche, un rang d'exposant en plus : le nombre ne change pas.

Étape 4

Pour $B$ , ramener les deux termes à la même puissance : $4\times 10^{4}=0{,}4\times 10^{5}$ .

Pourquoi

On choisit la plus grande des deux puissances, ce qui donne un facteur plus petit que $1$ pour l'autre terme, mais évite d'écrire des nombres à plusieurs chiffres.

Étape 5

Additionner les facteurs : $B=(3+0{,}4)\times 10^{5}=3{,}4\times 10^{5}$ .

Pourquoi

Seuls les facteurs s'additionnent, la puissance commune se recopie. C'est la même mécanique que l'addition de fractions au même dénominateur.

Étape 6

Comparer : $B=3{,}4\times 10^{5}$ et $9\times 10^{3}$ . L'exposant $5$ dépasse l'exposant $3$ , donc $B>9\times 10^{3}$ .

Pourquoi

La comparaison se fait par l'exposant, jamais par le facteur. Le $9$ est le plus grand chiffre visible et c'est précisément celui qui ne décide de rien.

Étape 7

Vérification : $B=340\,000$ et $9\times 10^{3}=9\,000$ , et $A=10\,000\,000\,000$ .

Pourquoi

Réécrire les trois nombres en entier valide d'un coup la renormalisation, l'addition et la comparaison, sans refaire un seul calcul de puissance.

Conclusion rédigée

« Donc $A=10^{10}$ et $B=3{,}4\times 10^{5}$ , et $B$ est bien supérieur à $9\times 10^{3}$ . »

L'erreur classique sur cet exercice : Écrire $\dfrac{10^{7}}{10^{-2}}=10^{5}$ , en additionnant $7$ et $-2$ au lieu de soustraire. Le quotient soustrait les exposants, et soustraire $-2$ revient à ajouter $2$ : le résultat est $10^{9}$ , cent mille fois plus grand.

À savoir par cœur

• $a^{0}=1$ pour tout $a$ non nul, et $10^{-n}=\dfrac{1}{10^{n}}$ , qui reste POSITIF.
• $(-2)^{4}=16$ et $-2^{4}=-16$ : la parenthèse décide de ce que l'exposant touche.
• Produit : on ADDITIONNE les exposants. Puissance de puissance : on les MULTIPLIE.
• Quotient : on SOUSTRAIT les exposants, celui du haut moins celui du bas.
• Aucune règle ne parle d'une somme : $2^{3}+2^{4}=24$ .
• Écriture scientifique : $a\times 10^{n}$ avec un SEUL chiffre non nul avant la virgule.
• Comparer, c'est regarder l'EXPOSANT d'abord, le facteur seulement ensuite.

Questions fréquentes

Est-ce que dix puissance moins trois est un nombre négatif ?

Non. Dix puissance moins trois vaut un divisé par mille, soit zéro virgule zéro zéro un : c'est un nombre positif, simplement plus petit que un. Le signe moins porte sur l'exposant et signifie qu'on divise, jamais qu'on retranche quelque chose au nombre.

Quand faut-il additionner et quand faut-il multiplier les exposants ?

On additionne les exposants pour un produit de deux puissances de même base, et on les multiplie pour une puissance de puissance. Deux puissance trois fois deux puissance quatre vaut deux puissance sept ; deux puissance trois, le tout à la puissance quatre, vaut deux puissance douze.

Comment écrire un nombre en écriture scientifique ?

On place la virgule juste après le premier chiffre non nul, puis on compte les rangs dont la virgule a bougé : ce nombre de rangs est l'exposant. Il est positif si la virgule est allée vers la gauche, négatif si elle est allée vers la droite. Quatre millions trois cent mille s'écrit quatre virgule trois fois dix puissance six.

Pourquoi quarante-trois fois dix puissance cinq n'est pas une écriture scientifique ?

Parce que l'écriture scientifique impose un seul chiffre non nul avant la virgule, donc un facteur compris entre un et dix. Quarante-trois en a deux. L'égalité reste vraie, mais la forme demandée n'est pas atteinte, et c'est la forme qui est notée.

Comment comparer deux nombres en écriture scientifique ?

On compare d'abord les exposants : le plus grand exposant donne le plus grand nombre, quel que soit le facteur. Ce n'est qu'à exposants égaux qu'on regarde les facteurs. Neuf fois dix puissance trois vaut neuf mille, donc bien moins que deux fois dix puissance cinq, qui vaut deux cent mille.

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Exercices corrigés : Puissances et écriture scientifique

Une méthode se prouve sur une copie, pas sur une fiche. La série du même chapitre reprend chacun de ces pièges dans un exercice, avec le corrigé rédigé étape par étape.

16 exercices corrigés
160 points
205 minutes

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