Exercices corrigés : nombres et calcul littéral (Seconde)

a) $-7$ est un entier relatif mais pas naturel, donc $-7\in\mathbb{Z}$. $\frac{3}{4}=0{,}75$ possède une écriture décimale finie, donc $\frac{3}{4}\in\mathbb{D}$. $\sqrt{9}=3$ est un entier NATUREL, donc $\sqrt{9}\in\mathbb{N}$ : l'écriture avec un radical ne dit rien de la nature du nombre, et c'est le piège de la question. $\frac{22}{7}=3{,}142857\ldots$ n'a pas d'écriture décimale finie, donc $\frac{22}{7}\in\mathbb{Q}$. Enfin $-\frac{5}{2}=-2{,}5\in\mathbb{D}$.

b) La première est VRAIE, car tout entier $n$ s'écrit $\frac{n}{10^{0}}$, ce qui est bien la forme d'un décimal. La deuxième est VRAIE, car $\frac{a}{10^{n}}$ est un quotient de deux entiers, donc un rationnel. La troisième est FAUSSE : $\frac{1}{3}=0{,}333\ldots$ est rationnel sans être décimal, puisque son écriture décimale ne s'arrête jamais. L'emboîtement va donc dans un seul sens, et l'inclusion $\mathbb{D}\subset\mathbb{Q}$ est stricte.

c) Comme $\frac{1}{3}=0{,}3333\ldots$, tout nombre strictement compris entre $0{,}333$ et $0{,}3333\ldots$ convient. Par exemple $0{,}3332=\frac{3\,332}{10\,000}=\frac{833}{2\,500}$, qui est bien rationnel puisque quotient de deux entiers, et qui vérifie $0{,}333<0{,}3332<\frac{1}{3}$ ✓. Il en existe d'ailleurs une infinité, ce qui illustre que les rationnels sont DENSES : entre deux d'entre eux, aussi proches soient-ils, on peut toujours en glisser un troisième.

d) On multiplie par $100$ pour décaler d'exactement une PÉRIODE : $100x=27{,}272727\ldots$. En soustrayant $x$, les parties décimales infinies, qui sont identiques, disparaissent : $100x-x=27{,}2727\ldots-0{,}2727\ldots=27$, donc $99x=27$ et $x=\frac{27}{99}=\frac{3}{11}$. On vérifie : $3\div 11=0{,}272727\ldots$ ✓.

La technique de la question d) se généralise et vaut d'être retenue : on multiplie par $10^{k}$ où $k$ est la LONGUEUR de la période, puis on soustrait. Pour une période de un chiffre on multiplie par $10$, pour trois chiffres par $1\,000$. Elle démontre au passage un fait important : tout développement décimal périodique correspond à un rationnel, et réciproquement tout rationnel a un développement soit fini soit périodique. C'est précisément ce qui distingue $\mathbb{Q}$ de $\mathbb{R}$, un nombre comme $\sqrt{2}$ ou $\pi$ ayant un développement infini SANS période.

a) Au numérateur, un PRODUIT de puissances de même base additionne les exposants ; la division retranche celui du dénominateur : $A=2^{5-3-4}=2^{-2}=\frac{1}{2^{2}}=\frac{1}{4}=0{,}25$. Un exposant négatif ne rend pas le nombre négatif, il l'inverse.

b) On traite chaque base SÉPARÉMENT, les bases $3$ et $5$ ne se mélangeant jamais : $B=3^{2-4}\times 5^{3-1}=3^{-2}\times 5^{2}=\frac{25}{9}$. Écrire $15^{\text{quelque chose}}$ serait la faute à éviter.

c) $0{,}0000425=4{,}25\times 10^{-5}$ : la virgule se déplace de cinq rangs vers la droite, d'où l'exposant négatif. Et $78\,300\,000=7{,}83\times 10^{7}$, la virgule se déplaçant cette fois de sept rangs vers la gauche. On contrôle en vérifiant que la MANTISSE appartient bien à $[1\,;\,10[$, ce qui est le cas pour $4{,}25$ et $7{,}83$ ✓.

d) On regroupe les nombres d'un côté et les puissances de dix de l'autre : $C=(2{,}5\times 4)\times\left(10^{3}\times 10^{-6}\right)=10\times 10^{-3}=10^{-2}$, soit $1\times 10^{-2}$. Attention, $10\times 10^{-3}$ n'est PAS une notation scientifique, car la mantisse doit être comprise entre $1$ inclus et $10$ exclu : il faut donc faire la dernière conversion.

Trois remarques pour fiabiliser ces calculs. D'abord la notation scientifique n'est pas une coquetterie, elle rend les ordres de grandeur immédiatement comparables : entre $4{,}25\times 10^{-5}$ et $7{,}83\times 10^{7}$, l'écart de douze ordres de grandeur se lit d'un coup d'œil, ce que les écritures décimales masquaient. Ensuite le contrôle de la mantisse, systématique, rattrape la quasi-totalité des erreurs. Enfin, un contrôle d'ordre de grandeur vaut mieux qu'un calcul exact non vérifié : en d), $2{,}5\times 10^{3}$ vaut quelques milliers et $4\times 10^{-6}$ quelques millionièmes, leur produit doit donc être petit, de l'ordre du centième, et $10^{-2}$ y est ✓.

a) On cherche à chaque fois le plus grand CARRÉ PARFAIT qui divise le nombre : $\sqrt{50}=\sqrt{25\times 2}=\sqrt{25}\times\sqrt{2}=5\sqrt{2}$, et $\sqrt{180}=\sqrt{36\times 5}=6\sqrt{5}$. Extraire un carré plus petit, par exemple $\sqrt{180}=\sqrt{4\times 45}=2\sqrt{45}$, n'est pas faux mais ne répond pas à la consigne, $45$ contenant encore le carré $9$.

b) $\sqrt{12}+\sqrt{27}=2\sqrt{3}+3\sqrt{3}=5\sqrt{3}$ : on ne peut additionner que des radicaux ayant la MÊME partie irrationnelle, exactement comme on n'additionne que des termes en $x$ entre eux. Ensuite $\left(3+\sqrt{5}\right)\left(3-\sqrt{5}\right)=3^{2}-\left(\sqrt{5}\right)^{2}=9-5=4$, par la différence de carrés : le produit de deux irrationnels donne ici un entier.

c) On multiplie haut et bas par la quantité CONJUGUÉE : $\frac{1}{2-\sqrt{3}}=\frac{2+\sqrt{3}}{\left(2-\sqrt{3}\right)\left(2+\sqrt{3}\right)}=\frac{2+\sqrt{3}}{4-3}=\frac{2+\sqrt{3}}{1}=2+\sqrt{3}$. Le dénominateur devient entier parce que le produit des conjugués supprime le radical, et le résultat est ici particulièrement simple.

d) On compare les CARRÉS, ce qui est licite car les deux nombres sont positifs et que la fonction carré y est croissante. $\left(\sqrt{2}+\sqrt{3}\right)^{2}=2+2\sqrt{6}+3=5+2\sqrt{6}$. Or $\sqrt{6}>2{,}449$, donc ce carré dépasse $5+4{,}898=9{,}898$. Et $\pi^{2}\approx 9{,}870$. Donc $\left(\sqrt{2}+\sqrt{3}\right)^{2}>\pi^{2}$, et comme les deux nombres sont positifs, $\sqrt{2}+\sqrt{3}>\pi$.

L'écart trouvé en d) est minuscule, environ $0{,}005$, et c'est exactement le genre de comparaison qu'une valeur approchée trop grossière fait rater : arrondir les deux à $3{,}14$ ne permettrait pas de conclure. La technique du passage au carré est donc ce qui rend la démonstration RIGOUREUSE, à condition de justifier la positivité, sans laquelle elle serait fausse. Elle sert chaque fois qu'on compare des sommes de radicaux, où aucun calcul direct n'est possible. On notera enfin que $\sqrt{2}+\sqrt{3}\neq\sqrt{5}$, comme le rappellera l'exercice 9 : la racine ne se distribue jamais sur une somme.

a) $(2x-3)^{2}=(2x)^{2}-2\times 2x\times 3+3^{2}=4x^{2}-12x+9$. Le DOUBLE PRODUIT $-12x$ est le terme que l'on oublie le plus souvent, et le carré porte aussi sur le coefficient, d'où $4x^{2}$ et non $2x^{2}$. Ensuite $(x+4)(x-4)=x^{2}-16$, par la différence de carrés.

b) $9x^{2}-25=(3x)^{2}-5^{2}=(3x-5)(3x+5)$, différence de carrés. $x^{2}+6x+9=(x+3)^{2}$, carré parfait, ce qu'on vérifie sur le double produit $2\times x\times 3=6x$ ✓. Enfin $4x^{2}-12x=4x(x-3)$, par simple FACTEUR COMMUN : on cherche toujours celui-ci en premier, avant toute identité.

c) Le facteur commun n'est pas un monôme mais une PARENTHÈSE, ce qui déroute au début : les deux termes contiennent $(x-1)$. L'expression vaut donc $(x-1)\left[(2x+3)+(x-5)\right]=(x-1)(3x-2)$, après réduction du crochet. Contrôle en $x=0$ : l'énoncé donne $(-1)(3)+(-1)(-5)=-3+5=2$, et le résultat $(-1)(-2)=2$ ✓.

d) C'est une différence de carrés avec $a=2x+1$ et $b=3$ : $(2x+1)^{2}-9=(2x+1-3)(2x+1+3)=(2x-2)(2x+4)$. On peut aller plus loin en sortant les facteurs numériques de chaque parenthèse : $2(x-1)\times 2(x+2)=4(x-1)(x+2)$. Contrôle : les zéros doivent être $1$ et $-2$, et en effet $(2\times 1+1)^{2}-9=9-9=0$ ✓.

Le sens de l'opération dépend entièrement de ce qu'on veut en faire, et c'est le fil de tout ce chapitre. On DÉVELOPPE pour comparer deux expressions ou pour reconnaître une forme connue. On FACTORISE pour résoudre une équation, car un produit nul est le seul cas où l'on sait conclure, comme le montrera l'exercice 6, et pour étudier un signe, comme à l'exercice 7. La stratégie de factorisation se déroule toujours dans le même ordre : d'abord le facteur commun, monôme ou parenthèse, puis les identités remarquables, et enfin le regroupement. Un contrôle universel existe pour les quatre questions, celui de remplacer $x$ par une valeur simple dans les deux écritures.

a) On développe puis on regroupe : $3x-6+5=2x+7$, soit $3x-1=2x+7$, donc $3x-2x=7+1$ et $x=8$. Vérification dans l'équation de DÉPART, jamais dans une forme intermédiaire : $3(8-2)+5=3\times 6+5=18+5=23$ et $2\times 8+7=23$ ✓.

b) On multiplie les deux membres par $6$, plus petit commun multiple des dénominateurs, ce qui élimine toutes les fractions d'un coup : $3(x-3)-2(2x+1)=6$. On développe en surveillant le signe moins qui porte sur les deux termes : $3x-9-4x-2=6$, soit $-x-11=6$ et $x=-17$. Vérification : $\frac{-17-3}{2}-\frac{2\times(-17)+1}{3}=\frac{-20}{2}-\frac{-33}{3}=-10+11=1$ ✓.

c) $-2x+5\leq 11$ donne $-2x\leq 6$. On divise alors par $-2$, nombre NÉGATIF, ce qui INVERSE le sens de l'inégalité : $x\geq-3$. L'ensemble des solutions est $[-3\,;\,+\infty[$. Contrôle : $x=0$ doit convenir, et $5\leq 11$ ✓ ; $x=-4$ ne doit pas convenir, et $13>11$ ✓.

d) On traite les deux inégalités SIMULTANÉMENT, en appliquant la même opération aux trois membres. En ajoutant $2$ : $3<3x\leq 9$. En divisant par $3$, qui est positif, le sens est conservé : $1<x\leq 3$. L'ensemble des solutions est $]1\,;\,3]$, ouvert à gauche et fermé à droite, exactement comme l'énoncé.

Deux règles gouvernent tout cet exercice et il ne faut jamais les oublier. La première concerne le SIGNE du multiplicateur : multiplier ou diviser par un nombre négatif inverse l'inégalité, alors qu'ajouter ou retrancher ne change jamais rien. La seconde concerne les BORNES, qui suivent celles de l'énoncé : une inégalité stricte donne un crochet ouvert, une inégalité large un crochet fermé, et la question d) montre qu'un même ensemble peut être ouvert d'un côté et fermé de l'autre. Un contrôle rapide consiste à tester une valeur intérieure et une valeur extérieure, ce qui prend vingt secondes et détecte immédiatement une inégalité retournée.

a) Un produit est nul si et seulement si L'UN de ses facteurs l'est, et il faut examiner les deux : $2x-6=0$ donne $x=3$, et $x+4=0$ donne $x=-4$. L'ensemble des solutions est $\{-4\,;\,3\}$. Développer avant de résoudre serait une faute de méthode, car on perdrait la forme factorisée qui livre les solutions gratuitement.

b) On ramène tout d'un côté puis on factorise : $x^{2}-5x=0$, soit $x(x-5)=0$, donc $x=0$ ou $x=5$. Si l'on divise les deux membres par $x$, on obtient $x=5$ et l'on PERD la solution $x=0$. Diviser par une expression qui peut s'annuler fait disparaître des solutions, et c'est l'erreur la plus fréquente du chapitre : on ne divise jamais par une inconnue sans avoir écarté le cas où elle est nulle.

c) La valeur INTERDITE est $x=-2$, qui annule le dénominateur, et il faut la donner avant toute résolution. Un quotient est nul lorsque son numérateur l'est, donc $3x-1=0$ et $x=\frac{1}{3}$. Cette valeur est bien différente de $-2$, elle est donc acceptable. L'ensemble des solutions est $\left\{\frac{1}{3}\right\}$.

d) Le dénominateur $x^{2}-9=(x-3)(x+3)$ s'annule en $3$ et en $-3$ : ce sont les deux valeurs interdites. Or le numérateur $x-3$ s'annule en $x=3$, qui est justement l'une d'elles. Il n'y a donc AUCUNE solution. On peut le confirmer en simplifiant l'écriture en $\frac{1}{x+3}$ pour $x\neq 3$, et une telle expression, de numérateur constant égal à $1$, ne s'annule jamais ✓.

La question d) est le piège le plus subtil du chapitre, et il se répète chaque année : le candidat trouve $x=3$, ne vérifie pas, et rend une solution qui n'existe pas. La règle de sécurité tient en trois étapes menées TOUJOURS dans cet ordre. D'abord chercher les valeurs interdites, en factorisant le dénominateur si nécessaire. Ensuite résoudre numérateur égal à zéro. Enfin CONFRONTER les deux listes et écarter les valeurs interdites. Sauter la troisième étape ne coûte rien dans neuf cas sur dix, et coûte tout dans le dixième, qui est précisément celui que l'énoncé choisira.

a) On étudie chaque facteur séparément. Le facteur $2x-6$ s'annule en $x=3$, et comme son coefficient de $x$ est positif il est négatif AVANT et positif après. Le facteur $x+1$ s'annule en $x=-1$, négatif avant, positif après. Le produit suit alors la règle des signes : positif sur $]-\infty\,;\,-1[$ où les deux facteurs sont négatifs, négatif sur $]-1\,;\,3[$ où ils sont de signes contraires, positif sur $]3\,;\,+\infty[$, et nul en $-1$ et en $3$.

b) D'après le tableau, l'ensemble des solutions de $(2x-6)(x+1)\leq 0$ est le segment $[-1\,;\,3]$, bornes COMPRISES puisque l'inégalité est large et que le produit s'y annule effectivement.

c) La valeur interdite est $x=-2$. Le numérateur s'annule en $4$, le dénominateur en $-2$. Le quotient est positif quand les deux ont le MÊME signe : sur $]-\infty\,;\,-2[$ les deux sont négatifs, sur $]4\,;\,+\infty[$ les deux sont positifs, et entre les deux le quotient est négatif. L'ensemble des solutions est $]-\infty\,;\,-2[\ \cup\ [4\,;\,+\infty[$. La borne $4$ est INCLUSE car elle annule le quotient, mais $-2$ reste EXCLUE car le quotient n'y existe pas.

d) On ramène tout d'un côté, seule méthode correcte : $x^{2}-4\geq 0$, soit $(x-2)(x+2)\geq 0$. Le produit est positif à l'EXTÉRIEUR des racines, donc l'ensemble des solutions est $]-\infty\,;\,-2]\ \cup\ [2\,;\,+\infty[$. Répondre seulement $x\geq 2$ oublie la moitié des solutions : par exemple $x=-5$ vérifie bien $25\geq 4$ ✓.

L'énoncé le dit et il faut le retenir : pour une inéquation faisant intervenir un produit ou un quotient, on n'ISOLE PAS l'inconnue, on étudie le signe. La raison est que l'isolement exigerait de diviser par une quantité dont le signe est inconnu, ce qui obligerait à discuter, alors que le tableau traite tous les cas d'un coup. La question d) illustre en prime le danger de la racine carrée : passer de $x^{2}\geq 4$ à $x\geq 2$ revient à appliquer la racine sans précaution, alors que $\sqrt{x^{2}}=|x|$ et non $x$. La formulation correcte serait $|x|\geq 2$, qui donne bien les deux morceaux.

a) Soient $2k+1$ et $2p+1$ deux entiers impairs, avec $k$ et $p$ entiers. Leur somme vaut $2k+1+2p+1=2k+2p+2=2(k+p+1)$, qui est de la forme $2m$ avec $m=k+p+1$ ENTIER. La somme est donc paire. Le point de rédaction essentiel est d'utiliser deux lettres différentes, $k$ et $p$ : écrire deux fois $2k+1$ ne démontrerait le résultat que pour deux entiers ÉGAUX.

b) On factorise : $n^{2}+n=n(n+1)$. C'est le produit de deux entiers CONSÉCUTIFS, dont l'un au moins est pair, donc le produit est pair. On peut aussi raisonner par disjonction de cas : si $n=2k$, alors $n(n+1)=2k(2k+1)$ est visiblement pair ; si $n=2k+1$, alors $n+1=2k+2=2(k+1)$ est pair et le produit l'est aussi. Les deux rédactions sont acceptées.

c) Si $n$ est impair, il s'écrit $n=2k+1$, donc $n^{2}=(2k+1)^{2}=4k^{2}+4k+1=2\left(2k^{2}+2k\right)+1$, qui est de la forme $2m+1$ avec $m=2k^{2}+2k$ entier. Donc $n^{2}$ est impair. Ce résultat servira directement à la question suivante, sous sa forme CONTRAPOSÉE : si $n^{2}$ est pair, alors $n$ est pair.

d) De $\sqrt{2}=\frac{p}{q}$ on tire, en élevant au carré et en multipliant par $q^{2}$ : $p^{2}=2q^{2}$, donc $p^{2}$ est PAIR. D'après la contraposée de c), $p$ est alors pair, et l'on peut écrire $p=2k$. En reportant : $4k^{2}=2q^{2}$, soit $q^{2}=2k^{2}$, donc $q^{2}$ est pair et $q$ l'est aussi par le même argument. Mais alors $p$ et $q$ sont tous deux divisibles par $2$, ce qui CONTREDIT l'hypothèse que la fraction est irréductible. L'hypothèse de départ est donc fausse : $\sqrt{2}$ n'est pas rationnel.

La question d) est une démonstration par l'ABSURDE, et sa structure mérite d'être isolée car elle revient tout au long du lycée. On suppose le contraire de ce qu'on veut prouver, on en tire par déductions correctes une contradiction, et l'on conclut que l'hypothèse était fausse. Le point subtil est le rôle de l'hypothèse d'IRRÉDUCTIBILITÉ, qui n'est pas une restriction : toute fraction peut être rendue irréductible en simplifiant, on ne perd donc aucune généralité, et c'est précisément elle qui fournit la contradiction. Le résultat lui-même est historiquement considérable, puisqu'il prouve l'existence de nombres IRRATIONNELS et justifie à lui seul la construction de $\mathbb{R}$ au-delà de $\mathbb{Q}$, ce que l'exercice 1 annonçait.

a) Faux : il manque le DOUBLE PRODUIT. La bonne identité est $(a+b)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}$. Contre-exemple avec $a=b=1$ : $(1+1)^{2}=4$ alors que $1^{2}+1^{2}=2$. Les deux ne coïncident que lorsque $2ab=0$, c'est-à-dire si $a$ ou $b$ est nul, ce qui explique que l'erreur passe parfois inaperçue sur un cas mal choisi.

b) Faux : la racine carrée ne se distribue PAS sur une somme, seulement sur un produit. Contre-exemple avec $a=b=9$ : $\sqrt{18}\approx 4{,}243$ alors que $\sqrt{9}+\sqrt{9}=6$. En revanche $\sqrt{9\times 9}=9=\sqrt{9}\times\sqrt{9}$ est bien vrai ✓. La confusion vient de ce que la règle valable pour les produits est étendue par analogie aux sommes, alors que rien ne le justifie.

c) Faux : il y a DEUX solutions, $x=4$ et $x=-4$, car $(-4)^{2}=16$ également. On le voit en factorisant : $x^{2}-16=(x-4)(x+4)=0$. Ne garder que la racine positive est l'erreur classique, entretenue par la calculatrice, dont la touche racine carrée ne renvoie qu'un seul nombre : c'est que $\sqrt{16}$ désigne par convention la racine POSITIVE, alors que l'équation $x^{2}=16$ en a deux.

d) Faux : multiplier par un nombre strictement négatif INVERSE le sens de l'inégalité. Contre-exemple : $3<5$, mais $-6>-10$. La règle vaut aussi pour la division, et c'est exactement ce qui a servi à la question c) de l'exercice 5. Multiplier par un nombre POSITIF, en revanche, ne change rien.

Ces quatre erreurs se répartissent en deux familles qu'il vaut la peine de nommer. Les deux premières sont des fausses DISTRIBUTIVITÉS : on applique à une opération une règle qui n'appartient qu'à une autre. Le remède est un test numérique sur un cas simple, qui prend cinq secondes et démolit n'importe quelle fausse identité. Les deux dernières sont des SOLUTIONS ou des CAS OUBLIÉS : la racine négative en c), le renversement du signe en d). Le remède est ici différent, il consiste à se demander systématiquement s'il n'existe pas un second cas, ce qui est presque toujours vrai dès qu'un carré ou un signe inconnu intervient.

a) Le périmètre vaut $2\times\left(\text{largeur}+\text{longueur}\right)=40$, donc largeur plus longueur vaut $20$ et la longueur s'exprime en $20-x$. L'aire est alors $A(x)=x(20-x)$. Pour que le terrain EXISTE, il faut deux dimensions strictement positives : $x>0$ et $20-x>0$, d'où $x\in\ ]0\,;\,20[$. Préciser cet ensemble fait partie de la réponse, un $x$ négatif ou supérieur à $20$ n'ayant aucun sens.

b) On développe la forme proposée pour vérifier qu'elle coïncide : $100-(x-10)^{2}=100-\left(x^{2}-20x+100\right)=100-x^{2}+20x-100=-x^{2}+20x=x(20-x)$ ✓. C'est bien $A(x)$. On est passé à la forme CANONIQUE en complétant le carré, ce qui ne change pas la fonction mais change radicalement ce qu'on peut y lire.

c) Le carré $(x-10)^{2}$ est toujours positif ou nul, donc on RETRANCHE toujours quelque chose à $100$ : $A(x)\leq 100$, avec égalité si et seulement si $(x-10)^{2}=0$, c'est-à-dire $x=10$. L'aire maximale vaut donc $100$ mètres carrés, atteinte pour une largeur de $10$ mètres et donc une longueur de $20-10=10$ mètres : le rectangle optimal est un CARRÉ. C'est le résultat intéressant du problème, et la forme canonique le démontre en une ligne, sans aucune dérivée.

d) On résout $100-(x-10)^{2}\geq 91$, soit $(x-10)^{2}\leq 9$. Cette inégalité signifie que la DISTANCE de $x$ à $10$ est au plus $3$, c'est-à-dire $-3\leq x-10\leq 3$, donc $7\leq x\leq 13$. Toutes ces largeurs appartiennent bien à $]0\,;\,20[$ ✓. Vérification aux bornes : $A(7)=7\times 13=91$ et $A(13)=13\times 7=91$ ✓, ce qui est cohérent avec la symétrie du problème autour de $x=10$.

Deux enseignements pour finir. Le premier est que la FORME CANONIQUE est l'outil qui donne l'optimum en Seconde, là où la dérivée le donnera en Première : la reconnaître ou la construire par complétion du carré est donc un investissement rentable. Le second est le résultat lui-même, qui se généralise : parmi tous les rectangles de PÉRIMÈTRE donné, le carré est celui d'aire maximale. On le retrouve partout, de l'agriculture à l'emballage, et sa version inverse est tout aussi utile, à savoir que parmi tous les rectangles d'AIRE donnée, le carré est celui de plus petit périmètre. La symétrie constatée en d), avec $A(7)=A(13)$, en est la trace : deux largeurs équidistantes de $10$ donnent le même terrain, à une rotation près.

a) La multiplication est PRIORITAIRE sur la soustraction : $\frac{5}{6}\times\frac{4}{5}=\frac{20}{30}=\frac{2}{3}$. Donc $A=\frac{2}{3}-\frac{2}{3}=0$. Calculer de gauche à droite donnerait $\left(\frac{2}{3}-\frac{5}{6}\right)\times\frac{4}{5}=-\frac{1}{6}\times\frac{4}{5}=-\frac{2}{15}$, un résultat faux qui a pourtant l'air très propre.

b) Une grande barre de fraction joue le rôle de deux paires de parenthèses. Numérateur : $\frac{3}{6}+\frac{2}{6}=\frac{5}{6}$. Dénominateur : $\frac{4}{4}-\frac{1}{4}=\frac{3}{4}$. Diviser par $\frac{3}{4}$, c'est multiplier par son inverse $\frac{4}{3}$ : $B=\frac{5}{6}\times\frac{4}{3}=\frac{20}{18}=\frac{10}{9}$. Contrôle d'ordre de grandeur : $\frac{0{,}83}{0{,}75}\approx 1{,}11$ ✓.