Exercices corrigés : nombres et calcul littéral (Seconde)

a) $-7$ est un entier relatif, donc $-7\in\mathbb{Z}$. $\frac{3}{4}=0{,}75$ est décimal, donc $\frac{3}{4}\in\mathbb{D}$. $\sqrt{9}=3$ est un entier naturel, donc $\sqrt{9}\in\mathbb{N}$ : l'écriture avec un radical ne dit rien de la nature du nombre. $\frac{22}{7}=3{,}142857\ldots$ n'a pas d'écriture décimale finie, donc $\frac{22}{7}\in\mathbb{Q}$. Enfin $-\frac{5}{2}=-2{,}5\in\mathbb{D}$.

b) « Tout entier relatif est un décimal » est vrai, car $n=\frac{n}{10^{0}}$. « Tout décimal est un rationnel » est vrai, car $\frac{a}{10^{n}}$ est bien un quotient d'entiers. « Tout rationnel est un décimal » est faux : $\frac{1}{3}=0{,}333\ldots$ n'a pas d'écriture décimale finie.

c) Comme $\frac{1}{3}=0{,}3333\ldots$, tout nombre de la forme $0{,}3331$ à $0{,}3333$ convient. Par exemple $0{,}3332=\frac{3332}{10\,000}=\frac{833}{2\,500}$, qui est bien rationnel et vérifie $0{,}333<0{,}3332<\frac{1}{3}$.

d) On multiplie par 100 pour décaler d'une période : $100x=27{,}272727\ldots$. En soustrayant, la partie décimale infinie disparaît : $100x-x=27{,}2727\ldots-0{,}2727\ldots=27$, donc $99x=27$ et $x=\frac{27}{99}=\frac{3}{11}$. Un développement décimal périodique correspond toujours à un rationnel.

a) $A=2^{5-3-4}=2^{-2}=\frac{1}{4}=0{,}25$. On additionne les exposants au numérateur, puis on retranche celui du dénominateur.

b) $B=3^{2-4}\times 5^{3-1}=3^{-2}\times 5^{2}=\frac{25}{9}$.

c) $0{,}0000425=4{,}25\times 10^{-5}$ : la virgule se déplace de 5 rangs vers la droite, d'où l'exposant négatif. $78\,300\,000=7{,}83\times 10^{7}$.

d) $C=(2{,}5\times 4)\times\left(10^{3}\times 10^{-6}\right)=10\times 10^{-3}=10^{-2}$, soit $1\times 10^{-2}$. Attention : $10\times 10^{-3}$ n'est pas une notation scientifique, car le facteur doit être compris entre 1 et 10.

a) $\sqrt{50}=\sqrt{25\times 2}=5\sqrt{2}$ et $\sqrt{180}=\sqrt{36\times 5}=6\sqrt{5}$. On cherche à chaque fois le plus grand carré parfait qui divise le nombre.

b) $\sqrt{12}+\sqrt{27}=2\sqrt{3}+3\sqrt{3}=5\sqrt{3}$ : on ne peut additionner que des radicaux de même partie irrationnelle. Ensuite $\left(3+\sqrt{5}\right)\left(3-\sqrt{5}\right)=3^{2}-\left(\sqrt{5}\right)^{2}=9-5=4$, par l'identité de la différence de carrés.

c) On multiplie par la quantité conjuguée : $\frac{1}{2-\sqrt{3}}=\frac{2+\sqrt{3}}{\left(2-\sqrt{3}\right)\left(2+\sqrt{3}\right)}=\frac{2+\sqrt{3}}{4-3}=2+\sqrt{3}$. Le dénominateur devient entier parce que le produit des conjuguées supprime le radical.

d) On compare les carrés, ce qui est licite car les deux nombres sont positifs. $\left(\sqrt{2}+\sqrt{3}\right)^{2}=2+2\sqrt{6}+3=5+2\sqrt{6}$. Or $\sqrt{6}>2{,}449$, donc ce carré dépasse $9{,}898$. Et $\pi^{2}\approx 9{,}870$. Donc $\left(\sqrt{2}+\sqrt{3}\right)^{2}>\pi^{2}$, et comme les deux nombres sont positifs, $\sqrt{2}+\sqrt{3}>\pi$. L'écart est minuscule, environ $0{,}005$ : c'est exactement le genre de comparaison qu'une valeur approchée trop grossière fait rater.

a) $(2x-3)^{2}=4x^{2}-12x+9$. Le double produit $-12x$ est le terme que l'on oublie le plus souvent. $(x+4)(x-4)=x^{2}-16$.

b) $9x^{2}-25=(3x)^{2}-5^{2}=(3x-5)(3x+5)$. $x^{2}+6x+9=(x+3)^{2}$. $4x^{2}-12x=4x(x-3)$, par facteur commun.

c) Le facteur commun est $(x-1)$ : l'expression vaut $(x-1)\left[(2x+3)+(x-5)\right]=(x-1)(3x-2)$.

d) C'est une différence de carrés avec $a=2x+1$ et $b=3$ : $(2x+1-3)(2x+1+3)=(2x-2)(2x+4)$. On peut aller plus loin en sortant les facteurs numériques : $2(x-1)\times 2(x+2)=4(x-1)(x+2)$.

a) $3x-6+5=2x+7$, soit $3x-1=2x+7$, donc $x=8$. Vérification : $3\times 6+5=23$ et $2\times 8+7=23$.

b) On multiplie les deux membres par 6 : $3(x-3)-2(2x+1)=6$, soit $3x-9-4x-2=6$, donc $-x-11=6$ et $x=-17$. Vérification : $\frac{-20}{2}-\frac{-33}{3}=-10+11=1$.

c) $-2x\leq 6$, puis on divise par $-2$ en changeant le sens : $x\geq-3$. L'ensemble des solutions est $[-3\ ;\ +\infty[$.

d) On traite les deux inégalités simultanément. En ajoutant 2 : $3<3x\leq 9$. En divisant par 3, qui est positif, le sens est conservé : $1<x\leq 3$. L'ensemble des solutions est $]1\ ;\ 3]$, ouvert à gauche et fermé à droite, exactement comme l'énoncé.

a) Le produit est nul si $2x-6=0$ ou $x+4=0$, donc $x=3$ ou $x=-4$. L'ensemble des solutions est $\{-4\ ;\ 3\}$.

b) On ramène tout d'un côté : $x^{2}-5x=0$, soit $x(x-5)=0$, donc $x=0$ ou $x=5$. Si l'on divise par $x$, on obtient $x=5$ et on perd la solution $x=0$ : diviser par une expression qui peut être nulle fait disparaître des solutions. C'est l'erreur la plus fréquente du chapitre.

c) La valeur interdite est $x=-2$, qui annule le dénominateur. Le quotient est nul lorsque $3x-1=0$, soit $x=\frac{1}{3}$, qui est bien différent de $-2$. L'ensemble des solutions est $\left\{\frac{1}{3}\right\}$.

d) Le dénominateur $x^{2}-9=(x-3)(x+3)$ s'annule en $3$ et en $-3$ : ce sont les valeurs interdites. Le numérateur $x-3$ s'annule en $x=3$, qui est justement une valeur interdite. Il n'y a donc aucune solution. On peut simplifier l'écriture en $\frac{1}{x+3}$ pour $x\neq 3$, et une telle expression ne s'annule jamais, ce qui confirme le résultat.

a) Le facteur $2x-6$ s'annule en $x=3$ et est négatif avant, positif après. Le facteur $x+1$ s'annule en $x=-1$ et est négatif avant, positif après. Le produit est donc positif sur $]-\infty\ ;\ -1[$, négatif sur $]-1\ ;\ 3[$ et positif sur $]3\ ;\ +\infty[$, nul en $-1$ et en $3$.

b) D'après le tableau, l'ensemble des solutions est $[-1\ ;\ 3]$, bornes comprises puisque l'inégalité est large.

c) La valeur interdite est $x=-2$. Le numérateur s'annule en 4, le dénominateur en $-2$. Le quotient est positif quand les deux ont le même signe : sur $]-\infty\ ;\ -2[$ les deux sont négatifs, sur $]4\ ;\ +\infty[$ les deux sont positifs. L'ensemble des solutions est $]-\infty\ ;\ -2[\cup[4\ ;\ +\infty[$. La borne $4$ est incluse car elle annule le quotient, mais $-2$ reste exclue.

d) L'inéquation équivaut à $x^{2}-4\geq 0$, soit $(x-2)(x+2)\geq 0$. Le produit est positif à l'extérieur des racines : l'ensemble des solutions est $]-\infty\ ;\ -2]\cup[2\ ;\ +\infty[$. Répondre seulement $x\geq 2$ oublie la moitié des solutions : par exemple $x=-5$ vérifie bien $25\geq 4$.

a) Soient $2k+1$ et $2p+1$ deux entiers impairs. Leur somme vaut $2k+1+2p+1=2k+2p+2=2(k+p+1)$, qui est de la forme $2m$ avec $m=k+p+1$ entier. La somme est donc paire.

b) On factorise : $n^{2}+n=n(n+1)$. C'est le produit de deux entiers consécutifs, dont l'un au moins est pair, donc le produit est pair. On peut aussi raisonner par disjonction : si $n=2k$, alors $n(n+1)=2k(2k+1)$ est pair ; si $n=2k+1$, alors $n+1=2k+2$ est pair et le produit l'est aussi.

c) Si $n=2k+1$, alors $n^{2}=(2k+1)^{2}=4k^{2}+4k+1=2\left(2k^{2}+2k\right)+1$, qui est de la forme $2m+1$. Donc $n^{2}$ est impair.

d) De $\sqrt{2}=\frac{p}{q}$ on tire $p^{2}=2q^{2}$, donc $p^{2}$ est pair. D'après la question c), si $p$ était impair alors $p^{2}$ serait impair : donc $p$ est pair, et on peut écrire $p=2k$. En reportant, $4k^{2}=2q^{2}$, soit $q^{2}=2k^{2}$ : par le même argument, $q$ est pair. Mais alors $p$ et $q$ sont tous deux divisibles par 2, ce qui contredit l'hypothèse que la fraction est irréductible. L'hypothèse de départ est donc fausse : $\sqrt{2}$ n'est pas rationnel.

a) Faux : il manque le double produit. La bonne identité est $(a+b)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}$. Contre-exemple avec $a=b=1$ : $(1+1)^{2}=4$ alors que $1^{2}+1^{2}=2$. Les deux ne coïncident que lorsque $2ab=0$, c'est-à-dire si $a$ ou $b$ est nul.

b) Faux : la racine carrée ne se distribue pas sur une somme, seulement sur un produit. Contre-exemple avec $a=b=9$ : $\sqrt{18}\approx 4{,}243$ alors que $\sqrt{9}+\sqrt{9}=6$. En revanche $\sqrt{9\times 9}=9=\sqrt{9}\times\sqrt{9}$ est bien vrai.

c) Faux : il y a deux solutions, $x=4$ et $x=-4$, car $(-4)^{2}=16$ aussi. On le voit en factorisant : $x^{2}-16=(x-4)(x+4)=0$. Ne garder que la racine positive est l'erreur classique, parce que la touche racine carrée de la calculatrice ne renvoie qu'un seul nombre.

d) Faux : multiplier par un nombre strictement négatif inverse le sens de l'inégalité. Contre-exemple : $3<5$, mais $-6>-10$. La règle vaut aussi pour la division.

a) Le périmètre vaut $2\times(\text{largeur}+\text{longueur})=40$, donc largeur plus longueur vaut 20 et la longueur est $20-x$. L'aire est donc $A(x)=x(20-x)$. Pour que le terrain existe, il faut $x>0$ et $20-x>0$, donc $x\in\left]0\ ;\ 20\right[$.

b) On développe la forme proposée : $100-(x-10)^{2}=100-\left(x^{2}-20x+100\right)=-x^{2}+20x=x(20-x)$. C'est bien $A(x)$. On est passé à la forme canonique en complétant le carré.

c) Le carré $(x-10)^{2}$ est toujours positif ou nul, donc $A(x)\leq 100$, avec égalité si et seulement si $x=10$. L'aire maximale vaut 100 mètres carrés, atteinte pour une largeur de 10 mètres et donc une longueur de 10 mètres : le rectangle optimal est un carré. C'est le résultat intéressant du problème, et la forme canonique le démontre en une ligne, sans dérivée.

d) On résout $100-(x-10)^{2}\geq 91$, soit $(x-10)^{2}\leq 9$. Cela signifie que la distance de $x$ à 10 est au plus 3, c'est-à-dire $-3\leq x-10\leq 3$, donc $7\leq x\leq 13$. Toutes ces largeurs sont bien dans $]0\ ;\ 20[$. Vérification aux bornes : $A(7)=7\times 13=91$ et $A(13)=13\times 7=91$, ce qui est cohérent avec la symétrie du problème autour de $x=10$.