Exercice 0.1 : Développer avec les identités remarquables : dix calculs directs

Développez et réduisez chaque expression à l'aide des identités remarquables, puis donnez les coefficients demandés de la forme réduite. Le « coefficient de $x$ » est le nombre devant $x$ , le « terme constant » est le nombre seul ; un terme absent vaut $0$ .

Une seule méthode pour les dix lignes. Reconnaître l'identité : $(a+b)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}$ , $(a-b)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}$ ou $(a-b)(a+b)=a^{2}-b^{2}$ . ÉCRIRE ce que valent $a$ et $b$ , en blocs : dans $(5x+2)^{2}$ , $a=5x$ . Remplacer dans la formule, puis réduire. Pour les deux dernières lignes, on développe chaque morceau séparément, entre parenthèses, avant de réduire.

a) $(x+8)^{2}$
b) $(x-9)^{2}$
c) $(x-10)(x+10)$
d) $(5x+2)^{2}$
e) $(3x-4)^{2}$
f) $(6x+1)(6x-1)$
g) $(5-4x)^{2}$
h) $(x+0{,}5)^{2}$
i) $(x+4)^{2}+(x-6)^{2}$
j) $(x+9)^{2}-(x-9)(x+9)$

Tape tes réponses, la page te dit juste ou faux 0/21

a)

Coefficient de

x

Terme constant

b)

Coefficient de

x

Terme constant

c)

Coefficient de

x

Terme constant

d)

Coefficient de

x^{2}

Coefficient de

x

e)

Coefficient de

x

Terme constant

f)

Coefficient de

x^{2}

Terme constant

g)

Coefficient de

x^{2}

Coefficient de

x

h)

Coefficient de

x

Terme constant

i)

Coefficient de

x^{2}

Coefficient de

x

Terme constant

j)

Coefficient de

x

Terme constant

Voir la correction

Réponses

a) $x^{2}+16x+64$
b) $x^{2}-18x+81$
c) $x^{2}-100$
d) $25x^{2}+20x+4$
e) $9x^{2}-24x+16$
f) $36x^{2}-1$
g) $16x^{2}-40x+25$
h) $x^{2}+x+0{,}25$
i) $2x^{2}-4x+52$
j) $18x+162$

Le geste qui décide de tout : écrire $a$ et $b$ AVANT de développer. Tant qu'on sait que $a=5x$ , on ne peut pas écrire $5x^{2}$ ; tant qu'on sait que $b=4x$ dans $(5-4x)^{2}$ , on ne peut pas oublier que $b^{2}=16x^{2}$ .

a)

$(a+b)^{2}$ avec $a=x$ , $b=8$ : $x^{2}+2\times x\times 8+8^{2}=x^{2}+16x+64$ . Piège : $x^{2}+64$ , sans le double produit.

b)

$(a-b)^{2}$ avec $a=x$ , $b=9$ : $x^{2}-2\times x\times 9+9^{2}=x^{2}-18x+81$ . Piège : $-81$ ; le dernier terme est un CARRÉ, toujours positif, le signe moins ne porte que sur le double produit.

c)

$(a-b)(a+b)$ avec $a=x$ , $b=10$ : $x^{2}-10^{2}=x^{2}-100$ . Les termes en $x$ s'annulent, $-10x+10x=0$ , donc le coefficient de $x$ vaut $0$ .

d)

$(a+b)^{2}$ avec $a=5x$ , $b=2$ : $(5x)^{2}+2\times 5x\times 2+2^{2}=25x^{2}+20x+4$ . Piège : $5x^{2}$ ; le carré porte sur le $5$ aussi, $(5x)^{2}=5x\times 5x=25x^{2}$ .

e)

$(a-b)^{2}$ avec $a=3x$ , $b=4$ : $(3x)^{2}-2\times 3x\times 4+4^{2}=9x^{2}-24x+16$ . Contrôle pour $x=1$ : $(3-4)^{2}=1$ et $9-24+16=1$ .

f)

$(a+b)(a-b)$ avec $a=6x$ , $b=1$ : $(6x)^{2}-1^{2}=36x^{2}-1$ . Piège : $6x^{2}-1$ , ou $36x^{2}+1$ ; le résultat est une DIFFÉRENCE.

g)

$(a-b)^{2}$ avec $a=5$ , $b=4x$ : $5^{2}-2\times 5\times 4x+(4x)^{2}=25-40x+16x^{2}$ , soit $16x^{2}-40x+25$ une fois rangé. L'ordre des termes ne change rien à l'identité ; il faut seulement que $b$ soit le bloc $4x$ entier.

h)

$(a+b)^{2}$ avec $a=x$ , $b=0{,}5$ : $x^{2}+2\times x\times 0{,}5+0{,}5^{2}=x^{2}+x+0{,}25$ . Piège : $0{,}5^{2}=0{,}25$ et non $0{,}5$ ni $1$ ; et $2\times 0{,}5=1$ , d'où le terme $x$ tout seul.

i)

Deux carrés développés séparément : $(x+4)^{2}=x^{2}+8x+16$ et $(x-6)^{2}=x^{2}-12x+36$ . On ajoute : $x^{2}+x^{2}+8x-12x+16+36=2x^{2}-4x+52$ . Les deux $x^{2}$ ne s'annulent pas, ils s'ajoutent.

j)

$(x+9)^{2}=x^{2}+18x+81$ et $(x-9)(x+9)=x^{2}-81$ . Le moins devant la seconde expression change TOUS ses signes : $x^{2}+18x+81-(x^{2}-81)=x^{2}+18x+81-x^{2}+81=18x+162$ . Piège : écrire $-x^{2}-81$ et trouver $18x$ seul.

Contrôle : on remplace $x$ par $1$ dans l'expression de départ et dans la forme réduite, les deux nombres doivent être égaux ; par exemple en g), $(5-4)^{2}=1$ et $16-40+25=1$ . Pour h), on prend $x=2$ : $2{,}5^{2}=6{,}25$ et $4+2+0{,}25=6{,}25$ .

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Exercice 0.2 : Factoriser avec les identités remarquables : dix calculs directs

Factorisez chaque expression à l'aide d'une identité remarquable, en cherchant d'abord un éventuel facteur commun, puis donnez les nombres demandés de la forme factorisée.

Une seule méthode pour les dix lignes. Un facteur commun d'abord, s'il y en a un. Puis on lit l'expression : deux carrés séparés par un MOINS donnent $a^{2}-b^{2}=(a-b)(a+b)$ ; trois termes dont les deux extrêmes sont des carrés positifs donnent $(a+b)^{2}$ ou $(a-b)^{2}$ , à condition que le terme du milieu soit bien $2ab$ . On écrit $a$ et $b$ , on VÉRIFIE le double produit, puis on écrit la forme factorisée.

a) $x^{2}-144$
b) $64x^{2}-25$
c) $100-9x^{2}$
d) $x^{2}+20x+100$
e) $x^{2}-30x+225$
f) $9x^{2}+30x+25$
g) $16x^{2}-56x+49$
h) $5x^{2}-80$
i) $(x+1)^{2}-36$
j) $(4x+1)^{2}-(x+3)^{2}$

Tape tes réponses, la page te dit juste ou faux 0/16

a)

c

dans

(x-c)(x+c)

b)

p

dans

(px-q)(px+q)

q

c)

q

dans

(q-px)(q+px)

p

d)

q

dans

(x+q)^{2}

e)

q

dans

(x+q)^{2}

f)

p

dans

(px+q)^{2}

q

g)

p

dans

(px+q)^{2}

q

h)

k

dans

k(x-c)(x+c)

c

i)

r

dans

(x+r)(x+s)

,

r<s

s

j)

La forme factorisée

Voir la correction

Réponses

a) $(x-12)(x+12)$
b) $(8x-5)(8x+5)$
c) $(10-3x)(10+3x)$
d) $(x+10)^{2}$
e) $(x-15)^{2}$
f) $(3x+5)^{2}$
g) $(4x-7)^{2}$
h) $5(x-4)(x+4)$
i) $(x-5)(x+7)$
j) $(3x-2)(5x+4)$

Le geste qui décide de tout : identifier $a$ et $b$ comme les nombres DONT ON A PRIS LE CARRÉ, pas comme les termes eux-mêmes. Dans $64x^{2}$ , $a=8x$ et non $64x$ ; dans $(x+1)^{2}$ , $a$ est le bloc $x+1$ tout entier. Pour un carré parfait, la vérification du terme du milieu n'est pas facultative.

a)

$x^{2}-144=x^{2}-12^{2}$ , avec $a=x$ et $b=12$ : $(x-12)(x+12)$ . Il faut connaître les carrés jusqu'à $15^{2}=225$ .

b)

$64x^{2}-25=(8x)^{2}-5^{2}$ , avec $a=8x$ et $b=5$ : $(8x-5)(8x+5)$ . Piège : $(64x-25)(64x+25)$ , ou $(8x-5)^{2}$ ; une différence de deux carrés donne deux facteurs DIFFÉRENTS.

c)

$100-9x^{2}=10^{2}-(3x)^{2}$ , avec $a=10$ et $b=3x$ : $(10-3x)(10+3x)$ . Piège : écrire $(3x-10)(3x+10)$ , qui se développe en $9x^{2}-100$ , l'OPPOSÉ de l'expression. Le premier carré reste le premier.

d)

$x^{2}=x^{2}$ , $100=10^{2}$ , et le terme du milieu vaut bien $2\times x\times 10=20x$ : $x^{2}+20x+100=(x+10)^{2}$ .

e)

$x^{2}$ et $225=15^{2}$ , et $2\times x\times 15=30x$ ; le terme du milieu est négatif, donc c'est $(a-b)^{2}$ : $x^{2}-30x+225=(x-15)^{2}$ . Dans la forme $(x+q)^{2}$ , $q=-15$ . Piège : $(x+15)^{2}$ , qui redonne $+30x$ .

f)

$9x^{2}=(3x)^{2}$ , $25=5^{2}$ , et $2\times 3x\times 5=30x$ : $9x^{2}+30x+25=(3x+5)^{2}$ . Contrôle pour $x=1$ : $9+30+25=64$ et $8^{2}=64$ .

g)

$16x^{2}=(4x)^{2}$ , $49=7^{2}$ , et $2\times 4x\times 7=56x$ , précédé d'un moins : $16x^{2}-56x+49=(4x-7)^{2}$ . Contrôle pour $x=1$ : $16-56+49=9$ et $(-3)^{2}=9$ .

h)

Le facteur commun d'abord : $5x^{2}-80=5(x^{2}-16)$ . Puis $x^{2}-16=x^{2}-4^{2}=(x-4)(x+4)$ . Donc $5x^{2}-80=5(x-4)(x+4)$ . Piège : chercher directement une identité, alors que ni $5x^{2}$ ni $80$ ne sont des carrés.

i)

$(x+1)^{2}-6^{2}$ , avec $a=x+1$ et $b=6$ : $\left[(x+1)-6\right]\left[(x+1)+6\right]=(x-5)(x+7)$ . Dans la forme $(x+r)(x+s)$ avec $r<s$ : $r=-5$ et $s=7$ . Contrôle pour $x=0$ : $1-36=-35$ et $(-5)\times 7=-35$ .

j)

$a=4x+1$ et $b=x+3$ , deux blocs : $\left[(4x+1)-(x+3)\right]\left[(4x+1)+(x+3)\right]$ . Dans le premier crochet, le moins change les DEUX signes de $x+3$ : $4x+1-x-3=3x-2$ . Dans le second : $4x+1+x+3=5x+4$ . Donc $(3x-2)(5x+4)$ . Piège : $4x+1-x+3=3x+4$ , le moins appliqué au seul $x$ . Contrôle pour $x=0$ : $1-9=-8$ et $(-2)\times 4=-8$ .

Contrôle : on redéveloppe la forme trouvée, ou plus vite on remplace $x$ par $0$ puis par $1$ dans l'expression de départ et dans la forme factorisée ; les deux doivent donner le même nombre à chaque fois.

Exercice 1 : Nommer a et b : ce sont des blocs

Les trois identités s'écrivent avec deux lettres, $a$ et $b$ . Tout le chapitre tient dans une habitude : avant d'écrire quoi que ce soit, DIRE ce que valent $a$ et $b$ .

Et ce sont des BLOCS. Dans $(7x+2)^{2}$ , le nombre $a$ n'est ni $7$ ni $x$ : c'est $7x$ tout entier, donc $a^{2}=49x^{2}$ .

a) Dans $(7x+2)^{2}$ , dites ce que valent $a$ et $b$ , puis développez et réduisez.
b) Dans $(4x-9)^{2}$ , dites ce que valent $a$ et $b$ , puis développez et réduisez.
c) Démontrez que $(6-5x)^{2}=(5x-6)^{2}$ , puis vérifiez les deux écritures pour $x=2$ .
d) Les deux rectangles de la figure sont ceux qui apparaissent dans le développement de $(2x+3)^{2}$ . Donnez l'aire de chacun, puis expliquez pourquoi le terme du milieu vaut $12x$ et non $6x$ .

Voir la correction

Réponses

a) $a=7x$ et $b=2$ ; $(7x+2)^{2}=49x^{2}+28x+4$
b) $a=4x$ et $b=9$ ; $(4x-9)^{2}=16x^{2}-72x+81$
c) Les deux valent $25x^{2}-60x+36$ , et $16$ pour $x=2$
d) Chaque rectangle vaut $6x$ , donc $12x$ en tout ; $(2x+3)^{2}=4x^{2}+12x+9$

a)

On écrit d'abord $a=7x$ et $b=2$ , et c'est cette ligne qui vaut le premier point. Ensuite $(a+b)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}$ donne $a^{2}=(7x)^{2}=49x^{2}$ , $2ab=2\times 7x\times 2=28x$ et $b^{2}=4$ . Donc $(7x+2)^{2}=49x^{2}+28x+4$ . Vérification pour $x=1$ : à gauche $(7+2)^{2}=81$ , à droite $49+28+4=81$ . Le piège est d'écrire $7x^{2}$ au lieu de $49x^{2}$ , c'est-à-dire d'avoir oublié que le carré porte sur le bloc et donc AUSSI sur le coefficient. Cette seule erreur fait perdre toute la question, parce que le reste du calcul devient faux.

b)

Ici le signe du milieu est négatif, donc on lit $(a-b)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}$ avec $a=4x$ et $b=9$ . Attention, $b$ vaut $9$ et non $-9$ : le signe est déjà dans la formule. On obtient $a^{2}=16x^{2}$ , $2ab=2\times 4x\times 9=72x$ et $b^{2}=81$ , donc $(4x-9)^{2}=16x^{2}-72x+81$ . Vérification pour $x=1$ : à gauche $(4-9)^{2}=25$ , à droite $16-72+81=25$ . Le dernier terme est POSITIF même quand le signe du milieu est négatif : c'est un carré, et un carré n'est jamais négatif. Écrire $-81$ à la fin est l'erreur la plus fréquente de tout le chapitre.

c)

$(6-5x)^{2}=36-60x+25x^{2}$ et $(5x-6)^{2}=25x^{2}-60x+36$ : ce sont les mêmes trois termes, écrits dans l'autre ordre, donc les deux expressions sont égales. La raison de fond est que $6-5x$ et $5x-6$ sont OPPOSÉS, et que deux nombres opposés ont le même carré. Pour $x=2$ : $(6-10)^{2}=(-4)^{2}=16$ et $(10-6)^{2}=4^{2}=16$ . On peut donc toujours retourner une parenthèse avant d'élever au carré, ce qui évite de manipuler un terme constant devant un terme en $x$ . Le piège serait de croire que le signe se conserve : $(6-5x)^{2}$ n'est pas l'opposé de $(5x-6)^{2}$ , il lui est ÉGAL.

d)

Chaque rectangle mesure $2x$ par $3$ , donc son aire vaut $6x$ , et les deux ensemble valent $12x$ . C'est exactement le terme du milieu de $(2x+3)^{2}=4x^{2}+12x+9$ . La figure dit pourquoi le $2$ de $2ab$ est là : le rectangle $a\times b$ apparaît DEUX FOIS, une fois en haut à gauche et une fois en bas à droite du carré de côté $2x+3$ . Un élève qui écrit $4x^{2}+6x+9$ n'a compté qu'un seul des deux rectangles. Vérification pour $x=1$ : $(2+3)^{2}=25$ et $4+12+9=25$ , alors que $4+6+9=19$ ne convient pas.

Exercice 2 : La différence de deux carrés, dans les deux sens

$(a-b)(a+b)=a^{2}-b^{2}$ . Lue de gauche à droite, elle développe ; lue de droite à gauche, elle factorise. C'est la même égalité.

Seule la DIFFÉRENCE de deux carrés se factorise. La somme, jamais.

a) Développez et réduisez $(8x-3)(8x+3)$ .
b) Factorisez $x^{2}-121$ , puis $36x^{2}-49$ .
c) Factorisez $16-81x^{2}$ . Attention à l'ordre des deux carrés.
d) Factorisez $49-(2x-5)^{2}$ , puis poussez la factorisation aussi loin que possible.

Voir la correction

Réponses

a) $64x^{2}-9$
b) $(x-11)(x+11)$ et $(6x-7)(6x+7)$
c) $(4-9x)(4+9x)$
d) $(12-2x)(2x+2)$ , soit $4(6-x)(x+1)$

a)

On pose $a=8x$ et $b=3$ . Le produit $(a-b)(a+b)$ vaut $a^{2}-b^{2}=64x^{2}-9$ . Il n'y a aucun terme en $x$ : les deux termes croisés, $+24x$ et $-24x$ , s'annulent, et c'est toute la raison d'être de cette identité. Vérification pour $x=1$ : $(8-3)(8+3)=5\times 11=55$ et $64-9=55$ . Le piège est d'écrire $64x^{2}-9$ puis d'ajouter un terme du milieu par réflexe, ou d'écrire $8x^{2}$ au lieu de $64x^{2}$ : le carré porte encore une fois sur le bloc entier.

b)

Pour $x^{2}-121$ , on cherche deux carrés : $x^{2}$ est le carré de $x$ et $121$ celui de $11$ , donc $x^{2}-121=(x-11)(x+11)$ . Pour $36x^{2}-49$ , $36x^{2}$ est le carré de $6x$ et $49$ celui de $7$ , donc $36x^{2}-49=(6x-7)(6x+7)$ . Vérification de la seconde pour $x=1$ : $36-49=-13$ et $(6-7)(6+7)=-1\times 13=-13$ . L'erreur classique est d'écrire $(6x-7)^{2}$ : ce serait $36x^{2}-84x+49$ , qui n'a rien à voir. Une différence de deux carrés donne toujours DEUX facteurs différents, jamais un carré.

c)

Ici le carré le plus grand est écrit en premier mais c'est le nombre, pas le terme en $x$ . On garde l'ordre de l'énoncé : $a=4$ et $b=9x$ , donc $16-81x^{2}=(4-9x)(4+9x)$ . Vérification pour $x=1$ : $16-81=-65$ et $(4-9)(4+9)=-5\times 13=-65$ . Le piège est d'écrire $(9x-4)(9x+4)$ , qui vaut $81x^{2}-16$ , c'est-à-dire l'OPPOSÉ. Une bonne habitude : écrire $a$ et $b$ en les soulignant dans l'énoncé avant de poser les parenthèses.

d)

Les deux carrés sont $49$ , carré de $7$ , et $(2x-5)^{2}$ , carré du bloc $2x-5$ . Donc $49-(2x-5)^{2}=\bigl(7-(2x-5)\bigr)\bigl(7+(2x-5)\bigr)$ . On réduit chaque parenthèse : $7-2x+5=12-2x$ et $7+2x-5=2x+2$ . On obtient $(12-2x)(2x+2)$ . Chaque facteur contient encore un facteur commun : $12-2x=2(6-x)$ et $2x+2=2(x+1)$ , donc le résultat complet est $4(6-x)(x+1)$ . Vérification pour $x=0$ : $49-25=24$ et $4\times 6\times 1=24$ . Le piège principal est d'oublier de distribuer le signe moins devant la parenthèse, ce qui donne $7-2x-5$ au lieu de $7-2x+5$ : une seule erreur de signe et les deux facteurs sont faux.

Exercice 3 : Laquelle des trois identités, ou aucune

Les cinq expressions ci-dessous sont bâties avec les mêmes trois nombres, $25$ , $90$ et $81$ . Elles ne se factorisent pourtant pas toutes, et pas de la même façon.

Un carré parfait se reconnaît à TROIS conditions : premier terme carré, dernier terme carré ET positif, terme du milieu égal au double produit.

a) Pour chacune des expressions $25x^{2}-90x+81$ , $25x^{2}-90x-81$ , $25x^{2}-81$ , $25x^{2}+90x+81$ et $25x^{2}+81$ , dites quelle identité s'applique, ou bien qu'aucune ne s'applique.
b) Factorisez celles qui se factorisent.
c) Dans $25x^{2}-60x+81$ , le premier et le dernier terme sont des carrés. Est-ce pour autant un carré parfait ? Justifiez par les trois conditions.
d) Vérifiez votre factorisation de $25x^{2}-90x+81$ pour $x=1$ .

Voir la correction

Réponses

a) Carré parfait, aucune, différence de deux carrés, carré parfait, aucune
b) $(5x-9)^{2}$ , $(5x-9)(5x+9)$ et $(5x+9)^{2}$
c) Non : le double produit vaut $90x$ , pas $60x$
d) Les deux membres valent $16$

a)

On regarde d'abord le nombre de termes. Avec DEUX termes, seule la différence de deux carrés est possible : $25x^{2}-81$ convient, $25x^{2}+81$ non, car une somme de deux carrés ne se factorise jamais. Avec TROIS termes, on cherche un carré parfait : $25x^{2}-90x+81$ et $25x^{2}+90x+81$ conviennent, alors que $25x^{2}-90x-81$ est éliminé d'un coup d'oeil, son dernier terme étant négatif. Or dans $(a\pm b)^{2}$ le dernier terme est $b^{2}$ , donc toujours positif. Un seul regard sur le signe du dernier terme élimine cette expression sans aucun calcul, et c'est le réflexe à prendre.

b)

Pour $25x^{2}-90x+81$ : $25x^{2}=(5x)^{2}$ , $81=9^{2}$ , et le double produit vaut $2\times 5x\times 9=90x$ , qui est bien le terme du milieu. Le signe du milieu étant négatif, c'est $(5x-9)^{2}$ . De même $25x^{2}+90x+81=(5x+9)^{2}$ . Enfin $25x^{2}-81=(5x-9)(5x+9)$ . Remarquez que le même couple $(5x\,;9)$ sert dans les trois cas : une fois les blocs nommés, le reste est mécanique. Le piège est de confondre les deux dernières et d'écrire $25x^{2}-81=(5x-9)^{2}$ : un carré donne deux facteurs IDENTIQUES et un terme du milieu, la différence de carrés donne deux facteurs DIFFÉRENTS et aucun terme du milieu.

c)

Non. Les deux premières conditions sont remplies, $25x^{2}=(5x)^{2}$ et $81=9^{2}$ , mais la troisième ne l'est pas : le double produit vaut $2\times 5x\times 9=90x$ , alors que l'énoncé propose $60x$ . L'expression $25x^{2}-60x+81$ ne se factorise donc pas avec les identités du programme. C'est exactement le piège que les contrôles posent : deux conditions sur trois suffisent à convaincre un élève pressé, et la vérification du double produit prend cinq secondes. On peut aussi le voir par le calcul : $(5x-9)^{2}$ vaut $25x^{2}-90x+81$ , qui n'est pas l'expression proposée.

d)

Pour $x=1$ , l'expression vaut $25-90+81=16$ , et la forme factorisée vaut $(5-9)^{2}=(-4)^{2}=16$ . Les deux résultats coïncident. Une vérification numérique ne prouve pas l'égalité pour tous les nombres, mais elle attrape presque toutes les erreurs de signe et de coefficient, et elle coûte une ligne. Pour être plus sûr encore, on peut tester une seconde valeur, par exemple $x=0$ : l'expression vaut $81$ et la forme factorisée $(-9)^{2}=81$ .

Exercice 4 : Le facteur commun d'abord, l'identité ensuite

Une expression n'est complètement factorisée que lorsque plus aucun facteur ne peut l'être. La méthode est toujours la même : on cherche d'abord un facteur commun, et seulement ensuite une identité.

Parfois l'ordre s'inverse : l'identité fait apparaître un facteur commun qui n'était pas visible au départ.

a) Factorisez $3x^{2}-75$ le plus complètement possible.
b) Factorisez $2x^{3}-50x$ le plus complètement possible.
c) Factorisez $5x^{2}+30x+45$ le plus complètement possible.
d) Factorisez $x^{4}-81$ en deux étapes, puis dites pourquoi on ne peut pas aller plus loin.

Voir la correction

Réponses

a) $3(x-5)(x+5)$
b) $2x(x-5)(x+5)$
c) $5(x+3)^{2}$
d) $(x-3)(x+3)(x^{2}+9)$ ; $x^{2}+9$ est une somme de carrés

a)

Le facteur commun saute aux yeux : $3x^{2}-75=3(x^{2}-25)$ . La parenthèse est alors une différence de deux carrés, $x^{2}$ et $5^{2}$ , donc $3x^{2}-75=3(x-5)(x+5)$ . Vérification pour $x=1$ : $3-75=-72$ et $3\times(-4)\times 6=-72$ . Celui qui saute le facteur commun cherche en vain deux carrés dans $3x^{2}-75$ , car $3x^{2}$ n'est pas un carré et $75$ non plus : il conclut souvent, à tort, que l'expression ne se factorise pas. Sortir le facteur commun coûte une ligne et débloque la suite.

b)

Le facteur commun est $2x$ : $2x^{3}-50x=2x(x^{2}-25)=2x(x-5)(x+5)$ . Vérification pour $x=2$ : $16-100=-84$ et $4\times(-3)\times 7=-84$ . Deux erreurs guettent. La première est d'oublier le $x$ dans le facteur commun et de s'arrêter à $2(x^{3}-25x)$ , qui n'est pas factorisé. La seconde est de simplifier par $x$ comme s'il s'agissait d'une équation : ici on transforme une expression, on ne résout rien, donc rien ne disparaît.

c)

Facteur commun $5$ : $5x^{2}+30x+45=5(x^{2}+6x+9)$ . La parenthèse vérifie les trois conditions du carré parfait : $x^{2}$ est un carré, $9=3^{2}$ aussi, et le double produit vaut $2\times x\times 3=6x$ , le terme du milieu. Donc $5x^{2}+30x+45=5(x+3)^{2}$ . Vérification pour $x=1$ : $5+30+45=80$ et $5\times 16=80$ . Le piège est d'écrire $(5x+3)^{2}$ en faisant rentrer le $5$ dans la parenthèse : ce serait $25x^{2}+30x+9$ , qui ne convient pas. Un facteur sorti reste DEVANT.

d)

Ici aucun facteur commun. Mais $x^{4}=(x^{2})^{2}$ et $81=9^{2}$ , donc c'est une différence de deux carrés avec $a=x^{2}$ et $b=9$ : $x^{4}-81=(x^{2}-9)(x^{2}+9)$ . Le premier facteur est encore une différence de deux carrés, donc $x^{4}-81=(x-3)(x+3)(x^{2}+9)$ . On s'arrête là : $x^{2}+9$ est une SOMME de deux carrés, et une somme de carrés ne se factorise jamais. Vérification pour $x=2$ : $16-81=-65$ et $(-1)\times 5\times 13=-65$ . L'erreur la plus coûteuse est de s'arrêter après la première étape : la consigne dit « le plus complètement possible », donc une factorisation incomplète perd la moitié des points même si elle est juste.

Exercice 5 : Calcul mental et calcul exact

Les identités servent aussi à calculer vite et juste, sans machine. Le geste est toujours le même : écrire le nombre comme une somme ou une différence commode, puis appliquer l'identité.

Détaillez chaque étape : c'est le raisonnement qui est noté, pas le résultat seul.

a) Calculez $205^{2}$ en écrivant $205=200+5$ .
b) Calculez $38\times 42$ en remarquant que ces deux nombres encadrent $40$ .
c) Sans poser de multiplication, comparez $49\times 51$ et $50^{2}$ , puis dites de combien ils diffèrent. Généralisez en comparant $(n-1)(n+1)$ et $n^{2}$ .
d) Calculez $2\,026^{2}-2\,024^{2}$ .

Voir la correction

Réponses

a) $42\,025$
b) $1\,596$
c) $49\times 51=2\,499$ , soit $1$ de moins que $2\,500$ ; en général $(n-1)(n+1)=n^{2}-1$
d) $8\,100$

a)

On applique $(a+b)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}$ avec $a=200$ et $b=5$ : $205^{2}=200^{2}+2\times 200\times 5+5^{2}=40\,000+2\,000+25=42\,025$ . Les trois morceaux se calculent de tête. Le piège est d'oublier le double produit et d'écrire $40\,000+25=40\,025$ , ce qui fait une erreur de deux mille : l'ordre de grandeur suffit d'ailleurs à la repérer, puisque $205^{2}$ doit dépasser $200^{2}=40\,000$ d'environ $2\,000$ . Le contrôle rapide consiste à vérifier que le résultat se termine par $25$ , ce qui est le cas de tout carré d'un nombre finissant par $5$ .

b)

Les deux facteurs encadrent $40$ à la même distance $2$ , donc $38\times 42=(40-2)(40+2)=40^{2}-2^{2}=1\,600-4=1\,596$ . C'est l'identité de la différence de deux carrés lue de gauche à droite. La méthode ne marche que si les deux facteurs sont à la MÊME distance du nombre central : avec $38\times 43$ , il n'y a pas de nombre central et l'identité ne s'applique pas. Vérification par un autre chemin : $38\times 42=38\times 40+38\times 2=1\,520+76=1\,596$ .

c)

$49$ et $51$ encadrent $50$ à la distance $1$ , donc $49\times 51=50^{2}-1^{2}=2\,500-1=2\,499$ . Le produit est donc INFÉRIEUR au carré, et exactement de $1$ . En général, $(n-1)(n+1)=n^{2}-1$ : écarter les deux facteurs de la même quantité fait toujours perdre, et la perte vaut le carré de l'écart. Avec un écart de $3$ , par exemple, $47\times 53=2\,500-9=2\,491$ . C'est un résultat utile bien au-delà de ce chapitre : à somme fixée, le produit de deux nombres est maximal lorsqu'ils sont égaux.

d)

Les deux nombres sont des carrés, donc $2\,026^{2}-2\,024^{2}=(2\,026-2\,024)(2\,026+2\,024)=2\times 4\,050=8\,100$ . Le calcul direct demanderait deux multiplications à quatre chiffres et une soustraction ; la forme factorisée demande une soustraction, une addition et une multiplication par $2$ . C'est toute la force de la lecture de droite à gauche. Le piège est d'écrire $(2\,026-2\,024)^{2}=4$ , c'est-à-dire de confondre la différence des carrés avec le carré de la différence : ces deux expressions n'ont rien à voir.

Exercice 6 : Démontrer avec les identités

Une identité est vraie pour TOUS les nombres. C'est ce qui en fait un outil de démonstration : on nomme l'entier $n$ , on calcule, et la conclusion vaut pour tous les cas d'un coup.

Un exemple ne démontre rien, mais un seul contre-exemple suffit à réfuter.

a) Démontrez que la somme des carrés de deux entiers consécutifs est toujours impaire. Vérifiez avec $7$ et $8$ .
b) Démontrez que $(n+2)^{2}-n^{2}$ est toujours un multiple de $4$ . Que vaut-il pour $n=25$ ?
c) On prend un entier $n$ et deux entiers situés à la même distance $k$ de part et d'autre. Démontrez que leur produit est toujours inférieur à $n^{2}$ , et dites de combien.
d) Démontrez que $n^{2}+2n+1$ n'est jamais un nombre premier lorsque $n$ est un entier supérieur ou égal à $1$ .

Voir la correction

Réponses

a) La somme vaut $2(n^{2}+n)+1$ , impaire ; pour $7$ et $8$ elle vaut $113$
b) $(n+2)^{2}-n^{2}=4(n+1)$ ; pour $n=25$ elle vaut $104$
c) $(n-k)(n+k)=n^{2}-k^{2}$ , donc le produit perd exactement $k^{2}$
d) $n^{2}+2n+1=(n+1)^{2}$ , divisible par $n+1$

a)

On nomme les deux entiers consécutifs $n$ et $n+1$ . La somme de leurs carrés vaut $n^{2}+(n+1)^{2}=n^{2}+n^{2}+2n+1=2n^{2}+2n+1$ , c'est-à-dire $2(n^{2}+n)+1$ . Comme $n^{2}+n$ est un entier, cette somme s'écrit « deux fois un entier, plus un » : elle est donc impaire, quel que soit $n$ . Vérification avec $7$ et $8$ : $49+64=113$ , qui est bien impair. Le point qui rapporte les points est la MISE EN FACTEUR du $2$ à la fin : sans elle, on a calculé sans conclure, et le correcteur ne peut pas deviner. Remarquez aussi que le développement de $(n+1)^{2}$ doit comporter son double produit $2n$ , faute de quoi la démonstration tombe.

b)

On développe : $(n+2)^{2}-n^{2}=n^{2}+4n+4-n^{2}=4n+4=4(n+1)$ . C'est quatre fois un entier, donc un multiple de $4$ , quel que soit $n$ . Pour $n=25$ : $4\times 26=104$ , et l'on vérifie directement que $27^{2}-25^{2}=729-625=104$ . On pouvait aussi factoriser d'emblée la différence de deux carrés : $(n+2)^{2}-n^{2}=\bigl((n+2)-n\bigr)\bigl((n+2)+n\bigr)=2(2n+2)=4(n+1)$ , ce qui est plus court et évite tout développement. Les deux chemins sont acceptés ; le second montre qu'on a reconnu l'identité.

c)

Les deux entiers sont $n-k$ et $n+k$ . Leur produit vaut $(n-k)(n+k)=n^{2}-k^{2}$ . Comme $k^{2}$ est strictement positif dès que $k$ n'est pas nul, ce produit est strictement inférieur à $n^{2}$ , et il lui manque exactement $k^{2}$ . Exemple : autour de $n=20$ avec $k=3$ , $17\times 23=391=400-9$ . La perte ne dépend pas de $n$ , seulement de l'écartement : c'est ce qui surprend le plus. Le piège est de croire que la perte grandit avec $n$ , ce qu'un seul contre-exemple chiffré suffit à écarter.

d)

On reconnaît un carré parfait : $n^{2}+2n+1=(n+1)^{2}$ , puisque $2\times n\times 1=2n$ . Ce nombre s'écrit donc comme le produit $(n+1)\times(n+1)$ . Lorsque $n\ge 1$ , le facteur $n+1$ vaut au moins $2$ , et il est strictement inférieur à $(n+1)^{2}$ : le nombre admet donc un diviseur autre que $1$ et lui-même, il n'est pas premier. Vérification pour $n=4$ : $16+8+1=25=5\times 5$ , effectivement pas premier. Attention à la condition $n\ge 1$ : pour $n=0$ , on obtient $1$ , qui n'est pas premier non plus, mais pour une autre raison, et la démonstration par le facteur $n+1=1$ ne fonctionnerait pas.

Exercice 7 : Le carré inscrit : une identité qui démontre Pythagore

Le grand carré ci-dessous a pour côté $a+b$ . On a placé à l'intérieur quatre triangles rectangles identiques, de côtés de l'angle droit $a$ et $b$ et d'hypoténuse $c$ . Ce qui reste au centre est un carré de côté $c$ .

Sur la figure, $a=3$ et $b=4$ , mais tous les calculs littéraux valent pour n'importe quelles longueurs.

a) Exprimez l'aire du grand carré à partir de son côté, puis développez.
b) Exprimez cette même aire comme la somme du carré central et des quatre triangles.
c) En égalant les deux expressions, déduisez-en une égalité entre $a$ , $b$ et $c$ .
d) Vérifiez avec $a=3$ et $b=4$ . Un élève écrit « aire du grand carré $=a^{2}+b^{2}$ ». Où est son erreur ?

Voir la correction

Réponses

a) $(a+b)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}$
b) $c^{2}+2ab$
c) $c^{2}=a^{2}+b^{2}$
d) Aire $49$ , carré central $25$ , donc $c=5$ ; l'élève a oublié les quatre triangles

a)

Le côté du grand carré vaut $a+b$ , donc son aire vaut $(a+b)^{2}$ . En développant avec l'identité, $(a+b)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}$ . C'est la seule identité utilisée dans tout l'exercice, et c'est elle qui porte la démonstration.

b)

Le grand carré est entièrement recouvert par le carré central et les quatre triangles, sans chevauchement. Le carré central a pour aire $c^{2}$ . Chaque triangle rectangle a pour aire $\dfrac{a\times b}{2}$ , donc les quatre ensemble valent $4\times\dfrac{ab}{2}=2ab$ . L'aire totale s'écrit donc $c^{2}+2ab$ . Le piège est de compter l'aire d'un triangle comme $ab$ : on obtiendrait $4ab$ et toute la suite serait fausse. Le facteur un demi vient de ce qu'un triangle rectangle est la moitié d'un rectangle.

c)

Les deux expressions décrivent la même aire, donc $a^{2}+2ab+b^{2}=c^{2}+2ab$ . On retranche $2ab$ de chaque côté et il reste $a^{2}+b^{2}=c^{2}$ . C'est le théorème de Pythagore, obtenu sans aucune mesure : le double produit $2ab$ , qui est justement le terme que l'on oublie le plus souvent dans l'identité, est ici celui qui s'en va. Autrement dit, ce sont les quatre triangles qui disparaissent des deux côtés de l'égalité.

d)

Avec $a=3$ et $b=4$ , le grand carré a pour côté $7$ et pour aire $49$ . Les quatre triangles valent $4\times\dfrac{3\times 4}{2}=24$ . Il reste donc $49-24=25$ pour le carré central, d'où $c=5$ , et l'on retrouve $3^{2}+4^{2}=25$ . L'élève qui écrit « aire du grand carré $=a^{2}+b^{2}$ » oublie le double produit : il compterait $9+16=25$ pour une figure dont l'aire vaut $49$ . Son erreur est exactement celle du chapitre, écrire $(a+b)^{2}=a^{2}+b^{2}$ , et la figure montre ce qui manque : les deux rectangles $a\times b$ que l'on voit en découpant le grand carré.

Exercice 8 : Cinq affirmations à corriger

Chacune des cinq affirmations est fausse. Pour chacune, dites où est l'erreur, donnez l'écriture correcte et appuyez votre réponse sur un calcul numérique.

Un contre-exemple chiffré vaut une démonstration quand il s'agit de réfuter.

a) « Dans $(4x-7)^{2}$ , on a $a=4$ et $b=7$ . »
b) « $a^{2}-b^{2}$ et $b^{2}-a^{2}$ se factorisent en le même produit. »
c) « $(x-3)^{2}$ et $(3-x)^{2}$ sont deux expressions différentes. »
d) « $4x^{2}-12x+9$ se factorise en $(2x-3)(2x+3)$ . »
e) « $9x^{2}+6x+1$ n'est pas un carré parfait, puisque son premier terme n'est pas $x^{2}$ . »

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Réponses

a) Faux : $a=4x$ , le bloc entier ; $(4x-7)^{2}=16x^{2}-56x+49$
b) Faux : les deux produits sont opposés
c) Faux : elles sont égales, car $x-3$ et $3-x$ sont opposés
d) Faux : $4x^{2}-12x+9=(2x-3)^{2}$
e) Faux : $9x^{2}+6x+1=(3x+1)^{2}$

a)

Faux. Le carré porte sur le bloc tout entier, donc $a=4x$ et non $4$ . Avec la bonne lecture, $a^{2}=16x^{2}$ , $2ab=2\times 4x\times 7=56x$ et $b^{2}=49$ , donc $(4x-7)^{2}=16x^{2}-56x+49$ . Contrôle pour $x=2$ : à gauche $(8-7)^{2}=1$ , à droite $64-112+49=1$ . Celui qui prend $a=4$ écrit un premier terme en $16$ sans $x^{2}$ , ou pire un $4x^{2}$ : dans les deux cas la vérification numérique le détrompe immédiatement.

b)

Faux. On a $a^{2}-b^{2}=(a-b)(a+b)$ et $b^{2}-a^{2}=(b-a)(b+a)$ . Les seconds facteurs sont identiques, mais les premiers sont OPPOSÉS, donc les deux produits sont opposés, pas égaux. Contre-exemple avec $a=5$ et $b=3$ : $25-9=16$ et $9-25=-16$ . La bonne formulation est que $b^{2}-a^{2}=-(a^{2}-b^{2})$ . L'erreur coûte un signe sur toute la suite d'un exercice, et elle est fréquente quand on factorise $16-81x^{2}$ en commençant par le terme en $x$ .

c)

Faux. Les nombres $x-3$ et $3-x$ sont opposés, et deux nombres opposés ont le MÊME carré. En développant : $(x-3)^{2}=x^{2}-6x+9$ et $(3-x)^{2}=9-6x+x^{2}$ , ce sont les mêmes trois termes. Contrôle pour $x=1$ : $(-2)^{2}=4$ et $2^{2}=4$ . Attention à ne pas étendre la règle à des puissances impaires : $(x-3)^{3}$ et $(3-x)^{3}$ , eux, sont opposés. La propriété tient au carré, pas à la parenthèse.

d)

Faux, et c'est la confusion la plus coûteuse du chapitre, parce qu'elle mélange les deux identités. L'expression a TROIS termes, donc ce ne peut pas être une différence de deux carrés, qui n'en a que deux. On vérifie les trois conditions du carré parfait : $4x^{2}=(2x)^{2}$ , $9=3^{2}$ et $2\times 2x\times 3=12x$ , qui est bien le terme du milieu. Donc $4x^{2}-12x+9=(2x-3)^{2}$ . Contrôle pour $x=1$ : l'expression vaut $4-12+9=1$ , alors que le produit proposé vaut $(2-3)(2+3)=-5$ . Les deux ne coïncident même pas de signe.

e)

Faux. Rien n'oblige le premier terme à être $x^{2}$ : il suffit qu'il soit un carré. Ici $9x^{2}=(3x)^{2}$ , $1=1^{2}$ et le double produit vaut $2\times 3x\times 1=6x$ , qui est le terme du milieu : les trois conditions sont remplies et $9x^{2}+6x+1=(3x+1)^{2}$ . Contrôle pour $x=1$ : $9+6+1=16$ et $(3+1)^{2}=16$ . Cette affirmation est dangereuse parce qu'elle a l'air méthodique : elle applique une condition qui n'existe pas. La seule question est « est-ce un carré ? », et $9x^{2}$ en est un.

Exercice 9 : Problème : trois offres pour un terrain carré

Une commune possède un terrain carré de côté $a$ mètres, avec $a$ supérieur à $5$ . Trois propriétaires proposent un échange.

Offre A : un carré de côté $(a-3)$ mètres, plus un rectangle de $6$ mètres sur $a$ mètres.

Offre B : un carré de côté $(a+2)$ mètres, dont on retire un rectangle de $4$ mètres sur $a$ mètres.

Offre C : un rectangle de $(a-5)$ mètres sur $(a+5)$ mètres, plus un rectangle de $4$ mètres sur $5$ mètres.

a) Exprimez l'aire de chacune des trois offres en fonction de $a$ , sous forme réduite.
b) Classez les trois offres et le terrain actuel, de la plus grande aire à la plus petite. Ce classement dépend-il de $a$ ?
c) Vérifiez vos trois résultats pour $a=30$ .
d) Le vendeur C affirme : « mon offre devient la meilleure si le terrain est très grand ». Répondez-lui, puis dites pour quelles valeurs de $a$ son offre a un sens.

Voir la correction

Réponses

a) A : $a^{2}+9$ ; B : $a^{2}+4$ ; C : $a^{2}-5$
b) A, puis B, puis le terrain actuel, puis C ; le classement ne dépend pas de $a$
c) Terrain $900$ , A $909$ , B $904$ , C $895$
d) Faux : l'écart vaut $-5$ quel que soit $a$ ; l'offre C exige $a>5$

a)

Offre A : $(a-3)^{2}+6a=a^{2}-6a+9+6a=a^{2}+9$ . Les deux termes en $a$ se détruisent, et il reste le terrain actuel augmenté de $9$ mètres carrés. Offre B : $(a+2)^{2}-4a=a^{2}+4a+4-4a=a^{2}+4$ , même phénomène. Offre C : $(a-5)(a+5)+20=a^{2}-25+20=a^{2}-5$ . Les trois calculs utilisent les trois identités, une chacune, et dans les trois cas le résultat est le terrain actuel plus ou moins un NOMBRE, sans aucun terme en $a$ . C'est cela qu'il faut voir avant de répondre à la suite.

b)

Le terrain actuel vaut $a^{2}$ . On compare donc $a^{2}+9$ , $a^{2}+4$ , $a^{2}$ et $a^{2}-5$ : le classement est A, puis B, puis le terrain actuel, puis C. Et il ne dépend PAS de $a$ , puisque la quantité $a^{2}$ est commune aux quatre et que ce sont les constantes qui les départagent. C'est le point de l'exercice : sans les identités, on comparerait des expressions avec des parenthèses, et il faudrait essayer des valeurs une à une sans jamais être sûr.

c)

Pour $a=30$ , le terrain actuel vaut $900$ mètres carrés. Offre A : $27^{2}+6\times 30=729+180=909$ , ce qui fait bien $900+9$ . Offre B : $32^{2}-4\times 30=1\,024-120=904$ , soit $900+4$ . Offre C : $25\times 35+20=875+20=895$ , soit $900-5$ . Les trois vérifications tombent juste. Une vérification de ce type coûte trois lignes et attrape toutes les erreurs de signe commises à la question a).

d)

Il a tort. L'écart entre son offre et le terrain actuel vaut $-5$ mètres carrés, une constante : que le terrain mesure $10$ mètres ou $1\,000$ mètres de côté, l'offre C reste inférieure de $5$ mètres carrés exactement. Ce qui est vrai, c'est que l'écart devient NÉGLIGEABLE devant l'aire totale, mais ce n'est pas ce qu'il dit. Enfin, son offre n'a de sens que si $a-5$ est une longueur strictement positive, donc si $a>5$ : un terrain carré de $4$ mètres de côté rendrait le rectangle impossible.

Exercice 10 : Problème : quels entiers sont une différence de deux carrés

Un élève remarque que $9=5^{2}-4^{2}$ , que $15=4^{2}-1^{2}$ et que $21=11^{2}-10^{2}$ , et il conjecture : « une différence de deux carrés est toujours impaire ».

Dans tout l'exercice, les deux nombres élevés au carré sont des entiers naturels, donc $0$ est autorisé. On cherche à savoir quels entiers s'écrivent comme une différence de deux carrés.

a) Calculez $8^{2}-6^{2}$ . La conjecture de l'élève est-elle vraie ?
b) Factorisez $a^{2}-b^{2}$ , puis montrez que $a-b$ et $a+b$ sont toujours de même parité.
c) Déduisez-en que $a^{2}-b^{2}$ est soit impair, soit un multiple de $4$ . La figure montre les entiers atteignables jusqu'à $20$ : lesquels manquent, et pourquoi ?
d) Écrivez $2\,025$ puis $2\,024$ comme une différence de deux carrés.

Voir la correction

Réponses

a) $8^{2}-6^{2}=28$ , qui est pair : la conjecture est fausse
b) $a^{2}-b^{2}=(a-b)(a+b)$ , et leur somme $2a$ est paire, donc ils ont la même parité
c) Manquent $2$ , $6$ , $10$ , $14$ et $18$ , les nombres pairs non multiples de $4$
d) $2\,025=1\,013^{2}-1\,012^{2}$ et $2\,024=507^{2}-505^{2}$

a)

$8^{2}-6^{2}=64-36=28$ , qui est pair. La conjecture est donc FAUSSE, et ce seul contre-exemple suffit à la réfuter : aucun nombre d'exemples favorables n'aurait pu la prouver. On peut aussi retrouver $28$ par l'identité : $(8-6)(8+6)=2\times 14=28$ . Remarquez que les trois exemples de l'élève opposaient un nombre pair et un nombre impair, ce qui explique qu'il n'ait vu que des résultats impairs : sa conjecture vient d'un échantillon mal choisi, pas d'un raisonnement.

b)

$a^{2}-b^{2}=(a-b)(a+b)$ . La somme des deux facteurs vaut $(a-b)+(a+b)=2a$ , qui est pair. Or deux entiers dont la somme est paire sont soit tous les deux pairs, soit tous les deux impairs : ils ont donc la même parité. Si l'un était pair et l'autre impair, leur somme serait impaire, ce qui est impossible. On peut aussi le voir directement : $a-b$ et $a+b$ diffèrent de $2b$ , un nombre pair, donc ajouter $2b$ ne change pas la parité.

c)

Deux cas seulement. Si $a-b$ et $a+b$ sont tous deux IMPAIRS, leur produit est impair. S'ils sont tous deux PAIRS, chacun contient un facteur $2$ , donc le produit contient $4$ : c'est un multiple de $4$ . Il n'y a pas d'autre possibilité. Un entier pair qui n'est pas multiple de $4$ ne peut donc jamais s'écrire comme une différence de deux carrés. Sur la figure, les entiers sans point sont $2$ , $6$ , $10$ , $14$ et $18$ : ce sont exactement les pairs non multiples de $4$ . Tous les autres y sont, par exemple $12=4^{2}-2^{2}$ et $17=9^{2}-8^{2}$ .

d)

$2\,025$ est impair, donc on le prend comme produit de $a-b=1$ et $a+b=2\,025$ . On en tire $a=1\,013$ et $b=1\,012$ , et en effet $1\,013^{2}-1\,012^{2}=1\times 2\,025=2\,025$ . Pour $2\,024$ , qui est pair, il faut deux facteurs pairs : $2\,024=2\times 1\,012$ , donc $a-b=2$ et $a+b=1\,012$ , d'où $a=507$ et $b=505$ . Vérification : $507^{2}-505^{2}=2\times 1\,012=2\,024$ . La méthode générale tient en une phrase : on écrit le nombre comme un produit de deux facteurs de même parité, et la demi-somme donne $a$ , la demi-différence donne $b$ .

Exercices corrigés : les trois identités remarquables (Troisième)

Rappel de cours

Calculs : les développements à calculer

Exercice 0.1 : Développer avec les identités remarquables : dix calculs directs

Calculs : les factorisations à calculer

Exercice 0.2 : Factoriser avec les identités remarquables : dix calculs directs

Partie A : les bases (/50)

Exercice 1 : Nommer a et b : ce sont des blocs

Exercice 2 : La différence de deux carrés, dans les deux sens

Exercice 3 : Laquelle des trois identités, ou aucune

Exercice 4 : Le facteur commun d'abord, l'identité ensuite

Exercice 5 : Calcul mental et calcul exact

Partie B : problèmes et raisonnement (/50)

Exercice 6 : Démontrer avec les identités

Exercice 7 : Le carré inscrit : une identité qui démontre Pythagore

Exercice 8 : Cinq affirmations à corriger

Exercice 9 : Problème : trois offres pour un terrain carré

Exercice 10 : Problème : quels entiers sont une différence de deux carrés

Ce chapitre resservira dans

Voir aussi

Les identités remarquables bloquent en troisième à Montréal ?