Exercices corrigés : les trois identités remarquables (Troisième)

a) On écrit d'abord $a=7x$ et $b=2$, et c'est cette ligne qui vaut le premier point. Ensuite $(a+b)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}$ donne $a^{2}=(7x)^{2}=49x^{2}$, $2ab=2\times 7x\times 2=28x$ et $b^{2}=4$. Donc $(7x+2)^{2}=49x^{2}+28x+4$. Vérification pour $x=1$ : à gauche $(7+2)^{2}=81$, à droite $49+28+4=81$. Le piège est d'écrire $7x^{2}$ au lieu de $49x^{2}$, c'est-à-dire d'avoir oublié que le carré porte sur le bloc et donc AUSSI sur le coefficient. Cette seule erreur fait perdre toute la question, parce que le reste du calcul devient faux.

b) Ici le signe du milieu est négatif, donc on lit $(a-b)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}$ avec $a=4x$ et $b=9$. Attention, $b$ vaut $9$ et non $-9$ : le signe est déjà dans la formule. On obtient $a^{2}=16x^{2}$, $2ab=2\times 4x\times 9=72x$ et $b^{2}=81$, donc $(4x-9)^{2}=16x^{2}-72x+81$. Vérification pour $x=1$ : à gauche $(4-9)^{2}=25$, à droite $16-72+81=25$. Le dernier terme est POSITIF même quand le signe du milieu est négatif : c'est un carré, et un carré n'est jamais négatif. Écrire $-81$ à la fin est l'erreur la plus fréquente de tout le chapitre.

c) $(6-5x)^{2}=36-60x+25x^{2}$ et $(5x-6)^{2}=25x^{2}-60x+36$ : ce sont les mêmes trois termes, écrits dans l'autre ordre, donc les deux expressions sont égales. La raison de fond est que $6-5x$ et $5x-6$ sont OPPOSÉS, et que deux nombres opposés ont le même carré. Pour $x=2$ : $(6-10)^{2}=(-4)^{2}=16$ et $(10-6)^{2}=4^{2}=16$. On peut donc toujours retourner une parenthèse avant d'élever au carré, ce qui évite de manipuler un terme constant devant un terme en $x$. Le piège serait de croire que le signe se conserve : $(6-5x)^{2}$ n'est pas l'opposé de $(5x-6)^{2}$, il lui est ÉGAL.

d) Chaque rectangle mesure $2x$ par $3$, donc son aire vaut $6x$, et les deux ensemble valent $12x$. C'est exactement le terme du milieu de $(2x+3)^{2}=4x^{2}+12x+9$. La figure dit pourquoi le $2$ de $2ab$ est là : le rectangle $a\times b$ apparaît DEUX FOIS, une fois en haut à gauche et une fois en bas à droite du carré de côté $2x+3$. Un élève qui écrit $4x^{2}+6x+9$ n'a compté qu'un seul des deux rectangles. Vérification pour $x=1$ : $(2+3)^{2}=25$ et $4+12+9=25$, alors que $4+6+9=19$ ne convient pas.

a) On pose $a=8x$ et $b=3$. Le produit $(a-b)(a+b)$ vaut $a^{2}-b^{2}=64x^{2}-9$. Il n'y a aucun terme en $x$ : les deux termes croisés, $+24x$ et $-24x$, s'annulent, et c'est toute la raison d'être de cette identité. Vérification pour $x=1$ : $(8-3)(8+3)=5\times 11=55$ et $64-9=55$. Le piège est d'écrire $64x^{2}-9$ puis d'ajouter un terme du milieu par réflexe, ou d'écrire $8x^{2}$ au lieu de $64x^{2}$ : le carré porte encore une fois sur le bloc entier.

b) Pour $x^{2}-121$, on cherche deux carrés : $x^{2}$ est le carré de $x$ et $121$ celui de $11$, donc $x^{2}-121=(x-11)(x+11)$. Pour $36x^{2}-49$, $36x^{2}$ est le carré de $6x$ et $49$ celui de $7$, donc $36x^{2}-49=(6x-7)(6x+7)$. Vérification de la seconde pour $x=1$ : $36-49=-13$ et $(6-7)(6+7)=-1\times 13=-13$. L'erreur classique est d'écrire $(6x-7)^{2}$ : ce serait $36x^{2}-84x+49$, qui n'a rien à voir. Une différence de deux carrés donne toujours DEUX facteurs différents, jamais un carré.

c) Ici le carré le plus grand est écrit en premier mais c'est le nombre, pas le terme en $x$. On garde l'ordre de l'énoncé : $a=4$ et $b=9x$, donc $16-81x^{2}=(4-9x)(4+9x)$. Vérification pour $x=1$ : $16-81=-65$ et $(4-9)(4+9)=-5\times 13=-65$. Le piège est d'écrire $(9x-4)(9x+4)$, qui vaut $81x^{2}-16$, c'est-à-dire l'OPPOSÉ. Une bonne habitude : écrire $a$ et $b$ en les soulignant dans l'énoncé avant de poser les parenthèses.

d) Les deux carrés sont $49$, carré de $7$, et $(2x-5)^{2}$, carré du bloc $2x-5$. Donc $49-(2x-5)^{2}=\bigl(7-(2x-5)\bigr)\bigl(7+(2x-5)\bigr)$. On réduit chaque parenthèse : $7-2x+5=12-2x$ et $7+2x-5=2x+2$. On obtient $(12-2x)(2x+2)$. Chaque facteur contient encore un facteur commun : $12-2x=2(6-x)$ et $2x+2=2(x+1)$, donc le résultat complet est $4(6-x)(x+1)$. Vérification pour $x=0$ : $49-25=24$ et $4\times 6\times 1=24$. Le piège principal est d'oublier de distribuer le signe moins devant la parenthèse, ce qui donne $7-2x-5$ au lieu de $7-2x+5$ : une seule erreur de signe et les deux facteurs sont faux.

a) On regarde d'abord le nombre de termes. Avec DEUX termes, seule la différence de deux carrés est possible : $25x^{2}-81$ convient, $25x^{2}+81$ non, car une somme de deux carrés ne se factorise jamais. Avec TROIS termes, on cherche un carré parfait : $25x^{2}-90x+81$ et $25x^{2}+90x+81$ conviennent, alors que $25x^{2}-90x-81$ est éliminé d'un coup d'oeil, son dernier terme étant négatif. Or dans $(a\pm b)^{2}$ le dernier terme est $b^{2}$, donc toujours positif. Un seul regard sur le signe du dernier terme élimine cette expression sans aucun calcul, et c'est le réflexe à prendre.

b) Pour $25x^{2}-90x+81$ : $25x^{2}=(5x)^{2}$, $81=9^{2}$, et le double produit vaut $2\times 5x\times 9=90x$, qui est bien le terme du milieu. Le signe du milieu étant négatif, c'est $(5x-9)^{2}$. De même $25x^{2}+90x+81=(5x+9)^{2}$. Enfin $25x^{2}-81=(5x-9)(5x+9)$. Remarquez que le même couple $(5x\,;9)$ sert dans les trois cas : une fois les blocs nommés, le reste est mécanique. Le piège est de confondre les deux dernières et d'écrire $25x^{2}-81=(5x-9)^{2}$ : un carré donne deux facteurs IDENTIQUES et un terme du milieu, la différence de carrés donne deux facteurs DIFFÉRENTS et aucun terme du milieu.

c) Non. Les deux premières conditions sont remplies, $25x^{2}=(5x)^{2}$ et $81=9^{2}$, mais la troisième ne l'est pas : le double produit vaut $2\times 5x\times 9=90x$, alors que l'énoncé propose $60x$. L'expression $25x^{2}-60x+81$ ne se factorise donc pas avec les identités du programme. C'est exactement le piège que les contrôles posent : deux conditions sur trois suffisent à convaincre un élève pressé, et la vérification du double produit prend cinq secondes. On peut aussi le voir par le calcul : $(5x-9)^{2}$ vaut $25x^{2}-90x+81$, qui n'est pas l'expression proposée.

d) Pour $x=1$, l'expression vaut $25-90+81=16$, et la forme factorisée vaut $(5-9)^{2}=(-4)^{2}=16$. Les deux résultats coïncident. Une vérification numérique ne prouve pas l'égalité pour tous les nombres, mais elle attrape presque toutes les erreurs de signe et de coefficient, et elle coûte une ligne. Pour être plus sûr encore, on peut tester une seconde valeur, par exemple $x=0$ : l'expression vaut $81$ et la forme factorisée $(-9)^{2}=81$.

a) Le facteur commun saute aux yeux : $3x^{2}-75=3(x^{2}-25)$. La parenthèse est alors une différence de deux carrés, $x^{2}$ et $5^{2}$, donc $3x^{2}-75=3(x-5)(x+5)$. Vérification pour $x=1$ : $3-75=-72$ et $3\times(-4)\times 6=-72$. Celui qui saute le facteur commun cherche en vain deux carrés dans $3x^{2}-75$, car $3x^{2}$ n'est pas un carré et $75$ non plus : il conclut souvent, à tort, que l'expression ne se factorise pas. Sortir le facteur commun coûte une ligne et débloque la suite.

b) Le facteur commun est $2x$ : $2x^{3}-50x=2x(x^{2}-25)=2x(x-5)(x+5)$. Vérification pour $x=2$ : $16-100=-84$ et $4\times(-3)\times 7=-84$. Deux erreurs guettent. La première est d'oublier le $x$ dans le facteur commun et de s'arrêter à $2(x^{3}-25x)$, qui n'est pas factorisé. La seconde est de simplifier par $x$ comme s'il s'agissait d'une équation : ici on transforme une expression, on ne résout rien, donc rien ne disparaît.

c) Facteur commun $5$ : $5x^{2}+30x+45=5(x^{2}+6x+9)$. La parenthèse vérifie les trois conditions du carré parfait : $x^{2}$ est un carré, $9=3^{2}$ aussi, et le double produit vaut $2\times x\times 3=6x$, le terme du milieu. Donc $5x^{2}+30x+45=5(x+3)^{2}$. Vérification pour $x=1$ : $5+30+45=80$ et $5\times 16=80$. Le piège est d'écrire $(5x+3)^{2}$ en faisant rentrer le $5$ dans la parenthèse : ce serait $25x^{2}+30x+9$, qui ne convient pas. Un facteur sorti reste DEVANT.

d) Ici aucun facteur commun. Mais $x^{4}=(x^{2})^{2}$ et $81=9^{2}$, donc c'est une différence de deux carrés avec $a=x^{2}$ et $b=9$ : $x^{4}-81=(x^{2}-9)(x^{2}+9)$. Le premier facteur est encore une différence de deux carrés, donc $x^{4}-81=(x-3)(x+3)(x^{2}+9)$. On s'arrête là : $x^{2}+9$ est une SOMME de deux carrés, et une somme de carrés ne se factorise jamais. Vérification pour $x=2$ : $16-81=-65$ et $(-1)\times 5\times 13=-65$. L'erreur la plus coûteuse est de s'arrêter après la première étape : la consigne dit « le plus complètement possible », donc une factorisation incomplète perd la moitié des points même si elle est juste.

a) On applique $(a+b)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}$ avec $a=200$ et $b=5$ : $205^{2}=200^{2}+2\times 200\times 5+5^{2}=40\,000+2\,000+25=42\,025$. Les trois morceaux se calculent de tête. Le piège est d'oublier le double produit et d'écrire $40\,000+25=40\,025$, ce qui fait une erreur de deux mille : l'ordre de grandeur suffit d'ailleurs à la repérer, puisque $205^{2}$ doit dépasser $200^{2}=40\,000$ d'environ $2\,000$. Le contrôle rapide consiste à vérifier que le résultat se termine par $25$, ce qui est le cas de tout carré d'un nombre finissant par $5$.

b) Les deux facteurs encadrent $40$ à la même distance $2$, donc $38\times 42=(40-2)(40+2)=40^{2}-2^{2}=1\,600-4=1\,596$. C'est l'identité de la différence de deux carrés lue de gauche à droite. La méthode ne marche que si les deux facteurs sont à la MÊME distance du nombre central : avec $38\times 43$, il n'y a pas de nombre central et l'identité ne s'applique pas. Vérification par un autre chemin : $38\times 42=38\times 40+38\times 2=1\,520+76=1\,596$.

c) $49$ et $51$ encadrent $50$ à la distance $1$, donc $49\times 51=50^{2}-1^{2}=2\,500-1=2\,499$. Le produit est donc INFÉRIEUR au carré, et exactement de $1$. En général, $(n-1)(n+1)=n^{2}-1$ : écarter les deux facteurs de la même quantité fait toujours perdre, et la perte vaut le carré de l'écart. Avec un écart de $3$, par exemple, $47\times 53=2\,500-9=2\,491$. C'est un résultat utile bien au-delà de ce chapitre : à somme fixée, le produit de deux nombres est maximal lorsqu'ils sont égaux.

d) Les deux nombres sont des carrés, donc $2\,026^{2}-2\,024^{2}=(2\,026-2\,024)(2\,026+2\,024)=2\times 4\,050=8\,100$. Le calcul direct demanderait deux multiplications à quatre chiffres et une soustraction ; la forme factorisée demande une soustraction, une addition et une multiplication par $2$. C'est toute la force de la lecture de droite à gauche. Le piège est d'écrire $(2\,026-2\,024)^{2}=4$, c'est-à-dire de confondre la différence des carrés avec le carré de la différence : ces deux expressions n'ont rien à voir.

a) On nomme les deux entiers consécutifs $n$ et $n+1$. La somme de leurs carrés vaut $n^{2}+(n+1)^{2}=n^{2}+n^{2}+2n+1=2n^{2}+2n+1$, c'est-à-dire $2(n^{2}+n)+1$. Comme $n^{2}+n$ est un entier, cette somme s'écrit « deux fois un entier, plus un » : elle est donc impaire, quel que soit $n$. Vérification avec $7$ et $8$ : $49+64=113$, qui est bien impair. Le point qui rapporte les points est la MISE EN FACTEUR du $2$ à la fin : sans elle, on a calculé sans conclure, et le correcteur ne peut pas deviner. Remarquez aussi que le développement de $(n+1)^{2}$ doit comporter son double produit $2n$, faute de quoi la démonstration tombe.

b) On développe : $(n+2)^{2}-n^{2}=n^{2}+4n+4-n^{2}=4n+4=4(n+1)$. C'est quatre fois un entier, donc un multiple de $4$, quel que soit $n$. Pour $n=25$ : $4\times 26=104$, et l'on vérifie directement que $27^{2}-25^{2}=729-625=104$. On pouvait aussi factoriser d'emblée la différence de deux carrés : $(n+2)^{2}-n^{2}=\bigl((n+2)-n\bigr)\bigl((n+2)+n\bigr)=2(2n+2)=4(n+1)$, ce qui est plus court et évite tout développement. Les deux chemins sont acceptés ; le second montre qu'on a reconnu l'identité.

c) Les deux entiers sont $n-k$ et $n+k$. Leur produit vaut $(n-k)(n+k)=n^{2}-k^{2}$. Comme $k^{2}$ est strictement positif dès que $k$ n'est pas nul, ce produit est strictement inférieur à $n^{2}$, et il lui manque exactement $k^{2}$. Exemple : autour de $n=20$ avec $k=3$, $17\times 23=391=400-9$. La perte ne dépend pas de $n$, seulement de l'écartement : c'est ce qui surprend le plus. Le piège est de croire que la perte grandit avec $n$, ce qu'un seul contre-exemple chiffré suffit à écarter.

d) On reconnaît un carré parfait : $n^{2}+2n+1=(n+1)^{2}$, puisque $2\times n\times 1=2n$. Ce nombre s'écrit donc comme le produit $(n+1)\times(n+1)$. Lorsque $n\ge 1$, le facteur $n+1$ vaut au moins $2$, et il est strictement inférieur à $(n+1)^{2}$ : le nombre admet donc un diviseur autre que $1$ et lui-même, il n'est pas premier. Vérification pour $n=4$ : $16+8+1=25=5\times 5$, effectivement pas premier. Attention à la condition $n\ge 1$ : pour $n=0$, on obtient $1$, qui n'est pas premier non plus, mais pour une autre raison, et la démonstration par le facteur $n+1=1$ ne fonctionnerait pas.

a) Le côté du grand carré vaut $a+b$, donc son aire vaut $(a+b)^{2}$. En développant avec l'identité, $(a+b)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}$. C'est la seule identité utilisée dans tout l'exercice, et c'est elle qui porte la démonstration.

b) Le grand carré est entièrement recouvert par le carré central et les quatre triangles, sans chevauchement. Le carré central a pour aire $c^{2}$. Chaque triangle rectangle a pour aire $\dfrac{a\times b}{2}$, donc les quatre ensemble valent $4\times\dfrac{ab}{2}=2ab$. L'aire totale s'écrit donc $c^{2}+2ab$. Le piège est de compter l'aire d'un triangle comme $ab$ : on obtiendrait $4ab$ et toute la suite serait fausse. Le facteur un demi vient de ce qu'un triangle rectangle est la moitié d'un rectangle.

c) Les deux expressions décrivent la même aire, donc $a^{2}+2ab+b^{2}=c^{2}+2ab$. On retranche $2ab$ de chaque côté et il reste $a^{2}+b^{2}=c^{2}$. C'est le théorème de Pythagore, obtenu sans aucune mesure : le double produit $2ab$, qui est justement le terme que l'on oublie le plus souvent dans l'identité, est ici celui qui s'en va. Autrement dit, ce sont les quatre triangles qui disparaissent des deux côtés de l'égalité.

d) Avec $a=3$ et $b=4$, le grand carré a pour côté $7$ et pour aire $49$. Les quatre triangles valent $4\times\dfrac{3\times 4}{2}=24$. Il reste donc $49-24=25$ pour le carré central, d'où $c=5$, et l'on retrouve $3^{2}+4^{2}=25$. L'élève qui écrit « aire du grand carré $=a^{2}+b^{2}$ » oublie le double produit : il compterait $9+16=25$ pour une figure dont l'aire vaut $49$. Son erreur est exactement celle du chapitre, écrire $(a+b)^{2}=a^{2}+b^{2}$, et la figure montre ce qui manque : les deux rectangles $a\times b$ que l'on voit en découpant le grand carré.

a) Faux. Le carré porte sur le bloc tout entier, donc $a=4x$ et non $4$. Avec la bonne lecture, $a^{2}=16x^{2}$, $2ab=2\times 4x\times 7=56x$ et $b^{2}=49$, donc $(4x-7)^{2}=16x^{2}-56x+49$. Contrôle pour $x=2$ : à gauche $(8-7)^{2}=1$, à droite $64-112+49=1$. Celui qui prend $a=4$ écrit un premier terme en $16$ sans $x^{2}$, ou pire un $4x^{2}$ : dans les deux cas la vérification numérique le détrompe immédiatement.

b) Faux. On a $a^{2}-b^{2}=(a-b)(a+b)$ et $b^{2}-a^{2}=(b-a)(b+a)$. Les seconds facteurs sont identiques, mais les premiers sont OPPOSÉS, donc les deux produits sont opposés, pas égaux. Contre-exemple avec $a=5$ et $b=3$ : $25-9=16$ et $9-25=-16$. La bonne formulation est que $b^{2}-a^{2}=-(a^{2}-b^{2})$. L'erreur coûte un signe sur toute la suite d'un exercice, et elle est fréquente quand on factorise $16-81x^{2}$ en commençant par le terme en $x$.

c) Faux. Les nombres $x-3$ et $3-x$ sont opposés, et deux nombres opposés ont le MÊME carré. En développant : $(x-3)^{2}=x^{2}-6x+9$ et $(3-x)^{2}=9-6x+x^{2}$, ce sont les mêmes trois termes. Contrôle pour $x=1$ : $(-2)^{2}=4$ et $2^{2}=4$. Attention à ne pas étendre la règle à des puissances impaires : $(x-3)^{3}$ et $(3-x)^{3}$, eux, sont opposés. La propriété tient au carré, pas à la parenthèse.

d) Faux, et c'est la confusion la plus coûteuse du chapitre, parce qu'elle mélange les deux identités. L'expression a TROIS termes, donc ce ne peut pas être une différence de deux carrés, qui n'en a que deux. On vérifie les trois conditions du carré parfait : $4x^{2}=(2x)^{2}$, $9=3^{2}$ et $2\times 2x\times 3=12x$, qui est bien le terme du milieu. Donc $4x^{2}-12x+9=(2x-3)^{2}$. Contrôle pour $x=1$ : l'expression vaut $4-12+9=1$, alors que le produit proposé vaut $(2-3)(2+3)=-5$. Les deux ne coïncident même pas de signe.

e) Faux. Rien n'oblige le premier terme à être $x^{2}$ : il suffit qu'il soit un carré. Ici $9x^{2}=(3x)^{2}$, $1=1^{2}$ et le double produit vaut $2\times 3x\times 1=6x$, qui est le terme du milieu : les trois conditions sont remplies et $9x^{2}+6x+1=(3x+1)^{2}$. Contrôle pour $x=1$ : $9+6+1=16$ et $(3+1)^{2}=16$. Cette affirmation est dangereuse parce qu'elle a l'air méthodique : elle applique une condition qui n'existe pas. La seule question est « est-ce un carré ? », et $9x^{2}$ en est un.