Exercice 1 : Huit équations et inéquations à la main

Résolvez chaque équation ou inéquation à la main, en écrivant une étape par ligne, puis vérifiez chaque solution en la remplaçant dans l'écriture de DÉPART.

1) $4x+9=1$
2) $7-3x=19$
3) $2(x-3)=5x+9$
4) $\dfrac{x}{4}-\dfrac{1}{2}=\dfrac{3}{4}$
5) $(x-3)(2x+8)=0$
6) $x^{2}=49$
7) $3x-5<7$
8) $-2x+1\ge 9$

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Réponses

1) $x=-2$
2) $x=-4$
3) $x=-5$
4) $x=5$
5) $x=-4$ ou $x=3$
6) $x=-7$ ou $x=7$
7) $x<4$
8) $x\leq -4$

1)

On retranche $9$ aux deux membres : $4x=-8$ . On divise par $4$ : $x=-2$ . Vérification : $4\times(-2)+9=1$ .

2)

On retranche $7$ : $-3x=12$ . On divise par $-3$ : $x=-4$ . Vérification : $7-3\times(-4)=7+12=19$ . Le piège est $x=4$ , en perdant le signe du coefficient.

3)

On développe : $2x-6=5x+9$ . On regroupe : $2x-5x=9+6$ , soit $-3x=15$ , donc $x=-5$ . Vérification : $2\times(-8)=-16$ et $5\times(-5)+9=-16$ .

4)

On multiplie les deux membres par $4$ pour chasser les dénominateurs : $x-2=3$ , donc $x=5$ . Vérification : $\dfrac{5}{4}-\dfrac{2}{4}=\dfrac{3}{4}$ . Multiplier seulement le premier terme par $4$ est l'erreur fréquente : TOUS les termes sont multipliés.

5)

Un produit est nul si et seulement si l'un de ses facteurs est nul : $x-3=0$ ou $2x+8=0$ , soit $x=3$ ou $x=-4$ . Deux solutions, $-4$ et $3$ . Développer d'abord serait une perte de temps : la forme produit est justement celle qui donne les solutions.

6)

$49$ est positif : deux solutions, $x=7$ et $x=-7$ . Oublier $-7$ est l'erreur classique, alors que $(-7)^{2}=49$ aussi.

7)

On ajoute $5$ : $3x<12$ . On divise par $3$ , positif, le sens ne change pas : $x<4$ . Contrôle : $x=0$ convient, $-5<7$ ; $x=4$ ne convient pas, $7<7$ est faux.

8)

On retranche $1$ : $-2x\ge 8$ . On divise par $-2$ , NÉGATIF, donc le sens s'inverse : $x\le -4$ . Contrôle : $x=-5$ donne $11\ge 9$ , vrai ; $x=0$ donne $1\ge 9$ , faux.

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Exercice 2 : Le premier degré, parenthèses et fractions comprises

Résoudre une équation, c'est faire subir la MÊME opération aux deux membres jusqu'à n'avoir plus que l'inconnue d'un côté. Toute la difficulté est de choisir l'opération qui simplifie.

1) Résoudre $5x-7=2x+8$ .
2) Résoudre $3(2x-1)=4-(x+6)$ .
3) Résoudre $\dfrac{x}{3}-\dfrac{x-2}{4}=1$ .
4) Vérifier la solution de la question 3 dans l'équation de départ.
5) Résoudre $2(x+3)=2x+5$ .
6) Résoudre $2(x+3)=2x+6$ .

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Réponses

1) $x=5$
2) $x=\frac{1}{7}$
3) $x=6$
4) $2-1=1$ ✓
5) $6=5$ : aucune solution
6) $6=6$ : tout nombre

1)

On retranche $2x$ aux deux membres : $3x-7=8$ . On ajoute $7$ : $3x=15$ . On divise par $3$ : $x=5$ . Vérification dans l'équation de DÉPART : à gauche $5\times 5-7=18$ , à droite $2\times 5+8=18$ . Les deux membres coïncident, la solution est $5$ .

2)

On développe d'abord chaque membre, en faisant attention au signe moins devant la parenthèse de droite : $6x-3=4-x-6$ , soit $6x-3=-x-2$ . On ajoute $x$ : $7x-3=-2$ . On ajoute $3$ : $7x=1$ . Donc $x=\dfrac{1}{7}$ . La solution n'est pas un entier, et ce n'est pas un signe d'erreur : c'est même le cas général. Vérification : $3\left(\dfrac{2}{7}-1\right)=3\times \left(-\dfrac{5}{7}\right)=-\dfrac{15}{7}$ , et $4-\left(\dfrac{1}{7}+6\right)=4-\dfrac{43}{7}=-\dfrac{15}{7}$ .

3)

On multiplie les DEUX membres par $12$ , un multiple commun des dénominateurs $3$ et $4$ : $12\times \dfrac{x}{3}-12\times \dfrac{x-2}{4}=12$ , soit $4x-3(x-2)=12$ . On développe : $4x-3x+6=12$ , donc $x+6=12$ et $x=6$ . L'erreur à éviter est d'oublier de multiplier le membre de droite, ou de ne multiplier qu'un seul terme de gauche.

4)

On remplace $x$ par $6$ dans l'équation de départ : $\dfrac{6}{3}-\dfrac{6-2}{4}=2-\dfrac{4}{4}=2-1=1$ . Le membre de droite vaut $1$ : la solution est confirmée. Vérifier dans la ligne intermédiaire $4x-3(x-2)=12$ n'aurait rien prouvé, puisque c'est justement cette ligne qui aurait pu être fausse.

5)

On développe : $2x+6=2x+5$ . On retranche $2x$ : $6=5$ . Cette égalité est fausse quel que soit $x$ , donc l'équation n'a AUCUNE solution. Répondre $x=0$ ou laisser la copie blanche coûte les mêmes points : la réponse attendue est la phrase « l'équation n'a pas de solution ».

6)

On développe : $2x+6=2x+6$ . On retranche $2x$ : $6=6$ . Cette égalité est vraie quel que soit $x$ , donc TOUT nombre est solution. Les questions 5 et 6 diffèrent d'un seul chiffre et n'ont pas du tout la même réponse : c'est la dernière ligne, et elle seule, qui tranche.

Exercice 3 : L'équation produit

Un produit de facteurs est nul si et seulement si l'un au moins de ses facteurs est nul. C'est le seul cas où l'on a le droit de couper une équation en deux : il n'existe rien de tel pour un produit égal à $6$ .

1) Résoudre $(2x-5)(x+4)=0$ .
2) Résoudre $x(x-7)=0$ .
3) Résoudre $(3x+1)(3x-1)=0$ .
4) Factoriser $4x^2-9$ puis résoudre $4x^2-9=0$ .
5) Un élève résout $(2x-5)(x+4)=6$ en écrivant $2x-5=6$ ou $x+4=6$ . Montrer par un calcul que ses deux valeurs ne conviennent pas.
6) Résoudre correctement $(2x-5)(x+4)=0$ après avoir développé, et dire laquelle des deux méthodes est la bonne.

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Réponses

1) $-4$ et $2{,}5$
2) 0 et 7
3) $-\frac{1}{3}$ et $\frac{1}{3}$
4) $(2x-3)(2x+3)$ ; $\pm 1{,}5$
5) 57 et $-6$ , pas 6
6) Garder la forme factorisée

1)

Le produit est nul, donc $2x-5=0$ ou $x+4=0$ . La première donne $2x=5$ , soit $x=2{,}5$ . La seconde donne $x=-4$ . L'équation a donc deux solutions, $2{,}5$ et $-4$ . Vérification : $(2\times 2{,}5-5)(2{,}5+4)=0\times 6{,}5=0$ et $(2\times (-4)-5)(-4+4)=(-13)\times 0=0$ .

2)

Le premier facteur est $x$ lui-même : $x=0$ ou $x-7=0$ , donc $x=0$ ou $x=7$ . Oublier la solution $0$ parce que le facteur ne ressemble pas à une parenthèse est l'erreur la plus fréquente de la question.

3)

$3x+1=0$ donne $x=-\dfrac{1}{3}$ , et $3x-1=0$ donne $x=\dfrac{1}{3}$ . Deux solutions opposées, ce qui n'a rien d'un hasard : les deux facteurs sont conjugués.

4)

$4x^2-9=(2x)^2-3^2=(2x-3)(2x+3)$ , par l'identité $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$ . L'équation devient $(2x-3)(2x+3)=0$ , donc $x=1{,}5$ ou $x=-1{,}5$ . On aurait aussi pu isoler le carré, $x^2=\dfrac{9}{4}$ , avec la méthode de l'exercice 4 ; la factorisation a l'avantage de livrer les deux solutions d'un seul coup, sans risque d'oublier la négative.

5)

Sa première valeur donne $2x=11$ , soit $x=5{,}5$ ; en remplaçant : $(2\times 5{,}5-5)(5{,}5+4)=6\times 9{,}5=57$ , et non $6$ . Sa seconde valeur est $x=2$ ; en remplaçant : $(2\times 2-5)(2+4)=(-1)\times 6=-6$ , et non $6$ . Les deux échouent. La raison est qu'un produit peut valoir $6$ d'une infinité de façons, $2\times 3$ , $12\times 0{,}5$ , $(-1)\times (-6)$ : rien n'oblige un facteur à valoir $6$ . Seul le nombre ZÉRO a la propriété voulue, parce que zéro ne se fabrique qu'avec un facteur nul.

6)

En développant : $(2x-5)(x+4)=2x^2+8x-5x-20=2x^2+3x-20$ . L'équation $2x^2+3x-20=0$ est du second degré et n'est pas au programme de troisième sous cette forme : on ne sait pas la résoudre directement. La bonne méthode est donc la première, celle qui garde le produit FACTORISÉ. Retenir la règle de conduite : devant une équation produit égale à zéro, on ne développe jamais, on lit.

Exercice 4 : Les trois cas de l'équation x² = a

L'équation $x^2=a$ ne se résout pas en divisant par $x$ , ce qui ferait perdre une solution, ni en prenant la racine carrée sans réfléchir, ce qui en ferait perdre une autre. Elle se discute selon le signe de $a$ .

1) Résoudre $x^2=49$ .
2) Résoudre $x^2=0$ .
3) Résoudre $x^2=-4$ .
4) Résoudre $(x-3)^2=16$ .
5) Résoudre $x^2-10x+25=0$ en reconnaissant une identité remarquable.
6) Résoudre $9x^2=5$ et donner la valeur exacte puis une valeur approchée au millième.

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Réponses

1) $-7$ et 7
2) 0
3) Aucune solution
4) $-1$ et 7
5) $(x-5)^2=0$ : $x=5$
6) $\pm\frac{\sqrt{5}}{3}\approx\pm 0{,}745$

1)

Comme $49>0$ , il y a deux solutions opposées : $x=7$ ou $x=-7$ , car $7^2=49$ et $(-7)^2=49$ . Écrire seulement $x=7$ fait perdre la moitié de la réponse, et c'est l'erreur numéro un du chapitre. Le symbole $\sqrt{49}$ désigne uniquement le nombre POSITIF $7$ : c'est pour cela qu'il faut écrire les deux solutions à la main.

2)

Comme $a=0$ , il y a une seule solution : $x=0$ . Un carré est nul seulement si le nombre lui-même l'est.

3)

Comme $-4<0$ , il n'y a AUCUNE solution : le carré d'un nombre est toujours positif ou nul, donc il ne peut jamais valoir $-4$ . La réponse attendue est cette phrase, pas un résultat.

4)

On pose le raisonnement sur le bloc $(x-3)$ tout entier : son carré vaut $16$ , donc $x-3=4$ ou $x-3=-4$ . La première donne $x=7$ , la seconde $x=-1$ . Vérification : $(7-3)^2=4^2=16$ et $(-1-3)^2=(-4)^2=16$ .

5)

On reconnaît $x^2-10x+25=x^2-2\times x\times 5+5^2=(x-5)^2$ . L'équation devient $(x-5)^2=0$ , donc $x-5=0$ et $x=5$ . Une seule solution, alors que l'équation ressemble à celle de la question 4 : c'est le cas $a=0$ déguisé. Vérification : $25-50+25=0$ .

6)

On isole d'abord le carré : $x^2=\dfrac{5}{9}$ . Comme $\dfrac{5}{9}>0$ , il y a deux solutions, $x=\sqrt{\dfrac{5}{9}}=\dfrac{\sqrt{5}}{3}$ et $x=-\dfrac{\sqrt{5}}{3}$ . Numériquement, $\sqrt{5}\approx 2{,}2361$ , donc $x\approx 0{,}745$ ou $x\approx -0{,}745$ . La valeur exacte s'écrit avec le radical ; la valeur approchée n'en est qu'une image, et une réponse qui ne donnerait que $0{,}745$ serait considérée comme incomplète à deux titres, le signe et l'exactitude.

Exercice 5 : Inéquations et droite graduée

Une inéquation se résout comme une équation, avec une seule exception : multiplier ou diviser les deux membres par un nombre NÉGATIF renverse le sens de l'inégalité. Les trois ensembles de solutions demandés sont dessinés dans le corrigé.

1) Résoudre $3x-5\le 7$ .
2) Résoudre $-2x+1>9$ .
3) Résoudre $\dfrac{x+1}{3}\ge \dfrac{x-2}{2}$ .
4) Donner tous les entiers qui vérifient à la fois $3x-5\le 7$ et $-2x+1<9$ .
5) Refaire la question 2 en gardant l'inconnue du côté où son coefficient est positif.
6) Pourquoi le sens change-t-il quand on multiplie par un négatif ? Donner un exemple numérique.

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Réponses

1) $x\leq 4$
2) $x<-4$
3) $x\leq 8$
4) De $-3$ à 4 : huit entiers
5) $x<-4$ sans changement de sens
6) $2<5$ mais $-6>-15$

1)

On ajoute $5$ aux deux membres : $3x\le 12$ . On divise par $3$ , qui est POSITIF, donc le sens ne change pas : $x\le 4$ . L'ensemble des solutions est la demi-droite fermée en $4$ , dessinée sur la ligne a) de la figure.

2)

On retranche $1$ : $-2x>8$ . On divise par $-2$ , qui est NÉGATIF, donc le sens s'inverse : $x<-4$ . Vérification par un essai, indispensable ici : pour $x=-5$ , $-2\times (-5)+1=11>9$ , c'est bien une solution ; pour $x=0$ , $1>9$ est faux. Le sens est le bon.

3)

On multiplie les deux membres par $6$ , qui est positif : $2(x+1)\ge 3(x-2)$ , soit $2x+2\ge 3x-6$ . On retranche $2x$ : $2\ge x-6$ . On ajoute $6$ : $8\ge x$ , c'est-à-dire $x\le 8$ . Aucun changement de sens n'a eu lieu, puisque l'on n'a divisé que par $6$ .

4)

La première donne $x\le 4$ . La seconde, $-2x+1<9$ , donne $-2x<8$ puis, en divisant par $-2$ avec changement de sens, $x>-4$ . Il faut donc $-4<x\le 4$ . Les entiers concernés sont $-3$ , $-2$ , $-1$ , $0$ , $1$ , $2$ , $3$ et $4$ , soit huit valeurs. Attention aux bornes : $-4$ est exclu car l'inégalité est stricte, $4$ est inclus car elle ne l'est pas.

5)

Depuis $-2x+1>9$ , on ajoute $2x$ aux deux membres : $1>9+2x$ . On retranche $9$ : $-8>2x$ . On divise par $2$ , positif : $-4>x$ , c'est-à-dire $x<-4$ . Même résultat, et aucun changement de sens n'a été nécessaire. C'est la technique à préférer en devoir : elle supprime la seule règle que l'on oublie.

6)

Parce que multiplier par un négatif renverse l'ordre sur la droite graduée : les nombres à droite deviennent des nombres à gauche. Exemple : $2<5$ , mais en multipliant par $-3$ on obtient $-6$ et $-15$ , et $-6>-15$ . L'inégalité s'est retournée. Un seul exemple comme celui-là, refait de tête en devoir, suffit à retrouver la règle quand on l'a oubliée.

Exercice 6 : Mettre un problème en équation

Un rectangle a une longueur qui dépasse sa largeur de $7$ cm. Son périmètre mesure $46$ cm. Toute la difficulté d'une mise en équation est de choisir l'inconnue et de dire clairement ce qu'elle désigne, unité comprise.

1) Choisir l'inconnue et exprimer la longueur en fonction d'elle.
2) Écrire l'équation traduisant le périmètre.
3) Résoudre et donner les dimensions du rectangle.
4) Vérifier le périmètre.
5) Calculer l'aire de ce rectangle.
6) Un élève appelle $x$ la LONGUEUR. Écrire son équation et vérifier qu'il trouve la même figure.

Voir la correction

Réponses

1) Largeur $x$ , longueur $x+7$
2) $2(2x+7)=46$
3) 8 cm sur 15 cm
4) 46 cm ✓
5) 120 cm²
6) $x=15$ : même rectangle

1)

On pose : soit $x$ la largeur du rectangle, en centimètres. La longueur dépasse la largeur de $7$ cm, elle vaut donc $x+7$ centimètres. Cette phrase de définition n'est pas facultative : sans elle, la suite du raisonnement n'a pas de sens, et le barème du brevet lui accorde un point à part.

2)

Le périmètre d'un rectangle vaut deux fois la somme de la longueur et de la largeur : $2\big(x+(x+7)\big)=46$ , soit $2(2x+7)=46$ .

3)

On développe : $4x+14=46$ . On retranche $14$ : $4x=32$ . On divise par $4$ : $x=8$ . La largeur mesure donc $8$ cm et la longueur $8+7=15$ cm.

4)

$2\times (8+15)=2\times 23=46$ cm. Le périmètre est bien celui de l'énoncé.

5)

L'aire vaut $8\times 15=120$ cm $^2$ . Remarquer qu'un rectangle de même périmètre mais de dimensions $11{,}5$ sur $11{,}5$ , c'est-à-dire un carré, aurait une aire de $132{,}25$ cm $^2$ : à périmètre fixé, c'est le carré qui offre la plus grande aire.

6)

Si $x$ désigne la longueur, la largeur vaut $x-7$ et l'équation devient $2\big(x+(x-7)\big)=46$ , soit $4x-14=46$ , puis $4x=60$ et $x=15$ . La longueur vaut $15$ cm et la largeur $15-7=8$ cm : le même rectangle. Le choix de l'inconnue change les calculs, jamais la figure. Ce qu'il ne faut pas faire, en revanche, c'est changer d'inconnue en cours de route.

Exercice 7 : Deux programmes de calcul

La figure décrit deux programmes de calcul. Le programme A demande de choisir un nombre, de lui ajouter $4$ , de multiplier le résultat par $3$ , puis de retrancher $2$ . Le programme B demande de choisir un nombre, de le multiplier par $5$ , puis de retrancher $6$ .

1) Appliquer les deux programmes au nombre $1$ , puis au nombre $10$ .
2) Exprimer en fonction de $x$ le résultat de chaque programme, sous forme réduite.
3) Pour quel nombre choisi les deux programmes donnent-ils le même résultat ?
4) Vérifier ce résultat commun.
5) Pour quels nombres le programme A donne-t-il un résultat strictement plus grand que le programme B ?
6) Existe-t-il un nombre pour lequel le programme A donne $0$ ?

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Réponses

1) 13 et $-1$ ; 40 et 44
2) $3x+10$ et $5x-6$
3) $x=8$
4) 34
5) $x<8$
6) $x=-\frac{10}{3}$

1)

Avec $1$ : programme A donne $1+4=5$ , puis $5\times 3=15$ , puis $15-2=13$ ; programme B donne $1\times 5=5$ , puis $5-6=-1$ . Avec $10$ : A donne $14$ , puis $42$ , puis $40$ ; B donne $50$ , puis $44$ . Le programme A menait nettement au premier essai, il est distancé au second : quelque chose s'est croisé entre les deux.

2)

Programme A : $\big((x+4)\times 3\big)-2=3x+12-2=3x+10$ . Programme B : $5x-6$ . Réduire est indispensable ici, sinon la comparaison de la question 3 est illisible.

3)

On résout $3x+10=5x-6$ . On retranche $3x$ : $10=2x-6$ . On ajoute $6$ : $16=2x$ , donc $x=8$ . Le seul nombre pour lequel les deux programmes coïncident est $8$ .

4)

Avec $8$ : programme A donne $8+4=12$ , puis $36$ , puis $34$ ; programme B donne $40$ , puis $34$ . Les deux valent bien $34$ . On peut aussi vérifier sur les expressions réduites : $3\times 8+10=34$ et $5\times 8-6=34$ .

5)

On résout $3x+10>5x-6$ , soit $10>2x-6$ , puis $16>2x$ et enfin $x<8$ . Le programme A l'emporte pour tout nombre strictement inférieur à $8$ , ce qui explique l'essai avec $1$ ; le programme B l'emporte au-delà, ce qui explique l'essai avec $10$ . Le nombre $8$ est le point de bascule, et il est le même que celui de la question 3 : une égalité et un changement de vainqueur, c'est le même événement.

6)

Il faut $3x+10=0$ , donc $3x=-10$ et $x=-\dfrac{10}{3}\approx -3{,}33$ . Ce nombre n'est pas entier, mais rien dans l'énoncé ne l'exigeait : un programme de calcul accepte tous les nombres. Vérification : $\left(-\dfrac{10}{3}+4\right)\times 3-2=\dfrac{2}{3}\times 3-2=2-2=0$ .

Exercice 8 : Le carré étiré

On part d'un carré de côté $x$ centimètres, avec $x>4$ . On allonge un côté de $4$ cm et on raccourcit l'autre de $4$ cm, ce qui donne le rectangle de la figure.

1) Exprimer l'aire du carré, puis celle du rectangle, en fonction de $x$ .
2) Développer l'aire du rectangle et comparer les deux aires.
3) La perte d'aire dépend-elle du côté de départ ? Illustrer avec $x=10$ puis $x=100$ .
4) Pour quel côté de départ l'aire du rectangle vaut-elle $33$ cm $^2$ ?
5) Pour quel côté le rectangle serait-il aplati au point d'avoir une aire nulle ?
6) Les deux figures ont-elles le même périmètre ?

Voir la correction

Réponses

1) $x^2$ et $(x+4)(x-4)$
2) $x^2-16$ : 16 cm² de moins
3) Toujours 16 : 84 et 9 984
4) 7 cm
5) 4 cm
6) Oui : $4x$

1)

L'aire du carré vaut $x\times x=x^2$ . Le rectangle a pour dimensions $x+4$ et $x-4$ , son aire vaut donc $(x+4)(x-4)$ .

2)

On développe avec l'identité remarquable $(a+b)(a-b)=a^2-b^2$ : $(x+4)(x-4)=x^2-16$ . L'aire du rectangle est donc inférieure de $16$ cm $^2$ à celle du carré.

3)

Non, la perte ne dépend pas de $x$ : elle vaut toujours $16$ cm $^2$ , c'est-à-dire $4^2$ . Avec $x=10$ : le carré fait $100$ cm $^2$ , le rectangle $14\times 6=84$ cm $^2$ , la perte vaut $16$ . Avec $x=100$ : le carré fait $10\,000$ cm $^2$ , le rectangle $104\times 96=9984$ cm $^2$ , la perte vaut encore $16$ . C'est ce que dit l'écriture $x^2-16$ , où $x$ a disparu du terme de perte, et c'est exactement ce qu'un tableau de valeurs seul n'aurait jamais permis d'affirmer.

4)

On résout $x^2-16=33$ , donc $x^2=49$ , donc $x=7$ ou $x=-7$ . La contrainte $x>4$ élimine $-7$ : le carré de départ mesure $7$ cm de côté. Vérification : $11\times 3=33$ cm $^2$ .

5)

L'aire est nulle quand $(x+4)(x-4)=0$ , donc $x=-4$ ou $x=4$ . Seule $x=4$ est acceptable, et la figure devient alors un segment de $8$ cm : le côté raccourci mesure $0$ . C'est pourquoi l'énoncé impose $x>4$ , sans quoi la largeur serait négative et ne désignerait plus rien.

6)

Oui. Le périmètre du carré vaut $4x$ ; celui du rectangle vaut $2\big((x+4)+(x-4)\big)=2\times 2x=4x$ . Les deux périmètres sont égaux pour tout $x$ , alors que les aires diffèrent de $16$ . C'est la contrepartie exacte de la remarque de l'exercice 6 : à périmètre fixe, plus la figure est allongée, plus son aire est petite.

Exercice 9 : Cinq affirmations à corriger

Chacune des cinq affirmations suivantes est FAUSSE. Dites pourquoi et donnez l'énoncé correct.

1) « L'équation $x^2=49$ a pour unique solution $x=7$ . »
2) « Si $(x-2)(x+5)=8$ , alors $x-2=8$ ou $x+5=8$ . »
3) « Une équation du premier degré a toujours exactement une solution. »
4) « Pour résoudre $-3x>12$ , on divise par $-3$ et on obtient $x>-4$ . »
5) « Dans $x(x-7)=0$ , on simplifie par $x$ et il reste $x-7=0$ , donc $x=7$ . »

Voir la correction

Réponses

1) 7 et $-7$
2) Produit nul seulement
3) Aucune ou une infinité possible
4) $x<-4$
5) On perd $x=0$

1)

FAUX. Il y a deux solutions, $7$ et $-7$ , car $(-7)^2=49$ aussi. Énoncé correct : si $a>0$ , l'équation $x^2=a$ a exactement deux solutions opposées, $\sqrt{a}$ et $-\sqrt{a}$ .

2)

FAUX. La règle du produit nul ne vaut que pour ZÉRO. Ses valeurs donneraient $x=10$ , et $(10-2)(10+5)=8\times 15=120$ , ou $x=3$ , et $(3-2)(3+5)=1\times 8=8$ : la seconde marche par hasard, la première non, ce qui suffit à montrer que le raisonnement n'en est pas un. Énoncé correct : un produit de facteurs est nul si et seulement si l'un des facteurs est nul.

3)

FAUX. L'équation $2(x+3)=2x+5$ n'a aucune solution, et $2(x+3)=2x+6$ est vérifiée par tous les nombres. Énoncé correct : une équation du premier degré a une solution unique lorsque les coefficients de $x$ des deux membres diffèrent ; sinon elle n'a aucune solution ou en a une infinité, selon les termes constants.

4)

FAUX. Diviser par $-3$ inverse le sens de l'inégalité : $-3x>12$ donne $x<-4$ . Un essai le confirme : pour $x=-5$ , $-3\times (-5)=15>12$ , c'est bien une solution, alors que $-5$ ne vérifie pas $x>-4$ .

5)

FAUX. Simplifier par $x$ suppose $x\ne 0$ et fait donc perdre la solution $x=0$ . On vérifie qu'elle en est bien une : $0\times (0-7)=0$ . Énoncé correct : l'équation $x(x-7)=0$ a deux solutions, $0$ et $7$ . Règle générale : on ne divise jamais une équation par une expression qui contient l'inconnue.

Exercice 10 : Trois tarifs pour la salle d'escalade

Une salle d'escalade propose trois formules. Tarif A : $22$ dollars par séance, sans abonnement. Tarif B : un abonnement de $150$ dollars, puis $8$ dollars par séance. Tarif C : $320$ dollars pour un accès illimité. On note $n$ le nombre de séances dans l'année. Le graphique ci-dessous représente le coût des trois formules.

1) Exprimer en fonction de $n$ le coût de chaque formule.
2) À partir de combien de séances le tarif B devient-il strictement moins cher que le tarif A ?
3) Vérifier par le calcul des coûts pour $n=10$ et $n=11$ .
4) À partir de combien de séances le tarif C devient-il strictement moins cher que le tarif B ?
5) En déduire la formule la plus économique selon le nombre de séances.
6) Un élève conclut de la question 2 que le tarif B est le meilleur dès que l'on dépasse dix séances. Que lui répondre ?

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Réponses

1) $22n$ ; $150+8n$ ; 320
2) $n\geq 11$
3) 220 < 230 puis 242 > 238
4) $n\geq 22$
5) A jusqu'à 10, B de 11 à 21, C dès 22
6) Il oublie le tarif C

1)

Tarif A : $22n$ dollars. Tarif B : $150+8n$ dollars. Tarif C : $320$ dollars, quel que soit $n$ .

2)

On résout $150+8n<22n$ . On retranche $8n$ : $150<14n$ . On divise par $14$ , positif : $n>\dfrac{150}{14}\approx 10{,}71$ . Comme $n$ est un nombre entier de séances, la condition s'écrit $n\ge 11$ .

3)

Pour $n=10$ : tarif A $=220$ dollars, tarif B $=150+80=230$ dollars. Le tarif A est encore meilleur. Pour $n=11$ : tarif A $=242$ dollars, tarif B $=150+88=238$ dollars. Le tarif B est passé devant. Le seuil $11$ est donc confirmé, et cette vérification aux deux entiers qui encadrent $10{,}71$ est ce qui transforme un calcul en réponse.

4)

On résout $320<150+8n$ , soit $170<8n$ , donc $n>\dfrac{170}{8}=21{,}25$ , c'est-à-dire $n\ge 22$ . Pour $n=21$ , le tarif B coûte $318$ dollars contre $320$ ; pour $n=22$ , il coûte $326$ dollars contre $320$ .

5)

En rassemblant : pour $n\le 10$ , le tarif A est le moins cher ; pour $11\le n\le 21$ , c'est le tarif B ; pour $n\ge 22$ , c'est le tarif C. Aucune de ces trois formules n'est la meilleure dans l'absolu, et c'est bien pour cela que la salle en propose trois.

6)

Qu'il a raison contre le tarif A et tort en général. Le tarif B n'est le meilleur que jusqu'à vingt et une séances ; au-delà, le tarif C reprend l'avantage. Comparer deux formules ne dit rien de la troisième, et une inéquation ne répond qu'à la question qu'on lui a posée. C'est le même piège que dans un classement sportif : battre le deuxième ne fait pas premier.

Exercice 11 : Encadrer les dimensions d'un jardin

Un jardin rectangulaire a une longueur qui dépasse sa largeur de $6$ m. Le propriétaire veut un périmètre compris entre $40$ m et $60$ m, bornes comprises, et il ne peut acheter que des largeurs entières en mètres.

1) Exprimer le périmètre en fonction de la largeur $x$ .
2) Traduire la contrainte par un encadrement et le résoudre.
3) Combien de largeurs entières sont possibles ? Les énumérer.
4) Donner l'aire minimale et l'aire maximale correspondantes.
5) Le propriétaire veut en plus une aire strictement supérieure à $100$ m $^2$ . Quelles largeurs restent possibles ?
6) Pourquoi l'aire ne se laisse-t-elle pas encadrer aussi simplement que le périmètre ?

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Réponses

1) $4x+12$
2) $7\leq x\leq 12$
3) Six largeurs, de 7 à 12
4) 91 m² et 216 m²
5) 8, 9, 10, 11, 12
6) L'aire est du second degré

1)

La largeur vaut $x$ mètres et la longueur $x+6$ mètres, donc le périmètre vaut $2\big(x+(x+6)\big)=4x+12$ mètres.

2)

La contrainte s'écrit $40\le 4x+12\le 60$ . On retranche $12$ partout, aux trois membres à la fois : $28\le 4x\le 48$ . On divise par $4$ , positif, donc sans changement de sens : $7\le x\le 12$ . La largeur est comprise entre $7$ et $12$ mètres.

3)

Les largeurs entières possibles sont $7$ , $8$ , $9$ , $10$ , $11$ et $12$ mètres, soit six valeurs. L'erreur classique est de répondre cinq, en soustrayant les bornes : entre deux entiers, il y a un de plus que leur différence.

4)

La plus petite largeur donne le plus petit jardin : $7\times 13=91$ m $^2$ . La plus grande donne $12\times 18=216$ m $^2$ . L'aire varie donc du simple au plus du double alors que le périmètre ne varie que de $40$ à $60$ m, soit de moitié.

5)

Il faut $x(x+6)>100$ . On teste les six largeurs : $7\times 13=91$ , insuffisant ; $8\times 14=112$ , qui convient ; et les suivantes sont plus grandes encore, donc conviennent aussi. Les largeurs possibles sont $8$ , $9$ , $10$ , $11$ et $12$ mètres. Sur un ensemble fini de six valeurs, le test exhaustif est une méthode parfaitement légitime et souvent la plus rapide.

6)

Parce que le périmètre $4x+12$ est une expression du PREMIER degré en $x$ : elle augmente du même pas quand $x$ augmente de $1$ , et un encadrement de $x$ se traduit terme à terme. L'aire $x(x+6)=x^2+6x$ est du second degré : son accroissement s'accélère, il vaut $21$ m $^2$ entre $x=7$ et $x=8$ , mais $29$ m $^2$ entre $x=11$ et $x=12$ . On peut encore l'encadrer ici parce que l'aire ne fait que croître sur l'intervalle, mais cela demande cet argument, et non un simple calcul sur les bornes.

Exercice 12 : Équations à fractions et à décimaux

Quand une équation contient des fractions ou des décimaux, on commence par multiplier les DEUX membres par un nombre qui fait disparaître les dénominateurs ou les virgules. On résout ensuite comme d'habitude.

1) Résolvez $\dfrac{2x+1}{3}=\dfrac{x-4}{2}$ .
2) Résolvez $0{,}4x-1{,}2=0{,}1x+0{,}3$ .
3) Résolvez $\dfrac{x}{2}+\dfrac{x}{3}+\dfrac{x}{6}=12$ .
4) Résolvez $\dfrac{x-1}{4}-\dfrac{2x+3}{6}=-1$ .
5) Un élève résout la question 4 en multipliant par $12$ et écrit $3(x-1)-2(2x+3)=-1$ . Quelle solution trouve-t-il, et où est son erreur ?

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Réponses

1) $x=-14$
2) $x=5$
3) $x=12$
4) $x=3$
5) $x=-8$ : membre de droite non multiplié

1)

On multiplie par $6$ : $2(2x+1)=3(x-4)$ , soit $4x+2=3x-12$ , donc $x=-14$ . Vérification : $\dfrac{-27}{3}=-9$ et $\dfrac{-18}{2}=-9$ ✓.

2)

On multiplie par $10$ : $4x-12=x+3$ , donc $3x=15$ et $x=5$ . Vérification : $2-1{,}2=0{,}8$ et $0{,}5+0{,}3=0{,}8$ ✓.

3)

On multiplie par $6$ : $3x+2x+x=72$ , soit $6x=72$ , donc $x=12$ . On remarque que $\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{6}=1$ : l'équation disait simplement $x=12$ .

4)

On multiplie par $12$ : $3(x-1)-2(2x+3)=-12$ , soit $3x-3-4x-6=-12$ , donc $-x-9=-12$ et $x=3$ . Vérification : $\dfrac{2}{4}-\dfrac{9}{6}=0{,}5-1{,}5=-1$ ✓.

5)

Il obtient $-x-9=-1$ , donc $x=-8$ , qui ne vérifie pas l'équation : $\dfrac{-9}{4}-\dfrac{-13}{6}=-2{,}25+2{,}17\approx -0{,}08$ . Il a oublié de multiplier le membre de droite par $12$ : on multiplie TOUS les termes des deux membres, y compris ceux qui n'ont pas de dénominateur.

Le fil : on chasse les dénominateurs en multipliant chaque terme des deux membres, puis on vérifie dans l'équation de départ, jamais dans une ligne intermédiaire.

Exercice 13 : Mettre en équation : âges et nombres consécutifs

Dans chaque question, on choisit l'inconnue, on dit ce qu'elle désigne, on écrit l'équation, on la résout, puis on répond par une phrase.

1) La somme de trois entiers consécutifs vaut $147$ . Quels sont ces entiers ?
2) La somme de trois entiers pairs consécutifs vaut $150$ . Quels sont ces entiers ?
3) Un père a $41$ ans et son fils $9$ ans. Dans combien d'années le père aura-t-il le triple de l'âge de son fils ?
4) Il y a combien d'années le père avait-il cinq fois l'âge de son fils ?
5) Le père aura-t-il un jour le double de l'âge de son fils ? Si oui, dans combien d'années ?

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Réponses

1) 48, 49, 50
2) 48, 50, 52
3) Dans 7 ans
4) Il y a 1 an
5) Oui, dans 23 ans

1)

Soit $n$ le plus petit. Les trois entiers sont $n$ , $n+1$ et $n+2$ : $3n+3=147$ , donc $n=48$ . Les entiers sont $48$ , $49$ et $50$ . Poser $n$ pour le nombre du MILIEU est encore plus rapide : $(n-1)+n+(n+1)=3n=147$ , donc $n=49$ .

2)

Deux pairs consécutifs diffèrent de $2$ : $n+(n+2)+(n+4)=150$ , donc $3n=144$ et $n=48$ . Les entiers sont $48$ , $50$ et $52$ . Le piège est d'écrire $n+1$ et $n+2$ , qui ne sont pas pairs.

3)

Soit $x$ le nombre d'années. Le père aura $41+x$ ans et le fils $9+x$ : $41+x=3(9+x)$ , soit $41+x=27+3x$ , donc $14=2x$ et $x=7$ . Dans $7$ ans, le père aura $48$ ans et le fils $16$ : $48=3\times 16$ ✓. Le piège est d'écrire $41+x=3\times 9+x$ en oubliant que le fils vieillit aussi.

4)

Il y a $y$ ans : $41-y=5(9-y)$ , soit $41-y=45-5y$ , donc $4y=4$ et $y=1$ . L'an dernier, le père avait $40$ ans et le fils $8$ : $40=5\times 8$ ✓.

5)

$41+z=2(9+z)$ donne $41+z=18+2z$ , donc $z=23$ . Dans $23$ ans, le père aura $64$ ans et le fils $32$ ✓. L'écart d'âge, lui, reste toujours de $32$ ans, et c'est pour cela que le rapport des âges diminue avec le temps.

Le fil : dans un problème d'âges, le même nombre d'années s'ajoute aux deux personnes ; l'écart ne change jamais.

Exercice 14 : Tester une solution sans résoudre

Pour savoir si un nombre est solution d'une équation, il n'est pas nécessaire de savoir la résoudre : on remplace l'inconnue par ce nombre dans CHAQUE membre et l'on compare. C'est ainsi que l'on traite les équations que le programme ne permet pas encore de résoudre.

1) Le nombre $-2$ est-il solution de $x^3-3x+2=0$ ? Et le nombre $1$ ?
2) Le nombre $3$ est-il solution de $x^2+x=12$ ? Et le nombre $-4$ ?
3) Le nombre $\dfrac{1}{2}$ est-il solution de $4x^2-8x+3=0$ ?
4) Parmi $0$ , $2$ et $5$ , lesquels sont solutions de $x(x-5)=2x(x-5)$ ? Combien en trouvez-vous ?
5) Un élève teste $x=2$ dans $\dfrac{x+4}{x-2}=3$ et conclut que ce n'est pas une solution. A-t-il raison, et pour quelle raison exacte ? Résolvez ensuite l'équation.

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Réponses

1) $-2$ et 1 sont solutions
2) 3 et $-4$ sont solutions
3) Oui
4) 0 et 5
5) 2 interdit ; solution 5

1)

Pour $-2$ : $(-2)^3-3\times(-2)+2=-8+6+2=0$ , donc $-2$ est solution. Pour $1$ : $1-3+2=0$ , donc $1$ est aussi solution. Une équation de degré $3$ peut avoir plusieurs solutions.

2)

Pour $3$ : $9+3=12$ ✓, solution. Pour $-4$ : $16-4=12$ ✓, solution aussi. Le piège est de s'arrêter à la première solution trouvée.

3)

$4\times\dfrac{1}{4}-8\times\dfrac{1}{2}+3=1-4+3=0$ : oui, $\dfrac{1}{2}$ est solution.

4)

Pour $0$ : $0=0$ ✓. Pour $2$ : $2\times(-3)=-6$ et $4\times(-3)=-12$ , non. Pour $5$ : $0=0$ ✓. Les solutions testées sont $0$ et $5$ , soit deux. On le comprend en ramenant à zéro : $x(x-5)-2x(x-5)=-x(x-5)=0$ . Le piège serait de simplifier par $x(x-5)$ , ce qui donnerait $1=2$ et ferait croire qu'il n'y a aucune solution.

5)

Il a raison, mais pour une raison plus forte qu'un résultat différent de $3$ : pour $x=2$ , le dénominateur vaut $0$ , et le quotient n'existe même pas. Le nombre $2$ est interdit. Pour résoudre, on multiplie par $x-2$ , avec $x\neq 2$ : $x+4=3x-6$ , donc $2x=10$ et $x=5$ . Vérification : $\dfrac{9}{3}=3$ ✓.

Le fil : tester, c'est calculer chaque membre séparément et comparer ; et une valeur qui annule un dénominateur est exclue avant tout calcul.

Exercice 15 : Problème : partager une somme

Trois amis se partagent une somme de $4\ 200$ dollars. Le deuxième reçoit $300$ dollars de plus que le premier, et le troisième reçoit le double du premier. Sur la figure, la longueur de chaque barre représente une part ; elle n'est pas à l'échelle.

1) On note $x$ la part du premier. Exprimez les deux autres parts en fonction de $x$ .
2) Écrivez l'équation qui traduit le partage, puis résolvez-la.
3) Donnez les trois parts et vérifiez.
4) Quel pourcentage de la somme le troisième reçoit-il, au dixième ?
5) Le troisième propose un autre partage : il garde $1\ 800$ dollars, et les deux autres se partagent le reste de façon que le deuxième ait toujours $300$ dollars de plus que le premier. Combien reçoit alors le premier ?

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Réponses

1) $x+300$ et $2x$
2) $4x+300=4\ 200$ : $x=975$
3) 975 ; 1 275 ; 1 950 dollars
4) $\approx 46{,}4$ %
5) 1 050 dollars

1)

Deuxième : $x+300$ . Troisième : $2x$ . Le piège est de lire « le double du premier » comme le double du deuxième.

2)

$x+(x+300)+2x=4\ 200$ , soit $4x+300=4\ 200$ , donc $4x=3\ 900$ et $x=975$ .

3)

Parts : $975$ , $1\ 275$ et $1\ 950$ dollars. Vérification : $975+1\ 275+1\ 950=4\ 200$ ✓, $1\ 275=975+300$ ✓ et $1\ 950=2\times 975$ ✓.

4)

$\dfrac{1\ 950}{4\ 200}\approx 0{,}464$ , soit environ $46{,}4$ %.

5)

Il reste $4\ 200-1\ 800=2\ 400$ dollars pour les deux autres : $y+(y+300)=2\ 400$ , donc $2y=2\ 100$ et $y=1\ 050$ . Le premier reçoit $1\ 050$ dollars, plus qu'avec le premier partage.

Le fil : on exprime toutes les parts avec la même inconnue, choisie de préférence comme la plus petite, puis on écrit que leur somme vaut le total.

Exercice 16 : Problème : le roseau dans l'étang

Un vieux problème chinois : un roseau pousse verticalement au milieu d'un étang et dépasse la surface de l'eau de $1$ m. Quand le vent le couche, sans le casser, sa pointe touche la surface de l'eau à $3$ m de l'endroit où il sortait de l'eau. On cherche la profondeur de l'étang, notée $x$ en mètres. La figure n'est pas à l'échelle.

1) Exprimez la longueur du roseau en fonction de $x$ .
2) Le roseau couché, la profondeur et la distance de $3$ m forment un triangle rectangle. Écrivez l'égalité de Pythagore.
3) Développez et montrez que l'équation se ramène au premier degré. Résolvez-la.
4) Donnez la longueur du roseau et vérifiez l'égalité de Pythagore.
5) Même problème avec un roseau qui dépasse de $2$ m et touche l'eau à $6$ m. Quelle est la profondeur ?

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Réponses

1) $x+1$
2) $x^2+9=(x+1)^2$
3) $9=2x+1$ : $x=4$ m
4) 5 m ; $16+9=25$
5) 8 m

1)

Le roseau va du fond jusqu'à $1$ m au-dessus de l'eau : il mesure $x+1$ mètres.

2)

Couché, le roseau est l'hypoténuse ; les côtés de l'angle droit sont la profondeur $x$ et la distance $3$ m : $x^2+3^2=(x+1)^2$ .

3)

$x^2+9=x^2+2x+1$ . Les termes en $x^2$ s'éliminent : $9=2x+1$ , donc $2x=8$ et $x=4$ . L'étang est profond de $4$ m. Une équation qui paraît du second degré peut se ramener au premier degré dès que les carrés s'annulent.

4)

Le roseau mesure $5$ m, et $4^2+3^2=16+9=25=5^2$ ✓ : c'est le triangle $3$ , $4$ , $5$ .

5)

$x^2+36=(x+2)^2=x^2+4x+4$ , donc $4x=32$ et $x=8$ m. Le roseau mesure $10$ m, et $8^2+6^2=100=10^2$ ✓. Doubler les deux données double la profondeur : c'est le même triangle agrandi.

Le fil : on traduit la figure par une égalité, on développe, et l'on regarde ce qui se simplifie avant de chercher une méthode compliquée.

Exercices corrigés : équations et inéquations en Troisième

Rappel de cours

Calculs : calcul pur (/10)

Exercice 1 : Huit équations et inéquations à la main

Partie A : les bases (/50)

Exercice 2 : Le premier degré, parenthèses et fractions comprises

Exercice 3 : L'équation produit

Exercice 4 : Les trois cas de l'équation x² = a

Exercice 5 : Inéquations et droite graduée

Exercice 6 : Mettre un problème en équation

Partie B : problèmes et raisonnement (/50)

Exercice 7 : Deux programmes de calcul

Exercice 8 : Le carré étiré

Exercice 9 : Cinq affirmations à corriger

Exercice 10 : Trois tarifs pour la salle d'escalade

Exercice 11 : Encadrer les dimensions d'un jardin

Partie C : les classiques (/50)

Exercice 12 : Équations à fractions et à décimaux

Exercice 13 : Mettre en équation : âges et nombres consécutifs

Exercice 14 : Tester une solution sans résoudre

Exercice 15 : Problème : partager une somme

Exercice 16 : Problème : le roseau dans l'étang

Ce chapitre resservira dans

Voir aussi

Les équations bloquent en troisième à Montréal ?