Exercices corrigés : équations et inéquations en Troisième

1) On retranche $9$ aux deux membres : $4x=-8$. On divise par $4$ : $x=-2$. Vérification : $4\times(-2)+9=1$.

2) On retranche $7$ : $-3x=12$. On divise par $-3$ : $x=-4$. Vérification : $7-3\times(-4)=7+12=19$. Le piège est $x=4$, en perdant le signe du coefficient.

3) On développe : $2x-6=5x+9$. On regroupe : $2x-5x=9+6$, soit $-3x=15$, donc $x=-5$. Vérification : $2\times(-8)=-16$ et $5\times(-5)+9=-16$.

4) On multiplie les deux membres par $4$ pour chasser les dénominateurs : $x-2=3$, donc $x=5$. Vérification : $\dfrac{5}{4}-\dfrac{2}{4}=\dfrac{3}{4}$. Multiplier seulement le premier terme par $4$ est l'erreur fréquente : TOUS les termes sont multipliés.

5) Un produit est nul si et seulement si l'un de ses facteurs est nul : $x-3=0$ ou $2x+8=0$, soit $x=3$ ou $x=-4$. Deux solutions, $-4$ et $3$. Développer d'abord serait une perte de temps : la forme produit est justement celle qui donne les solutions.

6) $49$ est positif : deux solutions, $x=7$ et $x=-7$. Oublier $-7$ est l'erreur classique, alors que $(-7)^{2}=49$ aussi.

7) On ajoute $5$ : $3x<12$. On divise par $3$, positif, le sens ne change pas : $x<4$. Contrôle : $x=0$ convient, $-5<7$ ; $x=4$ ne convient pas, $7<7$ est faux.

8) On retranche $1$ : $-2x\ge 8$. On divise par $-2$, NÉGATIF, donc le sens s'inverse : $x\le -4$. Contrôle : $x=-5$ donne $11\ge 9$, vrai ; $x=0$ donne $1\ge 9$, faux.

1) On retranche $2x$ aux deux membres : $3x-7=8$. On ajoute $7$ : $3x=15$. On divise par $3$ : $x=5$. Vérification dans l'équation de DÉPART : à gauche $5\times 5-7=18$, à droite $2\times 5+8=18$. Les deux membres coïncident, la solution est $5$.

2) On développe d'abord chaque membre, en faisant attention au signe moins devant la parenthèse de droite : $6x-3=4-x-6$, soit $6x-3=-x-2$. On ajoute $x$ : $7x-3=-2$. On ajoute $3$ : $7x=1$. Donc $x=\dfrac{1}{7}$. La solution n'est pas un entier, et ce n'est pas un signe d'erreur : c'est même le cas général. Vérification : $3\left(\dfrac{2}{7}-1\right)=3\times \left(-\dfrac{5}{7}\right)=-\dfrac{15}{7}$, et $4-\left(\dfrac{1}{7}+6\right)=4-\dfrac{43}{7}=-\dfrac{15}{7}$.

3) On multiplie les DEUX membres par $12$, un multiple commun des dénominateurs $3$ et $4$ : $12\times \dfrac{x}{3}-12\times \dfrac{x-2}{4}=12$, soit $4x-3(x-2)=12$. On développe : $4x-3x+6=12$, donc $x+6=12$ et $x=6$. L'erreur à éviter est d'oublier de multiplier le membre de droite, ou de ne multiplier qu'un seul terme de gauche.

4) On remplace $x$ par $6$ dans l'équation de départ : $\dfrac{6}{3}-\dfrac{6-2}{4}=2-\dfrac{4}{4}=2-1=1$. Le membre de droite vaut $1$ : la solution est confirmée. Vérifier dans la ligne intermédiaire $4x-3(x-2)=12$ n'aurait rien prouvé, puisque c'est justement cette ligne qui aurait pu être fausse.

5) On développe : $2x+6=2x+5$. On retranche $2x$ : $6=5$. Cette égalité est fausse quel que soit $x$, donc l'équation n'a AUCUNE solution. Répondre $x=0$ ou laisser la copie blanche coûte les mêmes points : la réponse attendue est la phrase « l'équation n'a pas de solution ».

6) On développe : $2x+6=2x+6$. On retranche $2x$ : $6=6$. Cette égalité est vraie quel que soit $x$, donc TOUT nombre est solution. Les questions 5 et 6 diffèrent d'un seul chiffre et n'ont pas du tout la même réponse : c'est la dernière ligne, et elle seule, qui tranche.

1) Le produit est nul, donc $2x-5=0$ ou $x+4=0$. La première donne $2x=5$, soit $x=2{,}5$. La seconde donne $x=-4$. L'équation a donc deux solutions, $2{,}5$ et $-4$. Vérification : $(2\times 2{,}5-5)(2{,}5+4)=0\times 6{,}5=0$ et $(2\times (-4)-5)(-4+4)=(-13)\times 0=0$.

2) Le premier facteur est $x$ lui-même : $x=0$ ou $x-7=0$, donc $x=0$ ou $x=7$. Oublier la solution $0$ parce que le facteur ne ressemble pas à une parenthèse est l'erreur la plus fréquente de la question.

3) $3x+1=0$ donne $x=-\dfrac{1}{3}$, et $3x-1=0$ donne $x=\dfrac{1}{3}$. Deux solutions opposées, ce qui n'a rien d'un hasard : les deux facteurs sont conjugués.

4) $4x^2-9=(2x)^2-3^2=(2x-3)(2x+3)$, par l'identité $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$. L'équation devient $(2x-3)(2x+3)=0$, donc $x=1{,}5$ ou $x=-1{,}5$. On aurait aussi pu isoler le carré, $x^2=\dfrac{9}{4}$, avec la méthode de l'exercice 4 ; la factorisation a l'avantage de livrer les deux solutions d'un seul coup, sans risque d'oublier la négative.

5) Sa première valeur donne $2x=11$, soit $x=5{,}5$ ; en remplaçant : $(2\times 5{,}5-5)(5{,}5+4)=6\times 9{,}5=57$, et non $6$. Sa seconde valeur est $x=2$ ; en remplaçant : $(2\times 2-5)(2+4)=(-1)\times 6=-6$, et non $6$. Les deux échouent. La raison est qu'un produit peut valoir $6$ d'une infinité de façons, $2\times 3$, $12\times 0{,}5$, $(-1)\times (-6)$ : rien n'oblige un facteur à valoir $6$. Seul le nombre ZÉRO a la propriété voulue, parce que zéro ne se fabrique qu'avec un facteur nul.

6) En développant : $(2x-5)(x+4)=2x^2+8x-5x-20=2x^2+3x-20$. L'équation $2x^2+3x-20=0$ est du second degré et n'est pas au programme de troisième sous cette forme : on ne sait pas la résoudre directement. La bonne méthode est donc la première, celle qui garde le produit FACTORISÉ. Retenir la règle de conduite : devant une équation produit égale à zéro, on ne développe jamais, on lit.

1) Comme $49>0$, il y a deux solutions opposées : $x=7$ ou $x=-7$, car $7^2=49$ et $(-7)^2=49$. Écrire seulement $x=7$ fait perdre la moitié de la réponse, et c'est l'erreur numéro un du chapitre. Le symbole $\sqrt{49}$ désigne uniquement le nombre POSITIF $7$ : c'est pour cela qu'il faut écrire les deux solutions à la main.

2) Comme $a=0$, il y a une seule solution : $x=0$. Un carré est nul seulement si le nombre lui-même l'est.

3) Comme $-4<0$, il n'y a AUCUNE solution : le carré d'un nombre est toujours positif ou nul, donc il ne peut jamais valoir $-4$. La réponse attendue est cette phrase, pas un résultat.

4) On pose le raisonnement sur le bloc $(x-3)$ tout entier : son carré vaut $16$, donc $x-3=4$ ou $x-3=-4$. La première donne $x=7$, la seconde $x=-1$. Vérification : $(7-3)^2=4^2=16$ et $(-1-3)^2=(-4)^2=16$.

5) On reconnaît $x^2-10x+25=x^2-2\times x\times 5+5^2=(x-5)^2$. L'équation devient $(x-5)^2=0$, donc $x-5=0$ et $x=5$. Une seule solution, alors que l'équation ressemble à celle de la question 4 : c'est le cas $a=0$ déguisé. Vérification : $25-50+25=0$.

6) On isole d'abord le carré : $x^2=\dfrac{5}{9}$. Comme $\dfrac{5}{9}>0$, il y a deux solutions, $x=\sqrt{\dfrac{5}{9}}=\dfrac{\sqrt{5}}{3}$ et $x=-\dfrac{\sqrt{5}}{3}$. Numériquement, $\sqrt{5}\approx 2{,}2361$, donc $x\approx 0{,}745$ ou $x\approx -0{,}745$. La valeur exacte s'écrit avec le radical ; la valeur approchée n'en est qu'une image, et une réponse qui ne donnerait que $0{,}745$ serait considérée comme incomplète à deux titres, le signe et l'exactitude.

1) On ajoute $5$ aux deux membres : $3x\le 12$. On divise par $3$, qui est POSITIF, donc le sens ne change pas : $x\le 4$. L'ensemble des solutions est la demi-droite fermée en $4$, dessinée sur la ligne a) de la figure.

2) On retranche $1$ : $-2x>8$. On divise par $-2$, qui est NÉGATIF, donc le sens s'inverse : $x<-4$. Vérification par un essai, indispensable ici : pour $x=-5$, $-2\times (-5)+1=11>9$, c'est bien une solution ; pour $x=0$, $1>9$ est faux. Le sens est le bon.

3) On multiplie les deux membres par $6$, qui est positif : $2(x+1)\ge 3(x-2)$, soit $2x+2\ge 3x-6$. On retranche $2x$ : $2\ge x-6$. On ajoute $6$ : $8\ge x$, c'est-à-dire $x\le 8$. Aucun changement de sens n'a eu lieu, puisque l'on n'a divisé que par $6$.

4) La première donne $x\le 4$. La seconde, $-2x+1<9$, donne $-2x<8$ puis, en divisant par $-2$ avec changement de sens, $x>-4$. Il faut donc $-4<x\le 4$. Les entiers concernés sont $-3$, $-2$, $-1$, $0$, $1$, $2$, $3$ et $4$, soit huit valeurs. Attention aux bornes : $-4$ est exclu car l'inégalité est stricte, $4$ est inclus car elle ne l'est pas.

5) Depuis $-2x+1>9$, on ajoute $2x$ aux deux membres : $1>9+2x$. On retranche $9$ : $-8>2x$. On divise par $2$, positif : $-4>x$, c'est-à-dire $x<-4$. Même résultat, et aucun changement de sens n'a été nécessaire. C'est la technique à préférer en devoir : elle supprime la seule règle que l'on oublie.

6) Parce que multiplier par un négatif renverse l'ordre sur la droite graduée : les nombres à droite deviennent des nombres à gauche. Exemple : $2<5$, mais en multipliant par $-3$ on obtient $-6$ et $-15$, et $-6>-15$. L'inégalité s'est retournée. Un seul exemple comme celui-là, refait de tête en devoir, suffit à retrouver la règle quand on l'a oubliée.

1) On pose : soit $x$ la largeur du rectangle, en centimètres. La longueur dépasse la largeur de $7$ cm, elle vaut donc $x+7$ centimètres. Cette phrase de définition n'est pas facultative : sans elle, la suite du raisonnement n'a pas de sens, et le barème du brevet lui accorde un point à part.

2) Le périmètre d'un rectangle vaut deux fois la somme de la longueur et de la largeur : $2\big(x+(x+7)\big)=46$, soit $2(2x+7)=46$.

3) On développe : $4x+14=46$. On retranche $14$ : $4x=32$. On divise par $4$ : $x=8$. La largeur mesure donc $8$ cm et la longueur $8+7=15$ cm.

4) $2\times (8+15)=2\times 23=46$ cm. Le périmètre est bien celui de l'énoncé.

5) L'aire vaut $8\times 15=120$ cm$^2$. Remarquer qu'un rectangle de même périmètre mais de dimensions $11{,}5$ sur $11{,}5$, c'est-à-dire un carré, aurait une aire de $132{,}25$ cm$^2$ : à périmètre fixé, c'est le carré qui offre la plus grande aire.

6) Si $x$ désigne la longueur, la largeur vaut $x-7$ et l'équation devient $2\big(x+(x-7)\big)=46$, soit $4x-14=46$, puis $4x=60$ et $x=15$. La longueur vaut $15$ cm et la largeur $15-7=8$ cm : le même rectangle. Le choix de l'inconnue change les calculs, jamais la figure. Ce qu'il ne faut pas faire, en revanche, c'est changer d'inconnue en cours de route.

1) Avec $1$ : programme A donne $1+4=5$, puis $5\times 3=15$, puis $15-2=13$ ; programme B donne $1\times 5=5$, puis $5-6=-1$. Avec $10$ : A donne $14$, puis $42$, puis $40$ ; B donne $50$, puis $44$. Le programme A menait nettement au premier essai, il est distancé au second : quelque chose s'est croisé entre les deux.

2) Programme A : $\big((x+4)\times 3\big)-2=3x+12-2=3x+10$. Programme B : $5x-6$. Réduire est indispensable ici, sinon la comparaison de la question 3 est illisible.

3) On résout $3x+10=5x-6$. On retranche $3x$ : $10=2x-6$. On ajoute $6$ : $16=2x$, donc $x=8$. Le seul nombre pour lequel les deux programmes coïncident est $8$.

4) Avec $8$ : programme A donne $8+4=12$, puis $36$, puis $34$ ; programme B donne $40$, puis $34$. Les deux valent bien $34$. On peut aussi vérifier sur les expressions réduites : $3\times 8+10=34$ et $5\times 8-6=34$.

5) On résout $3x+10>5x-6$, soit $10>2x-6$, puis $16>2x$ et enfin $x<8$. Le programme A l'emporte pour tout nombre strictement inférieur à $8$, ce qui explique l'essai avec $1$ ; le programme B l'emporte au-delà, ce qui explique l'essai avec $10$. Le nombre $8$ est le point de bascule, et il est le même que celui de la question 3 : une égalité et un changement de vainqueur, c'est le même événement.

6) Il faut $3x+10=0$, donc $3x=-10$ et $x=-\dfrac{10}{3}\approx -3{,}33$. Ce nombre n'est pas entier, mais rien dans l'énoncé ne l'exigeait : un programme de calcul accepte tous les nombres. Vérification : $\left(-\dfrac{10}{3}+4\right)\times 3-2=\dfrac{2}{3}\times 3-2=2-2=0$.

1) L'aire du carré vaut $x\times x=x^2$. Le rectangle a pour dimensions $x+4$ et $x-4$, son aire vaut donc $(x+4)(x-4)$.

2) On développe avec l'identité remarquable $(a+b)(a-b)=a^2-b^2$ : $(x+4)(x-4)=x^2-16$. L'aire du rectangle est donc inférieure de $16$ cm$^2$ à celle du carré.

3) Non, la perte ne dépend pas de $x$ : elle vaut toujours $16$ cm$^2$, c'est-à-dire $4^2$. Avec $x=10$ : le carré fait $100$ cm$^2$, le rectangle $14\times 6=84$ cm$^2$, la perte vaut $16$. Avec $x=100$ : le carré fait $10\,000$ cm$^2$, le rectangle $104\times 96=9984$ cm$^2$, la perte vaut encore $16$. C'est ce que dit l'écriture $x^2-16$, où $x$ a disparu du terme de perte, et c'est exactement ce qu'un tableau de valeurs seul n'aurait jamais permis d'affirmer.

4) On résout $x^2-16=33$, donc $x^2=49$, donc $x=7$ ou $x=-7$. La contrainte $x>4$ élimine $-7$ : le carré de départ mesure $7$ cm de côté. Vérification : $11\times 3=33$ cm$^2$.

5) L'aire est nulle quand $(x+4)(x-4)=0$, donc $x=-4$ ou $x=4$. Seule $x=4$ est acceptable, et la figure devient alors un segment de $8$ cm : le côté raccourci mesure $0$. C'est pourquoi l'énoncé impose $x>4$, sans quoi la largeur serait négative et ne désignerait plus rien.

6) Oui. Le périmètre du carré vaut $4x$ ; celui du rectangle vaut $2\big((x+4)+(x-4)\big)=2\times 2x=4x$. Les deux périmètres sont égaux pour tout $x$, alors que les aires diffèrent de $16$. C'est la contrepartie exacte de la remarque de l'exercice 6 : à périmètre fixe, plus la figure est allongée, plus son aire est petite.

1) FAUX. Il y a deux solutions, $7$ et $-7$, car $(-7)^2=49$ aussi. Énoncé correct : si $a>0$, l'équation $x^2=a$ a exactement deux solutions opposées, $\sqrt{a}$ et $-\sqrt{a}$.

2) FAUX. La règle du produit nul ne vaut que pour ZÉRO. Ses valeurs donneraient $x=10$, et $(10-2)(10+5)=8\times 15=120$, ou $x=3$, et $(3-2)(3+5)=1\times 8=8$ : la seconde marche par hasard, la première non, ce qui suffit à montrer que le raisonnement n'en est pas un. Énoncé correct : un produit de facteurs est nul si et seulement si l'un des facteurs est nul.

3) FAUX. L'équation $2(x+3)=2x+5$ n'a aucune solution, et $2(x+3)=2x+6$ est vérifiée par tous les nombres. Énoncé correct : une équation du premier degré a une solution unique lorsque les coefficients de $x$ des deux membres diffèrent ; sinon elle n'a aucune solution ou en a une infinité, selon les termes constants.

4) FAUX. Diviser par $-3$ inverse le sens de l'inégalité : $-3x>12$ donne $x<-4$. Un essai le confirme : pour $x=-5$, $-3\times (-5)=15>12$, c'est bien une solution, alors que $-5$ ne vérifie pas $x>-4$.

5) FAUX. Simplifier par $x$ suppose $x\ne 0$ et fait donc perdre la solution $x=0$. On vérifie qu'elle en est bien une : $0\times (0-7)=0$. Énoncé correct : l'équation $x(x-7)=0$ a deux solutions, $0$ et $7$. Règle générale : on ne divise jamais une équation par une expression qui contient l'inconnue.

1) Tarif A : $22n$ dollars. Tarif B : $150+8n$ dollars. Tarif C : $320$ dollars, quel que soit $n$.

2) On résout $150+8n<22n$. On retranche $8n$ : $150<14n$. On divise par $14$, positif : $n>\dfrac{150}{14}\approx 10{,}71$. Comme $n$ est un nombre entier de séances, la condition s'écrit $n\ge 11$.

3) Pour $n=10$ : tarif A $=220$ dollars, tarif B $=150+80=230$ dollars. Le tarif A est encore meilleur. Pour $n=11$ : tarif A $=242$ dollars, tarif B $=150+88=238$ dollars. Le tarif B est passé devant. Le seuil $11$ est donc confirmé, et cette vérification aux deux entiers qui encadrent $10{,}71$ est ce qui transforme un calcul en réponse.

4) On résout $320<150+8n$, soit $170<8n$, donc $n>\dfrac{170}{8}=21{,}25$, c'est-à-dire $n\ge 22$. Pour $n=21$, le tarif B coûte $318$ dollars contre $320$ ; pour $n=22$, il coûte $326$ dollars contre $320$.

5) En rassemblant : pour $n\le 10$, le tarif A est le moins cher ; pour $11\le n\le 21$, c'est le tarif B ; pour $n\ge 22$, c'est le tarif C. Aucune de ces trois formules n'est la meilleure dans l'absolu, et c'est bien pour cela que la salle en propose trois.

6) Qu'il a raison contre le tarif A et tort en général. Le tarif B n'est le meilleur que jusqu'à vingt et une séances ; au-delà, le tarif C reprend l'avantage. Comparer deux formules ne dit rien de la troisième, et une inéquation ne répond qu'à la question qu'on lui a posée. C'est le même piège que dans un classement sportif : battre le deuxième ne fait pas premier.

1) La largeur vaut $x$ mètres et la longueur $x+6$ mètres, donc le périmètre vaut $2\big(x+(x+6)\big)=4x+12$ mètres.

2) La contrainte s'écrit $40\le 4x+12\le 60$. On retranche $12$ partout, aux trois membres à la fois : $28\le 4x\le 48$. On divise par $4$, positif, donc sans changement de sens : $7\le x\le 12$. La largeur est comprise entre $7$ et $12$ mètres.

3) Les largeurs entières possibles sont $7$, $8$, $9$, $10$, $11$ et $12$ mètres, soit six valeurs. L'erreur classique est de répondre cinq, en soustrayant les bornes : entre deux entiers, il y a un de plus que leur différence.