Troisième, programme français à Montréal • Exercices corrigés
Cette fiche de révision couvre les équations, les équations produit et les inéquations en classe de troisième du programme français, telles qu'elles sont évaluées au brevet et dans les contrôles du Lycée Marie de France et du Collège Stanislas à Montréal.
Elle ne redit pas le cours, que vous avez déjà : elle dit ce qui fait perdre des points sur ce chapitre, et le geste précis qui évite chaque perte. Le fil est toujours le même : chaque transformation doit être légitime, et la seule qui change quelque chose est la multiplication par un nombre négatif.
Le fil du chapitre
Une inéquation se résout comme une équation, à UNE règle près : multiplier ou diviser par un nombre NÉGATIF retourne le sens. Et un produit ne se casse en morceaux que s'il vaut ZÉRO, jamais s'il vaut autre chose.
Diviser par n'est jamais autorisé sans précaution, puisque rien ne dit que n'est pas nul : on factorise à la place, et aucune solution ne se perd.
Le test en une valeur ferme le débat : si ne vérifie pas l'inéquation de départ, alors n'est pas dans l'ensemble des solutions, quelle que soit la réponse écrite.
Les erreurs ci-dessous sont celles que je corrige le plus souvent en séance. Chacune coûte des points sur une copie, même quand le raisonnement est juste.
Ce qu'il ne faut pas écrire
« , donc . »
Ce qu'il faut écrire
« , je divise par qui est négatif, donc le sens s'inverse : . »
Pourquoi : Multiplier par un négatif retourne l'ordre des nombres : mais . Le test en tranche en trois secondes : est faux, donc n'est pas solution.
Ce qu'il ne faut pas écrire
« , donc ou . »
Ce qu'il faut écrire
« La règle ne vaut que pour zéro. Je développe et je ramène tout à zéro : , donc . »
Pourquoi : Un produit vaut d'une infinité de façons. Seul le zéro force l'un des facteurs à être nul, parce qu'un produit de nombres non nuls n'est jamais nul.
Ce qu'il ne faut pas écrire
« , donc . »
Ce qu'il faut écrire
« , donc ou : un carré positif a toujours DEUX antécédents. »
Pourquoi : vaut aussi : le carré efface le signe, donc en remontant il faut envisager les deux. En factorisant, le rend visible.
Ce qu'il ne faut pas écrire
« , donc . »
Ce qu'il faut écrire
« Un carré est toujours positif ou nul, donc l'équation n'a AUCUNE solution. »
Pourquoi : vaut et non : le carré d'un négatif est positif. Répondre « aucune solution » est une réponse complète, pas un échec.
Ce qu'il ne faut pas écrire
« donne , et je vérifie : , c'est bon. »
Ce qu'il faut écrire
« Je vérifie dans l'équation de DÉPART : , c'est bien égal au second membre. »
Pourquoi : Une ligne intermédiaire est déjà le produit du raisonnement : si elle est fausse, elle se vérifiera quand même. Seule l'équation initiale est un contrôle indépendant.
Ce qu'il ne faut pas écrire
« , je multiplie par : . »
Ce qu'il faut écrire
« Je multiplie CHAQUE terme des deux membres par : , donc . »
Pourquoi : Multiplier une somme par , c'est multiplier chacun de ses termes. Oublier le revient à changer d'équation en cours de route.
Ce qu'il ne faut pas écrire
« donne . »
Ce qu'il faut écrire
« , donc et : un terme qui traverse le signe égal change de signe. »
Pourquoi : Faire passer un terme de l'autre côté, c'est en réalité le retrancher aux deux membres : le signe s'inverse forcément.
Ce qu'il ne faut pas écrire
« , je hachure à droite de . »
Ce qu'il faut écrire
« : je hachure à GAUCHE de , avec un crochet fermé sur puisque est solution. »
Pourquoi : Les nombres plus petits que sont ceux situés à sa gauche sur la droite graduée. Le test en le confirme : est vrai, donc appartient à l'ensemble.
Ce qu'il ne faut pas écrire
« donc . »
Ce qu'il faut écrire
« Soit la largeur du rectangle, en centimètres. Le périmètre vaut , donc , d'où : la largeur mesure cm. »
Pourquoi : Sans la phrase « soit ... », le correcteur ne sait pas ce que représente et ne peut pas donner le point de traduction, qui vaut souvent autant que la résolution.
Regarder la forme écrite avant de commencer à calculer.
Si l'inconnue apparaît au premier degré, des deux côtés → regrouper les d'un côté, les nombres de l'autre, en changeant les signes
Exemple : donne puis
Si un ou plusieurs dénominateurs apparaissent → multiplier CHAQUE terme des deux membres par le dénominateur commun
Exemple : donne
Si l'équation est déjà un PRODUIT égal à zéro → règle du produit nul : chaque facteur donne une équation du premier degré
Exemple : donne ou
surtout ne pas développer, ce serait détruire l'information utile
Si l'équation contient un carré et un second membre non nul → tout ramener à zéro, puis FACTORISER
Exemple : donne , donc ou
Si l'équation est de la forme → discuter le signe de : deux solutions, une seule, ou aucune
Exemple : donne et ; n'a aucune solution
Si le signe est une inégalité et non une égalité, la méthode reste la même, avec une seule différence : surveiller chaque multiplication ou division par un nombre négatif.
Repérer la grandeur que l'énoncé ne donne pas et que la question demande.
Si l'énoncé demande une longueur, un âge, un nombre d'objets → poser « soit ... » avec l'UNITÉ, puis exprimer tout le reste en fonction de
Exemple : soit la largeur en cm, la longueur vaut alors
Si l'énoncé impose une valeur (« pour que le périmètre vaille ») → écrire une ÉQUATION
Exemple :
Si l'énoncé impose une limite (« inférieur à », « au plus », « au moins ») → écrire une INÉQUATION
Exemple :
Si la solution trouvée est négative ou nulle dans un problème de longueur → l'écarter en le JUSTIFIANT, sans la supprimer du calcul
Exemple : est rejeté car une largeur est strictement positive
Si la question portait sur autre chose que → revenir à la question posée avant de conclure
Exemple : donne une longueur de cm, qui était la vraie question
La dernière étape est celle qu'on oublie le plus : répondre à la question de l'énoncé, en français, avec les unités, et pas seulement donner la valeur de .
Le correcteur coche des étapes. Les voici dans l'ordre, avec la phrase de conclusion qu'il attend mot pour mot.
Quand l'utiliser : L'énoncé contient un symbole d'inégalité, ou les mots « au plus », « au moins », « inférieur à ».
Phrase de conclusion
« Les solutions de l'inéquation sont tous les nombres strictement inférieurs à . »
Le piège : Diviser par un coefficient négatif sans retourner le symbole. La parade est d'écrire le signe du diviseur à voix haute sur la copie, à chaque division.
Barème : 1 point pour le regroupement, 1 point pour la division avec le sens correct, 1 point pour l'ensemble des solutions et sa représentation.
Quand l'utiliser : L'énoncé raconte une situation et demande une valeur.
Phrase de conclusion
« La largeur du rectangle mesure cm et sa longueur cm, ce qui donne bien un périmètre de cm. »
Le piège : S'arrêter à « » : la question portait sur les dimensions du rectangle, pas sur la valeur d'une lettre.
Barème : 1 point pour l'inconnue définie, 1 point pour la mise en équation, 1 point pour la résolution, 1 point pour la conclusion contextualisée.
Cinq minutes de vérification récupèrent plus de points qu'un exercice de plus commencé à la hâte.
Réinjecter dans l'équation de départ
Remplacer la solution trouvée dans l'équation INITIALE, membre de gauche puis membre de droite, et comparer les deux nombres obtenus.
Pour et : à gauche, à droite. Une différence, même de , signale un signe perdu au regroupement.
Tester une valeur dans une inéquation
Choisir un nombre franchement dans l'ensemble annoncé, et un autre franchement dehors, puis les tester dans l'inéquation de départ.
Pour : donne , vrai ; donne , faux. L'ensemble est donc bien à gauche de .
Compter les solutions attendues
Une équation du premier degré en a exactement une ; une équation produit à deux facteurs en a deux ; en a deux, une ou aucune selon le signe de .
Annoncer une seule solution pour signale qu'un facteur n'a pas été traité.
Le retour au contexte
Dans un problème, vérifier que la valeur trouvée est possible : une longueur strictement positive, un nombre d'objets entier, un âge raisonnable.
Une largeur de cm doit être écartée par une phrase, et non recopiée comme réponse.
Un rectangle a pour largeur centimètres et pour longueur centimètres.
1. Exprimer son périmètre en fonction de , puis déterminer pour que le périmètre mesure cm.
2. Pour quelles valeurs de le périmètre est-il strictement inférieur à cm ?
3. Résoudre et expliquer pourquoi aucune de ces solutions ne convient au problème.
Étape 1
Périmètre : .
Pourquoi
On exprime tout en fonction d'une SEULE lettre. Introduire une seconde inconnue pour la longueur rendrait le problème insoluble au collège.
Étape 2
Équation : , donc , donc . La largeur mesure cm et la longueur cm.
Pourquoi
On retranche aux deux membres, puis on divise par , qui est positif. La dernière phrase revient à la question posée : elle vaut un point à elle seule.
Étape 3
Vérification : cm.
Pourquoi
On repart des dimensions et non de la formule : si l'expression du périmètre avait été fausse, ce contrôle l'aurait révélé.
Étape 4
Inéquation : , donc , donc . Comme une largeur est strictement positive, les solutions du problème sont les nombres tels que .
Pourquoi
On divise par , positif, donc le sens ne change pas. L'encadrement par ne vient pas de l'inéquation mais du CONTEXTE, et l'oublier coûte le dernier point.
Étape 5
Produit nul : donne ou , donc ou .
Pourquoi
Le produit vaut zéro, la règle s'applique donc légitimement. On résout d'abord complètement, on discute ensuite : l'inverse ferait perdre le point de résolution.
Étape 6
Aucune ne convient : donnerait un rectangle de largeur nulle, et une largeur négative.
Pourquoi
Écarter une solution demande une JUSTIFICATION écrite. La supprimer en silence est compté comme une solution oubliée, pas comme une solution rejetée.
Conclusion rédigée
« Le périmètre vaut . Il mesure cm pour , soit un rectangle de cm sur cm. Il est strictement inférieur à cm pour . Enfin, l'équation a pour solutions et , dont aucune ne convient à un rectangle. »
L'erreur classique sur cet exercice : Répondre « » à la question 2 sans préciser que doit rester positif : la réponse inclurait alors des largeurs négatives, ce que la figure interdit et ce que le barème sanctionne.
Uniquement quand on multiplie ou qu'on divise les deux membres par un nombre strictement négatif. Ajouter ou retrancher ne change jamais rien, et multiplier par un nombre positif non plus. Le réflexe utile est d'annoncer le signe du diviseur sur la copie, à chaque division.
Il faut d'abord que le produit soit égal à zéro. On écrit alors que l'un au moins des facteurs est nul, ce qui donne autant d'équations du premier degré que de facteurs, et on résout chacune. Toutes les valeurs obtenues sont des solutions, et il faut les donner toutes.
Cela dépend du nombre situé de l'autre côté. Si ce nombre est strictement positif, il y a deux solutions opposées. S'il vaut zéro, il n'y en a qu'une, zéro. S'il est négatif, il n'y en a aucune, car un carré ne peut pas être négatif.
Parce que cela revient à supposer que l'inconnue n'est pas nulle, ce que rien ne garantit, et cela fait disparaître la solution zéro sans avertissement. La méthode correcte consiste à tout ramener dans le même membre, puis à factoriser et à appliquer la règle du produit nul.
On commence par une phrase qui définit l'inconnue avec son unité, du type soit x la largeur en centimètres. On exprime ensuite toutes les autres grandeurs en fonction de cette seule lettre, on traduit la condition de l'énoncé, on résout, et on termine par une phrase qui répond à la question posée.
