Troisième, programme français à Montréal • Exercices corrigés

Fiche de révision : volumes, sections et sphères (Troisième)

Q: Quand faut-il diviser par 3 dans une formule de volume ?

Uniquement pour les solides pointus, c'est-à-dire la pyramide et le cône. Le prisme droit et le cylindre, qui ont deux bases identiques, n'ont pas de tiers. La raison est géométrique : un cône remplit exactement le tiers du cylindre de même base et de même hauteur.

Q: Quelle est la section d'une sphère par un plan ?

C'est toujours un cercle. Son rayon est le plus grand possible, égal à celui de la sphère, quand le plan passe par le centre. Sinon il est plus petit, et on le calcule par le théorème de Pythagore dans le triangle rectangle formé par le centre de la sphère, le centre du cercle et un point du cercle.

Q: Quelle différence entre le volume d'une boule et l'aire d'une sphère ?

La boule est le solide plein, la sphère est seulement sa surface. Le volume de la boule vaut quatre tiers de pi fois le rayon au cube et s'exprime en centimètres cubes. L'aire de la sphère vaut quatre pi fois le rayon au carré et s'exprime en centimètres carrés.

Q: Comment convertir des centimètres cubes en litres ?

Un litre vaut mille centimètres cubes, car un litre est aussi un décimètre cube et qu'un décimètre vaut dix centimètres, ce qui donne mille une fois mis au cube. Pour passer des centimètres cubes aux litres, on divise donc par mille, jamais par dix.

Q: La section d'un cône par un plan parallèle à la base est-elle un disque ?

Oui, mais c'est une réduction du disque de base et non le même disque. Son rayon est plus petit, dans le même rapport que les hauteurs. À mi-hauteur, par exemple, le rayon est divisé par deux et l'aire par quatre. Seuls les solides droits donnent une section identique à leur base.

Cette fiche de révision couvre les volumes, les sections planes et les sphères en classe de troisième du programme français, tels qu'ils sont évalués au brevet et dans les contrôles du Lycée Marie de France et du Collège Stanislas à Montréal.

Elle ne redit pas le cours, que vous avez déjà : elle dit ce qui fait perdre des points sur ce chapitre, et le geste précis qui évite chaque perte. Le fil est toujours le même : identifier le solide et le plan de coupe avant d'écrire la moindre formule.

Le fil du chapitre

Une section n'est pas un dessin en perspective, c'est la figure VRAIE GRANDEUR obtenue dans le plan de coupe. Et le tiers du volume ne concerne que les solides POINTUS : l'oublier, ou l'ajouter là où il n'a rien à faire, coûte un facteur trois.

Ce chapitre fait partie de Mathématiques en Troisième

Avant ce chapitre

Cette fiche suppose ces notions acquises. Si une méthode ci-dessous reste opaque, c'est presque toujours l'une d'elles qui manque, pas la fiche.

Pyramides et cônes de révolutionQuatrième Fiche

Remonter plus loin : la chaîne complète (3 chapitres) ↓

Le chemin de remédiation, du plus ancien au plus proche. Un élève qui reprend ce chapitre de zéro le reprend dans cet ordre.

1Solides, patrons et volumesSixième
2Aires, volumes et conversionsCinquième
3Pyramides et cônes de révolutionQuatrième

L'essentiel

Les volumes du formulaire, et le seul mot qui les sépare

• Solides DROITS, prisme et cylindre : $V=\text{aire de la base}\times\text{hauteur}$ .
• Solides POINTUS, pyramide et cône : $V=\dfrac{1}{3}\times\text{aire de la base}\times\text{hauteur}$ .
• Boule de rayon $r$ : $V=\dfrac{4}{3}\pi r^{3}$ . La SPHÈRE qui la borde a pour AIRE $4\pi r^{2}$ .
• La HAUTEUR est toujours perpendiculaire à la base : ce n'est ni une arête oblique, ni la génératrice d'un cône.
• L'aire de la base se calcule à part, avec sa propre formule : $\pi r^{2}$ pour un disque, longueur fois largeur pour un rectangle.

Écrire la formule littérale AVANT de remplacer par les nombres vaut un demi-point à chaque question, et rend le tiers oublié immédiatement visible à la relecture.

Ce que donne une section, solide par solide

• Pavé ou cylindre coupé par un plan PARALLÈLE à la base : la section est une figure IDENTIQUE à la base.
• Cylindre coupé par un plan contenant son axe : la section est un RECTANGLE.
• Pyramide ou cône coupés par un plan parallèle à la base : la section est une RÉDUCTION de la base, pas une copie.
• Sphère coupée par un plan : la section est un CERCLE, dont le rayon est plus petit que celui de la sphère dès que le plan ne passe pas par le centre.
• Une section se dessine en VRAIE GRANDEUR, à part, et non sur la figure en perspective.

Le même cylindre donne deux sections différentes : un DISQUE identique à la base pour une coupe parallèle, un RECTANGLE pour une coupe contenant l'axe. Le plan de coupe décide, pas le solide.

Le rayon du cercle de section se calcule par le théorème de Pythagore dans le triangle rectangle formé par le centre, le centre du cercle de section et un point du cercle.

Unités et coefficients de réduction

• $1$ m $^{3}=1000$ L, $1$ L $=1000$ cm $^{3}$ , donc $1$ dm $^{3}=1$ L.
• Une conversion de VOLUME passe par le cube du rapport des longueurs : $1$ dm $=10$ cm donne $1$ dm $^{3}=1000$ cm $^{3}$ .
• Dans une réduction de rapport $k$ : longueurs $\times k$ , aires $\times k^{2}$ , volumes $\times k^{3}$ .
• Une pyramide ou un cône réduits de rapport $k$ ont donc un volume $k^{3}$ fois plus petit, jamais $k$ fois.

Les pièges qui coûtent des points

Les erreurs ci-dessous sont celles que je corrige le plus souvent en séance. Chacune coûte des points sur une copie, même quand le raisonnement est juste.

1. Oublier le tiers pour une pyramide ou un cône

2 points, et un résultat trois fois trop grand

Ce qu'il ne faut pas écrire

« Le cône a pour base un disque de rayon $3$ et pour hauteur $10$ , donc $V=\pi\times 9\times 10\approx 283$ cm $^{3}$ . »

Ce qu'il faut écrire

« $V=\dfrac{1}{3}\times\pi\times 9\times 10\approx 94{,}2$ cm $^{3}$ : un cône est un solide pointu. »

Pourquoi : Le tiers vient du fait qu'un cône remplit exactement le tiers du cylindre de même base et de même hauteur. Le repère est le mot POINTU : pyramide et cône le sont, prisme et cylindre non.

2. Prendre le diamètre pour le rayon

3 points, et un volume HUIT fois trop grand

Ce qu'il ne faut pas écrire

« La boule mesure $10$ cm de diamètre, donc $V=\dfrac{4}{3}\pi\times 10^{3}$ . »

Ce qu'il faut écrire

« Le rayon vaut la moitié du diamètre, soit $5$ cm, donc $V=\dfrac{4}{3}\pi\times 5^{3}\approx 523{,}6$ cm $^{3}$ . »

Pourquoi : Le rayon est au cube dans la formule, donc doubler le rayon multiplie le volume par $8$ . Souligner le mot « diamètre » dans l'énoncé et écrire $r=\ldots$ juste à côté supprime l'erreur.

3. Confondre le volume de la boule et l'aire de la sphère

2 points, et l'unité trahit l'erreur au correcteur

Ce qu'il ne faut pas écrire

« L'aire de la sphère de rayon $5$ vaut $\dfrac{4}{3}\pi\times 125$ . »

Ce qu'il faut écrire

« L'AIRE de la sphère vaut $4\pi r^{2}=100\pi\approx 314{,}2$ cm $^{2}$ ; le VOLUME de la boule vaut $\dfrac{4}{3}\pi r^{3}\approx 523{,}6$ cm $^{3}$ . »

Pourquoi : Une aire s'exprime en cm $^{2}$ et contient $r^{2}$ ; un volume s'exprime en cm $^{3}$ et contient $r^{3}$ . L'exposant du rayon et l'exposant de l'unité sont toujours les mêmes.

4. Croire que la section d'un cône est identique à sa base

3 points, et toute la question de calcul qui suit

Ce qu'il ne faut pas écrire

« Le plan est parallèle à la base, donc la section est le même disque que la base. »

Ce qu'il faut écrire

« La section d'un cône par un plan parallèle à la base est une RÉDUCTION du disque de base : son rayon est plus petit, dans le rapport des hauteurs. »

Pourquoi : Un cône rétrécit vers son sommet, alors qu'un cylindre garde la même largeur. La règle « section identique à la base » ne vaut que pour les solides DROITS.

5. Prendre le rayon de la sphère pour le rayon du cercle de section

3 points, et le calcul d'aire ou de périmètre qui en dépend

Ce qu'il ne faut pas écrire

« La sphère a pour rayon $5$ , donc le cercle de section a pour rayon $5$ . »

Ce qu'il faut écrire

« Le plan est à $3$ cm du centre, donc le rayon du cercle vérifie $r^{2}+3^{2}=5^{2}$ : il vaut $4$ cm. »

Le plan coupe la sphère de rayon

5

3

cm du centre : le cercle obtenu a pour rayon

4

et non

5

, car

4^{2}+3^{2}=5^{2}

. Le triangle rectangle se voit sur la figure.

Pourquoi : Le rayon du cercle de section n'égale celui de la sphère que si le plan passe par le CENTRE. Sinon, Pythagore dans le triangle rectangle donne la vraie valeur.

6. Utiliser la génératrice à la place de la hauteur

3 points, et un volume surestimé de près de dix pour cent

Ce qu'il ne faut pas écrire

« Le cône a une génératrice de $13$ cm et un rayon de $5$ cm, donc $V=\dfrac{1}{3}\pi\times 25\times 13$ . »

Ce qu'il faut écrire

« La hauteur se calcule d'abord par Pythagore : $h^{2}=13^{2}-5^{2}=144$ , donc $h=12$ cm, et $V=\dfrac{1}{3}\pi\times 25\times 12$ . »

Pourquoi : La hauteur est PERPENDICULAIRE à la base ; la génératrice est l'arête oblique. Dès qu'une longueur oblique est donnée, Pythagore précède le calcul de volume.

7. Convertir un volume comme une longueur

2 points, et une réponse cent fois trop grande

Ce qu'il ne faut pas écrire

« $2500$ cm $^{3}$ , cela fait $250$ dm $^{3}$ . »

Ce qu'il faut écrire

« $1$ dm $^{3}=1000$ cm $^{3}$ , donc $2500$ cm $^{3}=2{,}5$ dm $^{3}$ , c'est-à-dire $2{,}5$ L. »

Pourquoi : Un rapport de $10$ sur les longueurs devient un rapport de $10^{3}=1000$ sur les volumes. Le repère à retenir : $1$ dm $^{3}=1$ L $=1000$ cm $^{3}$ .

8. Multiplier le volume par le rapport au lieu de son cube

2 points, et un facteur neuf d'erreur

Ce qu'il ne faut pas écrire

« La maquette est trois fois plus petite, donc son volume est trois fois plus petit. »

Ce qu'il faut écrire

« Le rapport vaut $\dfrac{1}{3}$ , donc le volume est multiplié par $\left(\dfrac{1}{3}\right)^{3}=\dfrac{1}{27}$ : il est vingt-sept fois plus petit. »

Pourquoi : Un volume est un produit de trois longueurs, chacune multipliée par $k$ . C'est la même règle que pour les aires, avec un exposant de plus.

9. Dessiner la section sur la figure en perspective

1 à 2 points, la consigne « en vraie grandeur » n'est pas respectée

Ce qu'il ne faut pas écrire

« Je hachure le disque directement sur le dessin du cylindre. »

Ce qu'il faut écrire

« Je dessine la section à part, en VRAIE GRANDEUR : un disque de rayon $2$ cm, tracé au compas. »

Pourquoi : Sur une perspective, un disque se dessine comme un ovale et les longueurs sont déformées : la section demandée est une figure plane à part entière, avec ses mesures réelles.

Quelle méthode choisir

Quelle formule de volume ?

Regarder si le solide est POINTU ou DROIT, puis identifier sa base.

Si prisme droit ou cylindre, deux bases identiques → $V=\text{base}\times\text{hauteur}$ , sans tiers

Exemple : cylindre de rayon $2$ et de hauteur $6$ : $V=\pi\times 4\times 6\approx 75{,}4$
Si pyramide ou cône, un sommet et une base → $V=\dfrac{1}{3}\times\text{base}\times\text{hauteur}$

Exemple : cône de rayon $3$ et de hauteur $10$ : $V\approx 94{,}2$

le tiers est exactement ce qui distingue le pointu du droit
Si boule → $V=\dfrac{4}{3}\pi r^{3}$ , et l'aire de la sphère vaut $4\pi r^{2}$

Exemple : $r=5$ donne $V\approx 523{,}6$ et $A\approx 314{,}2$
Si l'énoncé donne une longueur OBLIQUE (arête, génératrice) → calculer d'abord la hauteur par PYTHAGORE

Exemple : génératrice $13$ , rayon $5$ , donc hauteur $12$
Si le solide est composé de plusieurs morceaux → calculer chaque volume séparément, puis additionner ou soustraire

Exemple : un cube moins la boule inscrite

Toujours vérifier que la hauteur utilisée est bien perpendiculaire à la base choisie : c'est la seule condition d'application de toutes ces formules.

Quelle figure donne la section ?

Croiser le SOLIDE et le PLAN de coupe, jamais l'un sans l'autre.

Si pavé ou cylindre, plan PARALLÈLE à la base → une figure IDENTIQUE à la base

Exemple : un disque de même rayon que la base
Si cylindre, plan contenant l'AXE → un RECTANGLE, de largeur le diamètre et de hauteur celle du cylindre

Exemple : diamètre $4$ et hauteur $6$ donnent un rectangle $4\times 6$
Si pyramide ou cône, plan PARALLÈLE à la base → une RÉDUCTION de la base, dans le rapport des hauteurs

Exemple : à mi-hauteur, le rayon est divisé par deux
Si sphère, plan quelconque → un CERCLE, dont le rayon se calcule par Pythagore

Exemple : sphère de rayon $5$ coupée à $3$ du centre : cercle de rayon $4$

le cercle est le plus grand quand le plan passe par le centre
Si pavé, plan parallèle à une ARÊTE → un RECTANGLE

Exemple : une coupe verticale d'un cube donne un carré

La section demandée se trace toujours à part et en vraie grandeur : la perspective déforme, elle ne sert qu'à comprendre où se trouve le plan.

La rédaction attendue

Le correcteur coche des étapes. Les voici dans l'ordre, avec la phrase de conclusion qu'il attend mot pour mot.

Calculer le volume d'un solide

Quand l'utiliser : L'énoncé donne un solide et ses dimensions et demande son volume.

1 Nommer le solide et écrire la formule LITTÉRALE : « le solide est un cône, donc $V=\dfrac{1}{3}\times\pi r^{2}\times h$ ».
2 Identifier chaque valeur, en distinguant rayon et diamètre : « le diamètre vaut $10$ cm, donc $r=5$ cm ».
3 Calculer d'abord la hauteur si l'énoncé ne donne qu'une longueur oblique, par le théorème de Pythagore.
4 Remplacer, calculer sans arrondir en cours de route, puis arrondir à la précision demandée.
5 Donner l'unité, au CUBE, et convertir si l'énoncé le demande.

Phrase de conclusion

« Le volume du cône vaut $V=\dfrac{1}{3}\times\pi\times 5^{2}\times 12\approx 314{,}2$ cm $^{3}$ , soit environ $0{,}31$ L. »

Le piège : Remplacer directement par les nombres sans écrire la formule : le tiers disparaît alors sans laisser de trace, et le correcteur ne peut pas donner le point de méthode.

Barème : 1 point pour la formule littérale, 1 point pour les valeurs correctement identifiées, 1 point pour le calcul et l'unité.

Déterminer la nature et les dimensions d'une section

Quand l'utiliser : L'énoncé demande la nature d'une section, ou de la construire en vraie grandeur.

1 Nommer le solide et la position du plan : « le plan est parallèle à la base du cylindre ».
2 Citer la propriété correspondante : « la section d'un cylindre par un plan parallèle à sa base est un disque de même rayon que la base ».
3 Calculer les dimensions demandées, en passant par Pythagore si le plan ne contient ni le centre ni l'axe.
4 Tracer la figure À PART, en vraie grandeur, avec ses mesures écrites.

Phrase de conclusion

« La section est un cercle de rayon $4$ cm, car $4^{2}+3^{2}=5^{2}$ dans le triangle rectangle formé par le centre de la sphère, le centre du cercle et un point du cercle. »

Le piège : Répondre « un cercle » sans donner son rayon : la question attend presque toujours la nature ET les dimensions.

Barème : 1 point pour la nature justifiée, 1 point pour le calcul du rayon, 1 point pour le tracé en vraie grandeur.

Vérifier avant de rendre

Cinq minutes de vérification récupèrent plus de points qu'un exercice de plus commencé à la hâte.

L'unité porte le bon exposant

Relire l'unité du résultat : cm pour une longueur, cm $^{2}$ pour une aire, cm $^{3}$ pour un volume. Une formule contenant $r^{3}$ doit produire une unité au cube.

Un « volume » annoncé en cm $^{2}$ signale que la formule de l'aire de la sphère a été employée à la place de celle du volume.
L'encadrement par le solide droit

Le volume d'un cône ou d'une pyramide vaut exactement le tiers de celui du cylindre ou du prisme de même base et de même hauteur : calculer ce dernier de tête et comparer.

Un cône dans un cylindre de $283$ cm $^{3}$ doit donner environ $94$ cm $^{3}$ . Trouver $283$ signale le tiers oublié.
La boule tient dans son cube

Un solide inscrit dans un autre a forcément un volume plus petit. Comparer les deux résultats avant de conclure.

Une boule inscrite dans un cube de $1000$ cm $^{3}$ ne peut pas dépasser $1000$ cm $^{3}$ : trouver $4189$ signale un diamètre pris pour un rayon.
La conversion par le repère du litre

Se rappeler que $1$ L $=1$ dm $^{3}=1000$ cm $^{3}$ , puis vérifier l'ordre de grandeur du résultat converti.

Une bouteille de $1{,}5$ L doit valoir $1500$ cm $^{3}$ . Trouver $150$ ou $15000$ signale un facteur $10$ manquant ou en trop.

L'exercice type décortiqué

La boule inscrite dans son cube

Une boule est inscrite dans un cube d'arête $10$ cm : elle touche les six faces du cube.

1. Calculer le volume du cube, puis celui de la boule, arrondi au dixième.

2. Quel pourcentage du cube la boule occupe-t-elle ?

3. Exprimer le volume de la boule en litres, arrondi au centième.

La boule touche les six faces, donc son DIAMÈTRE vaut l'arête du cube,

10

cm : son rayon est la moitié,

5

cm, et c'est ce cinq qui va dans la formule.

Étape 1

Volume du cube : $V_{c}=10^{3}=1000$ cm $^{3}$ .

Pourquoi

On commence par le solide le plus simple, qui servira de référence pour contrôler le second : le volume de la boule devra lui être inférieur.

Étape 2

Rayon de la boule : elle touche deux faces opposées, donc son diamètre vaut $10$ cm et son rayon $5$ cm.

Pourquoi

C'est l'étape que la moitié des copies saute. L'écrire explicitement évite le rayon de $10$ , qui multiplierait le volume par huit et donnerait une boule plus grosse que son cube.

Étape 3

Volume de la boule : $V_{b}=\dfrac{4}{3}\pi\times 5^{3}=\dfrac{500\pi}{3}\approx 523{,}6$ cm $^{3}$ .

Pourquoi

On garde la valeur exacte $\dfrac{500\pi}{3}$ dans la calculatrice et on n'arrondit qu'ici : arrondir $\pi$ à $3{,}14$ dès le départ décale la réponse de plusieurs dixièmes.

Étape 4

Contrôle : $523{,}6<1000$ , la boule tient bien dans son cube, et elle en occupe environ la moitié.

Pourquoi

Ce contrôle est gratuit et il attrape l'erreur la plus coûteuse du chapitre : un volume de boule supérieur à celui du cube serait géométriquement impossible.

Étape 5

Pourcentage : $\dfrac{523{,}6}{1000}=0{,}5236$ , soit environ $52{,}4$ pour cent du cube.

Pourquoi

On divise par le volume de référence, puis on multiplie par cent. Le résultat, proche de la moitié, est le même quelle que soit l'arête du cube, ce qui en fait un bon repère à mémoriser.

Étape 6

Conversion : $1000$ cm $^{3}=1$ L, donc $523{,}6$ cm $^{3}\approx 0{,}52$ L.

Pourquoi

On passe par le repère $1$ L $=1000$ cm $^{3}$ et non par un facteur $10$ : une conversion de volume utilise le CUBE du rapport des longueurs.

Conclusion rédigée

« Le cube a un volume de $1000$ cm $^{3}$ et la boule inscrite un volume d'environ $523{,}6$ cm $^{3}$ . La boule occupe donc environ $52{,}4$ pour cent du cube, ce qui représente environ $0{,}52$ L. »

L'erreur classique sur cet exercice : Prendre $r=10$ cm et trouver $4188{,}8$ cm $^{3}$ : la boule serait quatre fois plus volumineuse que le cube qui la contient, ce que le contrôle de la question 1 démasque immédiatement.

À savoir par cœur

• Solides DROITS, prisme et cylindre : $V=\text{base}\times h$ , sans tiers.
• Solides POINTUS, pyramide et cône : $V=\dfrac{1}{3}\times\text{base}\times h$ .
• Boule : $V=\dfrac{4}{3}\pi r^{3}$ . Sphère : AIRE $=4\pi r^{2}$ .
• La hauteur est PERPENDICULAIRE à la base, ce n'est jamais une génératrice ni une arête oblique.
• Section d'un solide droit par un plan parallèle à la base : figure IDENTIQUE. D'un cône ou d'une pyramide : RÉDUCTION.
• Section d'une sphère : un cercle, dont le rayon se trouve par PYTHAGORE.
• $1$ m $^{3}=1000$ L, $1$ L $=1$ dm $^{3}=1000$ cm $^{3}$ .
• Réduction de rapport $k$ : longueurs $\times k$ , aires $\times k^{2}$ , volumes $\times k^{3}$ .

Questions fréquentes

Quand faut-il diviser par 3 dans une formule de volume ?

Uniquement pour les solides pointus, c'est-à-dire la pyramide et le cône. Le prisme droit et le cylindre, qui ont deux bases identiques, n'ont pas de tiers. La raison est géométrique : un cône remplit exactement le tiers du cylindre de même base et de même hauteur.

Quelle est la section d'une sphère par un plan ?

C'est toujours un cercle. Son rayon est le plus grand possible, égal à celui de la sphère, quand le plan passe par le centre. Sinon il est plus petit, et on le calcule par le théorème de Pythagore dans le triangle rectangle formé par le centre de la sphère, le centre du cercle et un point du cercle.

Quelle différence entre le volume d'une boule et l'aire d'une sphère ?

La boule est le solide plein, la sphère est seulement sa surface. Le volume de la boule vaut quatre tiers de pi fois le rayon au cube et s'exprime en centimètres cubes. L'aire de la sphère vaut quatre pi fois le rayon au carré et s'exprime en centimètres carrés.

Comment convertir des centimètres cubes en litres ?

Un litre vaut mille centimètres cubes, car un litre est aussi un décimètre cube et qu'un décimètre vaut dix centimètres, ce qui donne mille une fois mis au cube. Pour passer des centimètres cubes aux litres, on divise donc par mille, jamais par dix.

La section d'un cône par un plan parallèle à la base est-elle un disque ?

Oui, mais c'est une réduction du disque de base et non le même disque. Son rayon est plus petit, dans le même rapport que les hauteurs. À mi-hauteur, par exemple, le rayon est divisé par deux et l'aire par quatre. Seuls les solides droits donnent une section identique à leur base.

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Exercices corrigés : Volumes, sections et sphères

Une méthode se prouve sur une copie, pas sur une fiche. La série du même chapitre reprend chacun de ces pièges dans un exercice, avec le corrigé rédigé étape par étape.

15 exercices corrigés
150 points
195 minutes

Faire les exercices

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Les volumes et les sections bloquent en troisième à Montréal ?

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