Mon espace Me contacter

Quatrième, programme français à Montréal • Exercices corrigés

Fiche de révision : pyramides et cônes de révolution (Quatrième)

Le volume d'une pyramide ou d'un cône se calcule en une ligne, une fois que l'on a la hauteur. Or la hauteur est justement ce que l'énoncé ne donne presque jamais : il donne l'arête, la génératrice ou l'apothème, et c'est à l'élève de reconnaître le triangle rectangle qui les relie.

Cette fiche part de cette difficulté, y ajoute les patrons et les sections parallèles à la base, et range les huit erreurs qui coûtent des points même quand la formule est connue par cœur.

Le fil du chapitre

La hauteur d'une pyramide ou d'un cône n'est presque jamais une longueur lisible sur le dessin : ce n'est ni l'arête latérale, ni la génératrice, ni l'apothème d'une face. La trouver par Pythagore est le vrai travail du chapitre, le tiers de la formule n'étant qu'une division.

Ce chapitre fait partie de Mathématiques en Quatrième

Avant ce chapitre

Cette fiche suppose ces notions acquises. Si une méthode ci-dessous reste opaque, c'est presque toujours l'une d'elles qui manque, pas la fiche.

Remonter plus loin : la chaîne complète (2 chapitres) ↓

Le chemin de remédiation, du plus ancien au plus proche. Un élève qui reprend ce chapitre de zéro le reprend dans cet ordre.

  1. 1Solides, patrons et volumesSixième
  2. 2Aires, volumes et conversionsCinquième

L'essentiel

Les objets, et la hauteur qui les définit

  • • Une PYRAMIDE a une base polygonale, un sommet, et autant de faces latérales triangulaires que la base a de côtés.
  • • Un CÔNE de révolution est engendré par un triangle rectangle qui tourne autour d'un côté de l'angle droit : ce côté est la hauteur, l'autre est le rayon, l'hypoténuse est la génératrice.
  • • La HAUTEUR joint le sommet au plan de la base perpendiculairement. Ce n'est ni l'arête latérale, ni la génératrice, ni l'apothème d'une face.
  • • Dans un cône, g2=h2+r2g^{2}=h^{2}+r^{2} : la hauteur se calcule à partir de la génératrice et du rayon, jamais autrement.
ShrgOh, r et g forment un triangle rectangleg² = h² + r², donc h se calcule par Pythagore
La hauteur hh, le rayon rr et la génératrice gg forment un triangle rectangle dont l'angle droit est au centre de la base : gg est l'hypoténuse, donc toujours la plus longue.

Avant tout calcul de volume, se demander où est la hauteur sur le dessin. Si elle n'y figure pas, c'est qu'il faut la construire, et c'est la première question de l'exercice.

Le volume, et d'où vient le tiers

  • • V=B×h3V=\dfrac{\mathcal{B}\times h}{3}, où B\mathcal{B} est l'AIRE de la base et non un côté.
  • • Pour un cône de rayon rr : V=π×r2×h3V=\dfrac{\pi\times r^{2}\times h}{3}. On écrit d'abord la valeur exacte avec π\pi, l'arrondi ensuite.
  • • Trois pyramides de même base et même hauteur remplissent exactement le prisme correspondant : c'est de là que vient le tiers.
  • • 11 L =1=1 dm³ =1000=1000 cm³, et 11 m³ =1000=1000 L : ces égalités servent dans presque tous les problèmes concrets.

L'aire de la base se calcule à part, sur sa propre ligne, avec son unité en cm². La mélanger au calcul du volume est la façon la plus sûre de perdre le tiers en route.

Les patrons

  • • Patron d'une pyramide régulière : la base, plus des triangles isocèles dont la hauteur est l'APOTHÈME de la face, et non la hauteur de la pyramide.
  • • L'apothème se calcule par Pythagore, avec la hauteur du solide et la moitié du côté de la base.
  • • Patron d'un cône : un disque de rayon rr, plus un secteur de rayon la génératrice gg et d'angle a=360×rga=360\times\dfrac{r}{g} degrés.
  • • L'aire latérale d'un cône vaut π×r×g\pi\times r\times g : elle utilise la génératrice, jamais la hauteur.

Un patron se vérifie en comparant les longueurs qui doivent se recoller : deux bords qui se rejoignent doivent avoir exactement la même mesure.

Les sections parallèles à la base

  • • Une section par un plan parallèle à la base est une RÉDUCTION de la base : un polygone semblable pour la pyramide, un disque pour le cône.
  • • Le coefficient se lit sur les hauteurs : k=hauteur du petit solidehauteur du grandk=\dfrac{\text{hauteur du petit solide}}{\text{hauteur du grand}}.
  • • Les longueurs sont multipliées par kk, les aires par k2k^{2} et les volumes par k3k^{3}.
  • • Le volume d'un tronc s'obtient par DIFFÉRENCE : volume du grand solide moins volume du petit.
Ssection à mi-hauteurles longueurs sont divisées par 2les aires par 4 et les volumes par 8
Le plan coupe à mi-hauteur, donc le petit cône a un rayon deux fois plus petit ET une hauteur deux fois plus petite : son volume est huit fois plus petit, pas deux.

Une section à mi-hauteur donne k=0,5k=0{,}5, donc un volume huit fois plus petit et non deux fois. C'est le résultat le plus contre-intuitif du chapitre.

Les pièges qui coûtent des points

Les erreurs ci-dessous sont celles que je corrige le plus souvent en séance. Chacune coûte des points sur une copie, même quand le raisonnement est juste.

1. Prendre l'arête latérale pour la hauteur

toute la question, et un volume systématiquement trop grand

Ce qu'il ne faut pas écrire

« L'arête latérale mesure 1313 cm, donc V=B×133V=\dfrac{\mathcal{B}\times 13}{3}. »

Ce qu'il faut écrire

« L'arête n'est pas la hauteur : il faut d'abord calculer hh par Pythagore, dans le triangle rectangle formé par la hauteur, la demi-diagonale de la base et l'arête. »

Pourquoi : L'arête est visible sur le dessin, la hauteur ne l'est pas : c'est la longueur qui saute aux yeux qui est prise. Or l'arête est une hypoténuse, donc toujours plus longue que la hauteur.

2. Oublier le tiers dans la formule

2 points, et un volume trois fois trop grand

Ce qu'il ne faut pas écrire

« V=B×hV=\mathcal{B}\times h. »

Ce qu'il faut écrire

« V=B×h3V=\dfrac{\mathcal{B}\times h}{3} : une pyramide occupe le tiers du prisme de même base et de même hauteur. »

Pourquoi : La formule du prisme est plus ancienne et mieux ancrée. Le tiers n'est pas une convention : trois pyramides identiques remplissent exactement le prisme correspondant.

3. Utiliser le diamètre à la place du rayon

toute la question, et un volume quatre fois trop grand

Ce qu'il ne faut pas écrire

« Le cône a un diamètre de 1010 cm, donc V=π×102×h3V=\dfrac{\pi\times 10^{2}\times h}{3}. »

Ce qu'il faut écrire

« Le rayon vaut 55 cm, donc V=π×52×h3V=\dfrac{\pi\times 5^{2}\times h}{3} : la formule utilise le RAYON. »

Pourquoi : Le rayon est élevé au carré, donc l'erreur est multipliée par quatre et non par deux. L'énoncé donne souvent le diamètre exprès, pour vérifier cette lecture.

4. Confondre l'apothème d'une face et la hauteur du solide

toute la question du patron, et un patron impossible à replier

Ce qu'il ne faut pas écrire

« Sur le patron, la face latérale est un triangle de hauteur 1212 cm, la hauteur de la pyramide. »

Ce qu'il faut écrire

« C'est l'APOTHÈME de la face, plus long que la hauteur : ici 122+52=13\sqrt{12^{2}+5^{2}}=13 cm, obtenu par Pythagore avec la moitié du côté de la base. »

h = 12 cm5 cmapothème = 13 cml'apothème est plus long que la hauteur13² = 12² + 5²
La hauteur de la pyramide et la moitié du côté de la base sont les deux côtés de l'angle droit ; l'apothème est l'hypoténuse, donc plus long que la hauteur.

Pourquoi : La hauteur de la pyramide est intérieure au solide, l'apothème est sur une face. L'apothème est l'hypoténuse d'un triangle dont la hauteur est un côté : il est donc toujours plus long.

5. Réduire le volume d'une section par le mauvais facteur

toute la question, et le volume du tronc qui en découle

Ce qu'il ne faut pas écrire

« La section est à mi-hauteur, donc le petit cône a la moitié du volume. »

Ce qu'il faut écrire

« k=0,5k=0{,}5, donc le volume est multiplié par 0,53=0,1250{,}5^{3}=0{,}125 : le petit cône a le HUITIÈME du volume du grand. »

Pourquoi : Deux dimensions changent en même temps, le rayon et la hauteur, et chacune divise par deux. Le volume, produit de trois longueurs, est donc divisé par huit.

6. Oublier la conversion entre centimètres cubes et litres

1,5 point, et une réponse mille fois trop grande

Ce qu'il ne faut pas écrire

« V=2000V=2000 cm³, soit 20002000 L. »

Ce qu'il faut écrire

« 11 L =1000=1000 cm³, donc V=2V=2 L. »

Pourquoi : Le litre est un décimètre cube, donc mille centimètres cubes. Le facteur 10001000 vient du cube du facteur 1010 entre centimètre et décimètre, et non du facteur lui-même.

7. Arrondir π\pi avant la fin du calcul

1 point pour la valeur exacte non donnée, et le dernier chiffre de l'arrondi faux

Ce qu'il ne faut pas écrire

« V=3,14×25×123=314V=\dfrac{3{,}14\times 25\times 12}{3}=314 cm³, c'est la valeur exacte. »

Ce qu'il faut écrire

« La valeur EXACTE est π×25×123=100π\dfrac{\pi\times 25\times 12}{3}=100\pi cm³ ; l'arrondi 314,2314{,}2 cm³ vient après, et seulement si l'énoncé le demande. »

Pourquoi : Un énoncé qui demande la valeur exacte attend π\pi dans la réponse. Remplacer π\pi par 3,143{,}14 dès le début rend impossible de la donner, et propage l'erreur d'arrondi.

8. Calculer un tronc en soustrayant les hauteurs

toute la question, et un résultat qui ne correspond à aucun solide

Ce qu'il ne faut pas écrire

« Le volume du tronc vaut B×(h−h′)3\dfrac{\mathcal{B}\times(h-h')}{3}. »

Ce qu'il faut écrire

« Il vaut la DIFFÉRENCE des deux volumes : Vtronc=Vgrand−VpetitV_{\text{tronc}}=V_{\text{grand}}-V_{\text{petit}}, car les deux solides n'ont pas la même base. »

Pourquoi : Un tronc n'est pas un cône : sa base supérieure est plus petite que sa base inférieure. Seule la soustraction des deux volumes en tient compte.

Quelle méthode choisir

Quelle longueur calculer en premier

On regarde ce que l'énoncé donne, et on cherche si la HAUTEUR y figure ou non.

  • Si l'énoncé donne directement la hauteur et la base → calculer l'aire de la base sur une ligne, puis appliquer la formule du volume

    Exemple : base carrée de côté 66 et h=12h=12 donnent V=36×123=144V=\dfrac{36\times 12}{3}=144 cm³

  • Si l'énoncé donne la GÉNÉRATRICE et le rayon d'un cône → trouver la hauteur par Pythagore, h=g2−r2h=\sqrt{g^{2}-r^{2}}

    Exemple : g=13g=13 et r=5r=5 donnent h=12h=12

    la génératrice est l'hypoténuse, donc on soustrait

  • Si l'énoncé donne l'ARÊTE latérale d'une pyramide → trouver la hauteur par Pythagore, avec la demi-diagonale de la base

    Exemple : arête 1313 et demi-diagonale 55 donnent h=12h=12

  • Si la question porte sur un PATRON ou une aire latérale → c'est l'apothème de la face, ou la génératrice, qu'il faut, et non la hauteur

    Exemple : aire latérale d'un cône =π×r×g=\pi\times r\times g

    l'apothème se calcule par Pythagore avec la hauteur et la moitié du côté de la base

  • Si l'énoncé donne le VOLUME et demande une dimension → poser l'équation à partir de la formule, puis isoler l'inconnue

    Exemple : 36×h3=144\dfrac{36\times h}{3}=144 donne h=12h=12

Le mot « hauteur » dans un énoncé désigne toujours la distance du sommet au PLAN de la base. Toute autre longueur du dessin porte un autre nom, et ce nom est un indice.

Traiter une section parallèle à la base

On calcule d'abord le coefficient kk, puis on choisit la puissance selon la grandeur demandée.

  • Si la question demande une longueur ou un rayon de la section → multiplier par kk

    Exemple : une section à mi-hauteur donne un rayon deux fois plus petit

  • Si la question demande l'AIRE de la section → multiplier par k2k^{2}

    Exemple : k=0,5k=0{,}5 donne une aire quatre fois plus petite

  • Si la question demande le VOLUME du petit solide → multiplier par k3k^{3}

    Exemple : k=0,5k=0{,}5 donne un volume huit fois plus petit

  • Si la question demande le volume du TRONC → soustraire le volume du petit solide de celui du grand

    Exemple : 100π−12,5π=87,5π100\pi-12{,}5\pi=87{,}5\pi cm³

    le contrôle est immédiat : les deux volumes obtenus doivent se rajouter au volume total

Le coefficient se lit sur les hauteurs ou sur les rayons, jamais sur les volumes : ceux-ci sont dans le rapport k3k^{3}, ce qui donnerait un kk faux.

La rédaction attendue

Le correcteur coche des étapes. Les voici dans l'ordre, avec la phrase de conclusion qu'il attend mot pour mot.

Calculer le volume d'un cône dont on connaît la génératrice

Quand l'utiliser : L'énoncé donne le rayon ou le diamètre et la génératrice, et demande le volume.

  1. 1 Convertir le diamètre en rayon si nécessaire, et l'écrire : « le diamètre vaut 1010 cm, donc r=5r=5 cm ».
  2. 2 Calculer la hauteur par Pythagore, en citant le triangle rectangle : « h2=g2−r2=169−25=144h^{2}=g^{2}-r^{2}=169-25=144, donc h=12h=12 cm ».
  3. 3 Écrire la formule, puis la valeur EXACTE avec π\pi : V=π×52×123=100πV=\dfrac{\pi\times 5^{2}\times 12}{3}=100\pi cm³.
  4. 4 Donner l'arrondi demandé avec son unité, et convertir en litres si le problème le réclame.

Phrase de conclusion

« Le volume exact du cône est 100π100\pi cm³, soit environ 314,2314{,}2 cm³. »

Le piège : Remplacer π\pi par 3,143{,}14 dès la première ligne. La valeur exacte devient alors impossible à donner, et c'est elle que le barème demande en premier.

Barème : 0,5 point pour le rayon, 1 point pour la hauteur par Pythagore, 1 point pour la valeur exacte, 0,5 pour l'arrondi et l'unité.

Traiter une section parallèle à la base

Quand l'utiliser : Un plan parallèle à la base coupe le solide, et l'énoncé demande une dimension, une aire ou un volume.

  1. 1 Calculer le coefficient de réduction sur les hauteurs et l'annoncer : « k=612=0,5k=\dfrac{6}{12}=0{,}5 ».
  2. 2 Dire de quelle grandeur il s'agit : longueur, aire ou volume, et écrire la puissance correspondante.
  3. 3 Appliquer kk, k2k^{2} ou k3k^{3} au résultat déjà connu pour le grand solide, sans tout recalculer.
  4. 4 Pour un tronc, soustraire les deux volumes et vérifier que la somme redonne le volume total.

Phrase de conclusion

« Le petit cône est une réduction de rapport 0,50{,}5, donc son volume vaut 0,53×100π=12,5π0{,}5^{3}\times 100\pi=12{,}5\pi cm³. »

Le piège : Recalculer le petit solide depuis le début, avec un nouveau rayon et une nouvelle hauteur. C'est plus long et cela multiplie les occasions d'erreur, alors que le coefficient suffit.

Barème : 0,5 point pour le coefficient, 0,5 pour la puissance justifiée, 1 point pour le résultat.

Vérifier avant de rendre

Cinq minutes de vérification récupèrent plus de points qu'un exercice de plus commencé à la hâte.

L'exercice type décortiqué

Un cône, sa section et son tronc

Un cône de révolution a un rayon de 55 cm et une génératrice de 1313 cm.

Calculer sa hauteur, son volume exact puis arrondi au dixième, le volume du petit cône obtenu par une section à mi-hauteur, et enfin le volume du tronc.

Sh = ?r = 5 cmg = 13 cmOl'angle droit est au centre de la base
Le triangle rectangle de l'énoncé : le rayon r=5r=5 et la hauteur hh sont les côtés de l'angle droit, la génératrice g=13g=13 est l'hypoténuse.

Étape 1

Hauteur : h2=g2−r2=132−52=169−25=144h^{2}=g^{2}-r^{2}=13^{2}-5^{2}=169-25=144, donc h=12h=12 cm.

Pourquoi

La génératrice est l'hypoténuse du triangle rectangle formé par hh, rr et gg, donc on SOUSTRAIT. Une hauteur plus grande que 1313 serait immédiatement impossible.

Étape 2

Aire de la base : B=π×52=25π\mathcal{B}=\pi\times 5^{2}=25\pi cm².

Pourquoi

L'aire de la base se calcule sur sa propre ligne, avec son unité en centimètres carrés. La mélanger au volume est la façon la plus sûre de perdre le tiers ou de confondre les unités.

Étape 3

Volume exact : V=25π×123=100πV=\dfrac{25\pi\times 12}{3}=100\pi cm³.

Pourquoi

On garde π\pi tel quel, car l'énoncé demande la valeur exacte. Le calcul se simplifie d'ailleurs tout seul, 1212 divisé par 33 donnant 44, puis 25×4=10025\times 4=100.

Étape 4

Arrondi : V≈314,2V\approx 314{,}2 cm³, soit environ 0,310{,}31 L.

Pourquoi

L'arrondi vient après la valeur exacte, jamais avant. La conversion en litres se fait en divisant par 10001000, car un litre vaut mille centimètres cubes.

Étape 5

Section à mi-hauteur : k=612=0,5k=\dfrac{6}{12}=0{,}5, et le volume du petit cône vaut 0,53×100π=12,5π0{,}5^{3}\times 100\pi=12{,}5\pi cm³, soit environ 39,339{,}3 cm³.

Pourquoi

Le rayon ET la hauteur sont divisés par deux, donc le volume l'est par huit. On applique le coefficient au volume déjà calculé, sans recommencer le calcul depuis le début.

Étape 6

Tronc : Vtronc=100π−12,5π=87,5πV_{\text{tronc}}=100\pi-12{,}5\pi=87{,}5\pi cm³, soit environ 274,9274{,}9 cm³.

Pourquoi

Le tronc n'est pas un cône, donc aucune formule ne s'y applique directement. La soustraction des deux volumes est la seule méthode au programme, et elle est exacte.

Étape 7

Contrôle : 12,5π+87,5π=100π12{,}5\pi+87{,}5\pi=100\pi, et le petit cône représente bien le huitième du grand.

Pourquoi

Les deux morceaux doivent redonner le tout, ce qui valide les deux résultats d'un coup. Le rapport de un à huit confirme au passage que le cube a bien été appliqué.

Conclusion rédigée

« La hauteur vaut 1212 cm, le volume exact 100π100\pi cm³, soit environ 314,2314{,}2 cm³ ; le petit cône mesure 12,5π12{,}5\pi cm³ et le tronc 87,5π87{,}5\pi cm³. »

L'erreur classique sur cet exercice : Annoncer que le petit cône a la moitié du volume, parce que la section est à mi-hauteur. Le rapport des volumes est k3k^{3}, donc le huitième : 12,5π12{,}5\pi et non 50π50\pi.

À savoir par cœur

  • • V=B×h3V=\dfrac{\mathcal{B}\times h}{3} : le TIERS du prisme de même base et même hauteur.
  • • Cône : V=π×r2×h3V=\dfrac{\pi\times r^{2}\times h}{3}, avec le RAYON et non le diamètre.
  • • g2=h2+r2g^{2}=h^{2}+r^{2} : la génératrice est l'hypoténuse, donc la plus longue.
  • • La hauteur n'est ni l'arête, ni la génératrice, ni l'apothème d'une face.
  • • Aire latérale d'un cône : π×r×g\pi\times r\times g. Angle du secteur du patron : 360×rg360\times\dfrac{r}{g} degrés.
  • • Section parallèle à la base : longueurs ×k\times k, aires ×k2\times k^{2}, volumes ×k3\times k^{3}.
  • • 11 L =1=1 dm³ =1000=1000 cm³, et 11 m³ =1000=1000 L.

Questions fréquentes

Comment trouver la hauteur d'un cône quand on connait la génératrice ?

La hauteur, le rayon et la génératrice forment un triangle rectangle dont l'angle droit est au centre de la base, et la génératrice en est l'hypoténuse. On soustrait donc : le carré de la hauteur vaut le carré de la génératrice moins le carré du rayon. Avec treize et cinq, la hauteur vaut douze.

Pourquoi divise-t-on par trois dans le volume d'une pyramide ?

Parce que trois pyramides de même base et de même hauteur remplissent exactement le prisme correspondant. Le tiers n'est donc pas une convention mais un fait géométrique, que l'on peut vérifier avec des solides transparents et de l'eau.

Quelle différence entre la hauteur d'une pyramide et l'apothème d'une face ?

La hauteur joint le sommet au centre de la base, à l'intérieur du solide. L'apothème est la hauteur d'une face triangulaire, mesurée sur cette face. L'apothème est l'hypoténuse d'un triangle rectangle dont la hauteur est un côté, donc il est toujours plus long.

Une section à mi-hauteur divise-t-elle le volume par deux ?

Non, par huit. Le plan parallèle à la base produit une réduction de rapport un demi : le rayon et la hauteur sont tous deux divisés par deux. Comme un volume est un produit de trois longueurs, il est divisé par deux au cube, c'est-à-dire par huit.

Comment calculer le volume d'un tronc de cône ?

Par différence : on calcule le volume du grand cône, puis celui du petit cône enlevé par la section, et on soustrait. Aucune formule directe n'est au programme de quatrième. Le contrôle est simple : le volume du petit cône plus celui du tronc doit redonner celui du grand cône.

Passer à la pratique

Exercices corrigés : Pyramides et cônes de révolution

Une méthode se prouve sur une copie, pas sur une fiche. La série du même chapitre reprend chacun de ces pièges dans un exercice, avec le corrigé rédigé étape par étape.

  • 15 exercices corrigés
  • 150 points
  • 195 minutes
Faire les exercices
Fiche précédente Thalès et les agrandissements Fiche suivante Proportionnalité, pourcentages et vitesses

Ce chapitre resservira dans

Les chapitres qui le réclament en amont, plus tard dans l'année ou dans les années suivantes.

Volumes, sections et sphèresTroisième

Voir aussi

Toutes les fiches Tous les exercices Tuteur QuatrièmeDevoir bilan de QuatrièmeCours de mathématiquesTuteur programme AEFE

Votre enfant prend l'arête latérale pour la hauteur ?

Contactez-moi pour une première séance. Les solides de quatrième sont le premier chapitre où il faut lire une figure en trois dimensions et y repérer un triangle rectangle caché, exactement ce qui sera redemandé en troisième avec la sphère et les agrandissements, puis en seconde en géométrie dans l'espace.

Me contacter WhatsApp
Site par Studio Squalli