Quatrième, programme français à Montréal • Exercices corrigés

Fiche de révision : proportionnalité, pourcentages et vitesses (Quatrième)

La proportionnalité est le chapitre le plus utile du collège, et celui où le bon sens trompe le plus souvent : une hausse de $25$ pour cent ne s'annule pas par une baisse de $25$ pour cent, et rouler à $60$ puis à $90$ km/h ne donne pas une moyenne de $75$ .

Une seule idée débloque tout : un pourcentage se transforme en coefficient multiplicateur, et les coefficients se multiplient entre eux. Cette fiche range les huit erreurs qui coûtent des points en contrôle.

Le fil du chapitre

Un pourcentage n'est pas un nombre qu'on ajoute, c'est un COEFFICIENT par lequel on multiplie. Dès qu'on tient ce coefficient, les évolutions successives se composent, une hausse ne se défait plus par une baisse du même taux, et la vitesse moyenne cesse d'être une moyenne.

Ce chapitre fait partie de Mathématiques en Quatrième

Avant ce chapitre

Cette fiche suppose ces notions acquises. Si une méthode ci-dessous reste opaque, c'est presque toujours l'une d'elles qui manque, pas la fiche.

Proportionnalité et pourcentagesCinquième Fiche

Remonter plus loin : la chaîne complète (2 chapitres) ↓

Le chemin de remédiation, du plus ancien au plus proche. Un élève qui reprend ce chapitre de zéro le reprend dans cet ordre.

1Fractions et proportionnalitéSixième
2Proportionnalité et pourcentagesCinquième

Notions couvertes

Coefficient de proportionnalité
Quatrième proportionnelle
Produit en croix
Pourcentage d'une quantité
Coefficient multiplicateur
Évolutions successives
Taux d'évolution
Vitesse moyenne
Conversion des durées
Représentation graphique

L'essentiel

Reconnaître la proportionnalité

• Un tableau est proportionnel si l'on passe de la première ligne à la seconde en multipliant toujours par le MÊME nombre, le coefficient de proportionnalité.
• Sur un graphique, la situation est proportionnelle si les points sont alignés AVEC L'ORIGINE. Alignés ne suffit pas.
• Quatrième proportionnelle par le produit en croix : si $\dfrac{a}{b}=\dfrac{c}{d}$ , alors $a\times d=b\times c$ .
• Un tarif comportant un abonnement n'est jamais proportionnel : sa droite ne passe pas par l'origine.

Les deux droites sont bien des droites, mais seule celle qui part de l'origine décrit une situation proportionnelle : l'autre commence à

10

, c'est un abonnement.

Le coefficient se vérifie sur TOUTES les colonnes, pas seulement sur la première. Un tableau où il change même une seule fois n'est pas proportionnel.

Le pourcentage est un coefficient

• Prendre $t$ pour cent d'une quantité, c'est la multiplier par $\dfrac{t}{100}$ .
• AUGMENTER de $t$ pour cent, c'est multiplier par $1+\dfrac{t}{100}$ ; DIMINUER de $t$ pour cent, c'est multiplier par $1-\dfrac{t}{100}$ .
• Deux évolutions successives se composent en MULTIPLIANT leurs coefficients, jamais en ajoutant leurs pourcentages.
• Taux d'évolution entre une valeur de départ $V_{d}$ et une valeur d'arrivée $V_{a}$ : $\dfrac{V_{a}-V_{d}}{V_{d}}$ , à convertir en pourcentage.

Écrire le coefficient sur la copie avant tout calcul, sous la forme $1+\dfrac{25}{100}=1{,}25$ . Cette ligne vaut un demi-point et supprime la moitié des erreurs du chapitre.

La vitesse moyenne

• $v=\dfrac{d}{t}$ , avec la durée exprimée en heures DÉCIMALES : $1$ h $30$ vaut $1{,}5$ h, et $1$ h $12$ vaut $1{,}2$ h.
• Pour passer des kilomètres par heure aux mètres par seconde, on divise par $3{,}6$ .
• Une vitesse moyenne vaut toujours $\dfrac{\text{distance totale}}{\text{durée totale}}$ , et jamais la moyenne des vitesses.
• $d=v\times t$ et $t=\dfrac{d}{v}$ : les trois formules sont la même égalité, écrite dans trois sens.

Les deux étapes font la même distance, mais pas la même durée : on passe plus de temps à

60

qu'à

90

, donc la moyenne réelle,

72

, est tirée vers la petite vitesse.

Convertir toutes les durées en heures décimales dès la lecture de l'énoncé, sur une ligne à part. Les minutes laissées telles quelles produisent des vitesses fausses de plusieurs dizaines de pour cent.

Défaire une évolution

• Le coefficient qui annule une évolution est son INVERSE, et non son opposé.
• Une hausse de $25$ pour cent se défait par une baisse de $20$ pour cent, car $\dfrac{1}{1{,}25}=0{,}8$ .
• Une hausse de $t$ pour cent suivie d'une baisse de $t$ pour cent ne ramène jamais au point de départ, sauf si $t=0$ .
• Pour retrouver la valeur de départ à partir de l'arrivée, on DIVISE par le coefficient : $V_{d}=\dfrac{V_{a}}{c}$ .

Le mot « rabais de $20$ pour cent sur le prix déjà augmenté » signale toujours cette question. Le point de référence change à chaque évolution, et c'est là que tout se joue.

Les pièges qui coûtent des points

Les erreurs ci-dessous sont celles que je corrige le plus souvent en séance. Chacune coûte des points sur une copie, même quand le raisonnement est juste.

1. Additionner deux pourcentages successifs

2 points, et l'erreur grandit avec les taux

Ce qu'il ne faut pas écrire

« Une hausse de $20$ pour cent puis une hausse de $30$ pour cent font une hausse de $50$ pour cent. »

Ce qu'il faut écrire

« $1{,}20\times 1{,}30=1{,}56$ , soit une hausse de $56$ pour cent : les coefficients se MULTIPLIENT. »

Pourquoi : La seconde hausse s'applique au prix déjà augmenté, pas au prix initial. Les pourcentages ne s'additionnent que lorsqu'ils portent sur la même référence, ce qui n'est jamais le cas ici.

2. Croire qu'une baisse annule une hausse du même taux

toute la question, et une conclusion fausse annoncée avec assurance

Ce qu'il ne faut pas écrire

« Une hausse de $25$ pour cent suivie d'une baisse de $25$ pour cent ramène au prix de départ. »

Ce qu'il faut écrire

« $1{,}25\times 0{,}75=0{,}9375$ : le prix final est inférieur de $6{,}25$ pour cent au prix de départ. »

Le prix monte de

100

125

, puis la baisse de

25

pour cent s'applique à

125

et non à

100

: elle retire

31{,}25

au lieu de

25

, d'où l'écart final.

Pourquoi : La baisse porte sur un prix plus grand que celui sur lequel portait la hausse, donc elle retire davantage. Le produit des coefficients tranche sans discussion.

3. Défaire une évolution par son opposé

2 points, et l'erreur est systématique dès qu'un rabais suit une hausse

Ce qu'il ne faut pas écrire

« Pour annuler une hausse de $25$ pour cent, il faut une baisse de $25$ pour cent. »

Ce qu'il faut écrire

« Il faut une baisse de $20$ pour cent, car le coefficient qui annule $1{,}25$ est son INVERSE : $\dfrac{1}{1{,}25}=0{,}8$ . »

Pourquoi : Annuler une multiplication, c'est diviser par le même nombre, donc multiplier par son inverse. L'opposé, lui, annulerait une addition, mais un pourcentage n'est pas une addition.

4. Prendre la moyenne des vitesses pour la vitesse moyenne

2 points, et un résultat toujours trop grand

Ce qu'il ne faut pas écrire

« $30$ km à $60$ km/h puis $30$ km à $90$ km/h : la vitesse moyenne est $75$ km/h. »

Ce qu'il faut écrire

« $\dfrac{60}{0{,}5+\dfrac{1}{3}}=72$ km/h : une vitesse moyenne est la distance TOTALE divisée par la durée TOTALE. »

Pourquoi : On passe plus de temps sur la portion lente que sur la rapide, donc la moyenne réelle est tirée vers la petite vitesse. Elle ne coïncide avec la demi-somme que si les DURÉES sont égales.

5. Écrire une heure et demie comme un virgule trente

1,5 point, et une vitesse fausse de plus de dix pour cent

Ce qu'il ne faut pas écrire

« $1$ h $30$ , c'est $1{,}30$ h. »

Ce qu'il faut écrire

« C'est $1{,}5$ h : trente minutes valent une DEMI-heure, donc $0{,}5$ h et non $0{,}30$ h. »

Pourquoi : Une heure vaut $60$ minutes et non $100$ : la partie décimale d'une durée n'est pas le nombre de minutes. On divise les minutes par $60$ pour obtenir la partie décimale.

6. Rapporter un taux d'évolution à la valeur d'arrivée

1,5 point, et le taux trouvé est systématiquement sous-estimé

Ce qu'il ne faut pas écrire

« De $80$ à $100$ , l'évolution vaut $\dfrac{100-80}{100}=20$ pour cent. »

Ce qu'il faut écrire

« $\dfrac{100-80}{80}=0{,}25$ , soit une hausse de $25$ pour cent : on divise toujours par la valeur de DÉPART. »

Pourquoi : Un taux mesure une variation par rapport à ce qu'on avait avant, pas par rapport à ce qu'on a après. Le dénominateur est donc toujours l'ancienne valeur.

7. Confondre alignés et proportionnels sur un graphique

1,5 point, et toute la justification de la question

Ce qu'il ne faut pas écrire

« Les points sont alignés, donc la situation est proportionnelle. »

Ce qu'il faut écrire

« Il faut de plus que la droite passe par l'ORIGINE : un tarif avec abonnement donne des points alignés qui ne sont pas proportionnels. »

Pourquoi : L'alignement traduit une variation régulière, la proportionnalité une variation régulière PARTANT DE ZÉRO. Un abonnement de départ suffit à détruire la seconde sans toucher à la première.

8. Confondre prendre $t$ pour cent et augmenter de $t$ pour cent

toute la question, et un résultat plus de quatre fois trop grand

Ce qu'il ne faut pas écrire

« $30$ pour cent de $250$ , c'est $250\times 1{,}3=325$ . »

Ce qu'il faut écrire

« $30$ pour cent de $250$ vaut $250\times 0{,}3=75$ . C'est AUGMENTER de $30$ pour cent qui donne $325$ . »

Pourquoi : Le coefficient $\dfrac{t}{100}$ prélève une part, le coefficient $1+\dfrac{t}{100}$ ajoute cette part au tout. Le mot « de » et le mot « augmenter » désignent deux calculs différents.

Quelle méthode choisir

Quel calcul selon la question posée

On souligne le mot de l'énoncé qui désigne l'opération : « de », « augmenter », « taux », « moyenne ».

Si l'énoncé dit « $t$ pour cent DE » → multiplier par $\dfrac{t}{100}$

Exemple : $30$ pour cent de $250$ donnent $75$
Si l'énoncé dit « augmenter de » ou « diminuer de » → multiplier par $1+\dfrac{t}{100}$ ou par $1-\dfrac{t}{100}$

Exemple : augmenter $80$ de $25$ pour cent donne $100$

on écrit le coefficient sur une ligne à part avant de calculer
Si l'énoncé donne deux valeurs et demande le TAUX d'évolution → calculer $\dfrac{\text{arrivée}-\text{départ}}{\text{départ}}$ , puis convertir en pourcentage

Exemple : de $80$ à $100$ : $\dfrac{20}{80}=0{,}25$ , donc $+25$ pour cent
Si l'énoncé enchaîne deux évolutions → multiplier les deux coefficients, puis lire le taux global sur le produit

Exemple : $1{,}25\times 0{,}75=0{,}9375$ , donc $-6{,}25$ pour cent
Si l'énoncé demande la valeur de DÉPART connaissant l'arrivée → diviser par le coefficient, ou multiplier par son inverse

Exemple : un prix de $100$ après $+25$ pour cent venait de $\dfrac{100}{1{,}25}=80$

Aucun de ces calculs ne s'additionne : dès qu'un pourcentage apparaît deux fois dans un énoncé, ce sont les coefficients qu'on manipule, jamais les taux.

Distance, vitesse et durée

On repère la grandeur cherchée, puis on convertit TOUTES les durées en heures décimales avant tout calcul.

Si on cherche une vitesse et le trajet est d'un seul tenant → diviser la distance par la durée

Exemple : $90$ km en $1{,}5$ h donnent $60$ km/h
Si on cherche une vitesse MOYENNE sur plusieurs étapes → additionner les distances, additionner les durées, puis diviser

Exemple : $\dfrac{30+30}{0{,}5+\frac{1}{3}}=72$ km/h

il faut souvent calculer d'abord chaque durée par $t=\dfrac{d}{v}$
Si on cherche une distance → multiplier la vitesse par la durée

Exemple : $72$ km/h pendant $2{,}5$ h font $180$ km
Si on cherche une durée → diviser la distance par la vitesse, puis reconvertir en heures et minutes si l'énoncé le demande

Exemple : $30$ km à $90$ km/h prennent $\dfrac{1}{3}$ h, soit $20$ minutes
Si l'énoncé mélange les unités → tout convertir avant de calculer, en divisant par $3{,}6$ pour passer des km/h aux m/s

Exemple : $72$ km/h valent $20$ m/s

Une durée écrite en heures et minutes ne se met jamais telle quelle dans une division : $1$ h $30$ vaut $1{,}5$ et non $1{,}30$ .

La rédaction attendue

Le correcteur coche des étapes. Les voici dans l'ordre, avec la phrase de conclusion qu'il attend mot pour mot.

Traiter une suite d'évolutions en pourcentage

Quand l'utiliser : L'énoncé enchaîne deux hausses, deux baisses, ou une hausse et une baisse, et demande le prix final ou le taux global.

1 Écrire chaque coefficient sur sa propre ligne : « une hausse de $25$ pour cent correspond au coefficient $1+\dfrac{25}{100}=1{,}25$ ».
2 Appliquer les coefficients l'un après l'autre, en donnant la valeur intermédiaire.
3 Calculer le coefficient GLOBAL comme produit des deux, et l'écrire.
4 Traduire ce coefficient global en taux : soustraire $1$ , puis multiplier par $100$ .

Phrase de conclusion

« Le coefficient global vaut $1{,}25\times 0{,}75=0{,}9375$ , ce qui correspond à une baisse de $6{,}25$ pour cent. »

Le piège : Additionner les deux taux. Le second pourcentage s'applique à la valeur déjà modifiée, donc il ne porte pas sur la même référence que le premier.

Barème : 0,5 point par coefficient écrit, 0,5 pour le produit, 0,5 pour le taux global traduit en pourcentage.

Calculer une vitesse moyenne sur plusieurs étapes

Quand l'utiliser : L'énoncé décrit un trajet en deux ou trois portions, chacune avec sa distance et sa vitesse ou sa durée.

1 Convertir toutes les durées en heures décimales, ou les calculer par $t=\dfrac{d}{v}$ , sur une ligne par étape.
2 Additionner les distances d'un côté, les durées de l'autre, et écrire les deux totaux.
3 Diviser la distance totale par la durée totale.
4 Vérifier que le résultat est compris entre la plus petite et la plus grande des vitesses.

Phrase de conclusion

« La vitesse moyenne vaut $\dfrac{60}{0{,}8333}\approx 72$ km/h, ce qui est bien compris entre $60$ et $90$ km/h. »

Le piège : Faire la moyenne des vitesses. Elle ne donne le bon résultat que si les deux étapes ont exactement la même durée, ce qui est rarement le cas.

Barème : 0,5 point par durée calculée, 0,5 pour les deux totaux, 1 point pour la division finale.

Vérifier avant de rendre

Cinq minutes de vérification récupèrent plus de points qu'un exercice de plus commencé à la hâte.

Le coefficient encadré par un

Un coefficient supérieur à $1$ décrit une hausse, un coefficient inférieur à $1$ une baisse. Comparer le coefficient trouvé au sens de l'énoncé.

Après une hausse suivie d'une baisse plus faible, le coefficient global doit dépasser $1$ . Un $0{,}9375$ annonce donc une baisse finale.
L'encadrement d'une vitesse moyenne

La vitesse moyenne est toujours comprise entre la plus petite et la plus grande des vitesses du trajet, et plus proche de celle où l'on a passé le plus de temps.

$72$ km/h entre $60$ et $90$ : plausible. Un $95$ km/h serait impossible, et un $75$ signalerait une moyenne des vitesses.
Le retour à la valeur de départ

Diviser la valeur finale par le coefficient global : on doit retrouver exactement la valeur de départ.

$93{,}75\div 0{,}9375=100$ , qui est bien le prix initial. Un autre résultat signale une erreur dans l'un des deux coefficients.
Le coefficient vérifié sur toutes les colonnes

Dans un tableau, calculer le quotient de la seconde ligne par la première pour CHAQUE colonne : il doit être identique partout.

$\dfrac{15}{5}=3$ et $\dfrac{24}{8}=3$ : le tableau est proportionnel. Un $\dfrac{26}{8}=3{,}25$ suffit à prouver qu'il ne l'est pas.

L'exercice type décortiqué

Un prix qui monte et redescend, puis une livraison

Un article coûte $80$ dollars. Son prix augmente de $25$ pour cent en janvier, puis baisse de $20$ pour cent en février.

Calculer le prix après chaque évolution, le coefficient global et le taux global. Le livreur parcourt ensuite $30$ km à $60$ km/h puis $30$ km à $90$ km/h : calculer sa vitesse moyenne.

Étape 1

Hausse de $25$ pour cent : coefficient $1+\dfrac{25}{100}=1{,}25$ , donc le prix devient $80\times 1{,}25=100$ dollars.

Pourquoi

Le coefficient s'écrit avant le calcul, ce qui sépare la traduction du pourcentage et l'arithmétique. C'est la ligne que le barème paie et celle qui empêche d'additionner plus tard.

Étape 2

Baisse de $20$ pour cent : coefficient $1-\dfrac{20}{100}=0{,}80$ , donc le prix devient $100\times 0{,}80=80$ dollars.

Pourquoi

La baisse s'applique au nouveau prix, $100$ , et non au prix initial. Cette référence qui change est le cœur de tout le chapitre.

Étape 3

Coefficient global : $1{,}25\times 0{,}80=1$ , donc le taux global vaut $0$ pour cent.

Pourquoi

Le produit vaut exactement $1$ parce que $0{,}80$ est l'INVERSE de $1{,}25$ , et non parce que $25$ et $20$ se compenseraient. Une baisse de $25$ pour cent aurait donné $0{,}9375$ .

Étape 4

Contrôle : $80\times 1=80$ , qui est bien le prix de départ.

Pourquoi

Le coefficient global doit reproduire d'un seul coup le résultat obtenu en deux étapes. S'il ne le fait pas, l'un des deux coefficients est faux.

Étape 5

Durées du trajet : $t_{1}=\dfrac{30}{60}=0{,}5$ h et $t_{2}=\dfrac{30}{90}=\dfrac{1}{3}$ h, soit environ $0{,}333$ h.

Pourquoi

Chaque durée se calcule séparément et s'écrit en heures décimales. Une durée en minutes glissée dans la division finale fausserait tout le résultat.

Étape 6

Vitesse moyenne : $\dfrac{30+30}{0{,}5+0{,}333}=\dfrac{60}{0{,}8333}\approx 72$ km/h.

Pourquoi

On additionne les distances d'un côté et les durées de l'autre. Additionner puis diviser est la définition même d'une vitesse moyenne, et elle interdit la demi-somme des vitesses.

Étape 7

Contrôle : $72$ est compris entre $60$ et $90$ , et plus proche de $60$ que de $90$ .

Pourquoi

On a roulé $0{,}5$ h à $60$ et seulement $0{,}33$ h à $90$ , donc la moyenne penche du côté de la petite vitesse. Une réponse de $75$ trahirait la moyenne des vitesses.

Conclusion rédigée

« Le prix passe à $100$ dollars puis revient à $80$ dollars : le coefficient global vaut $1$ , donc le taux global est nul. La vitesse moyenne du trajet est de $72$ km/h. »

L'erreur classique sur cet exercice : Conclure que le prix a baissé de $5$ pour cent en calculant $+25-20$ . Les pourcentages ne s'additionnent pas : ce sont les coefficients qui se multiplient, et leur produit vaut ici exactement $1$ .

À savoir par cœur

• Proportionnel sur un graphique : les points sont alignés AVEC L'ORIGINE.
• $t$ pour cent DE, c'est $\times\dfrac{t}{100}$ . AUGMENTER de $t$ pour cent, c'est $\times\left(1+\dfrac{t}{100}\right)$ .
• Deux évolutions successives : on MULTIPLIE les coefficients, on n'additionne jamais les taux.
• Le coefficient qui annule une évolution est son INVERSE : $\dfrac{1}{1{,}25}=0{,}8$ .
• Taux d'évolution $=\dfrac{\text{arrivée}-\text{départ}}{\text{départ}}$ .
• Vitesse moyenne $=\dfrac{\text{distance totale}}{\text{durée totale}}$ , jamais la moyenne des vitesses.
• $1$ h $30$ vaut $1{,}5$ h. Des km/h aux m/s, on divise par $3{,}6$ .

Questions fréquentes

Pourquoi une hausse de 25 pour cent ne s'annule-t-elle pas par une baisse de 25 pour cent ?

Parce que la baisse s'applique au prix déjà augmenté, qui est plus grand : elle retire donc davantage qu'elle n'avait ajouté. Le coefficient global vaut un virgule vingt-cinq multiplié par zéro virgule soixante-quinze, soit zéro virgule neuf mille trois cent soixante-quinze, donc une baisse finale.

Comment annuler une hausse de 25 pour cent ?

Par une baisse de vingt pour cent, pas de vingt-cinq. Le coefficient qui annule une multiplication est son inverse : un divisé par un virgule vingt-cinq donne zéro virgule huit, ce qui correspond à une baisse de vingt pour cent.

Comment calcule-t-on une vitesse moyenne sur deux étapes ?

On additionne les distances d'un côté et les durées de l'autre, puis on divise la distance totale par la durée totale. La moyenne des deux vitesses ne convient que si les deux étapes durent exactement le même temps, ce qui est rare.

Comment écrire une heure et demie en heures décimales ?

Une heure et demie vaut une virgule cinq heure, et non une virgule trente. On divise les minutes par soixante pour obtenir la partie décimale : trente minutes donnent zéro virgule cinq, douze minutes donnent zéro virgule deux, quarante-cinq minutes donnent zéro virgule soixante-quinze.

Des points alignés suffisent-ils à prouver la proportionnalité ?

Non. Il faut de plus que la droite passe par l'origine du repère. Un tarif comportant un abonnement donne des points parfaitement alignés, et pourtant la situation n'est pas proportionnelle, car le prix ne part pas de zéro.

Passer à la pratique

Exercices corrigés : Proportionnalité, pourcentages et vitesses

Une méthode se prouve sur une copie, pas sur une fiche. La série du même chapitre reprend chacun de ces pièges dans un exercice, avec le corrigé rédigé étape par étape.

15 exercices corrigés
150 points
195 minutes

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Ce chapitre resservira dans

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Pourcentages et évolutionsSeconde Ratios, partages et échelles Les fonctions linéairesTroisième

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Contactez-moi pour une première séance. La proportionnalité de quatrième est le socle de tout ce qui suit : les fonctions linéaires et affines en troisième, les taux d'évolution et les indices en seconde, puis les suites géométriques au lycée. Un élève qui compose correctement deux coefficients ici n'aura plus jamais à réapprendre ce chapitre.

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Fiche de révision : proportionnalité, pourcentages et vitesses (Quatrième)

L'essentiel

Reconnaître la proportionnalité

Le pourcentage est un coefficient

La vitesse moyenne

Défaire une évolution

Les pièges qui coûtent des points

1. Additionner deux pourcentages successifs

2. Croire qu'une baisse annule une hausse du même taux

3. Défaire une évolution par son opposé

4. Prendre la moyenne des vitesses pour la vitesse moyenne

5. Écrire une heure et demie comme un virgule trente

6. Rapporter un taux d'évolution à la valeur d'arrivée

7. Confondre alignés et proportionnels sur un graphique

8. Confondre prendre ttt pour cent et augmenter de ttt pour cent

Quelle méthode choisir

Quel calcul selon la question posée

Distance, vitesse et durée

La rédaction attendue

Traiter une suite d'évolutions en pourcentage

Calculer une vitesse moyenne sur plusieurs étapes

Vérifier avant de rendre

L'exercice type décortiqué

Un prix qui monte et redescend, puis une livraison

À savoir par cœur

Questions fréquentes

Pourquoi une hausse de 25 pour cent ne s'annule-t-elle pas par une baisse de 25 pour cent ?

Comment annuler une hausse de 25 pour cent ?

Comment calcule-t-on une vitesse moyenne sur deux étapes ?

Comment écrire une heure et demie en heures décimales ?

Des points alignés suffisent-ils à prouver la proportionnalité ?

Exercices corrigés : Proportionnalité, pourcentages et vitesses

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8. Confondre prendre $t$ pour cent et augmenter de $t$ pour cent